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Einführung in die Methoden der speziellen Relativitätstheorie oder

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1
Einf¨
uhrung in die Methoden der speziellen Relativit¨
atstheorie
oder Wie rechnete Einstein?: Teil II“
”
Der affine Raum
Ein n-dimensionaler affiner Raum ist durch folgende Axiomatik gekennzeichnet:
1.) Es gibt wenigstens einen Punkt.
2.) Jedem geordnetem Paar von Punkten A, B (man betrachtet also zwei Punkte
immer in einer gewissen festgelegten Reihenfolge) ist genau ein Vektor AB zugeordnet.
3.) Zu jedem Punkt A und zu jedem Vektor x gibt es einen und nur einen Punkt B,
so dass AB = x ist.
4.) Ist AB = CD, so auch AC = BD (Parallelogrammaxiom).
5.) Jedem Vektor x und jeder Zahl α ist ein bestimmter Vektor zugeordnet. Dieser
lautet αx und heißt Produkt des Vektors x mit der Zahl α.
6.) Es gilt 1x = x.
7.) (α + β)x = αx + βx
8.) α(x + y) = αx + αy
9.) α(βx) = (αβ)x
Aus diesen Axiomen lassen sich nat¨
urlich jetzt weitere Eigenschaften ableiten. Darauf
soll aber nicht n¨aher eingegangen werden. Der Begriff des affinen Raumes wurde hier
nur aufgerollt, weil er im Folgenen verwendet wird.
Der euklidische Raum
Ein affiner Raum mit einer zugewiesenen Bilinearform ϕ(x, y) (das bedeutet, dass die
Funktion ϕ linear bez¨
uglicher der beiden Argumente x und y ist) mit den Eigenschaften
1.) ϕ(x, y) = ϕ(y, x) (Symmetrie!)
2.) Zu jedem Vektor x = o gibt es einen Vektor y, so dass ϕ(x, y) = 0 ist.
nennt man euklidischen Raum. Im Folgenden soll als Bilinearform das Skalarprodukt
zweier Vektoren x und y dienen. Dieses erf¨
ullt die beiden obigen Bedingungen. Dann
gilt also
ϕ(x, y) = gij xi y j ,
wobei gij der aus (Teil I) bekannte metrische Tensor ist.
2
Der eigentliche euklidische Raum
Ein euklidischer Raum mit x2 > 0 f¨
ur jeden Vektor x = 0 heißt eigentlich. Dies
bedeutet, dass alle Einheitsvektoren reell sind. Es gilt dann
e21 = e22 = . . . = e2n = 1 .
Außerdem verschwinden alle Nichtdiagonalelemente des metrischen Tensors
gij = 0 , f¨
ur i = j ,
und es gilt außerdem
gii = 1 .
Die Eintr¨ager ko- und kontravarianter Vektoren sind gleich
xi = xi ,
und das Skalarprodukt zweier Vektoren x und y ist gegeben durch:
x · y = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn .
Ein euklidischer Raum mit dieser Eigenschaft ist der uns wohlbekannte Rn . Hier gilt
n¨amlich f¨
ur einen Vektor
   
