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Kreisprozesse und Wärmekraftmaschinen: Wie ein Gas - EducETH

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Kreisprozesse und Wärmekraftmaschinen:
Wie ein Gas Arbeit verrichtet
Unterrichtsmaterial
- schriftliche Informationen zu Gasen für Studierende
- Folien
Fach
Thermodynamik
Schultyp:
Fachhochschule
Vorkenntnisse:
Grundlagen der Thermodynamik,
Zustandsgleichung des idealen Gases,
Reversible Kreisprozesse (Grundlagen)
offen
Bearbeitungsdauer
Autor
Publiziert auf EducETH
Erhard Jürg Gass, Institut für
Energietechnik, ETH Zürich
August 2010
Vorspann:
Arbeitsfluids
Thermodynamische Arbeitsprozesse (Umwandlung von Wärme in Arbeit) sind an die
Existenz eines sogenannten Arbeitsfluids gebunden. Gemäss unserer persönlichen
Erfahrung erscheint uns ein Fluid (Gas oder Flüssigkeit) als etwas absolut
Homogenes. In der Realität besteht aber alle Materie aus kleinsten Teilchen, d.h.
Atomen oder Molekülen, die nicht mehr weiter unterteilt werden können. Nehmen wir
als Beispiel Wasser, welches aus zwei Wasserstoffatomen und einem
Sauerstoffatom besteht (siehe Fig. 1).
Fig. 1: Stark vergrösserte Darstellung von Wasser
Der Wärmeinhalt oder die innere Energie eines Stoffes wird durch den
Energiezustand der Moleküle bestimmt, welcher aus den folgenden Komponenten
besteht:
-
kinetische Bewegungsenergie der Moleküle (Translationsenergie)
potentielle Energie bedingt durch die gegenseitigen Anziehungs- resp.
Abstossungskräfte
innere Energie der Moleküle wie Rotation um die eigene Achse oder
Schwingungszustände der Moleküle selbst. Aus quantenmechanischen
Gründen hängt die Anregung der Rotations- und Vibrationszustände von der
Temperatur ab.
Ist die kinetische Bewegungsenergie kleiner als die potentielle Energie der
Anziehungskräfte, befinden sich alle Moleküle nahe beieinander und das Wasser
liegt in kondensierter d.h. flüssiger Form vor wie in Fig. 1 dargestellt. Versucht man
die Flüssigkeit weiter zusammen zu pressen, beginnen gegenseitige
Abstossungskräfte zu wirken.
Wird die Temperatur und damit auch die kinetische Bewegungsenergie verringert,
beginnen die Moleküle aneinander zu haften, wobei sie gegenseitig eine
vorgegebene Position einnehmen. Der Stoff kristallisiert, d.h. das Wasser wird zu Eis.
Das Wasser hat die spezielle Eigenschaft, dass das Volumen beim Gefrieren
zunimmt. (siehe Fig. 2)
Fig. 2: Wassermoleküle in gefrorener Form
Bei höherer Temperatur steigt die kinetische Energie und überwiegt die potentielle
Energie der Anziehung. Die Moleküle können sich aus dem Verbund der Flüssigkeit
lösen, das Wasser verdampft. Dabei werden die Molekülabstände sehr viel grösser
(siehe Fig. 3) und die Wechselwirkung zwischen den einzelnen Molekülen nimmt ab.
-8
1Å = 10 cm
Fig. 3: Wasser dampfförmig
Ein Gas übt in einem Behälter einen Druck auf die Wände aus. Mit dem hier
vorgestellten Molekül-Modell der Gase können wir nun den Druck als die Summe
aller Stösse, die zwischen den einzelnen Molekülen und der Gefässwand stattfinden,
definieren. Wenn mehr Moleküle im Gefäss sind, werden die Stösse häufiger, der
Druck nimmt zu. Haben die Moleküle eine grössere kinetische Energie (höhere
Temperatur) werden die Stösse heftiger und der Druck nimmt ebenfalls zu. (siehe
Fig. 4).
