close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

3.2 Systeme des Bestandsmanagements Wie kommt es - WINFOR

EinbettenHerunterladen
3.2 Systeme des Bestandsmanagements
Wie kommt es zu Lagerbeständen?
Was ist Bestandsmanagement?
Grob gesagt, wird im Bestandsmanagement festgelegt,
welche Mengen eines Produktes zu welchem Zeitpunkt
zu bestellen sind
Hierdurch wird der Bestand eines bestimmten
Produktes im Lager determiniert
Qualität des Bestandsmanagements
Diese treten dann auf wenn die Stückkosten mit der
Produktions-, Transport- oder Bestellmenge zurückgehen
Beispiel Abfüllanlagen für Softdrinks
Unsicherheit
Unsicherheit ist ein weiterer Grund für Lagerbestände
Erhöhte Lagerbestände dienen dabei der Vermeidung von
Fehlmengen bei steigender Nachfrage
350
Gründe für Lagerbestände
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
351
3.2.1 Klassisches Bestellmengenproblem
Dieses ist das bekannteste Modell zum
Bestandsmanagement
Es geht auf Harris zurück und wurde bereits im
Jahre 1915 entwickelt
Folgende (restriktive) Annahmen liegen diesem
einfachen Modell zu Grunde
Transportzeiten
Des weiteren werden durch entstehende
Transportzeiten Lagerbestände notwendig
So führen signifikante Transportzeiten zu erheblichen
Kapitalbindungen
Weitere Faktoren
Gegebener Gesamtbedarf im Planungszeitraum
Konstante Bedarfsrate je ZE
Unendliche Lieferrate je ZE
Konstanter Beschaffungspreis je FE
Fehlmengen sind unzulässig
Keine Ressourcenbeschränkungen
Spekulationen auf Preisschwankungen
Langfristige Bindungen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Skaleneffekte
– Hohe Reinigungskosten treten beim Wechsel von Produkten auf
– Daher ist die Abfüllung einzelner Flaschen zu ineffizient
– So werden durch die Herstellung großer Mengen einzelner
Drinks Skaleneffekte erzielt und damit die Stückkosten reduziert
Kann entscheidend für den Wettbewerbserfolg sein
In Deutschland beträgt der Gesamtwert des
Lagerbestandes, die irgendwo gelagert sind und „auf
Nachfrage warten“ ungefähr 500 Milliarden Euro
Irgendwie nicht so richtig effizient, oder?
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Am Besten wir bestellen nur wenn Bedarf vorliegt
oder klar absehbar ist
Problemfelder
352
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
353
Betrachtete Kostenarten
Optimaler Bestellpunkt r
Variable Bestellkosten
Gibt die Höhe des Lagerbestandes an, bei dem eine
Bestellung in Höhe der optimalen Bestellmenge x getätigt
werden soll
Die Bestimmung hängt von der Liefergeschwindigkeit ab
Im klassischen Bestellmengenproblem lässt sich der
optimale Bestellpunkt sehr einfach ermitteln
Kosten c, die pro Einheit der Bestellmenge auftreten
Proportional zur Bestellmenge
z.B. Transportkosten, Beschaffungskosten pro Einheit
Fixen Bestellkosten
Treten fix (d.h. unabhängig von der gewählten Bestellmenge) bei jeder
ausgeführten Bestellung auf
Bei x>0 fallen genau einmal Kosten von k pro Bestellung an
So sind zunächst Fehlmengen verboten, weshalb nur ein
Bestellpunkt größer oder gleich Null in Frage kommen kann
Daneben führt – aufgrund der unendlichen Liefergeschwindigkeit
– ein Bestellpunkt größer als Null lediglich zu höheren
Lagerbeständen – und damit höheren Lagerkosten – weshalb r im
klassischen Bestellmengenproblem grundsätzlich auf Null zu
setzen ist
→ Bestellkosten
Summe aus fixen und variablen Bestellkosten C(x)
Damit gilt
 0 falls x = 0
C (x ) = 
k + c ⋅ x sonst
→ Lagerhaltungskosten
Fallen je gelagerte Einheit pro Zeiteinheit an
Wir benötigen für ihre Bestimmung also die durchschnittliche Menge an
Produkten, die im Planungszeitraum auf Lager ist
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
354
Beobachtung
355
Variablen / Parameter des Modells
Wir haben mit den Bestell- und Lagerkosten zwei
konfliktäre Zielgrößen
Dabei ist zu beachten, dass die Bestellmenge x
keinen Einfluss auf die gesamten variablen
Bestellkosten hat
Deshalb sind diese Kosten
entscheidungsirrelevant und deshalb nicht weiter
zu berücksichtigen, d.h. wir können unsere
Zielfunktion entsprechend vereinfachen
Damit ergibt sich das folgende einfache Modell
zur Bestimmung einer wirtschaftlichen
Bestellmenge
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Variable:
x
die zu bestellende Menge je Bestellvorgang, in [FE]/[Best.]
Parameter:
µ
Gesamtbedarf an einer Materialart im Planungszeitraum, in
[FE]/[PZE]
k
Bestellfixe Kosten, in [GE]/[Best.]
h
Lagerhaltungskosten, in [GE]/([FE] . [PZE])
q
Beschaffungspreis der Materialart, in [GE]/[FE]
356
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
357
Kostenfunktion
Verlauf des Lagerbestandes
Man erkennt, dass gerade die Hälfte der gewählten Bestellmenge x
durchschnittlich auf Lager liegt
Damit können wir x/2 als durchschnittlichen Bestand ansetzen:
Die zu minimierenden Kosten betragen somit in
Abhängigkeit von der gewählten Bestellmenge
Z (x ) =
µ
x
Lagerbestand
⋅ k + ∅B( x ) ⋅ h
Wir sehen, dass wir noch den durchschnittlichen
Bestand benötigen, um die Formel zu
komplettieren
Dies ist aber sehr leicht möglich, wie die folgende
Abbildung veranschaulicht
x/2
t
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
358
Gesamtkosten
Z (x ) =
µ
x
⋅k
Summe fixe Bestellkosten
Einheiten:
( GE / Best .)⋅(( FE / PZE ) /( FE / Best .))
= GE / PZE
+
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
359
Bestimmung der optimalen Bestellmenge
Z (x ) =
1
⋅ x⋅h
2
Summe Lagerkosten
Einheiten:
( Best .)⋅(( FE / Best .)⋅( GE /( FE ⋅ PZE )))
=GE / PZE
µ
1
⋅k + ⋅ x⋅h
x
2
∂Z (x )
∂
µ 1
∂Z (x )
∂x = 2 ⋅ k ⋅ µ > 0 ∀x ∈ IR
= − k ⋅ 2 + ⋅ h;
+
x
x3
2
∂x
∂x
µ 1
µ 1
∂Z (x )
= 0 ⇔ −k ⋅ 2 + ⋅ h = 0 ⇔ k ⋅ 2 = ⋅ h
x
x
2
2
∂x
+
µ
µ
2⋅k ⋅
⇔ 2 ⋅ k ⋅ = x2 ⇔ x =
−
h
h
x = 2⋅k ⋅
µ
wird als wirtschaftliche Beschaffungsmenge
h
oder optimale Bestellmenge bezeichnet
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
360
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
361
Einheiten
x = 2⋅k ⋅
Klassische Bestellmenge – Beispiel
µ
h
Einheiten :
 FE 
2
 1   GE 
 PZE  = 2 ⋅ k  GE  ⋅ µ  FE 
k
⋅
⋅
2
 Best.2  h  GE 
 Best.   Best.  h  GE 


 FE ⋅ PZE 
µ
= 2⋅k ⋅
µ  FE 2 
Daten:
µ=18.000 kg/Jahr
k=120,00 €/Bestellung
h=0,75 €/(kg.Jahr)
⇒ x = 2 ⋅120
18000
= 5760000 = 2400 [kg / Best.]
0,75
µ  FE 
= 2⋅k ⋅ 

2
h  Best. 
h  Best. 
362
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Illustration der Kostenverläufe
363
Robustheit der Lösung
25000
20000
15000
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Gesamtkosten
Fixe Bestellkosten
Lagerkosten
10000
5000
Die Frage stellt sich, in welchem Ausmaß
Abweichungen von der optimalen Bestellmenge
Auswirkungen auf die entstehenden
Gesamtkosten haben
Um dies zu untersuchen, wollen wir im
Folgenden die doppelte und die halbierte
Bestellmenge ansetzen und die sich ergebenden
Kosten betrachten
Dies erfolgt auf der nächsten Folie
0
1
5
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
364
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
365
Variation der Bestellmenge
Man sieht…
x
Z(x)
fixe Bestellkosten
Lagerkosten
1100
2376,136364
1963,636364
412,5
1200
2250
1800
450
1300
2149,038462
1661,538462
487,5
2200
1806,818182
981,8181818
825
2300
1801,630435
939,1304348
862,5
2400
1800
900
900
2500
1801,5
864
937,5
2600
1805,769231
830,7692308
975
4700
2222,074468
459,5744681
1762,5
4800
2250
450
1800
4900
2278,316327
440,8163265
1837,5
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
dass die Gesamtkostenfunktion im Optimum sehr
flach verläuft und sich deshalb sehr unsensitiv
gegenüber Veränderungen verhält
Eine Verdopplung oder Halbierung der
Bestellmenge hat eine Kostensteigerung um
lediglich 25 Prozent zur Folge
366
3.2.2 Modellerweiterungen
367
Berücksichtigung von Lieferzeiten
Im Folgenden stellen wir uns die Frage, wie sich die
Lösung verändert, wenn eine bestimmte Lieferzeit
gegeben ist
Das heißt, wir haben nun eine Transport- oder
Auslieferungszeit zu berücksichtigen
Damit lässt sich natürlich ein Bestellpunkt Null nicht mehr
halten
Allerdings hat die isolierte Berücksichtigung von
Lieferzeiten keine Auswirkungen auf die Höhe der
optimalen Bestellmenge
Vielmehr ist lediglich der Bestellpunkt entsprechend zu
modifizieren
So ist jeweils die Lagermenge zu finden bei der eine
Bestellung auszulösen ist, damit diese genau bei
Lagerstand Null eintrifft
Wir erweitern nun das klassische Problem um
verschiedene praxisrelevante Merkmale wie
Lieferzeiten,
endliche Lieferraten oder
Rabatte
Bisher wurde vereinfacht davon ausgegangen, dass
keine Lieferzeiten auftreten, d.h. wir können beliebige Mengen
ohne Zeitverzug beschaffen,
uns jeweils die gesamte Beschaffungsmenge in einer Lieferung
erreicht und
keine Rabattmöglichkeit gegeben ist
Diese Annahmen werden nun nacheinander aufgehoben
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
368
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
369
Bestimmung des Bestellpunktes
Damit: Berechnung des Bestellpunktes
Die Frage ist nun, bei welchem Lagerbestand
eine Bestellung auszulösen ist
Dieser Lagerbestand leitet sich aus der Menge
her, die während der Lieferzeit verbraucht wird
Da µ Produkteinheiten im jeweiligen
Planungszeitraum verbraucht werden, ist nach
dem Verhältnis von T und LT zu fragen
Wir können somit festhalten
r ∗ = (LT modulo T ) ⋅ µ
Diese Formel gilt insbesondere auch für den Fall
LT>T
T: Definiert die Zeitspanne in der eine komplette
Bestellung der Größe x verbraucht wird, d.h. dies ist
die Dauer zwischen zwei Bestellungen
LT: Lieferzeit für eine Bestellung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
370
Berechnung des Bestellpunktes – Beispiel
371
Berücksichtigung von endlichen Lieferraten
Seien x=40 [PE], µ=20 [PE]/[Woche] gegeben
Damit gilt T=40/20 [PE]/[PE]/[Woche]=2
[Wochen]
LT sei 1,4 [Wochen]
Damit gilt r*=(1,4 modulo 2).20=1,4.20=28 PE
Sinkt der Lagerbestand auf 28 PE muss bestellt
werden
Bei einer endlichen Lieferrate treffen die Lieferungen nicht
komplett sondern in Raten ein
Dies bedeutet, dass wir im Folgenden eine kontinuierliche
Lieferrate λ (ähnlich zum kontinuierlichen Bedarf µ)
unterstellen
Es gilt: λ≥µ
Andernfalls läge eine unlösbare Problemstellung vor
Wir können prinzipiell die für den Standardfall hergeleitete
Lösungsformel weiter verwenden
Allerdings ist zu beachten, dass durch das schrittweise
Füllen des Lagers geringere Lagerkosten auftreten, da
die Bestände geringer sind als im klassischen Modell
Falls nun LT 2,6 [Wochen]
Dann gilt r*=(2,6 modulo 2).20=0,6.20=12 PE
Sinkt der Lagerbestand auf 12 PE muss bestellt
werden
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
372
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
373
Bestandsverlauf bei endlicher Lieferrate
Durchschnittlicher Lagerbestand
Da der Verlauf wiederum linear ist, brauchen wir
nur den Höchst- und den Mindestbestand zu
betrachten
Damit erhalten wir
Lagerbestand
x
=TP. µ
TP.λ =
∅I ( x ) =
=
TP=
x
λ
374
Neue Kostenfunktion
1  µ
⋅ 1 − 
2  λ
Anteil der Bestellmenge x, der im
Planungszeitraum
durchschnittlich auf Lager ist
λ << ∞
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
375
Modifizierte optimale Bestellmenge
Wir ersetzen in der Formel
Wir erhalten somit die folgende Kostenfunktion
x = 2⋅k ⋅
µ
1
 µ
K ( x ) = k + ⋅ x ⋅ 1 −  ⋅ h
x
2
 λ
Wir können nun zur Ermittlung der optimalen
Bestellmenge die Ableitung bilden und deren
Nullstelle ermitteln
Allerdings lässt sich die bereits hergeleitete
Formel verwenden, da wir es nur mit
modifizierten Lagerkosten zu tun haben, der Rest
aber unberührt bleibt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
1
 µ
⋅ x ⋅ 1 −  = x ⋅
2
 λ
Zeit
T
λ =∞
1
1 
x 
⋅ (( x − TP ⋅ µ ) + 0 ) = ⋅  x − ⋅ µ 
λ 
2
2 
376
µ
h
 µ
h durch 1 −  ⋅ h
 λ
und erhalten
x=
2⋅k ⋅µ
 µ
1 −  ⋅ h
 λ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
377
Modifizierte Bestellmenge – Beispiel
Einbeziehung von Rabatten
Daten:
µ=18.000 kg/Jahr
λ=36.000 kg/Jahr
k=120,00 €/Bestellung
h=0,75 €/(kg.Jahr)
Vielfach ist es in der Praxis möglich,
mengenabhängige Rabatte zu erhalten
Das heißt, eine größere Bestellmenge kann sich
durch geringere variable Beschaffungskosten
auszeichnen
Damit wird diese Kostenkategorie erstmals
entscheidungsrelevant!
43200000
18000
=
0,375
 18000 
0,75 ⋅ 1 −