x1
0
 x2  0
   
x =  .  = . ,
 ..   .. 
xn
0
wie uns ja bekannt ist:
x2 = x21 + x22 + . . . + x2n > 0 .
Der pseudoeuklidische Raum
Euklidische R¨aume, bei denen das Skalarprodukt x2 sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, heißen pseudoeuklidisch. Dies bedeutet, dass imagin¨
are
Einheitsvektoren existieren. Ein pseudoeuklidischer Raum wird durch die Anzahl seiner
imagin¨aren Einheitsvektoren charakterisiert. Man bezeichnet diese Anzahl als Index des
pseudoeuklidischen Raumes. Der Einfachheit halber beschr¨
anken wir uns nun auf den
zweidimensionalen pseudoeuklidischen Raum.
3
Der pseudoeuklische Raum vom Index 0 Der zweidimensionale pseudoeuklidische
Raum vom Index 0 entspricht gerade dem zweidimensionalen eigentlichen euklidischen
Raum, wird also nicht noch einmal hier aufgerollt.
Der pseudoeuklische Raum vom Index 2 Der pseudoeuklidische Raum vom Index 2
besitzt zwei imagin¨are Einheitsvektoren. Dann gilt hier:
e21 = e22 = −1 .
Die Komponenten des metrischen Tensors sind gegeben durch
g11 = g22 = −1 ,
g12 = 0 ,
und die Komponenten der ko- und kontravarianten Vektoren u
¨ber ein Minuszeichen
miteinander verkn¨
upft:
x1 = −x1 ,
x2 = −x2 .
Das Skalarprodukt zweier Vektoren x und y nimmt folgende Form an:
x · y = −x1 y1 − x2 y2 .
Wir erkennen die Strukturgleichheit zum eigentlichen euklidischen Raum. Dessen Formeln werden gerade durch ein zus¨
atzliches Minuszeichen versehen.
Der pseudoeuklische Raum vom Index 1 Wirklich interessant ist der pseudoeuklidische Raum vom Index 1, weil er sich von der Struktur her sehr stark von den zuvor
betrachteten R¨aumen abgrenzt. Er wird von einem reellen und einem imagin¨
aren Einheitsvektor aufgespannt. Wir treffen o.B.d.A. (obwohl ich diese Abk¨
urzung u
¨berhaupt
nicht mag ;-)) die Wahl
e20 = 1 ,
e21 = −1 .
Dann besitzt der metrische Tensor in Matrixschreibweise die folgende Form:
(gij ) =
1 0
0 −1
,
wodurch ko- und kontravariante Vektoren u
¨ber xi = gij xj wie folgt miteinander verkn¨
upft sind:
x0 = x0 ,
x1 = −x1 , also (xi ) =
x0
x1
,
(xi ) =
x0
−x1
.
4
Dann lautet das Skalarprodukt zweier Vektoren x und y:
x · y = x0 y 0 − x1 y 1 .
Wir wollen uns nun eine Koordinatentransformation anschauen, bei welcher der Ursprung des Koordinatensystems fest bleibt, also eine Drehung. Die Einheitsvektoren
transformieren sich als Tensoren erster Stufe wie folgt:
e0 = A00 e0 + A01 e1 ,
e1 = A10 e0 + A11 e1 .
In Matrixschreibweise gilt (symbolisch):
e0
e1
=
A00 A01
A10 A11
·
e0
e1
.
Durch Ausnutzung der Orthogonalit¨
at der Basisvektoren e0 und e1 (und nat¨
urlich auch
der gedrehten Vektoren e0 und e1 , weil eine Drehung den Winkel zwischen zwei Vektoren
nicht ¨andert) folgt:
e0 · e1 = 0 ⇔ (A00 e0 + A01 e1 ) · (A10 e0 + A11 e1 ) = 0 ,
⇔ A00 · A10 − A01 · A11 = 0 ⇔
A01
A10
=
=: β
A00
A11
Setzen wir dar¨
uber hinaus
A01 =: a ,
A10 := b ,
so kommt man auf folgendes Transformationsverhalten:
e0 = a(e0 + βe1 ) ,
e1 = b(βe0 + e1 ) .
Nutzen wir nun noch aus, dass e1 ein imagin¨
arer Einheitsvektor ist, k¨
onnen wir noch
eine weitere Beziehung ableiten (da sich nat¨
urlich auch der Betr¨
ag eines Vektors nicht
¨andert unter Drehungen):
e12 = −1 = b2 β 2 e20 + b2 e21 = b2 β 2 − b2 = b2 (β 2 − 1) ⇒ b = ±
1
1 − β2
Da der erste Einheitsvektor reell ist, gilt außerdem:
e02 = 1 = a2 e20 + a2 β 2 e21 = a2 − a2 β 2 = a2 (1 − β 2 ) ⇒ a = ±
1
1 − β2
5
Also k¨onnen wir nun die Transformationen folgendermaßen aufschreiben:
e0
e1
=±
γ βγ
βγ γ
·
e0
e1
, mit
1
1 − β2
=: γ .
Die Transformation ist nur dann definiert, wenn
−1 < β < 1 ,
gilt. Cool. Was ist das hier nun? Mancher, der sich nun schon ein bisschen auskennt in
der speziellen Relativit¨atstheorie (bis jetzt ist dieser Begriff nicht gefallen, wir haben
nur“ irgendwelche abstrakten mathematischen R¨
aume betrachtet) wird erkennen, dass
”
diese Transformation nun gerade eine Lorentztransformation ist, wenn man β = v/c
identifiziert, wobei v die Geschwindigkeit ist, mit der sich ein Bezugssystem gegen¨
uber
dem anderen bewegt. c ist nichts anderes als die Lichtgeschwindigkeit.
Wir erkennen nun auch, dass der Raum, in dem die spezielle Relativit¨
atstheorie lebt
(also der Minkowski-Raum) mit dem metrischen Tensor