Bewegt sich der Kolbenboden gegen das Gas (Kompression), ist die kinetische
Energie nach dem Stoss grösser als vorher, d.h. ein Gas wird bei Kompression
erwärmt. Bewegt sich der Kolben nach aussen (Druckverminderung) kühlt sich das
Gas entsprechend ab. Der sich nach aussen bewegende Kolben gibt dabei Arbeit
ab, auf dieser Modellvorstellung beruht die Umwandlung von Wärme in Arbeit.
Fig. 4: Entstehung des Druckes durch Stösse
Das Modell des idealen Gases
Ist der gegenseitige Abstand der Moleküle gross genug, ist die potentielle Energie
der Anziehungskräfte vernachlässigbar. Das Modell des idealen Gases beschreibt
also ein Gas, bei dem es keine Wechselwirkung (ausser Abstossung bei direkten
Zusammenstössen) zwischen den Molekülen gibt.
Da der Druck einerseits direkt proportional zur kinetischen Translationsenergie der
Moleküle und damit proportional zur Temperatur des Gases ist und andererseits
auch proportional zur Teilchendichte lässt sich die Zustandgleichung für 1 Mol ideale
Gase schreiben als
p T
v
p v = R T
mit der universellen Gaskonstante R als Proportionalitätskonstante
(R = 8.314 J/mol.K), welche experimentell bestimmt werden muss und natürlich
durch die Wahl der Temperaturskala beeinflusst wird. Für eine beliebige Gasmenge
von n Molen lautet die Zustandsgleichung
Das ideale Verhalten von Gasen (keine zwischenmolekularen Kräfte) bringt auch
Vereinfachungen für die innere Energie und die Enthalpie. Wie später hergeleitet
wird, hängen beide nur noch von der Temperatur ab. (der Term p.V in der Enthalpie
kann durch R.T ersetzt werden). Das ideale Gasmodell kann deshalb wie folgt
zusammengefasst werden:
Wir können nun die Zusammenhänge zwischen innerer Energie, Enthalpie und den
spezifischen Wärmen im Falle des idealen Gases näher spezifizieren. Da die
innere Energie nur von T abhängt, ist deren Ableitung nach der Temperatur ein
totales Differential und damit ist (analog zu der Betrachtung der inkompressiblen
Fluids) auch cv nur eine Funktion der Temperatur:
Die Integration der obigen Gleichung (durch Separation der Variablen) ergibt:
Analoges gilt für die Enthalpie, welche ebenfalls nur eine Funktion der Temperatur
ist:
Nun gilt aber wegen dem idealen Gasgesetz:
In Bezug auf die spezifischen Wärmekapazitäten haben wir also die folgende
Beziehung gefunden (pro Gewichtseinheit resp. pro Mol):
d.h.
Wir können nun darauf basierend einige nützliche Beziehungen zum Verhältnis der
spezifischen Wärmen herleiten:
Diese Gleichungen können nun nach cv resp. cp aufgelöst werden:
Wärmekapazitäten sind stoffabhängige Grössen und müssen experimentell bestimmt
werden. Sie sind erhältlich in Form von Tabellen, Gleichungen (Polynomen) oder
Diagrammen (siehe Fig. 5).
Die spezifischen Wärmen hängen ab von der Anzahl Freiheitsgrade f, die zur
Gesamtenergie eines Moleküls beitragen. Die statistische Mechanik liefert uns:
Edelgase wie Ar, Ne oder He sind einatomig, sie verhalten sich annähernd wie ideale
Massenpunkte. Diese kennen nur die drei Freiheitsgrade der Translationsenergie in
den drei Dimensionen. Die spezifische Wärme ist unabhängig von der Temperatur.
Wir nennen dies ein perfektes Gas.
Fig. 5: Spezifische Wärmen für verschiedene Gase in Funktion der Temperatur
Zweiatomige Gase (wie z.B. N2 oder O2 der Luft) können zusätzlich um zwei Achsen
rotieren. (Rotation um die Längsachse ist aus quantenmechanischen Gründen nie
angeregt). Diese zwei Freiheitsgrade sind üblicherweise bei Umgebungstemperatur
angeregt. Wir finden also cp = 7/2 = 3,5. Bei höheren Temperaturen wird dann
zusätzlich eine Schwingung des Moleküls angeregt (vibratorischer Freiheitsgrad).
