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3.2 Systeme des Bestandsmanagements Wie kommt es - WINFOR

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3.2 Systeme des Bestandsmanagements
Was ist Bestandsmanagement?
Grob gesagt, wird im Bestandsmanagement festgelegt,
welche Mengen eines Produktes zu welchem Zeitpunkt zu
bestellen sind
Hierdurch wird der Bestand eines bestimmten Produktes im
Lager determiniert
Qualität des Bestandsmanagements
Kann entscheidend für den Wettbewerbserfolg sein
In Deutschland beträgt der Gesamtwert des
Lagerbestandes, die irgendwo gelagert sind und „auf
Nachfrage warten“ ungefähr 500 Milliarden Euro
Irgendwie nicht so richtig effizient, oder?
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
299
Wie kommt es zu Lagerbeständen?
Am Besten wir bestellen nur wenn Bedarf vorliegt
oder klar absehbar ist
Problemfelder
Skaleneffekte
Diese treten dann auf wenn die Stückkosten mit der Produktions-,
Transport- oder Bestellmenge zurückgehen
Beispiel Abfüllanlagen für Softdrinks
– Hohe Reinigungskosten treten beim Wechsel von Produkten auf
– Daher ist die Abfüllung einzelner Flaschen zu ineffizient
– So werden durch die Herstellung großer Mengen einzelner Drinks
Skaleneffekte erzielt und damit die Stückkosten reduziert
Unsicherheit
Unsicherheit ist ein weiterer Grund für Lagerbestände
Erhöhte Lagerbestände dienen dabei der Vermeidung von
Fehlmengen bei steigender Nachfrage
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
300
Gründe für Lagerbestände
Transportzeiten
Des weiteren werden durch entstehende
Transportzeiten Lagerbestände notwendig
So führen signifikante Transportzeiten zu erheblichen
Kapitalbindungen
Weitere Faktoren
Spekulationen auf Preisschwankungen
Langfristige Bindungen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
301
3.2.1 Klassisches Bestellmengenproblem
Dieses ist das bekannteste Modell zum Bestandsmanagement
Es geht auf Harris zurück und wurde bereits im Jahre 1915
entwickelt
Folgende (restriktive) Annahmen liegen diesem einfachen
Modell zu Grunde
Gegebener Gesamtbedarf im Planungszeitraum
Konstante Bedarfsrate je ZE
Unendliche Lieferrate je ZE
Konstanter Beschaffungspreis je FE
Fehlmengen sind unzulässig
Keine Ressourcenbeschränkungen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
302
Betrachtete Kostenarten
Variable Bestellkosten
Kosten c, die pro Einheit der Bestellmenge auftreten
Proportional zur Bestellmenge
z.B. Transportkosten, Beschaffungskosten pro Einheit
Fixen Bestellkosten
Treten fix (d.h. unabhängig von der gewählten Bestellmenge) bei jeder
ausgeführten Bestellung auf
Bei x>0 fallen genau einmal Kosten von k pro Bestellung an
→ Bestellkosten
Summe aus fixen und variablen Bestellkosten C(x)
Damit gilt
 0 falls x = 0
C (x) = 
k + c ⋅ x sonst
→ Lagerhaltungskosten
Fallen je gelagerte Einheit pro Zeiteinheit an
Wir benötigen für ihre Bestimmung also die durchschnittliche Menge an
Produkten, die im Planungszeitraum auf Lager ist
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
303
Optimaler Bestellpunkt r
Gibt die Höhe des Lagerbestandes an, bei dem eine Bestellung
in Höhe der optimalen Bestellmenge x getätigt werden soll
Die Bestimmung hängt von der Liefergeschwindigkeit ab
Im klassischen Bestellmengenproblem lässt sich der optimale
Bestellpunkt sehr einfach ermitteln
So sind zunächst Fehlmengen verboten, weshalb nur ein
Bestellpunkt größer oder gleich Null in Frage kommen kann
Daneben führt – aufgrund der unendlichen Liefergeschwindigkeit
– ein Bestellpunkt größer als Null lediglich zu höheren
Lagerbeständen – und damit höheren Lagerkosten – weshalb r im
klassischen Bestellmengenproblem grundsätzlich auf Null zu
setzen ist
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
304
Beobachtung
Wir haben mit den Bestell- und Lagerkosten zwei
konfliktäre Zielgrößen
Dabei ist zu beachten, dass die Bestellmenge x keinen
Einfluss auf die gesamten variablen Bestellkosten hat
Deshalb sind diese Kosten entscheidungsirrelevant
und deshalb nicht weiter zu berücksichtigen, d.h. wir
können unsere Zielfunktion entsprechend
vereinfachen
Damit ergibt sich das folgende einfache Modell zur
Bestimmung einer wirtschaftlichen Bestellmenge
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
305
Variablen / Parameter des Modells
Variable:
x
die zu bestellende Menge je Bestellvorgang, in [FE]/[Best.]