 36000 
= 10733,12629 [kg / Best.]
⇒ x = 2 ⋅120
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
378
Bekannte Rabattarten
379
Rabattarten
Rabatt
Einzelbestellmengenbezogene versus Zeitraum
bezogene Rabatte
Einzelbestellmengebezogenen Rabatten:
ist ein mengen- oder wertabhängiger Abschlag von
einer bestimmten Ausgangsgröße
Mengenabhängige versus wertabhängige
Rabatte
Pro einzelnem Auftrag / einzelner Bestellung wird
jeweils entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird
Mengenabhängig:
Bei Abnahme von mehr als x Stück wird ein Rabatt von
y Prozent gewährt
Wertmäßig:
Bei Erwerb von mehr als x Euro Wert wird ein Rabatt
von y Prozent gewährt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
380
Zeitraumbezogene Rabatten:
Bezogen auf das Auftragsverhalten in einem Zeitraum
wird entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird (durch
den Lieferanten wird ein bestimmtes Kundenverhalten
angestrebt)
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
381
Angestoßener Rabatt
Illustration – Angestoßener Rabatt
Angestoßener Rabatt
…
Es werden hierbei t Rabattklassen definiert, die bestimmten
Mindest- und Höchstmengen als zulässige Intervalle besitzen.
Rabattklasse I: a0 ≤ x < a1
Rabattklasse II: a1 ≤ x < a2
Rabattklasse III: a2 ≤ x < a3
Rabattklasse IV: a3 ≤ x < a4
Rabattklasse k:
K
ak-1 ≤ x < ak
Beachte: Es werden nur die Mengen in den jeweiligen
Klassen mit dem entsprechenden Rabatt berücksichtigt.
Beispiel: a2 ≤ x < a3
Nur für die x – a2 vielen Mengeneinheiten erhält man
einen Rabatt.
Somit lohnt es sich nie mehr als benötigt zu beschaffen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
x
x1
382
Durchgerechneter Rabatt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
383
Beispiel zur Überbestellung
Preis pro Stück:
Vernichtungskosten:
Durchgerechneter Rabatt:
Hier gilt der Rabatt jeweils für alle bestellten Einheiten
Hier kann es sich u. Umständen lohnen mehr als
benötigt zu bestellen (und zu vernichten)
Beispiel: Es gelte ein durchgerechneter Rabatt von 10
Prozent bei Abnahme von über 1.001 Stück
x Stück seien zu beschaffen mit x ≤ 1.000
1.000 €/Stck
10 €/Stck
Überbestellung lohnt sich bei:
(1001 – x).10 + 1001.900 –1000.x ≤ 0
Damit gilt:
10010 – 10.x + 900.900 – 1000.x ≤ 0
Somit:
910910 – 1010 x ≤ 0
Und deshalb folgt für die benötigte Menge x
x ≥ 901,8910891
Frage ist nun:
„Für welche x lohnt sich die „Überbestellung“ wenn die
folgenden Angaben gelten?“
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
x3
384
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
385
Manche nutzen einfach jeden Rabatt
Bestimmung optimaler Bestellmengen
„Frau Lamprecht, Sie haben da nicht den
Überblick…“
„…der blattweise Einkauf von
Schreibmaschinenpapier ist betriebswirtschaftlich
nicht sinnvoll…“
„…und Sie sorgen dafür, dass das hier
weggeräumt wird…“
Zeitraumbezogener Rabatt
Gewährung des Rabattes in Abh. der Menge R, die in
gesamten Zeitraum beschafft wird.
r(µ): Reduktion des Lagerkostensatzes in Abhängigkeit des
Gesamtbedarfs
q0: Lagerkostensatz bei einem Beschaffungspreis ohne Rabatt
q(µ): Lagerkostensatz bei einem Beschaffungspreis mit Rabatt
abhängig von µ
Auswirkung hat eine solche Rabattform dann auf die
optimale Bestellmenge, wenn der Lagerkostensatz eine
wertmäßige Komponente enthält, d.h. es gilt:
h ( µ) = q ( µ) +
Wertmäßige
Komponente
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
386
Modifizierte Bestellmenge
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
387
D.h. je größer der Rabatt, desto größer die optimale
Bestellmenge, da der Lagerkostenbeitrag in diesem Fall
sinkt.
2⋅k ⋅ µ
2⋅k ⋅ µ
x =
=
q( µ )
q0 ⋅ [1 − r ( µ )]
*
1
Damit gilt
2⋅k ⋅ µ
1
2⋅k ⋅ µ
1
=
⋅
= x0∗ ⋅
q0 ⋅ [1 − r ( µ )]
1 − r(µ)
q0
1 − r(µ)
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Mengenabhängige
Komponenten
Ergebnis
Es gilt somit (die Mengenkomponente wird
hierbei durch die Wertkomponente miterfasst):
x1* =
m( µ)
388
r(µ)
x1* − x0*
⋅ 100
x0*
5%
2,6 %
10 %
5,4 %
15 %
8,5 %
20 %
11,8 %
25 %
15,5 %
30 %
19,5 %
62 %
62,2 %
70 %
82,6 %
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
389
Optimale Bestellmenge bei
Grundlegende Erkenntnis
Einzelbestellmengenbezogener Rabatt
Hierbei ist nun die Rabatthöhe abhängig vom
gewählten x
Dabei gilt:
Es gilt:
*
Optimale Bestellmenge xi von K i ist immer
vorteilhafter als alle Bestellmengen von K 0 bis K i −1
Problem ist aber:
falls
a0 = 0 ≤ x < a1
 q0

