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Kapitel 3: Dynamik - Server der Fachgruppe Physik der RWTH Aachen

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III. Dynamik
Bis jetzt haben wir verschiedene Bewegungen kennengelernt und gezeigt, wie man über
Integration und Differentation aus gegebenen Randbedingungen Ort, Geschwindigkeit und
Beschleunigung als Funktion der Zeit berechnet.
Bei der Betrachtung der gradlinigen Bewegung haben wir Versuche, z.b. mit der
Luftkissenbahn, durchgeführt, bei denen wir einen Körper mit einer festen Geschwindigkeit
losgelassen haben. Wir gingen davon aus, dass der Körper danach dieselbe Geschwindigkeit
beibehält. Im Folgenden müssen wir aber untersuchen, ob und wodurch diese Annahme haltbar
war. Dafür betrachten wir die Ursachen von Bewegungen im Allgemeinen.
Der Bereich der Physik, der sich mit den Ursachen der Bewegung beschäftigt, heißt Dynamik.
Auch in diesem Bereich der Physik waren Aristoteles und Galilei zwei Naturwissenschaftler,
deren Vorstellungen viele Jahrhunderte die gültige Lehrmeinung bestimmten.
Aristoteles ging davon aus, dass jedem Körper eine Bewegungskraft eingeprägt ist. Bis diese
Kraft aufgebraucht, ist, bewegt der Körper sich gradlinig gleichförmig. Mit dieser Theorie
untersuchte man im 16.Jahrhundert den schiefen Wurf und errechnete richtig, dass die optimale
Wurfweite bei einem Winkel von 45° erreicht wird. Dieses Ergebnis ist insofern
beeindruckend, als die dahinterstehende Theorie grundlegend falsch war.
Den Beweis dafür lieferte Galilei, der beobachtete, dass die Bewegung von rollenden Kugeln
auf unterschiedlichen Oberflächen beispielsweise nicht durch nur eine innewohnende,
eingeprägte Kraft beeinflußt sein kann, da eine Kugel umso weiter rollt, je glatter die
horizontale Oberfläche ist.
Sir Isaac Newton, Professor in Cambridge und London, heute als einer der Gründer der
klassischen Physik bekannt, untersuchte den Ansatz Galileis weiter und entwickelte daraus drei
Axiome. Diese sollen im Folgenden näher untersucht werden.
III.1 Trägheitsgesetz oder „1.Newtonsches Axiom“
Das erste Axiom, das Newton aufstellte, beschreibt den Bewegungszustand eines Körpers, auf
den keine äußere Kraft einwirkt. Newton formulierte:
1.Newtonsches Gesetz:
Ein Körper verharrt solange in Ruhe oder
gradlinig gleichförmiger Bewegung,
solange keine äußere Kraft auf ihn einwirkt.
Seite 33
III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
Dieses Prinzip haben wir bereits bei den Versuchen mit der Luftkissenbahn beobachtet und bei
der Deutung der Beobachtung angewandt.
Später wird das Gesetz exakter formuliert mit Einführung des Begriffs „resultierende äußere
Kräfte“. Es ist bereits aus der Anschauung klar, dass ein Körper, auf den an beiden Seiten
dieselbe Kraft entgegengesetzt angreift, in Ruhe bleibt. Als Beispiel sei das Tauziehen mit zwei
gleich starken Gruppen erwähnt.
Das erste Newtonsche Gesetz läßt sich umformuliert auch schreiben als:
Merke: Die Ursache jeder Bewegung ist eine äußere Kraft.
Aufgabe der Dynamik, die sich wie erwähnt mit der Ursache von Bewegungen beschäftigt, ist
es also, die verschiedenen Arten von Kräften und die daraus resultierenden Bewegungen zu
untersuchen und zu beschreiben.
III.2 Kräfte
Zunächst sollen Kräfte phänomenologisch, also durch Beobachten der hervorrufenden
Bewegungen, beschrieben werden. Einige Wirkungen, die Kräfte hervorrufen, sind schon aus
dem Alltag bekannt: Verformungen, Auslenkungen von Federn oder Gummibändern.
Bei Federn ist leicht zu beobachten, dass gleiche Kräfte dieselbe Auslenkung hervorrufen.
Allgemein kann man beobachten:
Definition III.1: Zwei Kräfte sind gleich, wenn sie die gleiche Wirkung hervorrufen.
Dieses Prinzip kann man sich zunutze machen, indem man Federn zum Vergleich von Kräften
einsetzt. Federn besitzen nebenbei noch die Eigenschaft, dass sie in einem bestimmten
Auslenkungsbereich, dem sogenannten elastischen Bereich, wieder in die Ausgangslage
zurückkehren, wenn die Kraft nicht mehr wirkt. So kann man mit derselben Feder Kräfte
quantitativ vergleichen. Dieses Prinzip nutzt die Federwaage.
Seite 34
III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
Versuch III.1: Federwaage
Bei diesem Versuch
sollen
die
untersucht
Kräfte
werden,
die entstehen, wenn
verschiedene Körper
an eine senkrecht zur
Erde
hängend
befestigte
Feder
angehängt
werden.
Die Körper werden
durch die Gravitation
Abbildung III.1: Federwaage
der Erde angezogen.
Notation III.1: Die
Kraft F, mit der ein Körper von der Erde angezogen,
wird nennen wir sein Gewicht G.
Beim Freien Fall haben wir bereits die Kraft kennengelernt, mit der die fallende Kugel
angezogen wurde. Damals haben wird die Richtung des Falls, hier die y-Koordinate, durch
einen Vektor ausgedrückt. Auch bei anderen Kräften muss die Richtung, in die sie wirken,
beachtet werden, z.b. beim Tauziehen. Es macht eindeutig einen Unterschied, ob beide
Mannschaften in dieselbe Richtung oder entgegengesetzt ziehen. Die Kraft muss als vektorielle
Größe eingeführt werden. Aus der Notation III.1 folgt also:

Merke: Bei der Federwaage gilt: F =.
Der Versuch zeigt, dass verschiedene Körper verschiedene Auslenkungen hervorrufen. Die den
Körpern offensichtlich innewohnende Eigenschaft, welche eine unterschiedliche Auslenkung
der Feder bewirkt, nennen wir seine schwere Masse m:
Notation III.2: Die Eigenschaft eines Körpers, welche für sein Gewicht
verantwortlich ist, nennt man die schwere Masse ms.
Seite 35
III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
Für den nächsten Versuchsteil nehmen wir mehrere identische Körper. Um zu prüfen, ob die
Körper wirklich das gleiche Gewicht haben, hängen wir sie nacheinander an die Feder und
überprüfen, ob sie dieselbe Auslenkung hervorrufen. Nach dem in Kapitel III.2 Erarbeiteten
sind die Kräfte, also die Gewichte, dann gleich. Nachdem auf diese Weise Körper mit dem
gleichen Gewicht gefunden wurden, beginnt die eigentliche Messung:
Zunächst wird ein Körper mit dem Gewicht G an die Feder gehängt. Wir beobachten die
Verformung der Feder und erhalten damit ein Maß für das Gewicht und die schwere Masse des
Körpers. Danach hängen wir ein weiteres Gewicht an und können die doppelte Kraft 2G
messen. Offensichtlich ist also das Gewicht G proportional zu der schweren Masse ms.
Folgerung I: Das Gewicht ist proportional zur schweren Masse
G ∼ ms .
Jetzt kann man die Auslenkung der Feder messen mit einer verschiedenen Anzahl von
angehängten Körpern desselben Gewichts. Der Versuch zeigt, dass die Auslenkung sich
verdoppelt, hängt man zum ersten einen zweite Körper, und so fort.
Folgerung II: Die Auslenkung x ist proportional zum Gewicht der angehängten Körper
G ∼ x.
Aus Folgerung I und II erkennt man sofort:
Folgerung III: Aus G ∼ ms und G ∼ x folgt:
G ∼ x ∼ ms
Mit diesen Proportionalitäten lassen sich nun Kräfte quantitativ messen, vergleichen und
addieren.
III.3 Die träge Masse
Die Erfahrung zeigt uns, dass Körper mit einer schweren Masse sich einer Beschleunigung
widersetzen. Ein bekanntes Beispiel ist ein Körper, der plötzlich losgelassen wird und einen
freien Fall ausführt. In abgemilderter Version erlebt man diese Trägheit z.b. auf schnellen
Achterbahnen oder in Fahrstühlen.
Auch bekannt ist die Tatsache, dass Körper mit größerer Masse schwerer zu beschleunigen sind
als leichtere, hier sei als Beispiel nur die Erfahrung genannt, mit einem überladenen Auto
anzufahren oder zu bremsen.
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III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
Versuch III.2: Kordel reißt
Diese Eigenschaft von Körpern wollen wir im nächsten Experiment
zeigen. Hierzu wird eine Kugel mit großer Masse an einen dünnen
Faden gehängt. Am unteren Ende der Kugel befestigen wir eine dickere
Schnur mit Griff. Zunächst wird langsam am Griff gezogen. Über die
Schnur wird die Kugel langsam beschleunigt. Der obere Faden wird
gespannt, bis er schließlich reißt. Ein neuer Faden wird eingefügt und
nun wird ruckartig, also möglichst schnell, am Griff gezogen. Die große
Beschleunigung wird über die Schnur auf die Kugel übertragen.
Aufgrund ihrer Trägheit, widersetzt die Kugel sich der Beschleunigung
und folgt der Bewegung nicht. Jetzt muss die untere Schnur die
Beschleunigung auffangen, sie reißt.
Abbildung III.2: Kordel reißt
Notation III.3: Wir nennen die Eigenschaft eines Körpers, aufgrund deren er sich der
Beschleunigung widersetzt, seine träge Masse mt.
III.4 Grundgesetz der Mechanik oder „2. Newtonsches Axiom“
Bisher haben wir vier wichtige physikalische Größen der Dynamik kennengelernt:
1. Die Beschleunigung: Die Beschleunigung ist invariant gegenüber einem Wechsel des
Inertialsystems, jeder Körper mit schwerer Masse widersetzt sich der Beschleunigung.
2. Die Ursache jeder Beschleunigung ist eine Kraft
3. Der Körper widersetzt sich einer Beschleunigung aufgrund seiner trägen Masse.
4. Eine Form der Kraft ist das Gewicht. Die Eigenschaft eines Körpers, welche für sein
Gewicht verantwortlich ist, nennt man die schwere Masse.
Im Folgenden soll anhand einiger Versuche der Zusammenhang dieser vier Größen ermittelt
werden.
Seite 37
III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
Versuch III.3: Atwood’sche Fallmaschine
Bei diesem Versuch werden zwei gleiche Massen M mit einem Seil,
welches über eine Umlenkrolle gehängt ist, miteinander verbunden.
Dadurch wird auf jeder Seite eine Kraft realisiert, das Gewicht der
Massen. Beide Massen befinden sich im Gleichgewicht, die
M
M
mr
Resultierende der Kräfte ist null. An beiden Seiten kann eine weitere
Masse ml und mr befestigt werden. Diese Massen werden so gewählt,
dass kein Gleichgewicht mehr herrscht. Auf der Seite mit der größeren
ml
Masse wirkt nun eine größere Kraft als auf der anderen, und die Masse
wird nach unten beschleunigt. In unserem Versuch wählen wir immer
mr > ml . Auf der rechten Seite können wir dann mittels einer Lichtschranke die Fallzeit
errechnen, die M + mr brauchen, um von der Erde beschleunigt einen Meter zurückzulegen.
x=
Über die bekannte Beziehung für den Freien Fall
1 2
at
2
kann bei gleichzeitiger Messung der Fallzeit t die Beschleunigung errechnet werden.
Betrachten wir die Kräfte, die bei diesem Versuch wirken:

Die beschleunigende Kraft ist G ∼ Masse, die in diese Richtung beschleunigt wird. Auf der
linken Seite ist diese Masse M + ml , sie wird in positiver y-Richtung beschleunigt. Die Summe
der rechten Massen M + mr wird in negativer Richtung beschleunigt. Als resultierende Kraft
G = Gr - Gl ∼ (M + mr) - (M + ml) = mr - ml .
folgt:
Diese Kräfte beschleunigen alle Massen, die an dem Seil befestigt sind, also die Gesamtmasse
M’ = M + mr + M + ml.
Diese Masse widersetzt sich der Beschleunigung. Eigentlich müßte noch ein Korrekturfaktor
angebracht werden wegen des Seils und der Umlenkrolle, um die Proportionalität zu zeigen soll
diese Näherung jedoch genügen.
Gemessen
wurde
die
Fallzeit
für
einen
Meter
Fallstrecke
bei
verschiedenen
Gewichtskonstellationen.
Die Computerauswertung zeigt graphisch, dass die errechnete Beschleunigung umgekehrt
proportional zu der Gesamtmasse M’, als zur gesamten trägen Masse ist. a ∼ 1/M’.
Folgerung I: Die Beschleunigung ist umgekehrt proportional zu der Gesamtmasse M’
a ∼ 1/M’.
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III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
In
einem
Versuchsteil
zweiten
mit
der
Luftkissenbahn konnte die
Fallstrecke
gemessen
werden bei verschiedenen
Massen m1 und m2. Die
größere Masse m1 ist bei
Abbildung III.3: Nachweis des 2.NG
dieser Versuchsanordnung
als Reiter auf der Schiene befestigt, eine kleinere Masse m2 erzeugt eine Gewichtskraft. Da die
Massen mit einem Faden verbunden sind, ist auch hier die beschleunigte Masse gleich der
Gesamtmasse. Gemessen wird die Zeit, die der Reiter braucht, um einen Meter zurückzulegen,
nachdem die kleine Masse fallen gelassen wird. Über die Beziehung x = ½ at2 kann a
rechnerisch bestimmt werden.
Auf die Masse m2 wirkt die Kraft G = m2g, beschleunigt werden die Massen (m1 + m2).
Umgeformt kann man diese Beziehung zur Bestimmung der Erdbeschleunigung g nutzen.
Die Messung mit verschiedenen Massen zeigte, dass
a∼
m1
m1 + m 2
ist.
Mit dem Ergebnis der Folgerung I: a ∼ (1/M’) läßt sich daraus folgern, dass die Beschleunigung
direkt proportional zur beschleunigenden Kraft G ist. a ∼ G
Folgerung II: Die Beschleunigung ist direkt proportional zur beschleunigenden Kraft G
a ∼ G.
Aus beiden Ergebnissen folgert direkt:
Folgerung III: Aus a ∼ G und a ∼ 1/M’ folgt: G ∼ M’ a.
Die Proportionalitätskonstante zwischen der Kraft, wir bezeichnen sie wieder allgemeiner mit
F, und dem Produkt aus träger Masse und Beschleunigung ist frei, da wir bisher nur über die
Einheit von Masse und Beschleunigung verfügt haben. Wir können sie daher gleich eins setzen.
Dann gilt:
2. Newtonsches Gesetz: Kraft ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung


F = m⋅a
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III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
Einheitenbetrachtung:
Die Beschleunigung hat die Einheit [a] = 1 m s-2, die Masse ist eine Basiseinheit im SI mit
[m] = kg. Es gilt [a • m] = [a] • [m] = 1 kg m s-2.
Notation III.5: Die Einheit der Kraft wird mit 1 Newton bezeichnet.

[ F ] = 1 N = 1 kg m s-2
Definition III.1: 1 Newton ist die Kraft, die 1 Kilogramm auf 1 m s-2 beschleunigt.
III.5 Schwere und träge Masse
Versuche
an
verschiedenen
Orten
der
Erde
zeigen,
dass
die
oben
bestimmte
Proportionalitätskonstante g in G = mg zwar nicht überall denselben Wert hat, an einem festen
Ort jedoch gilt strenge Proportionalität.
Letzteren Umstand machen wir uns zunutze, um mit dem Freien Fall das Verhältnis von
schwerer und träger Masse zu bestimmen. Hierzu betrachten wir einen Körper, auf dessen
schwere Masse die Kraft G = msg wirkt. Nun lassen wir den Körper fallen und betrachten die
träge Masse und deren Beschleunigung, die, wie oben gezeigt, durch Messung der Fallzeit
bestimmt werden kann, F = mta. Da aber G = F ist, gilt:
msg = msa
und damit
a=
ms
g.
mt
Versuche mit verschiedenen Körpern zeigen, dass a konstant ist. Aus der Tatsache, dass alle
Körper dieselbe Fallbeschleunigung erfahren, kann also gefolgert werden, dass träge und
schwere Masse einander proportional sind. Da wir bisher nur die Einheit der trägen Masse
definiert haben, können wir die Proportionalitätskonstante ebenfalls gleich eins setzen.
Merke: Die schwere Masse eines Körpers ist gleich seiner trägen Masse:
ms = mt
Merke: Die Einheit der trägen und der schweren Masse ist das Kilogramm:
[ms] = [mt] = kg.
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III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
Um
die
versuchten
Jahrhundertwende
Forscher,
mit
Präzessionsexperimenten
nach-
zuweisen, dass doch eine winzige
Abweichung zwischen den beiden
Massen eines Körpers besteht.
Eötvös,
Pekar
untersuchten
und
mit
Fekete
einer
Drehwaage die Wirkung von
Schwerkraft und Fliehkraft auf
verschiedene Materialien. Hier-zu
wird ein Körper an einem Faden
aufgehängt. Auf ihn wirkt so die


