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Hans Walser, [20120113] Drei Höhen Schülerfrage: Wie kann ein

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Hans Walser, [20120113]
Drei Höhen
Schülerfrage: Wie kann ein Dreieck konstruiert werden, von dem wir die drei Höhen
ha , hb , hc kennen? Wie lässt sich der Flächeninhalt berechnen?
Bearbeitung
Wegen a = 2F
ist:
, b = 2F
, c = 2F
h
h
h
a
b
c
a : b : c = h1 : h1 : h1
a
b
c
Damit ist das Dreieck bis auf Ähnlichkeit festgelegt. Dann strecken, bis die Höhen
stimmen.
Möglicher Konstruktionsweg
Wir konstruieren ein Dreieck mit den drei Höhen ha , hb , hc als Seiten. Dessen Höhen
hha , hhb , hhc verhalten sie wie die Kehrwerte von ha , hb , hc und somit gleich wie die
gesuchten Seiten a, b, c. Das Dreieck mit den drei Seiten hha , hhb , hhc ist also ähnlich
zum gesuchten Dreieck. Die absolute Größe finden wir durch Strecken mit dem Faktor
ha
hhh
. Hahaha. Die Abbildung illustriert den Gedankengang. Konstruktionsbeginn ist
a
das mittlere Bild in der oberen Reihe.
2/2
Hans Walser: Drei Höhen
Gedankengang
Flächeninhalt
Zunächst ist a = 2F
. Wir setzen dies in die Heronsche Formel
, b = 2F
, c = 2F
h
h
h
a
b
F = 14
( a + b + c ) ( a + b + c ) ( a b + c ) ( a + b c )
ein. Es ist dann:
(
F = 14
F = F2
1
F
=
2F
ha
(
1
ha
c
)(
)( + 2F
+ 2F
2F
+ 2F
+ 2F
hb
hc
ha
hb
hc
+ h1 + h1
b
c
1
ha
+ h1 + h1
b
c
)(
)(
1
ha
2F
ha
2F
+ 2F
hb
hc
h1 + h1
b
c
)(
)(
1
ha
2F
ha
+ 2F
2F
hb
hc
+ h1 h1
b
c
)
)
( ha hb +hb hc +hc ha )( ha hb +hb hc +hc ha )( ha hb hb hc +hc ha )( ha hb +hb hc hc ha )
ha2 hb2 hc2
Somit haben wir die Flächenformel:
F=
ha2 hb2 hc2
( ha hb +hb hc +hc ha )( ha hb +hb hc +hc ha )( ha hb hb hc +hc ha )( ha hb +hb hc hc ha )
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Kategorie
Gesundheitswesen
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