qi =  q0 (1 − ci ) falls ai ≤ x ≤ ai +1 , ∀ i ∈ {1, ..., I − 1}
q (1 − c ) falls
x ≥ aI
I
 0
Wir müssen prüfen, ob
„Diese Bestellmenge im erforderlichen Intervall liegt,
d.h. ob für diese Bestellmenge die folgende IntervallBedingung gilt?
bei insgesamt I+1 Rabattstufen
Beachte:
Gesamtkostenfunktion hat mehrere Sprünge
Nur abschnittsweise differenzierbar.
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
ai ≤ x* (qi ) < ai +1
390
Optimales Vorgehen
Optimales Vorgehen
1. Bestimme zunächst
x* (qI ) =
2.
2⋅k ⋅ µ
, mit hI (wertmäßiger)
hI
Lagerkostensatz für Rabattstufe I
a) Gilt nun:
a I ≤ x* (q I ) ⇒ x* (qI ) ist optimal!
Gehe rückwärts alle Rabattstufen durch
j=I–1, I–2, ...,…
Prüfe ob gilt: aj≤x*(qj)
Ja, dann setzte i0=j und j=j-1
Bei j=0 gilt immer a0=0≤x*(q0)
Bei Stufe i0 scheiden sofort alle kleineren Stufen
komplett aus!
Warum? Es gilt:
∀j ∈ {i0 + 1, ..., I }: x* (q j ) < a j . Wegen x* (q j ) =
sonst gilt : aI > x* (qI )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
391
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
2 KB ⋅ R
hj
∧ h j ≤ h j −1 ≤ h j − 2 ≤ ... ≤ h1 gilt : ∀j ∈ {i0 + 1, ..., I }: x* (q j ) ≤ x* (q j +1 )
392
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
393
Und somit gilt für i0
( )
Und erhalten schließlich
Da nun für die Abschnitte c=i0+1, i0+2, ...,I der
optimale Punkt überschritten ist, ist jeweils die
Bestellmenge ac zu wählen (untere Grenze)
Wähle schließlich unter diesen Kandidaten die
Bestellmenge aus
( )
− 1}: Z (x (q )) ≥ Z (x (q ))
⇒ x* qi0 ≤ x* (q j ) < a j ∧ x* qi0 ≥ ai0
⇒ ai0 ≤ x* (q j ) < ai0 +1 ∧ ∀i ∈ {0,1,..., i0
*
*
i
i0
{x (q ), a
*
i0 +1
i0
, ai0 + 2 , ..., aI
}
mit minimalen Kosten
{ ( ( ))
( )
}
min K i0 x* qi0 , K i0 +1 ai0 +1 , ... K I (aI )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
394
Beispiel
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
395
Wir betrachten nun die Stufe 2
Wir betrachten die folgende einfache Konstellation
Die optimale Bestellmenge lautet dort
Stufe 0:
Bei Bestellmengen zwischen 0 und <200 Stück ergibt sich
ein Beschaffungspreis von 16 €/Stück
Stufe 1:
Bei Bestellmengen zwischen 200 und <500 Stück ergibt
sich ein Beschaffungspreis von 15 €/Stück
Stufe 2:
Bei Bestellmengen größer oder gleich 500 Stück ergibt
sich ein Beschaffungspreis von 14 €/Stück
Weitere Daten sind
x* (q2 ) =
2 ⋅1000 ⋅ 50
= 267 < 500
1,4
Damit berechnen wir die Kosten der unteren
Grenze, also
K (500 ) = 1000 ⋅14 +
1000
500
⋅ 50 +
⋅1,4 = 14.450
500
2
µ=1.000 Stück/Jahr
k=50,00 €/Bestellung
hi=0,1.ci €/(kg.Jahr)
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
396
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
397
Wir betrachten nun die Stufe 1
Ergebnis
Die optimale Bestellmenge lautet dort
x* (q1 ) =
Aufgrund der geringeren Gesamtkosten
realisieren wir die Bestellmenge 500 Stück
Dies entspricht der unteren Schranke der
höchsten Rabattstufe
2 ⋅1000 ⋅ 50
= 258 ≥ 200 ⇒ i0 = 1
1,5
Damit ist die Betrachtung weiterer Stufen unnötig
und wir berechnen die Kosten der optimalen
Bestellmenge der Stufe 1
K (258) = 1000 ⋅15 +
1000
258
⋅ 50 +
⋅1,5 = 15.387
258
2
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
398
3.2.3 Stochastisches Bestandsmanagement
399
3.2.3.1 Einperiodisches Bestandsmanagement
Bei einem einperiodischen Modell wird lediglich
ein Bestellvorgang betrachtet
Hierzu ist eine optimale Bestellmenge zu
ermitteln
Dabei handelt es sich meist um Anwendungen
mit sehr verderblichen Gütern, d.h., um Güter, die
– falls nicht verkauft – in den Folgeperioden
nicht mehr verwendbar sind
Mögliche Beispiele sind hierfür
Im Folgenden betrachten wir Problemstellungen,
bei denen die Nachfrage nicht exakt
prognostiziert werden kann
Das heißt, obwohl die Nachfrage unsicher ist, ist
eine Bestellmenge festzulegen
Dazu arbeiten wir mit stochastischen
Verteilungen der Nachfrage
Wir beginnen hierzu mit der Betrachtung
einperiodischer Modelle, d.h. es wird lediglich
eine Periode betrachtet, für die eine optimale
Bestellmenge zu ermitteln ist
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Tageszeitungen
Leicht verderbliche Lebensmittel
Aktionswaren
Extreme Modeartikel
400
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
401
Newsvendor Problem
Computer Journal at Mac‘s
Als klassisches Modell dient in diesem Bereich das so
genannte „Newsvendor or Newsboy Model“, d.h. das
„Zeitungsverkäufermodell“
Bei diesem Modell wird ein Zeitungsverkäufer betrachtet
Dieser entscheidet an jedem Morgen, wie viele Zeitungen
er bestellt
Für jede Zeitung ist ein Betrag von c Euro Bestellkosten
zu entrichten
Dagegen erzielt der Verkäufer einen Erlös von r Euro pro
verkaufter Zeitung
Auch ist es möglich, eine nicht verkaufte Zeitung für v
Euro zurückzugeben
Offensichtlich gilt: r > c > v
Wir betrachten ein einfaches Beispiel
Mac, Besitzer eines Zeitungskiosks bestellt jeden
Sonntag das wöchentlich erscheinende Magazin „The
Computer Journal“
Er bezahlt c=25 Cents für jedes Exemplar im Einkauf
und veräußert es zu r=75 Cents
Daneben können nicht veräußerte Exemplare für v=10
Cents zurückgegeben werden
Mac möchte ein effizientes
Bestandsmanagement installieren und erfasst
hierzu die Häufigkeit der Nachfrage
402
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
(vgl. Nahmias (2005))
403
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Nachfrage der letzten 52 Wochen
Resultierende Häufigkeiten
Nachfrage
Häufigkeit
25
7
20
6
5
15
10
4
5
3
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2
21
2
2
2
25
2
27
2
2
3
31
3
3
3
35
3
37
3
3
4
Mittelwert der Reihe ist 11,7307692
Standardabweichung ist 4,74079246
41
4
4
4
45
4
47
4
4
50
51 52
Tag
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Nachfrage
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
404
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
405
Daten der diskreten Verteilung
Fortsetzung
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
0
1
0,019230769
0,019230769
1
0
0
0,019230769
2
0
0
0,019230769
3
0
0
0,019230769
4
3
0,057692308
0,076923077
5
1
0,019230769
0,096153846
6
2
0,038461538
0,134615385
7
2
0,038461538
0,173076923
8
4
0,076923077
0,25
9
6
0,115384615
0,365384615
10
2
0,038461538
0,403846154
11
5
0,096153846
0,5
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
406
Optimale Bestellmenge
Häufigkeit
f
F
12
4
0,076923077
0,576923077
13
1
0,019230769
0,596153846
14
5
0,096153846
0,692307692
15
5
0,096153846
0,788461538
16
1
0,019230769
0,807692308
17
3
0,057692308
0,865384615
18
3
0,057692308
0,923076923
19
3
0,057692308
0,980769231
20
0
0
0,980769231
21
0
0
0,980769231
22
1
0,019230769
1
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
407
Entwicklung einer Kostenfunktion
Werden zu wenige Einheiten bestellt, d.h. es gibt
Fehlmengen, treten die erzielbaren Erlöse als
Opportunitätskosten auf
Mac möchte die Bestellmenge optimieren, um
sein Bestandsmanagement zu verbessern, d.h.
es sind die Kosten zu minimieren, deren Höhe
von der Bestellmenge beeinflusst wird
Zur Findung der optimalen Bestellmenge ist zu
untersuchen, welche Kosten jeweils von Fehloder Überschussmengen verursacht werden
Diese sind dann entsprechend zu quantifizieren
und in ihrer Häufigkeit zu bewerten
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Nachfrage
Hier gibt es einen Unterbestand
Wir setzen als Unterbestandskostensatz cu an (Unit Underage
Cost)
Im Fall zu großer Bestellmengen ist dagegen die
Differenz aus Bestellkosten und Rückgabeerlös
anzusetzen
Hier gibt es einen Überbestand
Wir setzen als Überbestandskostensatz co an (Unit Overage Cost)
Damit ergibt sich der Erwartungswert der Kosten aus der
Betrachtung aller möglichen Fälle, d.h. aller möglichen
Nachfragen, in Abhängigkeit der gewählten Bestellmenge
S*
408
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
409
Übergang zur stetigen Variante
Eigenschaften der stetigen Variante
Im Folgenden wollen wir uns stetigen
Nachfragefunktionen zuwenden
Warum?
Zunächst unterstellen wir eine beliebige stetige
Nachfrageverteilung, deren Dichte f und
Verteilungsfunktion F gegeben, oder deren Wertetabellen
einsehbar sind
Zudem unterstellen wir, dass es keine negativen
Nachfragen geben kann, d.h. f(y)=0, y<0
Beachte, dass dies keine triviale Annahme ist. Zum
Beispiel lässt die Normalverteilung bei geringen
Mittelwerten und (relativ hierzu) größeren Varianzen
durchaus positive Wahrscheinlichkeiten für negative
Nachfragemengen zu
Darüber hinaus werden aber keine weitere Annahmen an
den genauen Verlauf der Nachfrageverteilung gestellt
Häufig lassen sich Gesetzmäßigkeiten in diskreten
Verteilungen erkennen (siehe zum Beispiel der Tests
auf Normalverteilung)
Dies verbessert die Analysierbarkeit der
Zusammenhänge
Zudem können die Instrumente der
Infinitesimalrechnung genutzt werden
Zunächst wird nur eine beliebige stetige
Verteilung herangezogen, um allgemeine
Ergebnisse erzielen zu können
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
410
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Die stetige Kostenfunktion
Leibnizregel
Wir betrachten somit im Folgenden die
Kostenfunktion
Zur Lösung unseres Problems benötigen wir die
so genannte Leibnizregel. Sie lautet allgemein
∞
S
Z ( S ) = co ⋅
∂Z ( S ) ∂
=
∂S
∂S
∫ ( S − y ) ⋅ f ( y ) dy + c ⋅ ∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy
u
y =0
411
y=S
a2 ( S )
∫
a2 ( S )
=
Vorgehen
∫
y = a1( S )
Wie können wir die optimale Bestellmenge
bestimmen?
Offensichtlich ist hierzu zunächst die Ableitung nach S
zu ermitteln und dann Extrempunkte zu finden
h ( y,S ) dy
y = a1( S )
∂h ( y,S )
∂a ( S )
∂a ( S )
dy + h ( a2 ( S ) ,S ) ⋅ 2
− h ( a1 ( S ) ,S ) ⋅ 1
∂S
∂S
∂S
Diese können wir nun einfach auf unser Problem
anwenden. Für das erste Integral ergibt sich die
Substitution
a1 (S ) = 0, a2 (S ) = S , h( y,S ) = (S − y ) ⋅ f ( y )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
412
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
413
Integral 1
Integral 2
Damit erhalten wir
Damit erhalten wir
 ∂a (S ) 

 ∂a (S )
∂ (S − y ) ⋅ f ( y )
− h a1 (S ),S  ⋅ 1
dy + h a2 (S ),S  ⋅ 2
∫y =0

 ∂S
 ∂S

∂S
 =0


 =S
= ( S − S )⋅ f ( y )
=1
= (0 − S )⋅ f ( y )
lim k →∞
= ( S − k )⋅ f ( y )
=
Für das zweite Integral ergibt sich die
Substitution
= ( S − S )⋅ f ( y )= 0
=1
∞
Damit ergibt sich als erste Ableitung
co ⋅ F (S ) − cu ⋅ (1 − F (S ))
a1 (S ) = S , a2 (S ) = ∞, h( y,S ) = ( y − S ) ⋅ f ( y )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
=0
∂ ( y ⋅ f ( y ) − S ⋅ f ( y ))
dy = ∫ − f ( y )dy = − 1 + F (S )
∫y =S
∂S
y=S
∞
S
414
Und als zweite Ableitung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
415
Berechnung der optimalen Bestellmenge
ergibt sich somit
Wir erhalten somit
co ⋅ F (S ) − cu ⋅ (1 − F (S )) = 0
∂ (co ⋅ F (S ) − cu ⋅ (1 − F (S )))
= co ⋅ f (S ) + cu ⋅ f (S )
∂S
⇔ co ⋅ F (S ) − cu + cu ⋅ F (S ) = 0
⇔ (co + cu ) ⋅ F (S ) = cu ⇔ F (S ) =
Diese zweite Ableitung ist offensichtlich größer
oder gleich Null für alle Werte von S und somit
konvex
Damit sind alle Nullstellen der ersten Ableitung
Minima der Kostenfunktion
Wir berechnen also die optimale Bestellmenge
durch Nullsetzen der ersten Ableitung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
∫
=0
∂S ⋅ f ( y ) − y ⋅ f ( y )
= ∫
dy = ∫ f ( y )dy = F (S ) − F (0 ) = F (S )
∂S
y =0
y =0
S
 ∂a (S ) 

 ∂a (S )
∂( y − S )⋅ f ( y )
− h a1 (S ),S  ⋅ 1
dy + h a2 (S ),S  ⋅ 2

 ∂S
 ∂S

∂S
y=S
 =S


 =k
k
S
cu
co + cu
 c 
cu
⇔ S = F −1  u , mit CR =
co + cu
 co + cu 
Man bezeichnet CR als das Critical ratio
Es gilt für alle Nachfrageverteilungen
416
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
417
CR – Beispielrechnung
Zurück zur diskreten Variante
Sei die folgende Parameterkonstellation gegeben
c=1€
r=3€
v=0,5€
Damit gilt
co = c − v = 1 − 0,5 = 0,5€
cu = r − c = 3 − 1 = 2€
⇒ CR =
Da man davon ausgeht, dass die jeweilige
diskrete Verteilung durch eine stetige angenähert
werden kann, sind unsere Ergebnisse der
stetigen Version auch verwendbar für den
diskreten Fall
Dies führt uns nun zurück zu unserem kleinen
Eingangsbeispiel
Das Mac Beispiel
2
= 0,8
2,5
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
418
CR – Für das Mac Beispiel
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
419
Wie lässt sich dieses Ergebnis interpretieren?
Hier war die folgende Parameterkonstellation
gegeben
Wir wählen bei einer beliebigen
Nachfrageverteilung die Bestellmenge, die in 80
Prozent aller Fälle keine Fehlmengen verursacht,
d.h. es gilt
Anders ausgedrückt: p(x≤S*)=F(S*)=0,8
c=25 Cents
r=75 Cents
v=10 Cents
Damit gilt
Für das Beispiel Mac
co = c − v = 25 − 10 = 15 Cents
CR=0,76923
Wir suchen die Nachfrage bei der F ungefähr den Wert
0,76923 annimmt
Dies ist wollen wir anhand der Tabelle ermitteln
cu = r − c = 75 − 25 = 50 Cents
⇒ CR =
50
= 0,76923
65
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
420
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
421
Daten der diskreten Verteilung
Fortsetzung
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
0
1
0,019230769
0,019230769
1
0
0
0,019230769
2
0
0
0,019230769
3
0
0
0,019230769
4
3
0,057692308
0,076923077
5
1
0,019230769
0,096153846
6
2
0,038461538
0,134615385
7
2
0,038461538
0,173076923
8
4
0,076923077
0,25
9
6
0,115384615
0,365384615
10
2
0,038461538
0,403846154
11
5
0,096153846
0,5
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
12
4
0,076923077
0,576923077
13
1
0,019230769
0,596153846
14
5
0,096153846
0,692307692
15
5
0,096153846
0,788461538
16
1
0,019230769
0,807692308
17
3
0,057692308
0,865384615
18
3
0,057692308
0,923076923
19
3
0,057692308
0,980769231
20
0
0
0,980769231
21
0
0
0,980769231
22
1
0,019230769
1
422
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Konsequenz
Unterstellung einer Normalverteilung
Der gesuchte Wert CR wird offensichtlich
zwischen 14 und 15 angenommen
Wir wählen aufgrund der Nähe zu den Werten
und nach einer genaueren Betrachtung 15 als
optimale Bestellmenge
Im Folgenden wollen wir eine Normalverteilung
als Nachfragefunktion unterstellen
Dazu benötigen wir zunächst einige allgemeine
Informationen zur Normalverteilung
Sie besitzt die Dichtefunktion
423
2