Kraft G = ms g in Richtung des
Erdmittelpunkts. Zugleich wirkt

Abbildung III.4: Versuchsprinzip der Eötvös’schen Drehwaage
aber auch die Fliehkraft F =
mt a z , die durch die Erddrehung
hervorgerufen wird. Da g und a z nicht in dieselbe Richtung weisen, stellt sich ein Winkel ein.
Sind die beiden Massen nicht gleich, müßte dieser Winkel sind ändern, wenn das Experiment
mit verschiedenen Körpern ausgeführt wird. Messungen ergaben jedoch eine Abweichung des
Winkels von weniger als 10-8 m.
Damit war also bewiesen, dass das Verhältnis von träger zu schwerer Masse bis auf einen
Faktor von 10-8 genau gleich eins ist. Tabelle III.1 zeigt die Messung für verschiedene
Materialien:
Seite 41
III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
Material
Änderung des Winkels ms - mt / <m>
Magnalium
+ 0,004 • 10-6 ± 0,001 • 10-6
Schlangenholz
- 0,004 • 10-6 ± 0,002 • 10-6
Kupfer
+ 0,004 • 10-6 ± 0,002 • 10-6
Wasser
- 0,006 • 10-6 ± 0,003 • 10-6
Kristall, Kupfersulfat
- 0,001 • 10-6 ± 0,003 • 10-6
Kupfersulfatlösung
- 0,003 • 10-6 ± 0,003 • 10-6
Asbest
+ 0,001 • 10-6 ± 0,003 • 10-6
Talg
- 0,002 • 10-6 ± 0,003 • 10-6
Tabelle III.1: Messungen mit der Drehwaage für verschiedene Materialien
Abbildung III.5: Massenabweichung bei verschiedenen Materialien
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III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
Eine Reanalyse der Daten wurde 1985/86 von Fischbach und anderen Wissenschaftlern
durchgeführt. Sie behaupteten, nachgewiesen zu haben, dass das Verhältnis von träger zu
schwerer Masse von der Zahl der Neutronen und Protonen, den sogenannten Baryonen, zu der
Atommasse abhängt. Diese Sensation währte jedoch nur wenige Wochen, bis man Fischbach
einen Vorzeichenfehler in seiner Berechnung nachweisen konnte.
Seit dem ersten Experiment mit der Eötvös’schen Drehwaage wurde die Messung immer
exakter wiederholt. Mithilfe von Bohrlöchern und Satelliten oder über den Freien Fall mit
Präzesionszeitmessungen
konnte
die
Proportionalität
der
beiden
Massen
und
die
Gravitationskonstante inzwischen auf ± 5 • 10-10 genau bestimmt werden.
III.6 Bestimmung der Erdbeschleunigung g mit Hilfe des 2. Newtonschen Axioms.
Das zweite von Newton formulierte Axiom läßt sich nutzen, um die drei darin enthaltenen


