close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

II. Rigorose Behandlung des Kontaktproblems. JKR-Theorie Wie wir

EinbettenHerunterladen
II. Rigorose Behandlung des Kontaktproblems. JKR-Theorie
Wie wir gesehen haben, kann die Rauhigkeit die Adhäsion zwischen makroskopisch großen
Körpern fast vollständig zerstören. Dennoch spielen Adhäsionskräfte eine wichtigen Rolle in den
Anwendungen, wo eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (i) sehr glatte Oberflächen (wie z.B.
die der magnetischen Scheibe von Festplatten), (ii) einer der Kontaktpartner besteht aus einem
sehr weichen Material (Gummi oder biologische Strukturen) oder (iii) es handelt sich um
mikroskopische Systeme, in denen die Adhäsionskräfte grundsätzlich von größeren Bedeutung
sind verglichen mit Volumenkräften wegen verschiedener Skalierung (mikromechanische Geräte,
Atomkraftmikroskope, biologische Strukturen u.ä.).
Die klassische Theorie von adhäsiven Kontakten wurde 1971 von Johnson, Kendall und Roberts
geschaffen und trägt den Namen JKR-Theorie. Bemerkenswert ist, dass diese Theorie fast ein
ganzes Jahrhundert nach der Hertzschen Kontakttheorie ohne Adhäsion erschienen ist. Einige
Gründe dafür können in einer historischen Skizze von Kenneth Johnson in der Anlage gefunden
werden.
Wir betrachten eine elastische Kugel mit dem Radius R im Kontakt mit einer starren ebenen
Oberfläche. Zwischen zwei festen Körpern gibt es immer Anziehungskräfte (van-der-WaalsKräfte), die dazu führen, dass die Kugel sich elastisch deformiert und einen „Hals“ bildet, wie auf
dem Bild 1 angedeutet.
F
a
Bild 1. Bildung eines „Hals“ in einem adhäsiven Kontakt.
R
h
R -h
Q
h
a
b
r
r 2R
2
Bild 2. Zur Berechnung eines adhäsiven Kontaktes.
Wir bezeichnen den Radius des Kontaktgebietes mit a und nehmen an, dass h << R , wobei R − h
der Abstand zwischen dem Zentrum der Kugel und der starren Unterlage ist (s. Bild). Damit die
Kugel die im Bild 2a gezeigte Form annehmen kann, müssen sich die Oberflächenpunkte der
Kugel so verschieben, dass sie nach der Deformation auf der starren Ebene liegen. Für die
vertikale Verschiebung gilt offenbar:
r2
uz = h −
(0.1)
2R
Aus den Ergebnissen des vorigen Kapitels wissen wir, dass die Druckverteilung der Form
p = p0 (1 − r 2 / a 2 )
zu einer vertikalen Verschiebung
uz =
führt, während die Druckverteilung
π (1 − ν 2 )
E
−1/ 2
(0.2)
(0.3)
p0a
p = p0 (1 − r 2 / a 2 )
1/ 2
die Verschiebung
(0.4)
π (1 − ν 2 )
p0 ( 2a 2 − r 2 )
(0.5)
4 Ea
verursacht. Eine gleichzeitige Anwendung beider Druckverteilungen führt offenbar zu einer
quadratischen Verteilung der Verschiebungen im Kontaktgebiet, was mit der geometrischen
Vorgabe (0.1) im Einklang steht.
Aus den genannten Gründen benutzten wir für die Druckverteilung im Kontaktgebiet den Ansatz
uz =
p = p0 (1 − r 2 / a 2 )
−1/ 2
+ p1 (1 − r 2 / a 2 )
1/ 2
(0.6)
Die entsprechende Verschiebung ergibt sich nach dem Superpositionsprinzip zu
π (1 − ν 2 ) a ⎡
1 ⎛
r 2 ⎞⎤ π a ⎡
1 ⎛
r 2 ⎞⎤
uz =
(0.7)
⎢ p0 + p1 ⎜ 1 − 2 ⎟ ⎥ =
⎢ p0 + p1 ⎜ 1 − 2 ⎟ ⎥
E
2 ⎝ 2a ⎠ ⎦ E * ⎣
2 ⎝ 2a ⎠ ⎦
⎣
Ein Vergleich von (0.1) und (0.7) liefert:
πa ⎛
p1 ⎞
π p1
1
=
.
(0.8)
⎜ p0 + ⎟ = h ,
4E * a 2R
2⎠
E *⎝
Daraus folgt
E *⎛ h a ⎞
E * 2a
.
(0.9)
p0 =
,
−
p1 =
π ⎜⎝ a R ⎟⎠
π R
wobei wir die Bezeichnung
1 1 −ν 2
=
(0.10)
E*
E
eingeführt haben.
