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A 1.1 a Wie groß ist das Molvolumen von Helium, flüssigem Wasser

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A 1.1 a
Wie groß ist das Molvolumen von Helium, flüssigem Wasser, Kupfer, Stickstoff und
Sauerstoff bei 1 bar und 25oC ? (→ Tabelle p)
Helium:
ρ = 0,1785 kg/m³
Vm =
V
M M
=V
=
n
m
ρ
Vm =
m3
l
0,00400 ⋅ kg ⋅ mol −1
=
0
,
022409
= 22,4
−3
mol
mol
0,1785 ⋅ kg ⋅ m
Wasser:
Vm =
Kupfer:
Vm =
“2 Eimer voll”
ρ = 997,1 kg/m³
3
0,01801 ⋅ kg ⋅ mol −1
ml
−6 m
=
18
,
44
⋅
10
= 18,44
−3
977,1 ⋅ kg ⋅ m
mol
mol
“Schnapsglas”
ρ = 8933 kg/m³
3
ml
0,06355 ⋅ kg ⋅ mol −1
−6 m
=
7
,
1
⋅
10
= 7,1
−3
mol
mol
8933 ⋅ kg ⋅ m
A 1.1 b
Wie groß ist der Auftrieb eines Helium (Wasserstoff) gefüllten (kugelförmigen)
Gasballons mit 10m Durchmesser bei Normalbedingungen?
(Luft ~ 20% Sauerstoff + 80% Stickstoff)
V = 523 m³, das entspricht (id.Gas) einer Molzahl von
n = V x (22,4 l/mol)-1 = 23375 mol
M(He)= 4 g/mol; M(Luft)= (0,2 x 2*16 + 0,8 x 2*14)g/mol=28,8 g/mol
Auftrieb/mol = (28,8 - 4) g/mol = 24,8 g/mol
→ Auftrieb = n*24,8 g/mol = 580 kg
(Wasserstoff: M(H2)= 2 g/mol → 626 kg, also lediglich ca. 8% größer )
A 1.1 c
Welchem Druck in bar (atm) entspricht eine Quecksilbersäule von 760 mm?
p = F/A ; F = m g h = Vρ g h = A h ρ g
p = ρ g h = 13,546 g/cm³ ⋅ 9,81 m/s² ⋅ 760 mm = ... = 1,0099 ⋅ 105 Pa
p = 1,010 bar = 1,010 bar ⋅ (1 atm / 1,013bar ) = 0,997 atm
PT3_WW_Musterloesungen_Kap1
Hoeppe
-1–
A 1.1 d
Wieviel m Wassersäule entspricht der Normluftdruck von 1 atm?
h=
1,013 ⋅105 N ⋅ m −2
p
= 10,3 m
=
ρ ⋅ g 1000 kg ⋅ m −3 ⋅ 9,81 m ⋅ s −2
(→ max. Höhe (Tiefe) eines Saugrohres für eine Pumpe)
A 1.2
a) Wie groß ist der Druck in einem Gefäß von 3,00 l Inhalt, wenn sich 10,00 g Stickstoff
bei 50 oC darin befinden?
n=
10,00 g
m
=
= 0,357 mol
M 28,0 g ⋅ mol −1
p=
nRT 0,357 mol ⋅ 0,0831 bar ⋅ l ⋅ mol −1 K −1 ⋅ 323K
=
= 3,29 bar
3l
V
b) In einem Volumen von 2 l sind 16,00 g Helium. Bei welcher Temperatur beträgt der
Druck 100 bar ?
n = m/M = 4 mol
T=
pV
100bar ⋅ 2l
=
= 601,7 K ~ 328,6°C
nR 4mol ⋅ 0,0831 bar l ⋅ mol −1K −1
A 1.3 a
Wieviel Sauerstoff befindet sich in einer Stahlflasche von 50 l Inhalt, wenn der Druck bei
20oC 125 bar beträgt ?
n=
pV
125bar ⋅ 50l
=
= 256,7mol
RT 0,0831 bar l ⋅ mol −1K −1 ⋅ 293K
m = n M = 256,7mol ⋅ 0,03200 kg⋅mol-1 = 8,21 kg
A 1.3 b
Wie groß ist der Auftrieb eines (kugelförmigen) Heißluftballons mit 10m Durchmesser
bei Normalbedingungen, wenn die Luft im Inneren mit 80°C angenommen wird?
