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Ein Gefäß wie in der nebenstehenden Abbildung ist bis zum oberen

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NAK
Anwendungsorientierte Aufgaben
Bearbeitungszeit: 40 Minuten
III C
Punkte: 15
Punkte
Ein Gefäß wie in der nebenstehenden Abbildung
ist bis zum oberen Rand mit Wasser gefüllt. Der
Hahn am unteren Rand des Gefäßes ist so geregelt, dass in jeder Minute 200 ml Flüssigkeit
auslaufen.
a) Erläutern Sie, wie man in der folgenden
Tabelle das Volumen V in Abhängigkeit von
der Zeit t erhält.
Zeigen Sie, wie man mit Hilfe der Beziehung
5π 3
V=
(r − 64)
3
die Werte von h berechnen kann.
Skizzieren Sie den Verlauf des Wasserstandes h in Abhängigkeit von
der Zeit t.
t
V
h
0
1
2
3
4
5
6
2346 2146 1946 1746 1546 1346 1146
20
19
7
8
9
10
11
946
746
546
346
146
9,5
7,6
5,3
2,6
17,9 16,8 15,5 14,2 12,8 11,3
b) Geben Sie eine quadratische Funktion an, welche den Wasserstand in
Abhängigkeit von der Zeit näherungsweise beschreibt.
c) Berechnen Sie mit Hilfe dieser Näherungsfunktion die Zeit, die
vergeht, bis das Gefäß geleert ist.
Bewerten Sie das Ergebnis.
7
3
5
15
NAK
Anwendungsorientierte Aufgaben
III C
Punkte: 15
LÖSUNGSVORSCHLAG
Punkte
Zur Beschreibung des Wasserstandes werden
folgende Bezeichnungen gewählt:
t = Zeit in Minuten,
V(t) = Wasservolumen in cm3
16 cm
r(t)
h(t) = Füllhöhe in cm,
r(t) = Radius des Wasserspiegels in cm
20 cm
h(t)
a) Für das Volumen des Kegelstumpfes gilt
π
V(0) = ⋅ 20 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 4 + 42 ) ≈ 2346
3
8 cm
Das Volumen nimmt pro Minute um 200 ml ab, also gelten die Werte
von V in der Tabelle.
π
V(t) = h(t)(r 2 (t) + 4 ⋅ r(t) + 16)
3
Mit h(t) = 5⋅(r(t) – 4) (Strahlensatz) erhält man
π
5π 3
V(t) = ⋅ 5 ⋅ (r(t) − 4)(r 2 (t) + 4 ⋅ r(t) + 16) =
(r (t) − 64)
3
3
Auflösen nach r(t) liefert
h(t) = 5 ⋅ (r(t) − 4) = 5 ⋅ (3
r(t) =
3
2
3V(t)
+ 64 und damit
5π
3V(t)
+ 64 − 4)
5π
3
2
b) Mit Hilfe des Taschenrechners erhält man als quadratische
Näherungsfunktion (z.B.) h* mit
h*(t) = –0,0927 t2 – 0,5452 t + 19,553
3
NAK
Anwendungsorientierte Aufgaben
III C
Punkte: 15
LÖSUNGSVORSCHLAG
c) h*(t) = 0
⇔
t ≈ 12,22 (∨ t ≈ –21,95)
Da aus dem Gefäß pro Minute 200 ml Flüssigkeit ausströmen,
dauert es tatsächlich
2240 π
3 ⋅ 200
≈ 11,73 Minuten, bis das Gefäß leer ist.
Die mit Hilfe von h* berechnete Zeit ist also um etwa 0,49 Minuten
zu lang. Das ist eine Abweichung von nur ca. 4,7 %.
Der Näherungswert stimmt gut mit der Wirklichkeit überein.
3
2
15
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Kategorie
Gesundheitswesen
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