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1. Übungsblatt - UK Asymptotische Statistik WS 2014, 14.10.2014 1

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1. Übungsblatt - UK Asymptotische Statistik WS 2014, 14.10.2014
1. Es seien Xn , n ≥ 1, und X Zufallsvektoren mit Werten im Rk . Sei g : Rk → Rl
eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass folgende Implikationen gelten:
d
d
p
p
a.s.
a.s.
(a) Xn −→ X =⇒ g(Xn ) −→ g(X),
(b) Xn −→ X =⇒ g(Xn ) −→ g(X),
(c) Xn −→ X =⇒ g(Xn ) −→ g(X).
Hinweis: Verwenden Sie Proposition 0.2 um (a) zu beweisen. Beweisen Sie
(b) auf zwei verschiedene Arten: einmal direkt unter Verwendung der Definition der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, und einmal durch Zurückführen
auf (c) mittels eines Teilfolgenarguments.
2. Seien Xn , n ≥ 1, und Yn , n ≥ 1, Folgen von Zufallsvektoren mit Werten im
p
d
Rk und c ein Vektor im Rk mit Xn −→ X und Yn −→ c.
d
(a) Zeigen Sie, dass Xn + Yn −→ X + c.
d
p
d
(b) Zeigen Sie, dass aus Xn −→ X und Yn − Xn −→ 0 folgt, dass Yn −→ X.
d
(c) Zeigen Sie, dass Yn Xn −→ c X.
d
(d) Falls k = 1 und c = 0 zeigen Sie, dass Yn−1 Xn −→ c−1 X.
3. Berechnen Sie die charakteristischen Funktionen der folgenden Zufallsvektoren:
(a) X ∼ N (0, Ik ), wobei 0 ∈ Rk ,
(b) X ∼ N (µ, Ik ), wobei µ ∈ Rk ,
(c) X ∼ N (µ, Σ), wobei µ ∈ Rk und Σ eine positiv definite VarianzKovarianzmatrix ist.
Bem: Die charakteristische
Funktion einer univariat standardnormalverteilt2
ten Zufallsgröße ist e− 2 .
4. Es seien Xn , n ≥ 1, und T Zufallsvektoren mit Werten im Rk , so dass
√
d
nXn −→ T . Weiters sei R : Rk → Rl mit R(0) = 0 und R(h)
→ 0 für
h
√
p
h → 0 und h = 0. Zeigen Sie, dass
nR(Xn ) −→ 0 gilt.
Hinweis: Verwenden Sie die Funktion g(h) =
R(h)
h
für h = 0 und g(0) = 0.
5. (a) Sei X eine reellwertige Zufallsvariable. Dann gilt: Für jedes ε > 0 gibt
es ein M = M (ε) ∈ R so dass P (|X| > M ) < ε.
d
(b) Sei Xn eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen mit Xn −→ X.
Dann gilt: Für jedes ε > 0 gibt es ein M = M (ε) ∈ R so dass
sup P (|Xn | > M ) < ε
(1)
n∈N
gilt.
(c) Erweitern Sie (b) auf Zufallsvektoren.
Bem.: Eine Folge von Zufallsvariablen Xn welche (1) erfüllt heißt stochastisch beschränkt. Nun besagt (b), dass jede verteilungskonvergente Folge Xn
stochastisch beschränkt ist.
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