Verwenden Sie für die Berechnung den Volumenausdehnungskoeffizienten
γ = 1 / 273,15°C.
Auftrieb = ∆m = V ∆ρ ;
ρ = m/V
∆ρ (∆T) = m/V(T) – m/V(T+∆T)
PT3_WW_Musterloesungen_Kap1
Hoeppe
-2–
∆m(∆T) = V(T) ∆ρ (∆T) = m( 1 – V(T)/ V(T+∆T))
V(T+∆T) = V(T) ( 1 + γ∆T) →
∆m(∆T) = m( 1 – 1/ ( 1 + γ∆T) )
Bereits zuvor: V = 523m³ ; n = 23375mol ; mLuft(T) = n⋅ M = 673 kg →
∆m(80°C) = 673 kg ⋅ 0,2266 = 152 kg
A 1.3 c
Wie groß ist der Auftrieb eines (kugelförmigen) Heißluftballons mit 10m Durchmesser
bei Normalbedingungen, wenn die Luft im Inneren mit 80°C angenommen wird?
Verwenden Sie für die Berechnung das ideale Gasgesetz.
Offenes System! → p und V const
n T = n’ T’ -> n’ = n T/T’
∆n = n – n’ = n - n T/T’ = n (1 - T/T’) = n⋅ 0,2266 = 5297 mol
→ ∆m(T, T’) = (m ⋅ 0,2266 = ) MLuft⋅ ∆n = 152 kg
A 1.4
Die Dichte von Stickstoff beträgt bei 15oC und 1 bar 1,17 kg/m3.
Wie groß ist die mittlere quadratische Geschwindigkeit der Moleküle ?
v2 =
3p
ρ
=
3105 N m3
= 506 ms
2
1,17 kg m
A 1.5
Man gebe die mittlere quadratische Geschwindigkeit, die mittlere Bewegungsenergie
und die Bewegungsenergie pro Mol für Helium bei 300 K an.
a)
v2 =
3RT
3 8,314 J mol 300 K
=
= 1368 ms
0,0040 kg mol K
M
3
3
J
k BT = 1,3807 ⋅10 −23 ⋅ 300 K = 6,21 ⋅10−21 J
2
2
K
b)
Ekin ( Atom) =
c)
Ekin / mol = N A Ekin = 3,74
PT3_WW_Musterloesungen_Kap1
Hoeppe
kJ
mol
-3–
A 1.6
Man berechne die Dichte von CO bei 420 K und 85 bar mit den Virialkoeffizienten.
Aus Tabelle B3 erhält man :
B = 0,281 10-3 bar-1, C = 1,08 10-6 bar-2, D = O
Z = 1 + 0,281 10-3 bar-1 85 bar + 1,08 10-6 bar-2 852bar2 = 1,0317
ρ=
0,02801 kg ⋅ mol −1 ⋅ 85 bar
m nM
Mp
kg
= 66,08 3
=
=
=
−1 −1
V
V
ZRT 1,0317 ⋅ 0,083144 bar l ⋅ mol K ⋅ 420 K
m
A 1.7
Man berechne den Druck, der bei 350 K entsteht, wenn 200g CO2 in einem Behälter
von 3 l eingeschlossen sind,
a) mit der Van der Waals Gleichung
b) mit der Gleichung von Redlich und Kwong.
a) Aus Tabelle A folgt: a = 3,64 bar l2/mol2 , b = 0,0427 l/mol.