 − 0 ,5⋅ x − µ  

 σ  

1
,
⋅e
σ ⋅ 2⋅π
mit µ als Erwartungswert und σ als Standardabweichung
f (x ) =
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
424
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
425
Eigenschaften
Es gilt
µ
1
F (µ ) = ∫
⋅e
−∞ σ ⋅ 2 ⋅ π
Konsequenzen
2

 − 0 ,5⋅ t − µ  

 σ  

Damit entsprechen sich bei der Normalverteilung
Median und Mittelwert
Die Normalverteilung ist offensichtlich
symmetrisch
1
dt =
2
und
f (x ) =
2

 − 0 ,5⋅ x − µ  

 σ  

1
⋅e
σ ⋅ 2⋅π
= f (− x + 2 ⋅ µ )
=
1
⋅e
σ ⋅ 2⋅π
2

 − 0 ,5⋅ ( − x + 2⋅µ )− µ  

σ
 


Wirtschaftsinformatik und Operations Research
426
Die zugehörige Verteilungsfunktion…
427
Eigenschaften der Standardnormalverteilung
ist leider nicht analytisch berechenbar
Daher wird oft der Spezialfall mit µ=0 und σ=1 betrachtet
Diese spezielle Verteilungsfunktion ist die so genannte
Standardnormalverteilung N(0,1)
Für diese Funktion sind spezielle Tabellierungen
verfügbar
Daher wäre es wünschenswert die allgemeine
Normalverteilung hierauf zurückzuführen
Auf diese Weise kann auf die spezielle Tabellierung der
Standardnormalverteilung zurückgegriffen werden
Wir wollen nun einige Eigenschaften dieser speziellen
Verteilungsfunktion herleiten
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Dichtefunktion
ϕ (x ) =
1
⋅e
2⋅π
 x2
−
 2





Verteilungsfunktion
x
Φ(x ) =
∫
−∞
428
 t2 
− 
 2
1
⋅ e  dt
2⋅π
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
429
Transformation der Normalverteilung N(µ,σ)
Es gilt die folgende z-Transformation
 x−µ
F ( x ) = Φ
=
 σ 
x− µ
=z
σ
∫
−∞
1
⋅e
2⋅π
 t2
−
 2





Grundsätzliche Folgerungen
Damit ist „die Brücke zur Standardnormalverteilung
hergestellt“ und wir können nun formulieren
Falls die Zufallsgröße Z N(µ,σ) verteilt ist, gilt
a−µ
P( x ≥ a ) = 1 − F (a ) = 1 − Φ

 σ 
Damit gilt für Intervalle
dt
Diese lässt sich leicht durch die folgende
Beziehung zeigen. So gilt
 x−µ
 1  x− µ 2 
∂Φ

 − ⋅
 
 2 σ   1
x
µ
x
µ
−
−
1
1
1
σ




 = Φ′

⋅ e
⋅ = f (x )
⋅ =
 ⋅ = ϕ

σ
σ
σ
σ
σ
∂x
2
π




P(a ≤ x ≤ b ) = P(x ≥ a ) − P( x ≥ b ) = 1 − F (a ) − (1 − F (b ))
a−µ
b− µ
b− µ
a−µ
= 1 − Φ
 − 1 + Φ
 = Φ
 − Φ

 σ 
 σ 
 σ 
 σ 
Damit erhält man die Dichtefunktion als Ableitung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
430
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
α – Quantil
Beispielwerte
Für α (0≤α≤1) ist das α – Quantil der Wert uα, bei
dem gilt
P( x ≥ uα ) = 1 − α
Daraus folgt unmittelbar
uα = F
−1
431
(α )
Da aber auch die Verteilungsfunktion der
Standardnormalverteilung nicht analytisch
bestimmbar ist, kommt die folgende numerische
Näherung der z-Transformation zur Anwendung
α
z(α)
0,755
0,69
0,76
0,71
0,765
0,72
0,77
0,74
0,775
0,755
0,78
0,78
0,785
0,79
0,79
0,81
0,795
0,825
0,8
0,84
0,805
0,86
0,81
0,88
S (α ) = µ + z (α ) ⋅ σ , mit z (α ) Quantil der Standardnormalverteilung
∗
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
432
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
433
Konsequenz
Erwartete Fehlmenge J(S)
Damit ergibt sich für CR=0,8 als CR – Quantil
Man vereinbart als erwartete Fehlmenge bzgl. S
∞
S ∗ = S ∗ (CR ) = µ + 0,84 ⋅ σ
J (S ) =
y =S
Seien im Newsvendor Problem die folgenden
Daten gegeben
Damit gilt
µ = 100 Stück, σ = 20 Stück
J (S ) =
S ∗ = S ∗ (CR ) = µ + 0 ,84 ⋅ σ ≈ 100 + 0,84 ⋅ 20 = 117 Stück
434
∫ ( y − z ) ⋅ φ ( y )dy
y = z∗
∞
∞
2
2
1
1
⋅ e (−0 ,5⋅ y )dy = ∫ y − µ − z ∗ ⋅
⋅ e (−0 ,5⋅( y − µ ) )dy
2⋅π
2⋅π
y= µ+ z∗


(
)
 y− µ 

σ 
− 0 ,5⋅


 y− µ ∗ 1
= ∫ 
− z ⋅
⋅ e
σ
2
⋅
π
∗


y = µ + z ⋅σ
2




dy =
1
⋅ J S∗
σ
( )
dy
435
z


2
2
1
1
⋅ e (−0 ,5⋅ z ) − z ⋅ 1 − ∫ ( y − z ) ⋅
⋅ e (−0 ,5⋅ y )dy 


2⋅π
2⋅π
 y = −∞

z



= ϕ (z ) − z ⋅ 1 − ∫ Φ ( y )dy  = f 01 (z ) − z ⋅ (1 − F01 (z ))



 y = −∞
Diese Eigenschaft erlaubt uns eine kompakte
Darstellung der erwarteten optimalen Kosten
( ) ( )
⇒ σ ⋅ L z∗ = J S ∗
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
1
⋅e
2⋅π
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
L( z ) =
Zusammenhang zwischen J(S*) und L(z*)
∗
∫ ( y − S )⋅ σ ⋅
2

 − 0 ,5⋅ y − µ  

 σ  

Nahmias (2005) zeigt die folgende wichtige
Eigenschaft der erwarteten normierten
Fehlmenge
y=z
∞
y=S ∗
Eine weitere wichtige Eigenschaft von L(z)
∞
( ) ∫ ( y − z )⋅
y=S
y=S
Analog hierzu wird die erwartete normierte
Fehlmenge für z vereinbart
L z∗ =
k
∫ ( y − S )⋅ f ( y )dy = lim k →∞ ∫ ( y − S )⋅ f ( y )dy
= lim k →∞
Erwartete normierte Fehlmenge L(z)
L(z) =
∞
k
Wir wählen für eine Normalverteilung somit eine
Bestellmenge von 117 Stück
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
∫ ( y − S )⋅ f ( y )dy
436
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
437
Erwartete optimale Kosten
Erwartete optimale Kosten
Nun können wir für die erwarteten Kosten der optimalen Bestellmenge
S* formulieren
S∗
( )
∫ (S
Z S ∗ = co ⋅
∗
∞
)
− y ⋅ f ( y )dy + cu ⋅
∫ (y − S )⋅ f ( y )dy
∗
( )
(
∞
∞
∞
∞
S∗
S∗


= co ⋅  S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy − ∫ y ⋅ f ( y )dy + S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy − ∫ y ⋅ f ( y )dy − S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy + ∫ y ⋅ f ( y )dy 


∗
∗
∗
∗
=
=
0
0
y
y
y=S
y=S
y =S
y=S


∫ (y − S )⋅ f ( y )dy
∗
(
(
= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + (co + cu ) ⋅
∫ (y − S )⋅ f ( y )dy = c
∗
o
( )
⋅ z ∗ ⋅ σ + (co + cu ) ⋅ σ ⋅ L z ∗
y=S
( )
( )
( )
)
)
)
(
)
( )
438
Damit ergeben sich für Z(S*)
439
Wir sehen unmittelbar, dass sowohl die Höhe des
Erwartungswertes als auch die Höhe der
Standardabweichung einen signifikanten Einfluss auf den
erwarteten Gewinn haben
Triviale Erkenntnis
( )
Z S ∗ = (co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 z ∗ = (0,5 + 2 ) ⋅ 20 ⋅ f 01 (0,84)
= 2,5 ⋅ 20 ⋅ 0,28 = 14
Je größer der Erwartungswert (also des erwarteten Absatzes)
desto größer ist der erwartete Erlös und damit der erwartete
Gewinn
Je größer die Standardabweichung (also die Unsicherheit in der
Nachfrage) desto größer werden die erwarteten Kosten und
mindert damit den erwarteten Gewinn. Zu beachten ist hierbei
Damit ergibt sich als optimaler Gewinn
( )
Π S ∗ = (r − c ) ⋅ µ − Z S ∗ = (r − c ) ⋅ µ − (cu + co ) ⋅ f 01 z ∗ ⋅ σ
Im Beispiel ergibt sich somit
Es gibt Unsicherheit aufgrund einer unscharfen Nachfrageprognose
(hier gibt es ein wichtiges Verbesserungspotential)
Somit ist an einer verbesserten Prognose mit geringeren
Abweichungen zu arbeiten
( )
Π S ∗ = (3 − 1) ⋅100 − Z S ∗ = 200 − 14 = 186
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Konsequenzen
Es gilt somit
( )
( )
= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + (co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 z ∗ − co ⋅ σ ⋅ z ∗ = (co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 z ∗
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
( )
( )
( )
∞
∞


= co ⋅  S ∗ − µ + ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y=S
y=S ∗


( )
)






= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + (co + cu ) ⋅ σ ⋅  f 01 z ∗ − z ∗ ⋅  1 − F01 z ∗  




 =1− cu = co  
 cu + co cu + co  

co
= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + (co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 z ∗ − (co + cu ) ⋅ σ ⋅ z ∗ ⋅
cu + co
y=S
∞
∞
∞
∞
∞


= co ⋅  S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy − ∫ y ⋅ f ( y )dy − S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy + ∫ y ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y=S
y =0
y =0
y=S ∗
y=S ∗


∞
∞
∞
 ∗

= co ⋅  S ⋅1 − µ − S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy + ∫ y ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y=S
y =S ∗
y=S ∗


( )
(
= J S ∗ =σ ⋅L z ∗
∞
(
)
∞
y=S ∗
y =0
+ cu ⋅
∞
∞


Z S ∗ = co ⋅  S ∗ − µ + ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y=S
y=S ∗

