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1. Der Grenzertrag eines Produktionsfaktors gibt an um wie viel der

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1. Übungsblatt Lösung
Mikroökonomie II WS 2005/06
1. Der Grenzertrag eines Produktionsfaktors gibt an um wie viel der Output ansteigt wenn
von dem Produktionsfaktor eine Einheit mehr verwendet wird (bei fixem Einsatz der anderen Produktionsfaktoren).
Die Produktionselastizität gibt an um wie viel PROZENT der Output ansteigt wenn ausgehend von einem bestimmten Produktionsniveau von dem Produktionsfaktor ein PROZENT
mehr verwendet wird (bei fixem Einsatz der anderen Produktionsfaktoren).
Beispiel Grenzertrag:
Eine Möbelfirma stellt einen Schreiner mehr ein und kann damit zusätzlich 50 Tische pro
Woche herstellen. D.h. der Grenzertrag des Faktors Arbeit ist in diesem Fall 50 (
∂F
= 50 ).
∂L
Beispiel Produktionselastizität:
Wenn die Produktionselastizität des Faktors Kapital 1,5 beträgt, kann mit 1% zusätzlichem
Kapitaleinsatz 1,5% mehr Output erzeugt werden (wenn 100 Maschinen 10.000 Autos
produzieren -> 1 Maschine mehr = 150 Autos mehr)
2. Gastronomie: Platz für Gäste, Kapazität der Küche
Universität: Platz in den Hörsälen, Anzahl der Studenten
Straßenreinigung: Anzahl der Reinigungsgeräte, Anzahl der zu reinigenden Straßen
3.
a)
∂F
∂F
= 4;
=5
∂L
∂K
b)
5
5
∂F
∂F
= 4 für L ≤ K ;
= 0 für L ≥ K
∂L
∂L
4
4
4
4
∂F
∂F
= 5 für K ≤ L ;
= 0 für K ≥ L
5
∂K
∂K
5
(
5
5
∂F
∂F
= 0 für L ≤ K ;
= 5 für L ≥ K ; wird benötigt für Aufgabe 5, Definitionsbe4
4
∂K
∂K
reiche wurden nur umgestellt)
1
1. Übungsblatt Lösung
c)
Mikroökonomie II WS 2005/06
∂F
∂F
= 2K 2 ;
= 4 KL
∂L
∂K
2
1
∂F
 K  3 ∂F
 L 3
d)
= 2  ;
= 4 
∂K
∂L
K
L
1
1
∂F
 L 2
 K  2 ∂F
e)
= 2,5  ;
= 2,5 
∂L
∂K
L
K
f)
1 ∂F
∂F
;
= 0,5
=1
∂L
L ∂K
4.
a) F (1,1) = 5 + 4 = 9 ; F (2,2) = 10 + 8 = 18 = 2 ⋅ F (1,1) => konst. Skalenerträge
b) F (1,1) = min{5,4} = 4 ; F (2,2) = min{10,8} = 8 = 2 ⋅ F (1,1) => konst. Skalenerträge
c) F (1,1) = 2 ⋅12 ⋅1 = 2 ; F (2,2) = 2 ⋅ 22 ⋅ 2 = 16 > 2 ⋅ F (1,1) => zunehmende Skalenerträge
2
3
1
3
2
3
1
3
1
1
1
1
d) F (1,1) = 6 ⋅ 1 ⋅ 1 = 6 ; F (2,2) = 6 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12 = 2 ⋅ F (1,1) => konst. Skalenerträge
e) F (1,1) = 5 ⋅ 12 ⋅ 12 = 5 ; F (2,2) = 5 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 = 10 = 2 ⋅ F (1,1) => konst. Skalenerträge
1
2
1
2
f) F (1,1) = 1 + 1 = 2 ; F (2,2) = 2 + 2 ≈ 3,41 < 2 ⋅ F (1,1) => abnehmende Skalenerträge
5. Eine Isoquante zeigt die verschiedenen Faktorkombinationen mit denen eine bestimmte
Menge x produziert werden kann.
Die GRTS gibt an um wie viel man den Einsatz eines Faktors erhöhen muss, um den Einsatz eines anderen Faktors um eine marginale Einheit verringern zu können.
(Die Grafiken sind jeweils für die Produktionsniveaus x1 = 10, x2 = 20 und x3 = 30 gezeichnet)
x2
a) F ( K , L) = 5K + 4 L = x → K =
GRTS LK =
x 4
− L
5 5
∂F / ∂L 4
=
∂F / ∂K 5
(durch Einsetzen der Ergebnisse aus 3.)
=> Isoquante ist eine Gerade
x3
x1
2
x2
x1
1. Übungsblatt Lösung
Mikroökonomie II WS 2005/06
x2
b) F ( K , L) = min{5K , 4 L} = x
für 4 L > 5 K wird nur mit K produziert
=> x = 5 K => K =
x
5
x2
durch Einsetzen von K =
x
in 4 L > 5 K
5
ergibt sich der Definitionsbereich L >
analog für 4 L < 5 K => L =
x1
x
4
x1
x
x
für K ≥
4
5
GRTS LK =
5
∂F / ∂L 4
= = nicht definiert für L ≤ K
4
∂F / ∂K 0
GRTS LK =
5
∂F / ∂L 0
= = 0 für L ≥ K
4
∂F / ∂K 5
=> Isoquante ist rechtwinklig (Leontief-Produktionsfunktion)
c) F ( K , L) = 2 K 2 L = x → K 2 =
GRTS LK
x
→K=
2L
x
2L
x2
∂F / ∂L 2 K 2
K
=
=
=
∂F / ∂K 4 KL 2 L
=> Isoquante ist konvex
x1
2
3
1
3
d) F ( K , L) = 6 K L = x
2
3
→ K =
x
1
3
→ K=
6L
2
GRTS LK
 K 3
2 
∂F / ∂L
K
L
=
=  1 =
2L
∂F / ∂K
 L 3
4 
K
3
3
2
x
216 L
1. Übungsblatt Lösung
Mikroökonomie II WS 2005/06
x2
!"Isoquante ist konvex
!"d) ist monotone Transformation von c)
x1
1
1
e) F ( K , L) = 5K 2 L2 = x
1
x
→ K2 =
x2
1
2
5L
→ K=
x2
25L
GRTS LK
 K 2
2,5 
∂F / ∂L
L = K
=
=
1
L
∂F / ∂K
 L 2
2,5 
K
1
x1
=> Isoquante ist konvex
1
2
f) F ( K , L) = K + L = x → K = x − L
GRTS LK =
∂F / ∂L
=
∂F / ∂K
0,5
x2
1
L
1
1
2
=
0,5
L
=> Isoquante ist konvex
5
5
4
x1
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Gesundheitswesen
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