close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Lösung zum Problem des Monats Januar 2006 Sascha Daab Wie in

EinbettenHerunterladen
Lösung zum Problem des Monats
Januar 2006
Sascha Daab
C
A2
B1
Ma
E3
Mb
E2
E4
A1
B2
E5
A
C1
E1
E6
Mc
C2
B
Wie in obiger Figur wollen wir die Eckpunkte des Sechsecks mit E1 ,..., E6 bezeichnen. Mit
M a , M b , M c seien die Mittelpunkte der Seiten a, b, c des Dreiecks bezeichnet.
Wir zeigen zunächst: Die drei Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC sind die verlängerten
Hauptdiagonalen des Sechsecks E1...E6 .
Beweis:
(i) Es gilt laut Konstruktion:
AC2 BM a CB1 2 1 1
=
= 1 . Hieraus folgt (Satz von Ceva):
C2 B M a C B1 A 1 1 2
Die Strecken AM a , CC2 und BB1 schneiden sich in einem Punkt.
(ii) Weiter gilt laut Konstruktion:
AC1 BM a CB2 1 1 2
=
= 1 . Hieraus folgt (Satz von
C1 B M a C B2 A 2 1 1
Ceva): Die Strecken AM a , CC1 und BB2 schneiden sich in einem Punkt.
Aus (i) und (ii) folgt: Die Seitenhalbierende AM a des Dreiecks ABC geht durch die Punkte
E2 und E5 , ist somit eine verlängerte Hauptdiagonale des Sechsecks.
Völlig analog können wir zeigen, dass die Seitenhalbierenden BM b und CM c des Dreiecks
ABC die beiden anderen verlängerten Hauptdiagonalen des Sechsecks bilden.
Wir müssen nun nur noch zeigen, dass sich die drei Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC in
einem Punkt schneiden. Dies folgt sofort aus dem Satz von Ceva wegen
AM c BM a CM b
= 1 1 1 = 1 . Somit schneiden sich auch die drei Hauptdiagonalen des
M c B M aC M b A
Sechsecks E1...E6 in einem Punkt.
q.e.d.
Document
Kategorie
Bildung
Seitenansichten
1
Dateigröße
86 KB
Tags
1/--Seiten
melden