1 0
0
0
0 −1 0
0

(gij ) = 
0 0 −1 0  = diag(1, −1, −1, −1) ,
0 0
0 −1
nicht anderes ist als ein vierdimensionaler pseudoeuklidischer Raum. Dieser Raum wird
ur die drei Raumdimensionen steht und die 1“
oft mit R3+1 bezeichnet, wobei die 3“ f¨
”
”
f¨
ur die Zeitdimension.
Der Begriff der Lorentztransformation
Eine Lorentztransformation ist eine Transformation, welche das MinkowskiSkalarprodukt invariant l¨asst, also nicht a
asst
¨ndert. Jede Lorentztransformation l¨
sich als 4 × 4-Matrix Λ darstellen. Diese Matrizen bilden mathematisch gesehen eine
Gruppe und heißt Lorentzgruppe O(3,1). Nochmal zur Wiederholung: Unter einer
upfung × (Gruppenmultiplikation),
Gruppe G versteht man eine Menge mit einer Verkn¨
so dass folgendes gilt:
1.) Abgeschlossenheit: Ist a ∈ G und b ∈ G, so ist auch die Verkn¨
upfung a × b ∈ G.
2.) Assoziativit¨at: a × (b × c) = (a × b) × c = a × b × c
3.) Existenz eines neutralen Elements 1: a × 1 = 1 × a = a
4.) Existenz eines zu a inversen Elements a−1 : a × a−1 = a−1 × a = 1
6
Gilt zus¨atzlich a × b = b × a (Kommutativit¨
at), so spricht man einer kommutativen
oder auch abelschen Gruppe. Die Lorentzgruppe ist also:
O(3, 1) = {Λ ∈ Mat(4, R) : Λx, Λy
M
= x, y
M
∀ x, y ∈ R4 } .
Hierbei versteht man unter Mat(4, R) die rellen 4 × 4-Matrizen und •, •
bekannte Skalarprodukt im Minkowski-Raum:
M
ist das
x · y = gµν xµ xν = x20 − x21 − x22 − x23 .
Die Lorentzgruppe O(3,1) ist nicht kommutativ. Das heißt, dass es auf die Reihenfolge
der Transformationen durchaus ankommt.
Klassifikation der Lorentztransformationen
1.) Poincar´e-Transformation (inhomogene Lorentz-Transformation)
Diese werden aus den homogenen Lorentztransformationen (die, welche
wir zuvor besprochen haben) und den Translationen gebildet. Die Poincar´eTransformation eines Vierervektors im Minkowski-Raum besitzt die Form x α =
Λαβ xβ + aα . Diese Transformationen bilden die Poincar´
e-Gruppe.
2.) (Homogene) Lorentztransformation: x α = Λαβ xβ
Dabei handelt es sich um die zuvor besprochenen Transformationen, welche die
Lorentzgruppe bilden.
a.) Eigentliche (orthochrone) Lorentztransformation: det(Λ) = 1 (Λ00 ≥ 1, Erhaltung der Zeitrichtung“)
”
i.) Rotationen Λij = Rij , Λ00 = 1, Λi0 = Λ0i = 0
Dabei handelt es sich nat¨
urlich um die aus Theorie A bekannten Drehungen des dreidimensionalen Raumes. Rotationen wirken nur auf den
dreidimensionalen Anschauungsraum; die Zeit wird nicht transformiert.
ii.) Sogenannnte Boosts sind spezielle eigentliche Lorentztransformationen,
die keine Drehung enthalten. Es handelt sich dabei um Lorentztransformationen, die zwei Koordinatensysteme, welche sich mit einer Geschwindigkeit v relativ zueinander bewegen, transformieren.
Λij = δij + vi vj (γ − 1) ,
mit v :=
v
,
c
1
Λj 0 = Λ0j = γvj , mit Λ00 := γ = √
1 − v2
b.) Uneigentliche Lorentztransformation: det(Λ) = −1
7
i.) Raumspiegelung (Parit¨
atstransformation): Λ00 ≥ 1