Parameter:
µ
Gesamtbedarf an einer Materialart im Planungszeitraum, in
[FE]/[PZE]
k
Bestellfixe Kosten, in [GE]/[Best.]
h
Lagerhaltungskosten, in [GE]/([FE] . [PZE])
q
Beschaffungspreis der Materialart, in [GE]/[FE]
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
306
Kostenfunktion
Die zu minimierenden Kosten betragen somit in
Abhängigkeit von der gewählten Bestellmenge
Z (x ) =
µ
x
⋅ k + ∅B ( x ) ⋅ h
Wir sehen, dass wir noch den durchschnittlichen
Bestand benötigen, um die Formel zu komplettieren
Dies ist aber sehr leicht möglich, wie die folgende
Abbildung veranschaulicht
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
307
Verlauf des Lagerbestandes
Man erkennt, dass gerade die Hälfte der gewählten
Bestellmenge x durchschnittlich auf Lager liegt
Damit können wir x/2 als durchschnittlichen Bestand ansetzen:
Lagerbestand
x/2
t
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
308
Gesamtkosten
µ
Z (x ) =
x
⋅k
Summe fixe Bestellkos ten
Einheiten:
( GE / Best .)⋅(( FE / PZE ) /( FE / Best .))
=GE / PZE
+
1
⋅ x⋅h
2
Summe Lagerkoste n
Einheiten:
( Best .)⋅(( FE / Best .)⋅( GE /( FE ⋅ PZE )))
=GE / PZE
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
309
Bestimmung der optimalen Bestellmenge
Z (x ) =
µ
x
1
⋅k + ⋅ x⋅h
2
∂Z (x )
∂
µ 1
∂Z ( x )
∂x = 2 ⋅ k ⋅ µ > 0 ∀x ∈ IR
= −k ⋅ 2 + ⋅ h;
+
∂x
x
2
∂x
x3
µ 1
µ 1
∂Z ( x )
= 0 ⇔ −k ⋅ 2 + ⋅ h = 0 ⇔ k ⋅ 2 = ⋅ h
∂x
x
2
x
2
+
µ
µ
2
⇔ 2⋅k ⋅ = x ⇔ x =
2⋅k ⋅
−
h
h
x = 2⋅k ⋅
µ
wird als wirtschaftliche Beschaffungsmenge
h
oder optimale Bestellmen ge bezeichnet
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
310
Einheiten
µ
x = 2⋅k ⋅
h
Einheiten :
 FE 
µ
2
 1   GE 
 PZE  = 2 ⋅ k  GE  ⋅ µ  FE 
2
⋅k
⋅


2



GE

 Best.   Best.  h 
 Best.  h  GE 
 FE ⋅ PZE 
= 2⋅k ⋅
µ  FE 2 
µ  FE 

 = 2⋅k ⋅ 
h  Best.2 
h  Best. 
