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1. Mechanik Gegeben sei ein Fahrzeug der Masse 1000kg. a) Wie

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1. Mechanik
Gegeben sei ein Fahrzeug der Masse 1000kg.
a) Wie groß ist die geleistete Arbeit und die mittlere Leistung, wenn das Fahrzeug in 10s von 0
auf 100 km/h beschleunigt?
L¨osung:
geleistete Arbeit: ∆W = Ekin = 1/2mv 2 = 500 · ( 100000
)2 kJ = 386kJ
3600
geleistete Arbeit, anderer L¨osungsweg: ∆W = F · ∆s = (m · ∆v
) · ( 21 ∆v
· ∆t2 ) = 21 m∆v 2
∆t
∆t
(gleiches Ergebnis)
mittlere Leistung: P = ∆W
= 386kJ
= 38, 6kW
∆t
10s
b) Das Fahrzeug beschleunigt nun aus dem Stand mit konstanter Beschleunigung a = 5m/s2 .
Wieviele Sekunden braucht es in diesem Fall, um eine Geschwindigkeit von 100 km/h zu
erreichen?
L¨osung:
10000
→ t = 5·3600
s = 5, 6s
v = at = 5m/s2 · t = 100000m
3600s
c) Wie groß ist die momentane Leistung P(t) bei dieser Beschleunigung a = 5m/s2 als Funktion
der Zeit? Masse des Fahrzeugs siehe oben. Geschwindigkeit v0 = 0 zur Zeit t = 0 wie oben.
L¨osung:
momentane Leistung P = F v = ma2 t = 1000 · 25(J/s) · t = 25kW · t/s
d) Der Gleitreibungskoeffizient der Reifen beim Bremsen ist 0.7. Wie groß ist der minimale
Bremsweg bei Vollbremsung ohne ABS ab Geschwindigkeit 100 km/h, sodass Reifen rutschen?
L¨osung:
FR = 0.7FN = 700kg · g = 7000N = m · a oder a = 0.7g = 7 sm2
m
v = v0 − at = 100000
− 7 sm2 t = 0 → t = av = 4s
3600 s
minimaler Bremsweg: s = 12 at2 = 56m
2. Hydrostatik und -dynamik
a) Ein Fisch, befindet sich in 18m Wassertiefe. Welcher Schweredruck lastet auf ihm? (Angabe
in der Einheit Pa; lassen Sie den Luftdruck auf die Wasseroberfl¨ache außer Acht.)
L¨osung:
Schweredruck p = ρ · g · h = 180000P a mit ρ = 1000kg/m3 und g = 10m/s2
b) Eine Injektionsspritze hat einen Zylinderdurchmesser von 1cm, die Hohlnadel an ihrem Ende
hat einen Durchmesser von 0,5 mm (Spitze, Nadel haben kreisf¨ormige Querschnitte). Mit
welcher Geschwindigkeit muß ein Kolben in die Spritze geschoben werden, damit die inkompressible Fl¨
ussigkeit mit 2 ms austritt?
L¨osung:
vKolben
vAustritte
=
AAustritte
AKolben
= ( 0,5mm
)2 = 25 · 10−4 → vKolben = 2 · 25 · 10−4 m/s = 5mm/s
10
c) Sie halbieren den Durchmesser der Hohlnadel aus Aufgabe b). Um welchen Faktor m¨
ussen Sie
den Kolbendruck erh¨ohen, damit der aus der Nadel tretende Volumenstrom ∆V /∆t gleich
bleibt? (Der Str¨omungswiderstand im Zylinder ist vernachl¨assigbar gegen¨
uber dem in der
Nadel. Die Str¨omung der z¨ahen Fl¨
ussigkeit ist laminar.)
L¨osung:
′
4
= rr′4 = 24 = 16
Hagen-Poiseuille: ∆V /∆t = c · r 4 ∆p → gesuchter Faktor = ∆p
∆p
3. Elektrizit¨atslehre
a) Wie groß ist die elektrische Leistung P einer Gl¨
uhbirne mit dem Widerstand R = 230 Ω,
wenn man sie an das Haushaltsstromnetz anschließt?
L¨osung:
P = U · I = U 2 /R =
2302 V 2
230Ω
= 230W
b) Wieviel Energie verbraucht eine Lampe der Leistung 40 Watt, wenn sie 24 Stunden brennt?
L¨osung:
Energieverbrauch = 40 · 24W h = 0.96kW h(= 3545kJ)
c) Die L¨ange der Empfangsantenne in einem Handy soll genau ein Viertel der Wellenl¨ange der
zu empfangenden Mikrowellen sein. Die Frequenz f der Mikrowellen sei 900 MHz. Wie lang
ist die Antenne?
L¨osung:
8 m/s
λ · f = c = 3 · 108 m/s → λ = 3·10
= 0.33m → Antennenl¨ange =λ/4 = 8cm
9·108 1/s
d) Wie groß ist die Kraft F auf ein Elektron in einem elektrischen Feld E der St¨arke 100kV/m?
Die elektrische Ladung des Elektrons ist e = 1.6 · 10−19 C.
L¨osung:
F = Q · E = 1.6 · 10−19 C · 100000V /m = 1.6 · 10−14 N
e) Wie groß ist die Kraft F auf ein Elektron in einem magnetischen Feld (Induktionsflußdichte)
der St¨arke B = 0.333 T, wenn die Geschwindigkeit des Elektrons 1/10 der Lichtgeschwindigkeit betr¨agt?
Die elektrische Ladung des Elektrons ist e = 1.6 · 10−19 C.