n = 4,55 mol
p=
Vm = 3 l / 4,55 mol = 0,660 l/mol
0,0831 bar l ⋅ mol −1 K −1 ⋅ 350 K 3,64 bar ⋅ l 2 ⋅ mol −2
= 38,76 bar
−
(0,660 − 0,0427) l ⋅ mol −1
0,660 2 ⋅ l 2 ⋅ mol −2
b) In Tabelle C findet man a' = 64,60 bar K1/2 l2/mol2, b' = 0,0297 l/mol
n = 4,55 mol
Vm = 0,660 l/mol
⎡
⎤
a'
⎢p+
⎥ (Vm − b') = RT
T Vm (Vm + b') ⎦
⎣
p=
0,0831 bar l ⋅ mol −1 K −1 ⋅ 350 K
64,60 bar ⋅ K ⋅ l 2 ⋅ mol −2
= 37,87 bar
−
(0,660 − 0,0297) l ⋅ mol −1
350 K ⋅ 0,660 ⋅ (0,660 + 0,0297) l 2 ⋅ mol −2
PT3_WW_Musterloesungen_Kap1
Hoeppe
-4–
A 1.8
Man berechne den Druck, der entsteht, wenn sich ein Mol Sauerstoff bei 290 K in einem
Volumen von 0,35 l befindet:
a) mit der Gleichung für ideale Gase
b) mit den Virialkoeffizienten
c) mit der Gleichung von van der Waals
d) mit der Gleichung von Redlich und Kwong.
(Der Meßwert beträgt 66,00 bar.)
RT 0,08314 bar l ⋅ mol −1 K −1 ⋅ 290 K
= 68,89 bar
=
0,35 l ⋅ mol −1
V
a)
p=n
b)
B = -0,71⋅ 10-3 bar-1
Z=
C = 0,48⋅ 10-6 bar-2
D = 10,6⋅10-9 bar-3
pVm
= 1 + B ⋅ p + C ⋅ p 2 + D ⋅ p3
RT
Dies ist eine Gleichung dritten Grades in p und es ist hier günstig, eine erste Näherung
p1 vorzugeben, Z mit den Virialkoeffizienten zu berechnen und daraus die nächste Näherung p2 zu bestimmen, die wieder in das Polynom eingesetzt wird. Als erste Näherung bietet sich der Druck nach der idealen Gasgleichung an:
p1 = pideal = 68,89 bar
Z1 = 1 - 0,71⋅10-3 bar-1 68,89 bar + 0,48⋅ 10-6 bar-2 (68,89)2 bar2
+ 10,6⋅10-9 bar-3 (68,89)3 bar3 = 0,9568
p2 = Z1⋅ RT⋅Vm-1 = Z1⋅ pideal = 0,9568⋅ 68,89 bar = 65,92 bar
Z2 = 1 - 0,71⋅10-3 bar-1 65,92 bar + 0,48⋅10-6 bar-2 (65,92)2 bar2
+ 10,6⋅10-9 bar-3 (65,92)3 bar3 = 0,9583
p3 = Z2 ⋅ pideal = 66,02 bar
Z3 = 1 - 0,71⋅10-3 bar-1 66,02 bar + 0,48⋅10-6 bar-2 (66,02)2 bar2
+ 10,6⋅10-9 bar-3 (66,02)3 bar3 = 0,95826
Z3 = Z2 auf 0,001 genau
PT3_WW_Musterloesungen_Kap1
Hoeppe
→
p = 66,015 bar
-5–
c)
a = 1,38 bar l2⋅ mol-2
p=
b = 0,0318 l⋅mol-1
RT
a
− 2
Vm − b Vm
0,08314 bar l ⋅ mol −1K −1 ⋅ 290 K 1,38 bar l 2 ⋅ mol −2
= 64,51 bar
p=
−
(0,350 − 0,0318) l ⋅ mol −1
0,350 2 l 2 ⋅ mol −2
d)
a' = 17,34 bar K1/2 l2 mol2
p=
b' = 0,0221 l mol-1
RT
a'
−
Vm − b'
T ⋅ Vm ⋅ (Vm + b' )
0,0831 bar l ⋅ mol −1 K −1 ⋅ 290 K
17,34 bar ⋅ K ⋅ l 2 ⋅ mol −2
= 65,71 bar
p=
−
(0,350 − 0,0221) l ⋅ mol −1
290 K ⋅ 0,350 ⋅ (0,350 + 0,0221) l 2 ⋅ mol −2
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-6–
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