311
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Klassische Bestellmenge – Beispiel
Daten:
µ=18.000 kg/Jahr
k=120,00 €/Bestellung
h=0,75 €/(kg.Jahr)
⇒ x = 2 ⋅120
18000
= 5760000 = 2400 [kg / Best.]
0,75
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
312
Illustration der Kostenverläufe
25000
20000
15000
Gesamtkosten
Fixe Bestellkosten
Lagerkosten
10000
5000
0
1
5
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
313
Robustheit der Lösung
Die Frage stellt sich, in welchem Ausmaß
Abweichungen von der optimalen Bestellmenge
Auswirkungen auf die entstehenden Gesamtkosten
haben
Um dies zu untersuchen, wollen wir im Folgenden die
doppelte und die halbierte Bestellmenge ansetzen
und die sich ergebenden Kosten betrachten
Dies erfolgt auf der nächsten Folie
314
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Variation der Bestellmenge
x
Z(x)
fixe Bestellkosten
Lagerkosten
1100
2376,136364
1963,636364
412,5
1200
2250
1800
450
1300
2149,038462
1661,538462
487,5
2200
1806,818182
981,8181818
825
2300
1801,630435
939,1304348
862,5
2400
1800
900
900
2500
1801,5
864
937,5
2600
1805,769231
830,7692308
975
4700
2222,074468
459,5744681
1762,5
4800
2250
450
1800
4900
2278,316327
440,8163265
1837,5
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
315
Man sieht…
dass die Gesamtkostenfunktion im Optimum sehr
flach verläuft und sich deshalb sehr unsensitiv
gegenüber Veränderungen verhält
Eine Verdopplung oder Halbierung der Bestellmenge
hat eine Kostensteigerung um lediglich 25 Prozent zur
Folge
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
316
3.2.2 Modellerweiterungen
Wir erweitern nun das klassische Problem um verschiedene
praxisrelevante Merkmale wie
Lieferzeiten,
endliche Lieferraten oder
Rabatte
Bisher wurde vereinfacht davon ausgegangen, dass
keine Lieferzeiten auftreten, d.h. wir können beliebige Mengen
ohne Zeitverzug beschaffen,
uns jeweils die gesamte Beschaffungsmenge in einer Lieferung
erreicht und
keine Rabattmöglichkeit gegeben ist
Diese Annahmen werden nun nacheinander aufgehoben
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
317
Berücksichtigung von Lieferzeiten
Im Folgenden stellen wir uns die Frage, wie sich die Lösung
verändert, wenn eine bestimmte Lieferzeit gegeben ist
Das heißt, wir haben nun eine Transport- oder
Auslieferungszeit zu berücksichtigen
Damit lässt sich natürlich ein Bestellpunkt Null nicht mehr
halten
Allerdings hat die isolierte Berücksichtigung von Lieferzeiten
keine Auswirkungen auf die Höhe der optimalen Bestellmenge
Vielmehr ist lediglich der Bestellpunkt entsprechend zu
modifizieren
So ist jeweils die Lagermenge zu finden bei der eine Bestellung
auszulösen ist, damit diese genau bei Lagerstand Null eintrifft
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
318
Bestimmung des Bestellpunktes
Die Frage ist nun, bei welchem Lagerbestand eine
Bestellung auszulösen ist
Dieser Lagerbestand leitet sich aus der Menge her, die
während der Lieferzeit verbraucht wird
Da µ Produkteinheiten im jeweiligen
Planungszeitraum verbraucht werden, ist nach dem
Verhältnis von T und LT zu fragen
T: Definiert die Zeitspanne in der eine komplette
Bestellung der Größe x verbraucht wird, d.h. dies ist die