Grundgrößen näher zu untersuchen. Die Gleichung F = m ⋅ a lässt sich auf drei Weisen lesen:
1. Als Definitionsgleichung für m. Diese Interpretation haben wir bei der Bestimmung von
träger Masse beim Freien Fall genutzt: Wenn bekannt ist, welche Kraft F auf einen Körper
wirkt, und die daraus resuliertende Bewegung gemessen werden kann, kann mit dem 2.
Newtonschen Axiom die Masse m berechnet werden, die der Körper haben muss. In unserem
Beispiel kannten wir die Gewichtskraft G und konnten mit Kenntnis der Fallstrecke und
Messen der Fallzeit die Beschleunigung errechnen.
2. Als Definitionsgrundlage für F. Bei dieser Interpretation muss die Masse m des Körpers
bekannt sein. Beobachtet und misst man dann eine Bewegung, und kann man die
Beschleunigung des Körpers ermitteln, so läßt sich über das 2. Newtonsche Axiom die
resultierende der äußeren Kräfte berechnen, die auf den Körper gewirkt haben müssen. Mit
dieser Methode kann man z.b. die Anziehungskraft auf verschiedenen Planeten, oder die
Reibung von Autoreifen bestimmen. Dieses Prinzip heißt Kinematische Methode.
3. Als Definitionsgrundlage für a. Bei dieser dritten Interpretation geht man davon aus, dass
man die Masse eines Körpers und die auf ihn wirkenden Kräfte kennt. Dann kann man die
Beschleunigung errechnen, die der Körper erfährt. Diese Dynamische Methode kann genutzt
werden, um nach Messung der Bewegung die Beschleunigung zu bestimmen, in unserem
Beispiel die Erdbeschleunigung, oder um eine Bewegung vorauszusagen. Hierfür kann über die
Integration der errechneten Beschleunigung mit Kenntnis der Randparameter der Ort zu jeder
Zeit berechnet werden.
Wir wollen im Folgenden über das 2. Newtonsche Axiom die Erdbeschleunigung g bestimmen:
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III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
Versuch III.4: g-Bestimmung
Für diesen Versuch verwenden wir wieder die Luftkissenbahn als schiefe Ebene. Zwei
Lichtschranken messen die Zeitabstände, in denen die Reiter bekannte Strecken x durchlaufen.
Wie bereits in Kapitel II.4.3 hergeleitet, gilt für die Beschleunigungskomponente längs der
schiefe Ebene ax = g sinα, wenn die schiefe Ebene einen Winkel α mit der Erdoberfläche bildet.
Dies kann jetzt mit Hilfe des 2. Newtonschen Axioms auch über eine Betrachtung der
wirkenden Kräfte bestätigt werden:
In Richtung des x-Achse wirkt die Kraft, nach


Newton zu schreiben mit
F = ma .
y
Für die x-Komponenten gilt dann

F
Fx = max.
Die Vektorzerlegung gibt den Teil des Vektors
x
α 
G
α

G an, der in x-Richtung liegt
Fx = G sin α .
Also gilt:
G sin α = ma x .
Mit G = mg folgt
mg sinα = ma,
und daraus direkt:
g sinα = a.
Dieses Ergebnis können wir auf zwei Aspekte untersuchen:
1. Beschleunigung a und Erdbeschleunigung g sind unabhängig von der Masse des Körpers.
Um diese Aussage zu verifizieren, werden verschieden schwere Reiter auf die Luftkissenbahn
gesetzt und deren Beschleunigung gemessen. Die Zeitabstände, in denen die verschiedenen
Reiter die Lichtschranken passieren, sind gleich für alle unterschiedlich schweren Reiter. Die
Tatsache, dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse gleich schnell fallen, hatten wir schon
beim Freien Fall verifiziert.
2.Die Erdbeschleunigung g läßt sich durch Messung der Beschleunigung bestimmen. Über die
Zeit, in der die Körper die Strecke x zurücklegen läßt sich, wie bekannt, die Beschleunigung a
errechnen. Wenn der Neigungswinkel bekannt ist, kann über g sinα = a die Naturkonstante g
errechnet werden.
Merke: Der Standartwert der Erdbeschleunigung beträgt
g = 9,80665 m / s-2.
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III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
III.7 Gegenwirkungsprinzip oder „3. Newtonsches Axiom“
Versuch III.5: Zwei Körper auf einem Rollwagen

FM
Bei diesem Versuch

FK
stellen
sich
Menschen
gleichem
zwei
mit
Gewicht
auf je ein Brett mit
vier Rollen. Beide
Abbildung III.6: actio und reactio im Versuch
Personen halten das
Ende eines Seils fest und spannen es. Dann hält einer das Seil nur fest, während der andere
langsam daran zieht.

