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K2 ¨UBUNGSBLATT 2 Aufgabe 1. Hier ein knappes Beispiel, wie

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K2 UBUNGSBLATT
2
F. LEMMERMEYER
Aufgabe 1. Hier ein knappes Beispiel, wie man einen Punkt P an einer Geraden
g spiegelt:
(1) Bestimme die Hilfsebene E durch P mit dem Richtungsvektor von g als
Normalenvektor.
(2) Schneide E mit g; der Schnittpunkt ist der Lotfußpunkt L von P auf g.
−→
−→
−→
(3) Bestimme den Spiegelpunkt P von P durch OP = OP + 2P L.
Behandle genauso:
(1) Gegeben ist eine Ebene E und ein nicht in E liegender Punkt P . Der
Spiegelpunkt von P an E ist P . Beschreiben Sie, wie man den Punkt P
bestimmen kann.
(2) Gegeben ist eine Ebene E und eine nicht in E liegende Gerade g, die zu E
parallel ist. Die an E gespiegelte Gerade sei g . Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung von g .
(3) Gegeben ist eine Ebene E und eine nicht zu E parallele Gerade g. Die an
E gespiegelte Gerade sei g . Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung
einer Gleichung von g .
(4) Gegeben ist eine Ebene E und eine nicht zu E parallele Gerade g. Die
Gerade g wird senkrecht auf E projiziert. Beschreiben Sie ein Verfahren
zur Bestimmung einer Gleichung der Bildgeraden.
(5) Gegeben sind zwei parallele Geraden g und h. Beschreiben Sie ein Verfahren, um die Gleichung der Geraden zu bestimmen, die genau zwischen g
und h liegt.
(6) Gegeben sind zwei sich schneidende Ebenen E und F . Beschreiben Sie ein
Verfahren, um die Gleichung einer der beiden Symmetrieebenen von E und
F zu bestimmen.
(7) Gegeben ist ein Dreieck ABC im Raum. Beschreiben Sie ein Verfahren, um
die Gleichung der Mittelsenkrechten von AB zu bestimmen.
(8) Sei A die Ecke eines W¨
urfels, und seien B, C, D die zu A benachbarten
Ecken. Der W¨
urfel soll so mit einer zu BCD parallelen Ebene geschnitten
werden, dass die abgeschnittene Pyramide mit Spitze A ein Volumen hat,
das 18 des Volumens des W¨
urfels besitzt. Beschreiben Sie ein Verfahren, um
eine Gleichung dieser Ebene zu bestimmen.
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F. LEMMERMEYER
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass die Funktion f (x) = aekx (diese beschreibt exponentielles Wachstum) der Differentialgleichung f (x) = kf (x) gen¨
ugt. Man sagt auch,
der Zuwachs sei proportional zum Bestand mit dem Proportionalit¨atsfaktor k.
Aufgabe 3. Der Zuwachs des Bestands B(t) ist proportional zum Bestand mit
dem Proportionalit¨
atsfaktor 0,02.
Stellen Sie eine Differentialgleichung f¨
ur B(t) auf.
Bestimmen Sie einen Funktionsterm f¨
ur B(t), wenn der Anfangsbestand B(0) = 32
ist.
Aufgabe 4. In einem Beh¨
alter mit Zu- und Abfluss befinden sich zu Beginn 300
Liter Wasser. Pro Minute fließen 12 Liter dazu, andererseits 2 % des aktuellen
Inhalts ab.
(1) Stellen Sie eine Differentialgleichung f¨
ur den Inhalt B(t) auf.
(2) Begr¨
unden Sie, warum mehr Wasser zu- als abfließt.
(3) Zeigen Sie, dass
B(t) = 600 − 300e−0,02t
eine L¨
osung dieser Differentialgleichung ist.
(4) Wieviel Wasser wird der Beh¨alter langfristig enthalten?
(5) Wieviel Wasser ist an einem Tag ausgelaufen?
In einem zweiten Beh¨
alter befinden sich zu Anfang ebenfalls 300 Liter Wasser. Hier
fließen pro Minute 10 Liter dazu und 4 % des aktuellen Inhalts ab.
(1) Stellen Sie eine Differentialgleichung f¨
ur den Inhalt B2 (t) auf.
(2) Bestimmen Sie einen Term f¨
ur B2 (t).
Aufgabe 5. Zeigen Sie, dass die Schaubilder von
f (x) = ex + e−x
bzw
g(x) = ex − e−x
symmetrisch bez¨
uglich der y-Achse bzw. bez¨
uglich des Ursprungs sind.
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Gesundheitswesen
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