 = z ∗ ⋅σ
440
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
441
Folge: Idealer Extremfall
Z(S*) bei Halbierung von σ
Es gilt nun
Bei sicherer Nachfrageprognose ohne
Abweichungen ergeben sich keinerlei erwartete
Kosten mehr
So wäre in diesem Fall die Bestellmenge an der
nun sicheren erwarteten Nachfrageprognose
auszurichten
S ∗ = S ∗ (CR ) = µ + 0,84 ⋅ σ = 100 + 0,84 ⋅10 ≈ 109
Erwartete Kosten
( )
( )
Z S ∗ = (co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 z ∗ = (0,5 + 2 ) ⋅10 ⋅ f 01 (0,84)
= 2,5 ⋅10 ⋅ 0,28 = 7
Damit ergibt sich als optimaler erwarteter Gewinn
( )
( )
Π S ∗ = (3 − 1) ⋅100 − Z S ∗ = 200 − 7 = 193
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
442
Diskrete Variante
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
443
Informationen zur Poissonverteilung
Die Poissonverteilung ist eine diskrete
Wahrscheinlichkeitsverteilung, d.h. es treten nur
abzählbar viele Ausprägungen auf
Sie ist abgeleitet aus einer Folge von Bernoulli
Experimenten (2 mögliche Ausgänge)
Die Dichtefunktion der Poissonverteilung ist definiert
durch
λy
p( X = y ) = p y = ⋅ e − λ , mit λ als Ereignisrate
y!
Hier tritt die Nachfrage in vordefinierten
Wahrscheinlichkeiten in diskreten Niveaus auf
Wir gehen dabei davon aus, dass die Nachfrage
für kleinere n Poisson verteilt ist
Hierzu zunächst einige Informationen zur
Poissonverteilung
Die Ereignisrate λ ist zugleich Erwartungswert und
Varianz der Verteilung
Der Einsatz einer solchen Verteilung bietet sich immer
dann an, wenn nur wenige Ausprägungen möglich sind
Geht die Anzahl der möglichen Ausprägungen gegen
Unendlich nähert sich die speziell parametrisierte
Poissonverteilung der Standardnormalverteilung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
444
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
445
Erwartungswert der Poissonverteilung
Varianz der Poissonverteilung
Es gilt für den Erwartungswert:
Es gilt für die Varianz
∞
∞
λy
λy
E ( X ) = ∑ y ⋅ p y = ∑ y ⋅ ⋅ e− λ = e− λ ⋅ ∑ y ⋅
y!
y!
y =0
y =0
y =0
∞
∞
(
)
∞
y =0
(
)
= ∑ y 2 − 2 ⋅ y ⋅ λ + λ2 ⋅
λ
=λ
y =1 ( y − 1) !
= λ ⋅ e− λ ⋅ ∑
2
y =0
y −1
∞
∞
Var( X ) = ∑ ( y − λ ) ⋅ p y = ∑ y 2 − 2 ⋅ y ⋅ λ + λ 2 ⋅ p y
y =0
∞
λ y −λ ∞ 2 λ y −λ
λ y −1
⋅ e = ∑ y ⋅ ⋅ e − 2 ⋅ λ2 ⋅ ∑
⋅ e− λ
(
)
−
y!
y!
y
!
1
y =0
y =1
∞
λy
λ y −λ ∞ 2 λ y −λ
⋅ e = ∑ y ⋅ ⋅ e − 2 ⋅ λ 2 + λ 2 = ∑ ( y ⋅ ( y − 1) + y ) ⋅ ⋅ e − λ − λ 2
y!
y!
y = 0 y!
y =0
y =0
∞
+ λ2 ⋅ ∑
=e λ
∞
= ∑ ( y ⋅ ( y − 1)) ⋅
y =0
∞
∞
λy
λ y −λ
⋅ e + λ − λ 2 = ∑ ( y ⋅ ( y − 1)) ⋅ ⋅ e − λ + λ − λ 2
y!
y!
y =0
= λ 2 ⋅ ∑ ( y ⋅ ( y − 1)) ⋅
y =2
λ y−2
1
⋅
⋅ e− λ + λ − λ 2
y ⋅ ( y − 1) ( y − 2 )!
λ y −2
⋅ e− λ + λ − λ 2 = λ2 + λ − λ2 = λ
y = 2 ( y − 2 )!
∞
= λ2 ⋅ ∑
446
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Erwartungswert der Kosten
Direkte Vereinfachungen
Damit können wir die folgende Formel ansetzen
S ∗ −1
( )
((
)
∞
)
((
)
Und erhalten schließlich als vereinfachten
Ausdruck
)
Z S ∗ = co ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p ( X = y )
y=S ∗
y =0
((
)
((
)
y =0
y =0
((
)
)
((
)
)
Somit ergibt sich für die erwarteten Kosten
)
)
y =0
y =0
( )
S∗
((
)
)
(
)
S ∗ −1
((
)
)
Z S ∗ = co ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ λ − S ∗ − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
((
)
y =0
)
= cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y ) − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
y =0
S ∗ −1
S ∗ −1
y=S ∗
S ∗ −1
∞
= cu ⋅ λ − S ∗ ⋅ cu ⋅1 − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
∞
∞
= cu ⋅ ∑ ( y ⋅ p( X = y )) − S ∗ ⋅ cu ⋅ ∑ ( p( X = y )) − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p ( X = y )
Bei der Ermittlung der optimalen Bestellmenge „stört“ die
unendliche Summe
Diese lässt sich allerdings durch einen einfachen Trick
„entfernen“
Wir definieren wie folgt
∞
447
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
y =0
y =0
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
448
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
449
Erwartungswert der Kosten
Poissonverteilung mit Mittelwert 3
Und damit erhalten wir
( )
Z S
∗
S∗
((
)
S∗
)
((
)
)
(
= co ⋅ ∑ S − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ ∑ S − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − S
∗
y =0
y =0
S∗
S∗
((
)
)
((
∗
)
)
∗
)
= co ⋅ ∑ S − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ ∑ S − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − cu ⋅ S
∗
y =0
∗
∗
y =0
S∗
((
)
)
(
= (co + cu ) ⋅ ∑ S − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ λ − S
∗
∗
)
y =0
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
450
Beispiel – Bestimmung von S*
S
( )
((
)
)
(
Z S ∗ = (co + cu ) ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ λ − S ∗
)
4
= (0,5 + 2) ⋅ ∑ ((4 − y ) ⋅ p( X = y )) + 2 ⋅ (3 − 4 )
y =0
= 2,5 ⋅ (0,19914827 + 0,44808362 + 0,44808362 + 0,22404184) − 2
= 2,5 ⋅ (1,31935731) − 2 = 1,298393275 ≈ 1,30
0,049787068
1
0,149361205
0,199148273
2
0,224041808
0,423190081
3
0,224041808
0,647231889
4
0,168031356
0,815263245
5
0,100818813
0,916082058
6
0,050409407
0,966491465
7
0,021604031
0,988095496
8
0,008101512
0,996197008
9
0,002700504
0,998897512
10
0,000810151
0,999707663
11
0,00022095
0,999928613
12
5,52376E-05
0,999983851
13
1,27471E-05
0,999996598
14
2,73153E-06
0,99999933
15
5,46306E-07
0,999999876
16
1,02432E-07
0,999999978
17
1,80763E-08
0,999999996
18
3,01272E-09
0,999999999
19
4,75692E-10
1
20
7,13538E-11
1
21
1,01934E-11
1
22
1,39001E-12
1
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
451
dass diese Kosten nicht immer eindeutig ermittelbar sind
So gibt es unter Umständen Kunden, die aufgrund von
Fehlmengen dauerhaft oder zumindest längerfristig zur
Konkurrenz wechseln
Diese Auswirkungen zu ermitteln ist sehr schwierig
Daher gibt es andere Ansätze, die eine bestimmte
Qualität in Form von zu erreichenden Servicegraden
vorgeben und ausgehend hiervon die Bestellmengen
festlegen
Damit ergibt sich als erwarteter Gewinn
( )
Π S ∗ = (3 − 1) ⋅ 3 − Z S ∗ = 6 − 1,30 = 4,70
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Kumulierte Wahrscheinlichkeit
0,049787068
Bisher haben wir für Fehlmengen und Überbestände
einfach Kosten angesetzt und diese schließlich minimiert
Problem dabei ist allerdings
y =0
( )
Wahrscheinlichkeit
0
Servicegrade
Wie man sofort sieht, ist S* auf 4 zu setzen
∗
Nachfrage
452
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
453
Beispielwerte
α-Servicegrad
Idee:
α
z(α)
0,895
1,25
0,9
1,29
0,905
1,31
0,91
1,34
0,915
1,37
0,92
1,41
0,925
1,44
0,93
1,48
0,935
1,51
0,94
1,56
unter Beachtung der Nebenbedingung
0,945
1,6
F (S ) ≥ α
0,95
1,64
Wir wollen mit der Vorgabe eines Wertes zwischen 0
und 1 für α bestimmen, dass die Nachfrage in α
Prozent vielen Fällen vollauf befriedigt werden
kann
Das heißt formal, dass wir das folgende Problem
betrachten
Minimiere S
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
454
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
α-Servicegrad – Die zugehörige Bestellmenge
Wir können somit S* direkt ermitteln durch
455
β-Servicegrad
Idee:
Betrachte zu einer Bestellmenge S die erwartete
Fehlmenge J(S)
S ∗ = F −1 (α )
∞
J (S ) =
An unserem Beispiel (µ=100, σ=20) folgt für
α=0,95: z=1,64 und damit S*=100+1,64.20=132,8.
Also 133 Stück
α=0,9: z=1,29 und damit S*=100+1,29.20=125,8. Also
126 Stück
Sie enthält – wenn normiert – den Anteil der
Nachfrage, der nicht befriedigt werden kann, d.h.
∞
J (S )
=
µ
Die Funktion nimmt bei Annäherung an α=1
einen extrem ansteigenden Verlauf
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
∫ ( y − S )⋅ f ( y )dy
y=S
456
∫ ( y − S )⋅ f ( y )dy
y=S
µ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
457
β-Servicegrad – Die zugehörige Bestellmenge
β-Servicegrad
Das heißt – positiv formuliert – wir sind bei Bestellmenge
S in der Lage, genau
Wir betrachten wiederum unser Beispiel mit der
Normalverteilung
Unter Verwendung von J(S)=σ.L(z) gehen wir
über zu der normierten Funktion L(z)
Damit muss für S* gelten
∞
J (S )
1−
= 1−
µ
∫ ( y − S )⋅ f ( y )dy
y=S
µ
Prozent der Nachfrage zu befriedigen
Damit ergibt sich als Programm der Erfüllung eines βServicegrades
( )
( )
( )
Minimiere S
unter Beachtung der Nebenbedingung 1 −
J (S )
≥β
µ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
458
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
459
Im Folgenden werden Modelle untersucht, die eine
Betrachtung des Bestandsverlaufs über mehrere
Perioden erlauben und somit längerfristige Effekte
abbilden
Dabei wird davon ausgegangen, dass Überbestände
auch in den folgenden Perioden noch verwendet
werden können und Fehlmengen Nachbestellungen in
den folgenden Perioden auslösen
Zudem soll es (zunächst) möglich sein, Bestellungen in
Nullzeit zu erhalten, d.h. Lieferzeiten werden
vernachlässigt
β = 0 ,95,µ = 100,σ = 20
5
= 0,25 ≥ L z ∗
20
( )
Durch Betrachtung von entsprechenden Tabellen
erhalten wir
z ∗ = L−1 (0,25) ≈ 0,34
Wir können also am Anfang einer Periode bestellen und erhalten
in derselben Periode noch die entsprechende Lieferung
Des weiteren gehen wir von einem Zielbestand S aus, der jeweils
am Anfang einer jeden Periode auf dem Lager vorhanden sein
soll
⇒ S = 100 + 0,34 ⋅ 20 = 106,8 ≈ 107
∗
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
( )
3.2.3.2 Periodisches Bestandsmanagement
Wir unterstellen wieder die obigen Daten
σ
( )
Beachte dass L(z) eine fallende Funktion ist
Am Beispiel ergibt sich
(1 − β ) ⋅ µ =
( )
µ − σ ⋅ L z∗
σ ⋅ L z∗
J S∗
≥ β ⇔ 1−
≥β⇔
≥β
µ
µ
µ
(1 − β ) ⋅ µ ≥ L z ∗
⇔ µ − σ ⋅ L z ∗ ≥ β ⋅ µ ⇔ (1 − β ) ⋅ µ ≥ σ ⋅ L z ∗ ⇔
σ
1−
460
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
461
Variablen des Modells
Kostenfunktion
Wir wollen wiederum die erwarteten Kosten pro
Periode minimieren
Dazu ist zunächst zu determinieren, welche
Kostenbestandteile auftreten können und wie
sich diese berechnen lassen
Wir vereinbaren als Parameter
X t : Bestellmenge in Periode t
I t : Lagerbestand am Anfang der Periode t
Yt : Nachfrage in Periode t
Alle diese Größen sind Zufallsvariablen
Damit ergibt sich die Bestellmenge aus dem
Lagerbestand, der zu Beginn einer Periode bekannt ist,
durch die einfache Formel
X t = S − It
Negative Bestände repräsentieren Fehlmengen, die durch
eine nachfolgende Bestellung auszugleichen sind
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
462
Direkter Zusammenhang
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
463
Konsequenz
Wir bestellen in jeder Periode soviel, dass wir schließlich
den Bestand S erreichen
Das heißt also, es gilt X t = S − I t
Darüber hinaus gilt
Fehlmengen- und Lagerhaltungskosten treten also immer
bei positiven oder negativen Beständen am Anfang einer
Periode auf
Da der Anfangsbestand einer Periode dem Endbestand
der Vorperiode entspricht, müssen wir uns also zur
Determinierung dieser Kosten lediglich den Bestand am
Ende der einzelnen Perioden anschauen
Damit ergibt sich für die Anfangsbestände I t +1 = S − Yt
Fehlmengen und Überbestände hängen somit lediglich
von Yt ab, d.h. wir müssen unterscheiden ob gilt
I t = I t −1 + X t −1 − Yt −1 = I t −1 + S − I t −1 − Yt −1 = S − Yt −1
⇔ S − I t = Yt −1
Man sieht
Wir bestellen einfach in jeder Periode genau den Verbrauch der
letzten Periode
X t = Yt −1
Wenn man einen positiven Endbestand erhält, dann fallen
Lagerkosten an
Wenn ein negativer Endbestand auftritt, dann fallen
Fehlmengenkosten an
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Variable Bestellkosten c fallen je bestellter Einheit an
Lagerhaltungskosten h fallen mit dem Lagerbestand
an, der am Ende einer jeden Periode noch vorliegt.
Diese werden durch den Lagerhaltungskostensatz h
monetär bewertet
Strafkosten p (Penalty Cost) fallen pro Einheit an, die
als Fehlmenge auftritt (Kosten der Rückstellung einer
Nachfrage)
S < Yt oder S > Yt
464
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
465
Die erwarteten Gesamtkosten
Am Beispiel
Da variable Bestellkosten entscheidungsirrelevant
sind, können wir für die erwarteten Gesamtkosten
einer Periode festhalten
Z (S ) = h ⋅ E (max{S − Yt ,0}) + p ⋅ E (max{Yt − S ,0})
Dies ist offensichtlich die Zielfunktion des
Newsvendor Problems, wenn man cu durch p und
co durch h ersetzt
Somit erhalten wir als optimales Bestellniveau
 p 