FK

FM
Man kann beobachten, dass
beide
Wagen
aufeinander
zurollen. Markiert man zuvor
die Mitte zwischen den beiden
Rollwagen,
Abbildung III.7: Nachweis für beliebige Körper
so
treffen
die
Wagen sich genau auf dieser
Markierung. Um auszuschließen, dass die zweite Person doch gezogen hat, kann jetzt der
Versuch wiederholt werden mit einem unbelebten Körper gleicher Masse. Auch hier zieht die
Person am Seil und wieder treffen sich beide Wagen in der Mitte.
III.7.1 Theoretische Überlegungen
Als
Grundaussage
der
Dynamik
hatten
wir
festgehalten,
dass
Grundlage
jeder
Bewegungsänderung eine Kraft ist, die auf den beschleunigten Körper ausgeübt wird. Mit
diesem Versuch ist gezeigt worden, dass auch der Körper sich bewegt, der vom anderen Körper
nicht aktiv herangezogen wurde. Es muss also auch auf diesen Körper eine Kraft wirken. Die
beiden Massen wurden bewußt gleich groß gewählt, um zu zeigen, dass die hervorgerufene
Bewegung bei zwei Körpern mit gleicher Masse entgegengesetzt gleich ist. Da Kraft nur von
der Masse und der Beschleunigung abhängt, muss auch die Kraft entgegengesetzt gleich sein.
Newton formulierte in seinem 3. Axiom:
3. Newtonsches Gesetz: Die von zwei Körpern aufeinander
ausgeübten Kräfte sind entgegengesetzt gleich.
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III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
Apfel

F
Kurz wird dieses Gesetz auch actio = reactio genannt. Die


Gleichung F = ma lässt sofort erkennen, dass dieselbe Kraft bei
einem Körper größerer Masse eine kleinere Beschleunigung
hervorruft.
Das vielleicht populärste Beispiel hierfür ist ein Ereignis,
welches Newton angeblich auf die Idee brachte, dieses Prinzip zu

−F
formulieren: Eines schönen Herbsttages schlief Newton unter
einem Apfelbaum, als ein Apfel sich vom Ast löste und auf
seinen Kopf fiel. Newton sei damals auf die Idee gekommen, sich
Erde
zu fragen, warum eigentlich die Erde den Apfel anzieht und nicht
auch vielleicht umgekehrt. In der Tat hatte er mit dieser
Vermutung recht, die Bewegung der Erde durch den Apfel hervorgerufen ist nur wegen der
Mengenrelation Apfel-Erde nicht registrierbar. Dennoch gilt das 3. NG auch hier: die Erde
beschleunigt den Apfel betragsmäßig mit derselben Kraft wie der Apfel die Erde.
Die Gegenkraft greift dabei beim Verursacher der eigentlichen Kraft an. In unserem Beispiel
heißt das, dass die erzeugte Gegenkraft im Schwerpunkt der ziehenden Person angreift, und
nicht im Schwerpunkt der gezogenen. Das ist schon daraus ersichtlich, dass die resultierende
von Kraft und Gegenkraft, falls sie in einem Punkt angreifen, null ist. Nach den ersten
Newtonschen Axiom ist nur die resultierende der äußeren Kräfte Ursache einer Bewegung.
Merke: Die Gegenkraft greift im Schwerpunkt des Verursacher
der Kraft an und ist der verursachenden Kraft entgegengesetzt.


Kräftegleichgewicht herrscht im Verbindungsseil. Hier herrschen die Kräfte F und - F . Um die
Bewegung eines Massepunktes zu berechnen, müssen die daran wirkenden Kräfte vektoriell



addiert werden, also wirkt im Seil die Kraft:
FS = F +(- F ) =.
Das Seil bewegt sich nicht. Auch diese Berechnung kann mit Hilfe einer farbigen Markierung
im Seil experimentell bestätigt werden.
Wie bereits stillschweigend vorausgesetzt, gilt das 3. Newtonsche Axiom sowohl für
Fernwirkungskräfte, also für Kräfte, die ohne materielle Verbindung zwischen den Körpern
wirken, z. B. Erdanziehung oder elektrische und magnetische Kräfte, als auch für
Nahwirkungskräfte, Kräfte also, die durch materielle Verbindungen, z.b. Seile oder Federn,
wirken.
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III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
Häufig wird aus praktischen Gründen nicht das statische, sondern das dynamische




Gleichgewicht betrachtet. Mit dem 2. Newtonschen Axiom, F = ma gilt dann: F - ma = 0.


Man nennt F = − ma beim dynamischen Kräftegleichgewicht die Trägheitskraft und bezeichnet


sie mit dem Index T: FT = − ma .


