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Getränke in Schräglage Verfasser: Martin Döbrich Wie stabil - Arcor

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Getränke in Schräglage
Verfasser: Martin Döbrich
Wie stabil ist die Lage von Gefäßen mit flüssigem Inhalt? Diese Frage wird an zwei Beispielen aus
dem Alltag untersucht: einer Packung Milch und einer Getränkedose. Mit einer Modellierung, die der
Fragestellung angemessen ist, lässt sich das Problem im Rahmen der Schulanalysis lösen. Die
Berechnungen sind allerdings algebraisch und numerisch so umfangreich, dass sich die Verwendung
eines Computer-Algebra-Systems (CAS) empfiehlt; im Folgenden wurde DERIVE 6.10 benutzt.
Im GERTHSEN [1] findet man folgende Aufgabe:
„Jemand bekommt bei einem Picknick eine geöffnete Bierdose gereicht und überlegt, bevor er sie auf
den unebenen Boden stellt: ‘Jetzt ist der Schwerpunkt in der Mitte. Trinke ich etwas ab, so sinkt der
Schwerpunkt; wenn sie ganz leer ist, liegt der Schwerpunkt wieder in der Mitte. Bei irgendeiner
Füllung muss er also am tiefsten liegen .‘ Können Sie diese Füllung a) mit, b) ohne
Differentialrechnung finden?“. Diese Frage gab den Anstoß, die Lagestabilität von Flüssigkeiten in
quaderförmigen und zylindrischen Gefäßen genauer zu untersuchen.
Zur Vereinfachung übertragen wir die Aufgabe zunächst auf einen quaderförmigen Behälter.
1. Aufgabenstellung
Eine handelsübliche 0,5-Liter-Packung Milch (Abb.1) mit den Außenmaßen 7,5 x 4.8 x 14,5 cm3 und
dem Leergewicht 18 g soll soweit geleert werden, dass die Schräglage, bei der sie gerade eben
umkippt, möglichst groß wird.
2. Experimenteller Zugang
Die Packung wird mit einer bestimmten Menge Wasser (!) befüllt und um die Kante B=4,8 cm
gedreht. Wie hängt der Grenzwinkel γ , bei dem die Packung gerade kippt, von der Füllhöhe H ab ?
1
Abb.1: Versuch zur Lagestabilität einer Milchpackung
Tabelle 1 enthält einige Messwerte. In Abb.4 sind diese Messwerte veranschaulicht; Abszisse ist
7,5/H, Ordinate tan γ, =Messwert.
H /cm
γ
12
30,5°
8
37,0°
5
41,0°
4
42,0°
2
39,5°
Tabelle 1: Füllhöhe H, Grenzwinkel γ für 0,5-Liter-Packung Milch
3. Modellierung
Um die Rechnung möglichst einfach zu halten und dennoch realistische Ergebnisse zu erzielen,
modellieren wir die Aufgabe wie folgt:
Ein quaderförmiger Behälter mit den Maßen Länge A × Breite B × Höhe C ist bis zur Höhe H<C mit
einer Flüssigkeit gefüllt. Er wird über die Kante B um den Winkel α gedreht, bis er schließlich beim
Grenzwinkel γ umkippt. Das Leergewicht des Behälters sei vernachlässigbar; er werde nur so weit
gefüllt, dass die Deckfläche beim Drehen um α ≤ γ nicht benetzt wird. Gesucht ist das Maximum des
Grenzwinkels γ , bei dem der Behälter gerade umkippt, in Abhängigkeit von der Füllhöhe H.
Abb. 2 zeigt den Aufriss des Quaders in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Die Kante B, um
die der Quader gedreht wird, liegt symmetrisch zum Ursprung O auf der y-Achse, senkrecht zur
Zeichenebene.
Abb.2 : Aufriss der Milchpackung; a) bis zur Höhe H gefüllt... b) und dann um α gedreht
4. Schwerpunkt des gedrehten Flüssigkeitsquaders
Bei Drehung um den Winkel α wandert der Flüssigkeitsschwerpunkt SF(xF/0/zF); yF=0 bleibt dabei
konstant. Zur Berechnung der Koordinaten xF und zF denken wir uns die Flüssigkeit nach Drehung um
α gefroren (Abb.2) und wieder in die Ausgangsstellung zurück gedreht (Abb.3). Die gesuchten
Schwerpunktskoordinaten ergeben sich durch elementare Umformungen aus den Schwerpunkten der
ebenen Figuren in Abb.3. Da sich das Flüssigkeitsvolumen beim Drehen nicht ändert, bleibt auch der
Gesamtflächeninhalt unverändert: A.H.
2
h
<H
2
h
=H
2
h
>H
2
Abb.3: Schwerpunkt SF abhängig von der Füllhöhe H und dem Neigungswinkel α
Zwei Fälle müssen unterschieden werden:
4.1 Vollständig bedeckte Bodenfläche: h/2 ≤ H (Abb.3a u. 3b)
Wir zerlegen das blaue Trapez in Abb.3a in das Rechteck mit den Seiten A, H- h/2, dem das
rechtwinklige Dreieck mit den Katheten A, h aufgsetzt ist. Ausgehend von den Bestimmungsstücken
A, H und h werden die Schwerpunktskoordinaten von Dreieck und Rechteck - gewichtet mit ihren
Flächeninhalten - gemittelt:
6H − h
12 H 2 + h 2
xF =
A , zF =
H.
12 H
24 H 2
(1)
 1 1 A2