S ∗ = F −1 
 p+h
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
466
Bestimmung des optimalen Bestandes S*
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
467
Erwartete Kosten
Wir unterstellen die folgenden Kostensätze
Wir können wiederum die Formel des
Newsvendor Problems direkt einsetzen und
erhalten somit als einfache Berechnung
Lagerhaltungskosten h=0,5 €/Stück je Woche
Fehlmengenkosten p=3 €/Stück je Woche
Damit erhalten wir
Z ( S ∗ ) = ( p + h ) ⋅ f 01 ( z ∗ ) ⋅ σ = 3,5 ⋅ f 01 (1,07 ) ⋅ 50
 p 
 3 
−1
S ∗ = F −1 
= F −1 

 ≈ F ( 0,8571)
3,5
p
h
+




= 3,5 ⋅ 0,2251 ⋅ 50 = 39,3925 €/Woche
Setzt man einen Verkaufspreis von 10€ und
Einkaufskosten von c=4€ an, erhalten wir damit
als erwarteten Gewinn
Damit können wir z* direkt in der Tabelle der
Standardnormalverteilung ablesen und erhalten
z*=1,07 und damit
S*=100+1,07.50=153,5 Stück pro Woche
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wir betrachten als Beispiel wieder einen Händler
Diesmal soll ein Elektronikteilhändler betrachtet werden,
der sich auf spezielle Adapter für Hardwarebastler
spezialisiert hat
Wir betrachten die wöchentliche Nachfrage, wobei der
Händler lediglich am Freitag bestellt und am
Montagmorgen vor Geschäftseröffnung die
entsprechende Lieferung erhält
Da keine Verkäufe am Wochenende erfolgen, liegt hier
die im Modell unterstellte Lieferung in Nullzeit vor
Wir gehen wiederum von einer normalverteilten
Nachfrage mit dem Erwartungswert µ=100 Stück/Woche
und einer Standardabweichung von 50 Stück/Woche aus
Π ( S ∗ ) = µ ⋅ 6 − Z ( S ∗ ) = 600 − 39,3925 = 560,6075 €/Woche
468
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
469
Berücksichtigung der Lieferzeit
Parameter und Modelldefinitionen
In vielen Problemstellungen muss allerdings eine
Lieferzeit durch das Anwendungssystem
berücksichtigt werden
Dies verändert die Problemstellung in der Weise,
dass der Lagerbestand nicht sprunghaft, sondern
schrittweise aufgefüllt wird
Wir verfügen also nicht nur über den physischen
Lagerbestand, sondern müssen noch zusätzlich
offene, d.h. erfolgte aber noch nicht
eingetroffene, Bestellungen berücksichtigen
Dies wird zu einer „gewissen Verschiebung“ der
Verteilung führen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wir modifizieren unseren Modellentwurf nun wie
folgt
Neben dem Lagerbestand It zu einer Periode t treten
somit periodenbezogene Parameter zu ausstehenden
Bestellmengen Ot (Open Orders) und disponiblen
Lagerbeständen IPt (Inventory Position)
Der disponible Lagerbestand in Periode t IPt ergibt sich
als Summe der in t noch ausstehenden Bestellmenge
und dem dort vorliegenden Lagerbestand. Damit gilt
IPt = I t + Ot
Wir unterstellen zudem eine Lieferzeit von LT Perioden
470
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Zusammenhang der Parameter
471
Konsequenz
Damit können wir uns nun verdeutlichen, wie sich
Bestellungen in der Periode t auf den Lagerbestand in der
Periode t+LT auswirken
Konkret wird eine Bestellung in einer Periode wiederum
so gebildet, dass der Lagerbestand zu Beginn der
Periode durch die Bestellung auf den Zielbestand S
aufgefüllt wird
Die Bestellung in der Periode t (also Xt) selbst trifft dann
im Laufe der Periode t+LT ein
So gilt am Ende der Periode t+LT für den Lagerbestand
I t + LT + X t − Yt + LT
Damit können wir direkt für den Lagerbestand am
Anfang der Periode t+LT+1 folgern
I t + LT +1 = I t + LT + X t − Yt + LT
= I t + X t − LT + ... + X t −1 − Yt − ... − Yt + LT −1 + X t − Yt + LT
= I t + X t − LT + ... + X t −1 + X t − Yt − ... − Yt + LT −1 − Yt + LT
= IPt + X t − Yt − ... − Yt + LT −1 − Yt + LT
t + LT
=S−
Yτ
∑
τ
=t
Dabei lässt sich für den Lagerbestand am Ende der
Periode t+LT-1 (d.h. am Anfang der Periode t+LT)
festhalten
I t + LT = I t + X t − LT + ... + X t −1 − Yt − ... − Yt + LT −1
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Was bedeutet dieses Ergebnis für die Suche
nach einem optimalen Wert für S*?
472
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
473
Interpretation des Ergebnisses
Damit können wir schreiben
Der Lagerbestand in Periode t wird also durch die
Nachfrage in den Perioden t, t-1,…,t-LT
bestimmt, die jeweils zu Fehlmengen oder
Überständen führen können
Damit sind wir an Informationen zur Verteilung
der Summe der Nachfragen über diese Perioden
interessiert
Dies wird als Faltung bezeichnet
Wir unterstellen wiederum stochastische
Unabhängigkeit zwischen den einzelnen
Perioden und definieren YLT+1 als die Faltung der
LT+1 unabhängigen Nachfragen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
474
für den Lagerbestand, der sich am Ende der Periode t+LT
ergibt
I t + LT = S − Y LT +1
Allerdings vereinfacht sich diese Berechnung signifikant,
wenn die Nachfrage jeweils normalverteilt ist
So ist im Allgemeinen die Summe von k normalverteilten
unabhängigen Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ und
Varianz σ2 wiederum normalverteilt mit Erwartungswert
k.µ und Varianz k.σ2
Dies wird an folgender Herleitung deutlich
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Konsequenz
Direkte Konsequenz
Damit ergibt sich für die Verteilung der letzten
LT+1 Perioden
Aufgrund der Eigenschaften der Normalverteilung gilt
somit
S ∗ = µLT +1 + z ∗ ⋅ σ LT +1
Damit ergibt sich die Kostenfunktion
Wir unterstellen nun für unser kleines Beispiel eine
Lieferzeit von LT=2 Wochen
Die anderen Parameter behalten wir bei, d.h.
Erwartungswert (LT+1).µ und
Varianz (LT+1).σ2
(
)
(
)
Z ( S ) = h ⋅ E max {S − Y LT +1 ,0} + p ⋅ E max {Y LT +1 − S ,0}
Erwartungswert: µ=100 Stück/Woche
Standardabweichung: σ=50 Stück/Woche
Wir unterstellen die folgenden Kostensätze
Lagerhaltungskosten h=0,5 €/Stück je Woche
Fehlmengenkosten p=3 €/Stück je Woche
Damit ergibt sich wiederum als optimale Lösung
 p 
S ∗ = FLT−1+1 

 p+h
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
475
Damit erhalten wir
µLT+1=3.100=300 Stück/Woche
σLT+1=(3.502)1/2=86,60 Stück/Woche
476
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
477
Ermittlung von S*
Ermittlung der erwarteten Kosten
Wir verwenden wieder die Gesetzmäßigkeit der
Normalverteilung und erhalten wiederum direkt
 p 
 3 
z ∗ = F01,−1LT +1 
= F01,−1LT +1 
≈ F01,−1LT +1 ( 0,8571) ≈ 1,07