Zur Bestimmung des Gleichgewichtszustandes benutzen wir das Prinzip der minimalen
potentiellen Energie. Die Energie der Kugel besteht aus einem elastischen und einem adhäsiven
Anteil. Die elastische Deformationsenergie der Kugel kann mittels der Gleichung
1
U el = ∫ p (x)u z (x) dxdy ,
(0.11)
2
die für beliebige linear elastische Systeme gültig ist, berechnet werden. Substitution von (0.6) und
(0.1) in (0.11) ergibt
a
1/ 2 ⎛
−1/ 2
r2 ⎞
(0.12)
U el = π h ∫ r ⎡ p0 (1 − r 2 / a 2 ) + p1 (1 − r 2 / a 2 ) ⎤ ⎜1 −
⎟ dr
⎢
⎥
⎣
⎦
hR
2
⎝
⎠
0
Nach der Substitution ξ = 1 − r 2 / a 2 , d ξ = −2rdr / a 2 erhalten wir
U el =
=
=
π ha 2
2
π ha 2
2
⎞
a2
−1/ 2
1/ 2 ⎛
⎡
⎤
∫0 dξ ⎣ p0ξ + p1ξ ⎦ ⎜⎝1 − 2hR (1 − ξ ) ⎟⎠
1
⎡ ⎛
⎛
a 2 ⎞ −1/ 2
a 2 ⎞ 1/ 2
a 2 1/ 2
a 2 3/ 2 ⎤
1
1
−
+
−
+
+
d
ξ
p
ξ
p
ξ
p
ξ
p
ξ ⎥
1⎜
0
1
⎟
∫0 ⎢ 0 ⎜⎝ 2hR ⎟⎠
2
2
2
hR
hR
hR
⎝
⎠
⎣
⎦
1
π ha 2 ⎡
2
⎛
2
a2 ⎞ 2 ⎛
a2 ⎞ 2
a2
a2 ⎤
+ p1
⎢ 2 p0 ⎜ 1 −
⎥
⎟ + p1 ⎜ 1 −
⎟ + p0
⎝ 2hR ⎠ 3 ⎝ 2hR ⎠ 3 2hR 5 2hR ⎦
⎣
(0.13)
π ha 2 ⎡
⎛
⎛ 2 2 a 2 ⎞⎤
2 a2 ⎞
=
⎢ p0 ⎜ 2 −
⎟ + p1 ⎜ −
⎟⎥
2 ⎣ ⎝
3 hR ⎠
⎝ 3 15 hR ⎠ ⎦
Unter Berücksichtigung von (0.9) erhalten wir für die elastische Energie
⎡ 2
2 ha 3 a 5 ⎤
U el = E * ⎢ h a −
.
(0.14)
+
3 R 5R 2 ⎥⎦
⎣
Die volle potentielle Energie ist gleich
⎡ 2
2 ha 3 a 5 ⎤
(0.15)
U tot = E * ⎢ h a −
+ 2 ⎥ − 2γπ a 2 .
3 R 5R ⎦
⎣
Den Gleichgewichtsradius a erhalten wir aus der Forderung, dass diese Energie ein Minimum
annimmt:
2
⎡
⎛
ha 2 a 4 ⎤
a2 ⎞
∂U tot
= E * ⎢h2 − 2
+ 2 ⎥ − 4γπ aE * = E * ⎜ h − ⎟ − 4γπ a = 0 .
R
R ⎦
R⎠
∂a
⎣
⎝
(0.16)
Daraus
a2
4γπ a
±
(0.17)
R
E*
Einsetzen dieser Beziehung in (0.15) ergibt die Gesamtenergie als Funktion vom Kontaktradius:
⎡ 8 a 5 2γπ a 2 4 a 3 4γπ a ⎤
(0.18)
+
±
U tot = E * ⎢
⎥
2
E*
3 R
E* ⎦
⎣ 15 R
Das Minuszeichen entspricht dem Zustand mit einer kleineren Energie.
Die auf die Kugel wirkende Gesamtkraft in diesem Zustand erhalten wir als Ableitung der Energie
nach der Verschiebung h des Mittelpunkts der Kugel. Dafür muss aber diese Energie zunächst
mittels Umkehrung von (0.17) als Funktion von h ausgedrückt werden. Man kann diese Ableitung
aber auch direkt aus (0.15) berechnen:
dU
∂U ∂U da
F =−
=−
−
.
(0.19)
dh
∂h ∂a dh
Dabei ist zu berücksichtigen, dass der Wert von a im Gleichgewichtszustand bei gegebenem h
∂U
= 0 , so dass wir statt (0.19) zu einer
genommen werden muss. In diesem Zustand ist aber
∂a
einfacheren Gleichung kommen:
⎡
∂U
2 a3 ⎤
.
(0.20)
= E * ⎢ 2ha −
F =−
∂h
3 R ⎥⎦
⎣
Den maximalen Wert dieser Kraft nennen wir Adhäsionskraft. Das ist die minimale Kraft, die an
die Kugel angelegt werden muss, um diese endgültig von der Unterlage zu trennen. Die Bedingung
für ein Maximum lautet:
⎡
dF
dh a 2 ⎤
= 2 E * ⎢h + a
−
= 0.