Dauer zwischen zwei Bestellungen
LT: Lieferzeit für eine Bestellung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
319
Damit: Berechnung des Bestellpunktes
Wir können somit festhalten r ∗ = (LT modulo T ) ⋅ µ
Diese Formel gilt insbesondere auch für den Fall LT>T
Lagerbestand
x
r*
Periode
LT
T
LT modulo T
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
320
Berechnung des Bestellpunktes – Beispiel
Seien x=40 [PE], µ=20 [PE]/[Woche] gegeben
Damit gilt T=40/20 [PE]/[PE]/[Woche]=2 [Wochen]
LT sei 1,4 [Wochen]
Damit gilt r*=(1,4 modulo 2).20=1,4.20=28 PE
Sinkt der Lagerbestand auf 28 PE muss bestellt
werden
Falls nun LT 2,6 [Wochen]
Dann gilt r*=(2,6 modulo 2).20=0,6.20=12 PE
Sinkt der Lagerbestand auf 12 PE muss bestellt
werden
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
321
Berücksichtigung von endlichen Lieferraten
Bei einer endlichen Lieferrate treffen die Lieferungen
nicht komplett sondern in Raten ein
Dies bedeutet, dass wir im Folgenden eine
kontinuierliche Lieferrate λ (ähnlich zum
kontinuierlichen Bedarf µ) unterstellen
Es gilt: λ≥µ
Andernfalls läge eine unlösbare Problemstellung vor
Wir können prinzipiell die für den Standardfall
hergeleitete Lösungsformel weiter verwenden
Allerdings ist zu beachten, dass durch das schrittweise
Füllen des Lagers geringere Lagerkosten auftreten, da
die Bestände geringer sind als im klassischen Modell
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
322
Bestandsverlauf bei endlicher Lieferrate
Lagerbestand
x
=TP. µ
TP=
TP.λ =
x
λ
Zeit
T
λ =∞
λ << ∞
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
323
Durchschnittlicher Lagerbestand
Da der Verlauf wiederum linear ist, brauchen wir nur
den Höchst- und den Mindestbestand zu betrachten
Damit erhalten wir
1
1 
x 
⋅ (( x − TP ⋅ µ ) + 0 ) = ⋅  x − ⋅ µ 
λ 
2
2 
1
1  µ
 µ
= ⋅ x ⋅ 1 −  = x ⋅
⋅ 1 − 
2
2  λ
 λ
∅I ( x ) =
Anteil der Bestellmenge x, der im
Planungszeitraum
durchschnittlich auf Lager ist
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
324
Neue Kostenfunktion
Wir erhalten somit die folgende Kostenfunktion
K (x ) =
µ
1
 µ
k + ⋅ x ⋅ 1 −  ⋅ h
x
2
 λ
Wir können nun zur Ermittlung der optimalen
Bestellmenge die Ableitung bilden und deren
Nullstelle ermitteln
Allerdings lässt sich die bereits hergeleitete Formel
verwenden, da wir es nur mit modifizierten
Lagerkosten zu tun haben, der Rest aber unberührt
bleibt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
325
Modifizierte optimale Bestellmenge
Wir ersetzen in der Formel
x = 2⋅k ⋅
µ
h
 µ
h durch 1 −  ⋅ h
 λ
und erhalten
x=
2⋅k ⋅µ
 µ
1 −  ⋅ h
 λ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
326
Modifizierte Bestellmenge – Beispiel
Daten:
µ=18.000 kg/Jahr
λ=36.000 kg/Jahr
k=120,00 €/Bestellung
h=0,75 €/(kg.Jahr)
⇒ x = 2 ⋅120
18000
=
 18000 
0,75 ⋅ 1 −

 36000 
43200000
0,375
= 10733,12629 [kg / Best.]
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
327
Einbeziehung von Rabatten
Vielfach ist es in der Praxis möglich,
mengenabhängige Rabatte zu erhalten
Das heißt, eine größere Bestellmenge kann sich durch
geringere variable Beschaffungskosten auszeichnen
Damit wird diese Kostenkategorie erstmals
entscheidungsrelevant!