1 0
0
0
0 −1 0
0

P=
0 0 −1 0 
0 0
0 −1
ii.) Zeitumkehr: Λ00

−1
0
T =
0
0
≤1
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0

0
1
Die Generatoren der Lorentzgruppe
Die Lorentzgruppe wird von sechs Erzeugenden (sogenannte Generatoren) aufgespannt.
Es handelt sich dabei um drei Generatoren Ji f¨
ur die r¨
aumlichen Drehungen und drei
Generatoren Ki f¨
ur die Boosts. Diese Generatoren sind Matrizen, die f¨
ur Ji wie folgt
aussehen:






0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 
0 0 0 1
0 0 −1 0






0 0 0 −1 , 0 0 0 0 , 0 1 0 0 .
0 0 1 0
0 −1 0 0
0 0 0 0
Weiterhin gelten f¨
ur diese Matrizen die folgenden sogenannten Vertauschungsrelationen (Kommutatorrelationen)
[Ji , Jj ] = εijk Jk ,
[Ki , Kj ] = −εijk Jk ,
wobei [•, •] f¨
ur zwei Matrizen A und B definiert ist durch
[A, B] := AB − BA .
Auf der rechten Seite wird u
¨ber k summiert. [A, B] heißt Kommutator und ist eine sehr
wichtige mathematische Verkn¨
upfung, die in der Quantenmechanik st¨
andig auftaucht.
Prinzipiell pr¨
uft man damit, ob zwei Operatoren miteinander vertauschen, also ob diese
kommutativ sind. Ist dies der Fall, verschwindet der Kommutator, was weitreichende
Folgen hat. Das kommt aber alles in Theorie D/E ;-)
Dass die Kommutatoren f¨
ur die Matrizen Ji bzw. Ki nicht verschwinden, sagt uns, dass
es auf die Reihenfolge der Drehungen bzw. Boosts ankommt. Diese darf man nicht so
8
einfach vertauschen. Beispielsweise gilt f¨
ur zwei Boosts K1 und K2 (entlang der x- bzw.
y-Achse):
[K1 , K2 ] = K1 K2 − K2 K1 = −ε12k Jk = −ε121 J1 − ε122 J2 − ε123 J3 =
= −0 · J1 − 0 · J2 − 1 · J3 = −J3
Wenden wir diesen Kommutator auf einen Vektor V an, so gilt:
[K1 , K2 ]V = K1 K2 V − K2 K1 V ⇔ K2 K1 V = K1 K2 V − [K1 , K2 ]V .
Multiplikation mit den inversen K2−1 K1−1 (und zwar in dieser Reihenfolge) f¨
uhrt auf:
K2−1 K1−1 K2 K1 V = K2−1 K1−1 K2 K1 V − K2−1 K1−1 [K1 , K2 ]V ,
K2−1 K1−1 K2 K1 V = V − K2−1 K1−1 [K1 , K2 ]V .
Es ist also erkennbar, dass K2−1 K1−1 K2 K1 = 1 gilt, sofern der Kommutator [K1 , K2 ] verschwindet. Wir k¨onnen also anstelle des Kommutators aus den Ausdruck K2−1 K1−1 K2 K1
¨
untersuchen, so wie es auf dem zehnten Ubungsblatt
in der letzten Aufgabe gemacht
werden sollte.
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