(0.21)
da
da R ⎥⎦
⎣
h=
Die Ableitung a
dh
berechnet sich mittels (0.17) zu
da
dh 2a 2 1 4γπ a
a
=
−
da
R
2 E*
(0.22)
somit
⎡
dh a 2 ⎤ a 2 ⎛ 4γπ a ⎞
2a 2 1 ⎛ 4γπ a ⎞
a 2 2a 2 3 ⎛ 4γπ a ⎞
+
−
=
−
+
−
−
=
− ⎜
h
a
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟ = 0 (0.23)
⎢
da R ⎥⎦ R ⎝ E * ⎠
R
2⎝ E* ⎠
R
R 2⎝ E* ⎠
⎣
Das Auflösen dieser Gleichung bezüglich a liefert den kritischen Kontaktradius im Moment des
"Abspringens" der Kugel:
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/ 3
⎛ 9 γπ R 2 ⎞
(0.24)
acrit = ⎜
⎟ .
⎝4 E* ⎠
Die Adhäsionskraft ergibt sich durch Einsetzen dieses Wertes in (0.20) unter Berücksichtigung
von (0.17):
3
3
3 ⎤
⎡ ⎛ acrit
⎞ 2 acrit
⎡
2 acrit ⎤
3/ 2 4γπ
FA = E * ⎢ 2hcrit acrit −
− acrit
⎥
⎟−
⎥ = E * ⎢2 ⎜
3 R ⎦
E * ⎠ 3 R ⎦⎥
⎣
⎣⎢ ⎝ R
(0.25)
1/ 2
1/ 2 ⎤
3
2 1/ 2
⎡
⎡ 4 acrit
⎤
⎛ 9 γπ R ⎞ ⎛ 4γπ ⎞
γπ R
3/ 2 ⎛ 4γπ ⎞
= E*⎢
− 2acrit
− 2⎜
⎜
⎟ ⎥ = E * ⎢3
⎟ ⎜
⎟ ⎥
E*
⎝ E * ⎠ ⎦⎥
⎝ 4 E * ⎠ ⎝ E * ⎠ ⎦⎥
⎣⎢ 3 R
⎣⎢
oder
FA = −3γπ R
(0.26)
Interessanterweise hängt sie nicht von den elastischen Eigenschaften der Kugel ab!
Auch der allgemeine Zusammenhang zwischen der Kraft und dem Kontaktradius kann leicht
ermittelt werden, indem (0.17) in (0.20) eingesetzt wird:
⎡ 4 a 3 ⎛ 16γπ a 3 ⎞1/ 2 ⎤
⎡ ⎛ a2
4γπ a ⎞
2 a3 ⎤
F = E * ⎢2 ⎜ −
(0.27)
−⎜
⎥ = E*⎢
⎟a −
⎟ ⎥
R
E
R
R
E
*
3
3
*
⎢
⎥
⎝
⎠ ⎦
⎠
⎣⎢ ⎝
⎦⎥
⎣
In dimensionslosen Variablen F = F / FA , a = a / acrit erhält diese Abhängigkeit die folgende Form
(Bild 3)
F = a 3 − 2a 3/ 2 .
(0.28)
6
5
F
4
3
2
1
0
-1
0.5
1
1.5
a
2
2.5
Bild 3. Abhängigkeit der normierten Adhäsionskraft vom Kontaktradius für einen adhäsiven
Kontakt.
2
1
a/ac = a (4E */9 pgR 2)3
C
1
B
A
Hertz
0
-1
1
2
3
Bild 4. Abhängigkeit der normierten Kraft vom normierten Kontaktradius für Gelatinekugeln mit
verschiedenen Radien: 24.5 mm, 79 mm und 255 mm (Johnson).
Experimentelle Daten von Johnson für den Kontakt zwischen Gelatinekugeln und Glas
entsprechen genau der theoretischer Vorhersage (Bild 4).
Diskutieren wir noch die Druckverteilung im adhäsiven Kontakt. Sie wird durch die Gleichungen
p1
immer positiv und
(0.6) und (0.9) gegeben. Zu bemerken ist, dass
E *⎛ h a ⎞
4γ E *
immer negativ sind. Die resultierende Druckverteilung ist im Bild 5
⎜ − ⎟=−
π ⎝a R⎠
πa
gezeigt. Der wesentliche Unterschied zum nicht-adhäsiven Kontakt besteht darin, dass an den
Rändern des Kontaktgebietes die Spannung nicht Null ist, sondern einen unendlich großen
negativen Wert annimmt.
p0 =
p (r )
p
aH
a
d
aH
r
a
Bild 5. Form des kontaktierenden Körpers und Druckverteilung in einem adhäsiven Kontakt.
Berücksichtigung einer endlichen Reichweite von Adhäsionskräften beseitigt diese Singularität.
Dennoch erreichen die Spannungen an den Rändern eines adhäsiven Kontaktgebietes sehr große
Werte (von der Größenordnung der „theoretischen Festigkeit“ der van-der-Waals-Kontakte), was
zu einem erhöhten Verschleiß führen kann (vergleiche eine ähnliche Situation mit dem
"tangentialen Kontakt" (siehe entsprechendes Kapitel).
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
7
Dateigröße
64 KB
Tags
1/--Seiten
melden