Für drei- und mehratomige Moleküle sind die möglichen Schwingungszustände
vielfältig und die cp-Werte entsprechend höher.
Da sich die cp-Werte mit der Temperatur nur langsam ändern, können 2-atomige
Gase in einem eingeschränkten Temperaturbereich angenähert mit einem
konstanten cp entsprechend 5 Freiheitsgraden beschrieben werden, also cv = 5/2.R
und cp = 7/2.R. In Bezug auf diesen eingeschränkten Temperaturbereich kann man
als Näherung von einem 2-atomigen perfekten Gas sprechen.
Sobald die gegenseitigen Anziehungskräfte nicht mehr vernachlässigbar sind, ist das
Modell idealer Gase nicht mehr anwendbar. Dies betrifft alle Fluids, die in Prozessen
mit Phasenübergängen (Verdampfung, Kondensation) eingesetzt werden. Das
Wasser ist von besonderer technischer Bedeutung, denn das Wassermolekül besitzt
starke elektrische Dipolmomente und befindet sich bei Umgebungsbedingungen im
Zweiphasengebiet (Gleichgewicht zwischen flüssigen und dampfförmigen Anteilen).
Ebenfalls zu erwähnen sind alle in Kältemaschinen eingesetzten Fluids.
Für reale Gase kann eine Zustandsgleichung auf der Basis der idealen Gase
aufgebaut werden.
Der Realgasfaktor Z beschreibt die Abweichungen vom idealen Gas und ist eine
Funktion von Druck und Temperatur. In der Nähe des kritischen Punktes, wo
Kondensation einsetzt, ist er wesentlich kleiner als 1, für sehr hohe Dichten, wo die
gegenseitige Abstossung der Moleküle wirksam ist, ist er grösser als 1. Fig. 6 zeigt
den Realgasfaktor für eine Anzahl von Stoffen, wobei für die Darstellung die kritische
Temperatur und der kritische Druck auf 1 normiert wurden.
Die spezifischen Wärmen cv und cp sind Funktionen von Druck und Temperatur.
Zahlenwerte für die Zustandsfunktionen U, H und S müssen entsprechenden
Tabellen entnommen werden. Man kann diese nicht über ein Modell berechnen.
Es gibt auch viele andere Formen von Zustandsgleichungen für reale Gase wie z.B.
die Van der Waals Gleichung.
Fig. 6: Realgasfaktor für verschiedene Substanzen
Kreisprozesse und 1. Hauptsatz
Für ein geschlossenes System, (wo keine Massenflüsse über die Systemgrenzen
stattfinden) lautet der 1. Hauptsatz der Thermodynamik vereinfacht:
Wobei die zugeführte Wärme Q und die Abgeführte Arbeit A positiv gerechnet
werden. Zur Vereinfachung werden sowohl die potentielle Energie im Gravitationsfeld
als auch die kinetische Energie der Strömung vernachlässigt (letzteres z.B. bei
Strahltriebwerken nicht gültig). In Worten ausgedrückt besagt der 1. Hauptsatz, dass
die innere Energie eines Systems sowohl durch den Austausch von Wärme als auch
Arbeit verändert werden kann.
Betrachten wir nun einen Kreisprozess von einem Zustand 1 über einen Weg a zu
einem Zustand 2 und wieder zurück zum Zustand 1 über einen Weg b (siehe Fig. 7).
1
2
Fig. 7: Grundprinzip eines Kreisprozesses
Die innere Energie ist eine Zustandsfunktion, d.h. wenn z.B. p und T im Zustand 1
bestimmt sind, gilt dies auch für U, deshalb gilt:
Für die beiden Teilprozesse schreibt sich der 1. Hauptsatz wie folgt:
Damit erhalten wir für den Kreisprozess:
Da Wärme Q und Arbeit A keine Zustandsfunktionen sind, sondern Grössen die vom
Weg abhängen, sind die beiden Seiten der obigen Gleichung nicht 0 und somit kann
Wärme in Arbeit umgewandelt werden (oder umgekehrt).
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Gesundheitswesen
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