Merke: Die Trägheitskraft FT = − ma ist der beschleunigenden Kraft
entgegen gerichtet und hat denselben Betrag F.
An einen Körper im mitbeschleunigten System wirken im Schwerpunkt sowohl die
beschleunigende Kraft, als auch die Trägheitskraft. Die Resultierende der auf ihn wirkenden
Kräfte ist also gleich null. Diese Feststellung ist nur eine allgemeinere Formulierung des 3.
Newtonschen Axioms. Sie ist bekannt als d’Alembertsches Prinzip:
d’Alembertsches Prinzip: Für einen mitbeschleunigten Beobachter ist im mitbewegten
System die vektorielle Summe aus äußeren und Trägheitskräften gleich null:

∑ Fi = 0
Diesen Effekt kennen wir aus einer schnellen Bremsung beim Auto oder einer schnellen
Kreisbewegung. Hier erfährt der Körper eine Kraft, die entgegen der beschleunigenden Kraft
wirkt: Man wird im Auto beim Bremsen nach vorne geschleudert oder im Karussell nach außen
gedrückt. Da, wie gezeigt, in Wirklichkeit keine resultierende Kraft auf den Körper wirkt,
heißen die Kräfte auch Scheinkräfte.
NotationIII.6: Trägheitskräfte werden auch Scheinkräfte genannt.
III.7.2 Beispiel Freier Fall
Ein Beispiel, an dem man das d’Alembertsche Prinzip verifizieren kann, ist die Trägheitskraft
beim Freien Fall. Wir hatten festgestellt, dass beim Freien Fall auf den Körper nur seine
Gewichtskraft, also G = mg wirkt. Dies gilt nur für die Betrachtung der Kräfte von einem
(unbeschleunigten) Intertialsystem aus. Im System, in dem der Körper ruht, wirkt zudem die
Kraft -G = - mg. Entsprechend dem d’Alembertschen Prinzip wirkt also keine Kraft auf den
Körper, er ist schwerelos.
Um dies zu verifizieren, kann man eine Waage mit einem Körper der Masse m betrachten. Hält
man die Waage fest, so zeigt sie aufgrund der Gewichtskraft ein Gewicht an. Läßt man die
Waage mit Körper fallen, zeigt sie während des Falls kein Gewicht mehr an, es wirken keine
Kräfte. Leichter zu realisieren ist ein Versuch mit der Federwaage. In einem Aufzug, der sich
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III.Kapitel: Dynamik
Skript Experimentalphysik I
nach unten bewegt, zeigt die Federwaage weniger Gewicht an, als in einem stehenden Aufzug.
Die angezeigte Kraft ist natürlich nie null, da der Aufzug sich hoffentlich nicht im Freien Fall
befindet.
III.7.3 Beispiel schiefe Ebene
Ein weiteres, schon diskutiertes Beispiel einer
Bewegung, an der man das Kräftegleichgewicht
untersuchen kann, ist die schiefe Ebene. Auf
einen
Körper
Gewichtskraft
der
Masse m


G N = mg .
wirkt
die
Längs der schiefen Ebene wird er nur mit der
Komponente der Kraft beschleunigt, die in Richtung
des schiefen Ebene liegt, also mit
Abbildung III.8: Kräftegleichgewicht bei der
schiefen Ebene


G S = mg sin α .
Betrachten wir jetzt einen Wagen der steht, bei dem also die Haftreibung die
Erdbeschleunigung kompensiert. Im Schwerpunkt des Körpers muss also eine zusätzliche

Reibungskraft FN angreifen, die genau entgegengesetzt der Gewichtskraft ist:

FN =.

Im statischen Gleichgewicht kompensiert eine zusätzliche äußere Kraft FS die
Hangabtriebskraft. Es existiert also eine Scheinkraft



FS = − G S = − mg sin α ,
die im mitbewegten System die Hangabtriebskraft kompensiert. So ist der Körper im
mitbewegten System in Ruhe.
Die wie in diesem Fall durch die Ebene in erzwungenen Bewegungen auftretenden Kräfte, die
ein Körper auf der Bahn halten, nennt man Zwangskräfte. Andere Beispiele für diese Kräfte
sind Schienen, die sich elastisch verformen, wenn ein Zug Kräfte auf sie ausübt, oder eine
Person, die sich im Bus festhalten muss, wenn der Fahrer bremst. Anders als im oben
diskutierten Fall stehen die Zwangskräfte immer senkrecht auf der Bahn, falls die Reibung
vernachlässigt werden kann.
Merke: Zwangskräfte stehen bei vernachlässigbarer Reibung immer senkrecht auf der Bahn.
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III.Kapitel: Dynamik
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