 3,5 
 p+h
Wir können wiederum die Formel des
Newsvendor Problems direkt einsetzen und
erhalten
Z ( S ∗ ) = ( p + h ) ⋅ f 01 ( z ∗ ) ⋅ σ LT +1 = 3,5 ⋅ 0,2251 ⋅ 86,6
= 68,22781 €/Woche
und somit für den optimalen Zielbestand
S*=300+1,07.86,60=392,662 Stück pro Woche
Setzt man wieder einen Verkaufspreis von 10€
und Einkaufskosten von c=4€ an, erhalten wir
damit als erwarteten Gewinn
Π ( S ∗ ) = µ ⋅ 6 − Z ( S ∗ ) = 600 − 68,22781 = 531,77 €/Woche
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
478
Sensitivitätsanalyse
Praktische Konsequenz
Wir sehen z.B. anhand der Formel für die
Berechnung der Bestellkosten
Z ( S ∗ ) = ( p + h ) ⋅ f 01 ( z ∗ ) ⋅ σ LT +1 = ( p + h ) ⋅ f 01 ( z ∗ ) ⋅ σ ⋅ LT + 1
dass die Bestellkosten linear mit der
Standardabweichung der Nachfrage steigen oder
fallen
oder dass die Bestellkosten linear mit (LT+1)1/2
steigen oder fallen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
479
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wir können untersuchen, was es an Ersparnissen
bringen würde, wenn wir durch eine bessere
Abstimmung mit unserem Lieferanten die
Lieferzeit auf eine Woche reduzieren würden
Da z* offensichtlich unabhängig von LT ist,
können wir einfach formulieren
∆Z LT , LT −1 ( S ∗ ) = ( p + h ) ⋅ f 01 ( z ∗ ) ⋅ σ ⋅
= 3,5 ⋅ 0,2251 ⋅ 50 ⋅
480
(
(
LT + 1 − LT + 1 − 1
)
)
3 − 2 = 39,3925 ⋅ 0,3178 ≈ 12,52
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
481
Analyse der Bestandshöhe
Der Sicherheitsbestand
Wir analysieren in Abhängigkeit der Lieferzeit LT den
Verlauf des
dient zur Absicherung für Konstellationen in
denen die Nachfrage die Summe der
durchschnittlichen Erwartungswerte übersteigt
erzeugen entsprechende Lagerkosten über den
erwarteten Verbrauch
Dies ist somit der Preis für die Unsicherheit in der
Nachfrage
Damit erlaubt eine bessere Kenntnis über die
Nachfrage eine deutliche Reduktion der Kosten
Pipelinebestands (ps=„pipeline stock“)
Sicherheitsbestands (ss=„safety stock“)
Liegt eine Lieferzeit LT vor, entstehen durchschnittliche
Pipelinebestände von
ps = LT ⋅ µ = µLT
D.h. in der Zeit der Beschaffung fallen diese Nachfragen
durchschnittlich an und wir bestellen jeweils die Differenz
zu S*, also durchschnittlich genau die erwartete
Nachfragemenge
Zudem ergibt sich ein gesamter Sicherheitsbestand ss
von
ss = S ∗ − µLT +1 = z ∗ ⋅ σ LT +1 = z ∗ ⋅ LT + 1 ⋅ σ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
482
483
α-Servicegrad – Am Beispiel
α-Servicegrad
Misst die Wahrscheinlichkeit, dass in einer
Periode keine Rückstellung notwendig wird
Man sucht damit aufgrund der oben hergeleiteten
Zusammenhänge die kleinste Bestellmenge S*
mit
F
S∗ ≥ α
LT +1
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
( )
Wir betrachten nun wiederum ein einfaches
Beispiel zur Illustration des Vorgehens
Dazu sei bei unserem Hardware Shop ein αServicegrad von 95% angenommen
Dann muss gelten
S ∗ = FLT−1+1 ( 0,95 ) ⇒ S ∗ = µ LT +1 + z ∗ ⋅ σ LT +1 , mit
Damit wählen wir
∗
−1
LT +1
S =F
z ∗ = F01,−1LT +1 ( 0,95 ) ≈ 1, 65
(α )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
⇒ S ∗ = µ LT +1 + z ∗ ⋅ σ LT +1 = 300 + 1, 65 ⋅ 86, 6 = 442,89
484
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
485
β-Servicegrad
β-Servicegrad
Während beim vorherigen α-Servicegrad eine Periode in
der Weise isolierbar ist, dass nur gefragt wird, ob es
keinerlei Fehlmengen (d.h. keine unbefriedigte
Nachfrage) gibt, ist dies beim β-Servicegrad so einfach
nicht mehr möglich
Das Problem besteht hier nun darin, dass die genaue
Wahrscheinlichkeit einer spezifischen Fehlmenge (d.h., y,
mit y>S*) nicht periodengenau vorliegt
Genauer gesagt, wir wissen nicht genau wann die
Nachfrage y aufgetreten ist
Somit kann es sein, dass wir in der betrachteten Periode
eine unbefriedigte Nachfrage messen, die in Wahrheit in
der Vorperiode aufgetreten ist und dort ebenfalls
unbefriedigt geblieben ist
Der β-Servicegrad misst nun den Anteil der Nachfrage
einer Periode der durchschnittlich zurückgestellt werden
muss
Damit zielt dieser Servicegrad auf die Berechnung der
erwarteten Fehlmenge JLT+1(S) der Nachfrage in einer
Periode
∞
J LT +1 ( S ) =
∫ ( y − S)⋅ f
LT +1
( y ) dy
y=S
Beim periodischen Bestandsmanagement lässt sich
allerdings diese Berechnung nicht einfach isoliert für die
einzelnen Perioden durchführen
Warum?
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
486
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wahrscheinlichkeit einer Fehlmenge
Berechnung des β-Servicegrades
Dies führt zu einer möglichen Überbewertung (d.h.
Mehrfachzählung) von Fehlmengen
Dies gilt natürlich nur für die von uns gewählte Definition
des β-Servicegrades
Für diese können wir aber die oben genannte Definition
als Näherungswert ansetzen
Dies erscheint vor allem dann sinnvoll, wenn der Wert für
β nahe bei 1,0 liegen soll
Hierbei ist zu beachten, dass diese höheren Werte für β
mehrfache Fehlmengen deutlich unwahrscheinlicher
werden lassen
Daher werden wir für diese Fälle die oben genannte
vereinfachte Formel als eine relativ genaue Näherung
verwenden
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
487
Damit können wir allgemein den β-Servicegrad wie folgt
herleiten
Wir suchen die minimale Bestellmenge S*, für die gilt
1−
J LT +1 ( S ∗ )
µ
≥β ⇔
µ − J LT +1 ( S ∗ )
≥ β ⇔ µ − J LT +1 ( S ∗ ) ≥ µ ⋅ β ⇔ (1 − β ) ⋅ µ ≥ J LT +1 ( S ∗ )
µ
Betrachten wir hierzu unser kleines Beispiel
Seien β=0,95 und µ=100 Stück/Woche
Dann gilt
(1 − β ) ⋅ µ ≥ J LT +1 ( S ∗ ) ⇒ 0,05 ⋅100 = 5 ≥ J LT +1 ( S ∗ ) = σ LT +1 ⋅ L ( z )
⇔ 5 ≥ 86,6 ⋅ J 01 ( z ∗ ) ⇒ J 01 ( z ∗ ) ≤ 0,057737 ⇒ z ∗ ≈ 1,19
Bei minimal gewähltem S ∗ gilt somit S ∗ ≈ 300 + 86,6 ⋅1,19 = 403,054
488
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
489
Damit erhalten wir
3.2.3.3 Kontinuierliches Bestandsmanagement
Einen Pipelinebestand von
LT ⋅ µ = 2 ⋅ 100 = 200
Bisher haben wir eine optimale Bestellmenge
bestimmt, zu der – als Zielbestand – immer
wieder aufzufüllen ist
Wir wollen nun aber den Bestellpunkt und die
Bestellmenge unabhängig voneinander
optimieren, d.h. wir integrieren in das Modell eine
höhere Flexibilität indem wir nicht länger den
Bestellpunkt aus der verfolgten Bestellmenge als
Zielbestand ableiten
Dazu wird angenommen, dass immer maximal
eine Bestellung offen sein kann
und einen Sicherheitsbestand von
S ∗ − µLT +1 = z ∗ ⋅ σ LT +1 = 403,054 − 300 = 103,054
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
490
Die Kosten – Variable Bestellkosten
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
491
Die Kosten – Fixe Bestellkosten
Diese erwarteten Kosten entstehen
ausschließlich abhängig vom Bedarf in einer
Periode
Wir können somit formulieren
Diese Kosten entstehen aufgrund der
Durchführung von Bestellungen
Wir können somit formulieren
K fB ( x, r ) =
K vB ( x, r ) = c ⋅ µ
Dabei gilt
µ
x
⋅k
Dabei gilt
c Variable Bestellkosten je Produkteinheit
k Fixe Bestellkosten je Bestellvorgang
µ Erwartete Nachfrage im Planungszeitraum
µ Erwartete Nachfrage im Planungszeitraum
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
492
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
493
Die Kosten – Lagerkosten
Achtung – Fehler in der Berechnung
Diese Kosten entstehen aufgrund der vorhandenen
Lagerbestände
Wir können somit formulieren
r + x − LT ⋅ µ : Maximaler Lagerbestand wenn Bestellung gerade eintrifft
r − LT ⋅ µ : Minimaler Lagerbestand genau vor dem Eintreffen der Bestellung
 r + x − LT ⋅ µ + r − LT ⋅ µ 
 2 ⋅ r + x − 2 ⋅ LT ⋅ µ 
K LB ( x, r ) = h ⋅ 
 = h⋅

2
2




x

= h ⋅  + r − LT ⋅ µ 
2

Dabei gilt
h Lagerkostensatz
Leider erfolgt die Berechnung lediglich auf Basis der
Erwartungswerte
Damit gehen Fehlmengen als negative Bestände ein
Dies ist offensichtlich nicht korrekt, da in diesen
Situationen kein negativer Lagerbestand sondern kein
Lagerbestand vorliegt
Damit unterschätzen wir insgesamt den Lagerbestand
Da dieser Fehler aber bei höheren Servicegraden sehr
gering ist, können wir mit dieser Approximation arbeiten
Es gibt allerdings auch exakte Ansätze zu dieser
Problemstellung (vgl. Zipkin (2000))
LT Lieferzeit in Perioden
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
494
Die Kosten – Fehlmengenkosten
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Ermittlung der optimalen Lösung
Diese Kosten entstehen aufgrund von Fehlmengen
Bei jeder möglichen Bestellung ergeben sich erwartete
Fehlmengenkosten von
Wir betrachten die Gesamtkostenfunktion
KG ( x , r ) = c ⋅ µ +
∞
K PFM ( x, r ) =
∫ ( y − r) ⋅ f ( y ) = J (r)
LT
∂K G ( x , r )
h µ
µ
= − 2 ⋅ k + − 2 ⋅ J LT ( r ) ⋅ p
2 x
∂x
x
Da es µ/x viele Bestellvorgänge gibt, gilt
µ
x
⋅ K PFM ( x, r ) = p ⋅
µ
x
µ
x

⋅ k +  + r − LT ⋅ µ  ⋅ h + ⋅ J LT ( r ) ⋅ p
x
x
2

µ
und bilden die partiellen Ableitungen
LT
y =r
K FM ( x, r ) = p ⋅
⋅ J LT ( r )
∞
∂K G ( x , r )
µ ⋅ p ∂J LT ( r )
µ⋅ p
=h+
⋅
=h+
⋅
x
x
∂r
∂r
Dabei gilt
∂
∫ ( y − r ) ⋅ f ( y ) dy
y =r
∂r
Anwendung der Leibniz Regel
(siehe 2.Integral beim Newsvendor Problem)
p Kosten pro Einheit Fehlmenge
=h+
LT Lieferzeit in Perioden
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
495
496
µ⋅ p
x
(
)
⋅ − (1 − FLT ( r ) ) = h +
µ⋅ p
x
⋅ ( −1 + FLT ( r ) )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
497
Auflösen nach x und r
Optimale Wahl von x
∂K G ( x , r )
µ
h µ
= 0 ⇔ − ⋅k + −
x2
∂x
2
x2
Ein Problem bleibt allerdings…
beide Berechnungsformeln hängen voneinander
in der Weise ab, dass x zur Bestimmung von r
benötigt wird und umgekehrt dass r zur
Bestimmung von x benötigt wird
Daher müssen wir ein iteratives Vorgehen
anwenden, das sich schrittweise der optimalen
Konstellation annähert
Dazu wird der folgende Algorithmus angewendet
⋅ J LT ( r ) ⋅ p = 0
h
h
⇔ − µ ⋅ k + ⋅ x 2 − µ ⋅ J LT ( r ) ⋅ p = 0 ⇔ ⋅ x 2 = µ ⋅ J LT ( r ) ⋅ p + µ ⋅ k
2
2
⇔ x2 =
2 ⋅ µ ⋅ ( J LT ( r ) ⋅ p + k )
h
⇔x=
2 ⋅ µ ⋅ ( J LT ( r ) ⋅ p + k )
h
Optimale Wahl von r
∂K G ( x , r )
µ⋅ p
µ⋅ p µ⋅ p
=h+
⋅ ( −1 + FLT ( r ) ) = 0 ⇔ h −
+
⋅ FLT ( r ) = 0
x
x
x
∂r

µ⋅ p
µ⋅ p
h⋅x
h⋅ x 
⇔
⋅ FLT ( r ) =
− h ⇔ FLT ( r ) = 1 −
⇔ r = FLT−1 1 −
x
x
⋅ p 
µ⋅ p
µ

Wirtschaftsinformatik und Operations Research
498
Iterativer Lösungsansatz
Annahme einer Normalverteilung
Die Berechnungsformeln können wiederum
etwas vereinfacht werden, wenn eine
normalverteilte Nachfrage vorliegt
In diesem Fall können wir die Formeln

h⋅ x 
2 ⋅ µ ⋅ ( J LT ( r ) ⋅ p + k )
r = F −1 1 −
1. Anfangslösung
Wir bestimmen eine Anfangslösung für die Bestellmenge x0 mit Hilfe
der klassischen Bestellmengenformel. Auf dieser Basis wird mit Hilfe
der Berechnungsformel für r ein Anfangswert für den Bestellwert
ermittelt
2. Aktualisierung der Bestellmenge x
Wir aktualisieren die Bestellmenge mit der Berechnungsformel für x
auf der Basis der aktuellen Werte für x und r
3. Aktualisierung des Bestellpunktes r
Wir aktualisieren den Bestellpunkt mit der Berechnungsformel für r
auf der Basis der aktuellen Werte für x und r
4. Frage der Terminierung
Fällt die Veränderungsrate für x und r unter einen vorgegebenen
Schwellwert, wird die Berechnung gestoppt. Andernfalls werden die
Schritte 2 bis 4 wiederholt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
499
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
x=
LT
h