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
328
Bekannte Rabattarten
Rabatt
ist ein mengen- oder wertabhängiger Abschlag von
einer bestimmten Ausgangsgröße
Mengenabhängige versus wertabhängige Rabatte
Mengenabhängig:
Bei Abnahme von mehr als x Stück wird ein Rabatt von
y Prozent gewährt
Wertmäßig:
Bei Erwerb von mehr als x Euro Wert wird ein Rabatt
von y Prozent gewährt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
329
Rabattarten
Einzelbestellmengenbezogene versus Zeitraum
bezogene Rabatte
Einzelbestellmengebezogenen Rabatten:
Pro einzelnem Auftrag / einzelner Bestellung wird
jeweils entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird
Zeitraumbezogene Rabatten:
Bezogen auf das Auftragsverhalten in einem Zeitraum
wird entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird (durch
den Lieferanten wird ein bestimmtes Kundenverhalten
angestrebt)
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
330
Angestoßener Rabatt
Angestoßener Rabatt
Es werden hierbei t Rabattklassen definiert, die bestimmten Mindestund Höchstmengen als zulässige Intervalle besitzen.
Rabattklasse I:
a0 ≤ x < a1
Rabattklasse II:
a1 ≤ x < a2
Rabattklasse III: a2 ≤ x < a3
Rabattklasse IV: a3 ≤ x < a4
…
Rabattklasse k:
ak-1 ≤ x < ak
Beachte: Es werden nur die Mengen in den jeweiligen Klassen mit dem
entsprechenden Rabatt berücksichtigt.
Beispiel: a2 ≤ x < a3
Nur für die x – a2 vielen Mengeneinheiten erhält man einen Rabatt.
Somit lohnt es sich nie mehr als benötigt zu beschaffen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
331
Illustration – Angestoßener Rabatt
K
x
x1
x3
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
332
Durchgerechneter Rabatt
Durchgerechneter Rabatt:
Hier gilt der Rabatt jeweils für alle bestellten Einheiten
Hier kann es sich u. Umständen lohnen mehr als
benötigt zu bestellen (und zu vernichten)
Beispiel: Es gelte ein durchgerechneter Rabatt von 10
Prozent bei Abnahme von über 1.001 Stück
x Stück seien zu beschaffen mit x ≤ 1.000
Frage ist nun:
„Für welche x lohnt sich die „Überbestellung“ wenn die
folgenden Angaben gelten?“
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
333
Beispiel zur Überbestellung
Preis pro Stück:
Vernichtungskosten:
1.000 €/Stck
10 €/Stck
Überbestellung lohnt sich bei:
(1001 – x).10 + 1001.900 –1000.x ≤ 0
Damit gilt:
10010 – 10.x + 900.900 – 1000.x ≤ 0
Somit:
910910 – 1010 x ≤ 0
Und deshalb folgt für die benötigte Menge x
x ≥ 901,8910891
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
334
Manche nutzen einfach jeden Rabatt
„Frau Lamprecht, Sie haben da nicht den Überblick…“
„…der blattweise Einkauf von
Schreibmaschinenpapier ist betriebswirtschaftlich
nicht sinnvoll…“
„…und Sie sorgen dafür, dass das hier weggeräumt
wird…“
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
335
Bestimmung optimaler Bestellmengen
Zeitraumbezogener Rabatt
Gewährung des Rabattes in Abh. der Menge R, die in gesamten
Zeitraum beschafft wird.