1 1 A

⋅ 2 tan 2 α  H .
x F =  − ⋅ tan α  A , z F =  +
 2 12 H

 2 24 H

(2)
Mit h=A.tan α erhält man daraus eine Parameterdarstellung der Ortskurve des Schwerpunkts SF des
gedrehten Flüssigkeitsquaders mit dem Parameter α:
4.2 Teilweise bedeckte Bodenfläche: h/2> H (Abb. 3c)
Nach der Drehung um den Winkel α ist der Boden nur noch bis x= A′ <A bedeckt; also gilt
tan α =
h
.
A'
(3)
Der Schwerpunkt liegt wegen A′h /2=AH bei
A' 1 2 AH
h 1
=
, zF = =
2 AH tan α .
(4)
3 3 tan α
3 3
r
Für den Winkel β zwischen dem Ortsvektor s F des Schwerpunkts und der z-Achse (vgl. Abb.3a)
xF =
gilt:
tan β =
xF
1
=
zF
tan α
⇒ β = 90 o − α .
(5)
5. Berechnung des Grenzwinkels γ
3
Der Flüssigkeitsquader kippt dann (Abb.3), wenn der Drehwinkel α den Winkel β zwischen dem
r
Ortsvektor s F des Schwerpunkts und der z-Achse überschreitet:. Aus α = β folgt im 2. Fall (5):
γ = 45 °.
Im 1.Fall, h/2 ≤ H, folgt aus α = β :
tan α =
xF
.
zF
(6)
Die Schwerpunktskoordinaten xF, zF aus (2) setzt man in (6) ein und erhält für γ die Gleichung:
 H2

H
tan 3 γ + 2 6 2 + 1 tan γ − 12 = 0 .
A
 A

(7)
Jede zugehörige kubische Parabel ist in ihrem Argument tan γ überall streng monoton wachsend;
wegen des negativen Achsenabschnitts -12H/A besitzt sie genau eine Nullstelle tan γ =t0>0. An Stelle
der kubischen Gleichungsschar (7) lösen wir die quadratische, indem wir die Fragestellung umkehren:
Welche Geometrie H/A hat ein Flüssigkeitsquader, der beim Grenzwinkel γ umkippt ?
Kehrwert der Lösung ist:
A
6 tan γ
=
=: f (tan γ ) ;
H 3 + 9 − 3(tan 2 γ + 2) tan 2 γ
0 ≤ tan γ ≤ 1 .
(8)
Die Diskriminante in (8) ist eine überall rechts gekrümmte Parabel 4. Ordnung im Argument tan γ ,
symmetrisch zur Ordinate mit positiven Funktionswerten zwischen den beiden Nullstellen
tan γ = ±1 . Die Parabel fällt vom Maximalwert 9 bei tan γ =0 auf den Wert 0 für tan γ =1; das
Verhältnis A/H steigt dabei streng monoton von 0 auf 2. Die obere Grenze tan γ =1 des
Definitionsbereichs läßt sich plausibel mit Abb.3a, b begründen, folgt aber streng mit h=A.tan γ und
H gemäß (8) aus der Bedingung:
h
2
≤ H ⇔ tan γ ≤
.
2
f (tan γ )
(9)
A

