close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Computertomographie [+1ex] wie Mathematik Unsichtbares sichtbar

EinbettenHerunterladen
Computertomographie
wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
Prof. Dr. Bastian von Harrach
TUM-Sch¨
ulertag Mathematik, 4. November 2010.
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
R¨
ontgen
Bein
Detektor
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
R¨
ontgen
R¨ontgen aus zwei Richtungen
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
R¨
ontgen
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
Computertomographie
R¨ontgen aus 580 Richtungen
Detektor
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
Computertomographie
R¨ontgen aus 580 Richtungen
De
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
tor
tek
Computertomographie
De
tek
tor
R¨ontgen aus 580 Richtungen
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
Messdaten
4
Position im Scanner
600
500
3
400
2
300
200
1
100
100
200
300
400
500
Drehung des Scanners
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
0
Math. Beschreibung
ln
E (D)
=−
E (Q)
D
f (s) ds
Q
E (D) und E (Q):
bekannt f¨
ur viele verschiedene Wege
durch den K¨orper
Absorptionskoeff. f :
unbekannt im K¨oper
Wie bestimme ich eine (zweidimensionale) Funktion aus ihren
(eindimensionalen) Integralmitteln?
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
Math. Beschreibung
Wie bestimme ich eine (zweidimensionale) Funktion aus ihren
(eindimensionalen) Integralmitteln?
Explizite L¨osungsformel: Radon 1917
Zum Vergleich:
◮
R¨ontgenstrahlen: R¨ontgen 1895
◮
CT: Cormack und Hounsfield ca. 1972 (Medizin-Nobelpreis 1979)
Im Folgenden:
Algebraic-Reconstruction-Technique (Hounsfield, 1972)
(schlechter als Radons L¨
osung, aber elementarer und lehrreich. . . )
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
Diskretisierung
bi
f1
f2
f3
f1
f3
f5
f5
f4
f2
f6
f4
f6
f8
f7
f8
f9
f9
f7
li3
li6
li5
N¨
aherung: f konstant auf jedem Pixel
bi := ln
E (Di )
=−
E (Qi )
li7
Di
f (s) ds = li 7 f7 + li 5 f5 + li 6 f6 + li 3 f3
Qi
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
Diskretisierung
F¨
ur i -ten Strahl:
l i 7 f 7 + l i 5 f 5 + l i 6 f 6 + l i 3 f 3 = bi
bi :
lij :
fj :
bekannt aus Messung des i -ten Strahls
,,einfach” berechenbar aus Scannergeometrie
unbekannter Absortionskoeff. des j-ten Pixels
Z.B. 580 × 672 Strahlen und 5122 Pixel
389760 Gleichungen f¨
ur 262144 Unbekannte
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
Numerische L¨
osung
3. Gleichung
2. Gleichung
1. Gleichung
Kaczmarz-Verfahren f¨
ur 3 Gleichungen in 2 Unbekannten
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
Rekonstruktion
Rekonstruktion mit 580 ∗ 672 Strahlen und 512 ∗ 512 Pixeln,
d.h. ca. 400.000 Gleichungen f¨
ur ca. 250.000 Unbekannte
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
Ergebnisse
Noch bessere Ergebnisse: Inverse Radon-Transformation
(rechts: Rekonstruktion eines Siemens-Tomographen, ca. 2000)
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
Referenzen
◮
M. Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik
und des Wissenschaftlichen Rechnens,
Springer-Verlag, 3. Auflage, 2008.
◮
M. Hochbruck, J.-M. Sautter: Mathematik f¨
urs Leben am
Beispiel der Computertomographie,
Mathematische Semesterberichte 49(1), 95-113, 2002.
◮
R. Griesmaier: Computertomographie, Ausarbeitung zum Tag der
offenen T¨
ur, Universit¨
at Mainz, 2008.
www.mathematik.uni-mainz.de/Members/griesmaier/teaching/comptom.pdf
B. Harrach: Computertomographie — wie Mathematik Unsichtbares sichtbar macht
Document
Kategorie
Seele and Geist
Seitenansichten
4
Dateigröße
348 KB
Tags
1/--Seiten
melden