µ ⋅ p 
aufgrund der Beziehung
J LT ( r ) = L ( z ) ⋅ σ LT , mit z =
formulieren als
2 ⋅ µ ⋅ ( L ( z ) ⋅ σ LT ⋅ p + k )
x=
500
h
r − µLT
σ LT

h⋅ x 
r = µLT + z ⋅ σ LT , mit z = F01−1 1 −

 µ⋅ p
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
501
Beispiel
Fehlmengenkosten
(vgl. Thonemann (2005) S.244)
Falls es nicht gelingt die erforderliche Menge an
Anschlusskabeln bereitzustellen, wird der eigentliche
Produktionsprozess am Band erheblich gestört
So werden die Toaster in diesem Fall ohne
Anschlusskabel gefertigt und – nach erfolgter Lieferung –
in einem Offline Schritt neben dem Band montiert
Dazu sind spezielle Verschraubungen der hinteren
Abdeckung wieder zu lösen und das Kabel in die
Schutzvorhängung einzuführen
Aufgrund von Lagerung, zusätzlichen Arbeitsschritten und
Effizienzverlusten entstehen so Mehrkosten von p=3€ je
Stück
Da die Fertigung der Kabel in Tschechien erfolgt, ergeben
sich Lieferzeiten von LT=9 Tagen
Wir betrachten folgende Konstellation, die sich beim
Bestandsmanagement für Anschlusskabel für Toaster
ergibt
Wir gehen von einer normalverteilten Nachfrage aus mit
den folgenden Daten
Erwartungswert der Nachfrage: µ = 36500 Stück pro Jahr
Standardabweichung der Nachfrage: σ =1720 Stück pro Jahr
Wir unterstellen eine 365 Tage Produktion
Die fixen Bestellkosten betragen k=50€ pro Bestellung
Die variablen Bestellkosten betragen c=0,9€ pro Stück
Der Lagerhaltungskostensatz beträgt h=0,2€ pro Stück
und Jahr
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
502
Beispiel – Vorbereitung
503
Beispiel – Initialisierung
Zunächst berechnen wir den Erwartungswert und
die Standardabweichung der Nachfrage über die
Lieferzeit
Offensichtlich ist die ursprüngliche Verteilung eine
Faltung der einzelnen Perioden von jeweils 9
Tagen
Damit gilt
365
9
9
⋅ µLT ⇔ µLT =
⋅µ =
⋅ 36.500 = 900 Stück
9
365
365
365
9
9
σ=
⋅ σ LT ⇔ σ LT =
⋅ σ ⇔ σ LT =
⋅ 1720 = 270 Stück
9
365
365
µ=
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
504
Wir bestimmen die erste Bestellmenge mit Hilfe
der klassischen Herleitungsformel
x0 = 2 ⋅ k ⋅
36500
µ
= 2 ⋅ 50 ⋅
= 4272 Stück
h
0,2
Wir bestimmen den Bestellpunkt

h⋅x 
 0,2 ⋅ 4272 
−1
z = F01−1 1 −
= F01−1 1 −
 = F01 ( 0,9922 ) ≈ 2,42

µ
36500
3
⋅
p
⋅




Damit ergibt sich der aktuelle Bestellpunkt
r = µLT + z ⋅ σ LT = 900 + 2,42 ⋅ 270 = 1553 Stück
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
505
Aktualisierung der Bestellmenge
Aktualisierung des Bestellpunktes
Wir benötigen zunächst den Wert für L(z)
Wir berechnen zunächst

h⋅ x 
 0,2 ⋅ 4361 
−1
z = F01−1 1 −
= F01−1 1 −
 = F01 ( 0,9920 ) ≈ 2,41

36500 ⋅ 3 

 µ⋅ p
L ( z ) = L ( 2,42 ) = 0,0026
und berechnen für die Bestellmenge
x=
2 ⋅ µ ⋅ ( L ( z ) ⋅ σ LT ⋅ p + k )
h
=
2 ⋅ 36500 ⋅ ( 0,0026 ⋅ 270 ⋅ 3 + 50 )
0,2
Damit erhalten wir den neuen Bestellpunkt
r = µLT + z ⋅ σ LT = 900 + 2,41 ⋅ 270 = 1551 Stück
= 4361 Stück
Veränderungen sind signifikant!
Daher: Keine Terminierung!
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
506
Aktualisierung der Bestellmenge
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
507
Aktualisierung des Bestellpunktes
Wir benötigen zunächst den Wert für L(z)
Wir berechnen zunächst

h⋅x 
 0,2 ⋅ 4361 
−1
F01−1 1 −
= F01−1 1 −
 = F01 ( 0,9920 ) ≈ 2,41

36500 ⋅ 3 

 µ⋅ p
L ( z ) = L ( 2,41) = 0,0026
und berechnen für die neue Bestellmenge
x=
2 ⋅ µ ⋅ ( L ( z ) ⋅ σ LT ⋅ p + k )
h
=
2 ⋅ 36500 ⋅ ( 0,0026 ⋅ 270 ⋅ 3 + 50 )
0,2
Damit erhalten wir den neuen Bestellpunkt
r = µLT + z ⋅ σ LT = 900 + 2,41 ⋅ 270 = 1551 Stück
= 4361 Stück
Keine Veränderungen erzielt
Daher: Terminierung!
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
508
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
509
Ergebnis
Gesamtkosten
Aufgrund der gewählten Genauigkeit erhalten wir die
optimale Lösung
Damit erhalten wir erwartete Gesamtkosten in
Höhe von
x = 4361 ∧ r = 1551 Stück
KG ( x, r ) = 32850 + 418,48 + 566,3 + 17,62 = 33852,4
Damit erhalten wir als erwartete variable Bestellkosten,
K vB ( x, r ) = c ⋅ µ = 0,9 €/Stück ⋅ 36500 Stück/Jahr = 32850
als erwartete fixe Bestellkosten
µ
36500
K fB ( x, r ) =
x
⋅k =
4361
⋅ 50 = 418,48
als erwartete Lagerkosten
x

 4361

K LB ( x, r ) = h ⋅  + r − LT ⋅ µ  = 0,2 ⋅ 
+ 1551 − 900  = 566,3
2

 2

und als erwartete Fehlmengenkosten
K FM ( x, r ) = p ⋅
µ
x
⋅ L ( z ) ⋅ σ LT = 3 ⋅
36500
36500
⋅ L ( 2,41) ⋅ 270 = 3 ⋅
⋅ 0,0026 ⋅ 270 = 17,62
4361
4361
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
510
Sicherheitsbestand und -kosten
511
Pipelinebestand und -kosten
Wir haben den Sicherheitsbestand
Wir haben den Pipelinebestand
ss = r − µLT = 1551 Stück − 900 Stück=651 Stück
ps = µLT = 900 Stück
Und damit die Sicherheitsbestandskosten
Und damit die Pipelinebestandskosten
h ⋅ ps = h ⋅ µLT = 0,2 ⋅ 900 = 180 €/Jahr
h ⋅ ss = 0,2 ⋅ 651 = 130,2 €/Jahr
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
512
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
513
α-Servicegrad – Lösung des Modells
α-Servicegrad
Betrachten wir nun die neue Zielfunktion
In α Prozent aller Fälle darf kein Fehlbestand auftreten
Damit wird ein Qualitätskriterium an Stelle der
Fehlmengenkosten eingeführt
Wir minimieren also die Gesamtkosten unter Beachtung
des Qualitätskriteriums
Hierdurch entsteht das folgende Modell
=
514
Analyse der Bestandteile
Teil II
Kostenfunktion des klassischen
Bestellmengenproblems
Kosten abhängig von
dem gewählten
Bestellpunkt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
515
α-Servicegrad – Beispiel
Teil I
Wir betrachten wieder das Toaster Beispiel
Wir fordern einen α-Servicegrad von 95 Prozent
Damit ergeben sich
Ist unabhängig von der Bestellmenge x und vom Bestellpunkt r
Damit kann dieser Teil ignoriert werden
Teil II
Entspricht der Zielfunktion des klassischen Bestellmengenmodells
Da Teil III unabhängig von x ist, kann Teil II isoliert gelöst werden
Daher setzen wir für x
2 ⋅ k ⋅µ
x=
x
Wir sehen, dass die einzelnen Teile unabhängig
voneinander behandelt werden können
So gibt es keinen Teil, der von beiden Variablen
gleichzeitig abhängt
Damit kann leicht eine optimale Lösung ermittelt
werden
µ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
µ
konstant, d.h. unabhängig von x und r
x

⋅ k +  + r − LT ⋅ µ  ⋅ h
x
2


unter der Nebenbedingung FLT ( r ) ≥ α
KG ( x, r ) = c ⋅ µ +
µ
x
x

⋅ k +  + r − LT ⋅ µ  ⋅ h = c ⋅ µ + ⋅ k + ⋅ h + r ⋅ h − LT ⋅ µ ⋅ h
x
2
2

µ
x
c ⋅ µ − LT ⋅ µ ⋅ h
r⋅h
+
⋅k + ⋅h
+
x
2
Teil III
Teil I
KG ( x, r ) = c ⋅ µ +
h
Teil III
als optimale Bestellmenge
x=
2 ⋅ k ⋅µ
2 ⋅ 50 ⋅ 36500
=
= 4272
0, 2
h
und als optimaler Bestellpunkt
Steigt mit größeren Werten für den Bestellpunkt r
Somit ist r zu minimieren. Hierdurch gilt
r = FLT−1 ( 0,95) = 900 + 270 ⋅ F01−1 ( 0,95) ≈ 900 + 270 ⋅ 1,64 = 1343 Stück
r = FLT−1 (α ) = µLT + σ LT ⋅ F01−1 (α )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
516
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
517
Kosten im Beispiel
β-Servicegrad
Damit erhalten wir die Gesamtkosten
x

⋅ k +  + r − LT ⋅ µ  ⋅ h
x
2

36500
 4272

= 0,9 ⋅ 36500 +
⋅ 50 + 
+ 1343 − 900  ⋅ 0,2
4272
 2

= 33793 €/Jahr
KG ( x, r ) = c ⋅ µ +
Ein Fehlbestand tritt in höchstens β Prozent aller Fälle in einem
Bestellzyklus auf
Hierbei ist zu beachten, dass
µ
ein Bestellzyklus die Zeitspanne zwischen dem Auslösen zweier
Bestellungen definiert
JLT(r) die erwartete Fehlmenge berechnet, die in einem Bestellzyklus
beim Bestellpunkt r auftritt und
x die erwartete Verbrauchsmenge in einem Bestellzyklus definiert
Damit wird wiederum ein Qualitätskriterium an Stelle der
Fehlmengenkosten eingeführt
Wir minimieren wiederum die Gesamtkosten für diese Konstellation
Hierdurch entsteht das folgende Modell
x

⋅ k +  + r − LT ⋅ µ  ⋅ h
2


J LT ( r )
≥β
unter der Nebenbedingung 1 −
x
KG ( x, r ) = c ⋅ µ +
518
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
β-Servicegrad – Lösung des Modells
µ
x
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
519
β-Servicegrad – Lösung des Modells
Die Lösung dieses Modells ist wesentlich komplexer als
im Falle der Vorgabe eines α-Servicegrades
So hängt leider die Erfüllung der Qualitätsbedingung
simultan von beiden Variablen (x und r) ab
Da die Lösung dieses Modells etwas komplexer ist,
wollen wir der Einfachheit halber lediglich eine
heuristische Lösung entwickeln
Das Vorgehen der Heuristik ist sehr einfach gehalten
Dies geschieht durch die folgende
Berechnungsformel
J LT ( r )
J (r)
−1
= β ⇔ 1 − β = LT
⇔ (1 − β ) ⋅ x = J LT ( r ) ⇔ J LT
((1 − β ) ⋅ x ) = r
x
x
 (1 − β ) ⋅ x 
⇔ L−1 
=r
 σ LT 
1−
So wird zunächst die optimale Bestellmenge mit Hilfe der
klassischen Bestellmengenformel bestimmt
2 ⋅ k ⋅µ
x=
h
Anschließend wird r in der Weise determiniert, dass gerade der
geforderte β-Servicegrad erreicht wird
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
520
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
521
β-Servicegrad – Beispiel
β-Servicegrad – Beispiel
Wir betrachten wieder das Toaster Beispiel
Wir fordern einen β-Servicegrad von 99 Prozent
Damit ergeben sich
Und erhalten somit
r = µLT + z ∗ ⋅ σ LT = 900 + 0,64 ⋅ 270 = 1073 Stück
als optimale Bestellmenge
x=
Damit ergeben sich die Gesamtkosten
x

⋅ k +  + r − LT ⋅ µ  ⋅ h
x
2

36500
 4272

= 0,9 ⋅ 36500 +
⋅ 50 + 
+ 1073 − 900  ⋅ 0,2
4272
 2

= 33739 €/Jahr
2 ⋅ k ⋅µ
2 ⋅ 50 ⋅ 36500
=
= 4272
0, 2
h
KG ( x, r ) = c ⋅ µ +
und als optimaler Bestellpunkt
 (1 − β ) ⋅ x 
−1  (1 − 0,99 ) ⋅ 4272 
−1
r = L−1 
=L 
 = L ( 0,158 ) ≈ 0,64
270


 σ LT 
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
522
µ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
523
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
7
Dateigröße
1 435 KB
Tags
1/--Seiten
melden