Durch Vertauschen der Koordinaten erhält man die Punkte P$ 
tan γ  des Graphen der gesuchten
H

Umkehrfunktion f$ . Der Grenzwinkel γ ergibt sich daher aus der abschnittsweise definierte
Funktion
A
 $ A
 f  H  ; 0 ≤ H ≤ 2
tan γ = 
 1 ; A >2

H
.
(10)
Tabelle 2 enhält einige besondere Werte zu (10); der Funktionsgraph ist in Abb.4 dargestellt.
A/H
0
6 / (3 3 + 20 )
2
>2
tan γ
0
1/ 3
1
1
H
∞
≈ 1,6 ⋅ A
0°
30°
0,5 ⋅A
45°
< 0,5.A
45°
γ
Tabelle 2: Besondere Werte zu Flüssigkeitsquader (10)
4
Abb.4: tan γ abhängig von A/H (Quader) bzw. D/H (Zylinder)
γ= Grenzwinkel, A= Kante, D= Durchmesser, H=Füllöhe.
6. Diskussion der Lösung
Nicht die Absolutwerte der Kanten sind Kriterium für die Lagestabilität des Flüssigkeitsquaders,
sondern das Verhältnis A/H. Die Funktion (10) in Abb.4 ist im gesamten Definitionsbereich
A/H ∈[0, ∞ [ stetig differenzierbar. An der Stelle A/H=2 - vgl. Grenzfall in Abb. 3b - ist ihre Steigung
0; bei A/H=0 ist die Steigung 1 und die Krümmung 0.
Die Tangente t im Ursprung ist somit eine gute Näherung für kleine Werte von A/H, also große H:
t: tan γ =
A
.
H
(11)
Die Winkelhalbierende t ist übrigens die Lösung der Aufgabe für einen quaderförmigen Festkörper
gleicher Geometrie A/H, z.B. gefrorene Milch. Aus Abb.4 folgert man: Mit Flüssigkeit gefüllte
Quader sind stets instabiler als feste Quader gleicher Geometrie A/H; schlanke, hohe Quader kippen
bei nahezu gleichem Grenzwinkel γ = arctan
A
unabhängig davon, ob ihr Inhalt fest oder flüssig ist.
H
6.1 Fast leere Packung: A/H → ∞
Der Grenzwinkel der leeren Packung mit den Kanten A=7,5 cm und C=14,5 cm ist real
 A
 C
γ leer = arctan  ≈ 27,3 ° ;
(12)
im Modell folgt aus (10) jedoch γ leer =45° . Die Modellierung ist somit für H → 0 unbrauchbar: Das
Leergewicht darf hier nicht verlässigt werden.
6.2 Fast volle Packung: A/H → 0
5
Um möglichst kleine Werte des Verhältnisses A/H zu erzielen, müsste H → ∞ streben.
Allerdings würde die Deckfläche des Quaders für H → C=14,5 cm schon bei kleinen Drehwinkeln
α benetzt, bevor die fast volle Packung kippte. Im Modell muss aber die Bedingung
H+
h
≤C
2
(13)
eingehalten werden - s. Abb. 3. Für A=7,5 cm und C=14,5 cm folgert man mit h=A.tan γ und H aus
(8): Das Modell ist nur zulässig für Füllhöhen bis 12,4 cm. Für H=12,4 cm ergibt sich aus (7) der
Grenzwinkel γ H =12 ,4 ≈ 29,5 °; die volle Packung kippt real schon bei γ voll ≈ 27,3°.
6.3 Die optimale Füllhöhe: H=A/2
Nach der Modellrechnung erreicht man optimale Standfestigkeit, wenn man die Milchpackung bis auf
H= A/2= 3,75 cm leert. Sie kippt dann erstmalig bei γ MAX = 45° ; bei noch kleineren Füllmengen
macht sich real der „schädliche“ Einfluß der Verpackung immer stärker bemerkbar, ohne dass
γ wächst.
7. Einfluss der Verpackung
Bei Drehung der Packung um α wirken die Gewichtskräfte von Flüssigkeit und Verpackung in
r
Richtung des Lotes auf die Flüssigkeitsoberfläche l = − (sin α ; 0 ; cos α ) ; Hebelarm ist jeweils der
Ortsvektor des zugehörigen Schwerpunkts. Hieraus resultiert das Drehmoment
r
r
r r
r
D = gM V ⋅ sV × l + gM F ⋅ s F × l .
(14)
r
M steht dabei für die Masse, s für den Ortsvektor des Schwerpunkts, die Indizes V, F für
„Verpackung“
bzw. „Flüssigkeit“; g ist die Erdbeschleunigung.
r
In D = (0 ; Dy ; 0) verschwindet auch Dy, wenn die Packung bei α = γ im labilen Gleichgewicht ist:
Dy =
!
1
gM V [ A cos γ − C sin γ ] + gM F [ x F cos γ − z F sin γ ] = 0
2
(15)
In (15) ist A=7,5 cm, B= 4,8 cm, C=14,5 cm, MV = 18 g sowie
 M F = ρ F ABH mit ρ F = 1 g cm3
 r
 sF = ( x F ; 0 ; z F ) mit x F , z F aus (2) bzw. (4)
.
(16)
Aus (15) ergibt sich mit (2 ) nach Division durch cos γ :
75tan3 γ +(16H2+266).tan γ -120H-60=0.
(17)
Die zugehörigen kubischen Parabeln sind für alle H streng monoton wachsend; jede Parabel besitzt
also genau eine positive reelle Nullstelle. Wir ziehen es wieder vor, nach H aufzulösen, mit
t = tan γ gilt:

1
 4t
1
H=
 4t

 3

(15 +
(15 −
)
− 75t )
225 + 60t − 266t 2 − 75t 4
; 0,5634 < t ≤ t MAX
225 + 60t − 266t 2
; t MAX ≥ t > 0,9124
3t  29t − 15


320  1 − t 2 
4
2
;
0,9124 > t ≥
.
(18)
15
29
Der 3. Teil der Vorschrift (18) gilt für kleine Füllhöhen H<h/2; man findet ihn durch Einsetzen von
(4) in (15). Die Diskriminante 225+60t-266t2-75t4 in (18) ist eine überall rechts gekrümmte Parabel
4.Ordnung, die für t=0 den positiven Funktionswert 225 annimmt. Sie besitzt folglich zwei einfache
6
Nullstellen verschiedenen Vorzeichens, zwischen denen die Funktionswerte durchweg positiv sind.
Negative t-Werte fallen aus der Betrachtung, t → 0+ würde in (18) H → ∞ implizieren. Im Modell
wird die Füllhöhe H jedoch durch H+h/2 ≤ 14,5 cm beschränkt; daraus folgt mit h=7,5t und H aus (18)
die Untergrenze t=0,5634: H darf 12,4 cm nicht überschreiten. Die positive Nullstelle tMAX der
Diskriminante beschränkt t nach oben:
225+60t-266t2-75t4 = 0 für t=tMAX =0,9219991669... .
(19)
Die Untergrenze t ≈ 0,9124 - die zugehörige Höhe aus (18) ist H ≈ 3,42 cm - garantiert h/2 ≤ H
(Abb.3a,b). An der Untergrenze t=15/29 ist die Packung leer: H=0, γ = γ leer ≈ 27,3°. Die Werte aus
(18) sind in Abb.4 dargestellt: 7,5/H auf der Abszisse, t = tan γ auf der Ordinate.
Größte Standfestigkeit erreicht die Milch bei tMAX. Dann ist die Packung bis zur Höhe H ≈ 4,07 cm
gefüllt und kippt bei γ MAX ≈ 42,68° Schräglage.Für die „optimale“ Höhe gemäß Modellierung (s. 6.3)
H=A/2=3,75 cm ergibt (17) nur einen geringfügig kleineren Grenzwinkel: γ ≈ 42,61°. Für H=4 cm
wurde γ = 42 °gemessen (Tabelle 1).
8. Zylindrische Getränkedosen
Zur Lösung der Aufgabenstellung für eine Dose vom Durchmesser D und der Höhe C dient als
Modell ein Zylinder mit vernachlässigbarem Leergewicht, der bis zur Höhe H<C mit Wasser gefüllt
ist. Abb.2 zeigt den Aufriss des Zylinders; dabei ist die Kante A durch den Durchmesser D zu
ersetzen. Die mathematische Struktur der Rechnung ist die gleiche. In Abb.3.a,b ist der Aufriss der
Flüssigkeit dargestellt; Grundriss ist ein Kreis vom Durchmesser D. Der zugehörige schräg