L¨osung:
F = Q · vB = 1.6 · 10−19 C · 3 · 107 m/s · 0.33T = 1.6 · 10−12 N
4.) W¨armelehre
a) Wie groß ist der Wirkungsgrad eines Automotors, der pro Stunde 6 Liter Brennstoff (Heizwert 40 MJ/Liter) verbraucht und dabei eine (mittlere) mechanische Leistung von 20 kW
entwickelt?
L¨osung:
Energieverbrauch
J
= 6·40M
= 240MJ/3600s = 66.7kW
1Stunde
1h
20
Wirkungsgrad = η = 66.7
= 0.3
b) In einem isothermen Prozess wird bei T = 300 K einem idealen Gas (Stoffmenge 1 mol) 100
kJ W¨arme ∆Q zugef¨
uhrt. Dabei dehnt es sich aus. Wie a¨ndert sich dabei die innere Energie
U? Wie groß ist die mechanische Arbeit ∆W, die das Gas dabei leistet?
L¨osung:
U ¨andert sich nicht U = c · T
∆U = ∆W + ∆Q → ∆W = 100kJ
c) Die Luft eines (nicht perfekt abgeschlossenen) Raums wird bei konstantem Druck von 100000Pa
von 300 K auf 310 K erw¨armt. Das Volumen des Raums sei 10 Kubikmeter. Wie viel Mol
Luft enth¨alt der Raum vorher, wie viel nachher?
Wie viel W¨armeenergie wird ben¨otigt?
Wie groß ist die geleistete mechanische Arbeit?
Wie viel (innere) Energie enth¨alt die durch die Fenster und T¨
uren verloren gegangene Gasmenge?
J
Die molspezifische W¨armekapazit¨at von Luft bei konstantem Druck ist cp = 7/2R molK
L¨osung:
Molzahl vorher: pV = n · RT → n = pV /RT = 106 /(8.3J/molK) · 300K = 402mol
Molzahl nachher: p · V = n′ RT ′ → n′ = 106 /(8.3J/mol) · 310mol = 389mol
→ 13 mol gehen verloren
J
Ben¨otigte W¨armemenge ∆Q = 402mol · 7R/2 molK
· 10K = 117kJ.
R·∆T
Geleistete Arbeit ∆W = p∆V = p · n · p = 402 · 8.3 · 10 = 33kW s
∆U = ∆n · cV · T = 13 · 5R
310J = 84kJ
2
5. Optik
Mit einer d¨
unnen konvexen Linse (Brennweite f = 2cm) soll ein Gegenstand abgebildet werden.
a) Konstruieren Sie in der unteren Skizze geometrisch die Lage des Bildes.
b) Sie verwenden die Linse als Lupe, indem Sie den Gegenstand nach F schieben. Welche Vergr¨oßerung des Sehwinkels ergibt sich (relativ zum Sehwinkel, unter dem der Gegenstand in
der nat¨
urlichen Sehweite s0 = 25cm ohne Lupe erscheint)? (Rechnung, Zeichnung wird nicht
verlangt)
L¨osung:
Sehwinkel = sG0 Winkel mit Lupe Gf
Vergr¨oßerung = sf0 = 12.5
c) Mit einem Laser wird ein Strichgitter bestrahlt. Der Strichabstand betr¨agt 20µm. Das 2. Beugungsmaximum erscheint unter einem Winkel von 3o . Welche Wellenl¨ange hat die Strahlung?
L¨osung:
sin 3◦ = nλ
→Wellenl¨ange =λ = sin 3◦ · g/n
g
Mit g = 20 µm und n = 2 folgt λ = 5.2 · 10−7 µm
6. Atom- und Kernphysik
Wert des Plankschen Wirkungsquantums h = 4, 14 · 10−15 eV·s
a) Zwischen zwei angeregten Zust¨anden eines Atoms, deren Anregungsenergien u
¨ber dem Grund¨
zustand E1 = 7,5 eV und E2 = 5,1 eV betragen, findet ein elektromagnetischer Ubergang
statt. Geben Sie f¨
ur die Strahlungsquanten folgende Gr¨oßen an:
Energie: hν = E1 − E2 = 2.4eV
2.4
10+15 Hz = 5.8 · 1014 Hz
Frequenz: f = 2.4eV /h = 4.14
Wellenl¨ange λ = c/f = 3 · 108 (m/s)/5.8 · 1014 (1/s) = 5.2 · 10−7 m
b) Das Wismutisotop 212
allt durch α-Strahlung. Welche Massenzahl A, welche Protonen83 Bi zerf¨
zahl Z und welche Neutronenzahl N hat der Tochterkern?
L¨osung:
Z = 81 A = 208 N = 127 (Tochterkern 208
81 Tl )
Wieviele Elektronen hat ein Wismutatom (nicht ionisiert)?
L¨osung:
83
c) Ein β − -strahlendes Pr¨aparat hat die Aktivit¨at 120 kBq. Wie viele Elektronen treffen pro
Sekunde im Abstand von 5m vom Pr¨aparat auf eine Fl¨ache von 1 m2 auf?
L¨osung:
120·103 /s
A
2
Aktivit¨at A = 120 · 103 /s Strahlungsintensit¨atI = 4πr
2 = 4π·(25m)2 = 382Bq/m
d) Die Halbwertszeit des Pr¨aparats aus Aufgabe c) betr¨agt 80 Tage. Welche Aktivit¨at hat es
nach 400 Tagen?
L¨osung:
400 d = 5 t1/2 Aktivit¨at nach 5 Halbwertszeiten =( 21 )5 · 120kBq = 3750Bq
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