angeschnittene Zylinder lässt sich in zwei Teilkörper zerlegen. Der untere Teilkörper ist ein Zylinder
der Höhe H-h/2 mit Schwerpunkt in der Mitte. Darauf aufgesetzt ist der schräg angeschnittene
Teilkörper mit dreieckigem Aufriss. Seine Schwerpunktskoordinaten werden ausgehend von den
Bestimmungstücken D und h durch räumliche Integration berechnet. Die gesuchten
Schwerpunktskoordinaten sind das mit den Volumina gewichtetete Mittel der
Schwerpunktkoordinaten der Teilkörper vgl. (1):
xF =
8H − h
16 H 2 + h 2
D , zF =
H.
16 H
32 H 2
(20)
Die hierfür benötigten Integrale sind elementar, die erforderlichen Rechnungen aber umfangreich.
Mit h= D.tan α erhält man aus (20):
 1 1 D2

1 1 D

⋅ 2 tan 2 α  H .
x F =  − ⋅ tan α  D , z F =  +
 2 16 H

 2 32 H

(21)
Die Dose kippt um, wenn α = β ist. Die zugehörige Gleichung
tan α =
xF
zF
(22)
lösen wir wieder nach der passenden Geometrie H/D auf ; Kehrwert der Lösung ist, vgl (8):
D
4 tan γ
30
=
; 0 ≤ tan γ ≤
.
(23)
2
2
H 2 + 4 − (2 + tan γ ) tan γ
5
Die obere Grenze für tan γ folgt aus h/2 ≤ H - vgl. (9), mit h= D.tan γ und H aus (23).
Der Graph zu (23) ist in Abb.4 dargestellt. Die zugehörige Funktion: D/H a tan γ ist für alle
D/H ≥ 0 stetig differenzierbar; Tangente im Ursprung ist wieder t : tan γ = D/H . Der Grenzwinkel
fast leerer Flüssigkeitszylinder ist:
lim tan γ =
H →0
6
⇒ γ ≈ 50,8 °.
2
(24)
7
9. Einfluss des Leergewichts
Für eine Dose (Abb.1) der Höhe C=11,9 cm mit dem Durchmesser D= 6,3 cm und dem Leergewicht
MV= 53 g erhält man mit (15,21) für t=tan γ in Abhängigkeit von der Füllhöhe H die Gleichung
(25)
t3+(0,40312H2+10,15625)t - 2,53968H - 4,31802 = 0.
Auflösung von (25) nach H führt zur Nullstelle der Diskriminante tMAX = 0,837549 und zu H ≈ 3,76
cm.
Bei der Füllhöhe H ≈ 3,76 cm ist Lage der Dose am stabilsten; sie kippt dann erst bei einer Neigung
von γ MAX ≈ 39,9 °; experimentell ergab sich für H=3,8 cm der Grenzwinkel γ MAX =39,5° .
[1] Gerthsen: Physik, Springer Berlin, 19. Auflage 1997 , S.91 Aufgabe 2.3.1
8
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