r(µ): Reduktion des Lagerkostensatzes in Abhängigkeit des
Gesamtbedarfs
q0: Lagerkostensatz bei einem Beschaffungspreis ohne Rabatt
q(µ): Lagerkostensatz bei einem Beschaffungspreis mit Rabatt
abhängig von µ
Auswirkung hat eine solche Rabattform dann auf die optimale
Bestellmenge, wenn der Lagerkostensatz eine wertmäßige
Komponente enthält, d.h. es gilt:
h ( µ) = q ( µ) +
Wertmäßige
Komponente
m ( µ)
Mengenabhängige
Komponenten
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
336
Modifizierte Bestellmenge
Es gilt somit (die Mengenkomponente wird hierbei
durch die Wertkomponente miterfasst):
x1* =
2⋅k ⋅ µ
2⋅k ⋅ µ
=
q( µ )
q0 ⋅ [1 − r ( µ )]
Damit gilt
x1* =
2⋅k ⋅ µ
1
2⋅k ⋅ µ
1
=
⋅
= x0∗ ⋅
q0 ⋅ [1 − r ( µ )]
1 − r(µ)
q0
1 − r (µ )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
337
Ergebnis
D.h. je größer der Rabatt, desto größer die optimale
Bestellmenge, da der Lagerkostenbeitrag in diesem Fall sinkt.
r(µ)
x1* − x0*
⋅ 100
x0*
5%
2,6 %
10 %
5,4 %
15 %
8,5 %
20 %
11,8 %
25 %
15,5 %
30 %
19,5 %
62 %
62,2 %
70 %
82,6 %
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
338
Optimale Bestellmenge bei
Einzelbestellmengenbezogener Rabatt
Hierbei ist nun die Rabatthöhe abhängig vom
gewählten x
Dabei gilt:
falls
a0 = 0 ≤ x < a1
 q0

qi =  q0 (1 − ci ) falls ai ≤ x ≤ ai +1 , ∀ i ∈ {1, ..., I − 1}
q (1 − c ) falls
x ≥ aI
I
 0
bei insgesamt I+1 Rabattstufen
Beachte:
Gesamtkostenfunktion hat mehrere Sprünge
Nur abschnittsweise differenzierbar.
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
339
Grundlegende Erkenntnis
Es gilt:
Optimale Bestellmenge xi* von K i ist immer
vorteilhafter als alle Bestellmengen von K 0 bis K i −1
Problem ist aber:
Wir müssen prüfen, ob
„Diese Bestellmenge im erforderlichen Intervall liegt,
d.h. ob für diese Bestellmenge die folgende IntervallBedingung gilt?
ai ≤ x * (qi ) < ai +1
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
340
Optimales Vorgehen
1. Bestimme zunächst
x* (qI ) =
2⋅k ⋅ µ
, mit hI (wertmäßiger)
hI
Lagerkostensatz für Rabattstufe I
a) Gilt nun:
aI ≤ x* (qI ) ⇒ x* (qI ) ist optimal!
sonst gilt : aI > x* (q I )
341
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Optimales Vorgehen
2.
Gehe rückwärts alle Rabattstufen durch
j=I–1, I–2, ...,…
Prüfe ob gilt: aj≤x*(qj)
Ja, dann setzte i0=j und j=j-1
Bei j=0 gilt immer a0=0≤x*(q0)
Bei Stufe i0 scheiden sofort alle kleineren Stufen komplett
aus!
Warum? Es gilt:
∀j ∈ {i0 + 1, ..., I } : x* ( q j ) < a j . Wegen x* ( q j ) =
2 KB ⋅ R
hj
∧ h j ≤ h j −1 ≤ h j − 2 ≤ ... ≤ h1 gilt: ∀j ∈ {i0 + 1, ..., I } : x* ( q j −1 ) ≤ x* ( q j )
342
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Und somit gilt für i0
( )
( )
(
⇒ x* qi0 ≤ x* (q j ) < a j ∧ x* qi0 ≥ ai0
) ( ( ))
⇒ ai0 ≤ x (q j ) < ai0 +1 ∧ ∀i ∈ {0,1,..., i0 − 1}: Z x* (qi ) ≥ Z x* qi0
*
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
343
Und erhalten schließlich
Da nun für die Abschnitte c=i0+1, i0+2, ...,I der
optimale Punkt überschritten ist, ist jeweils die
Bestellmenge ac zu wählen (untere Grenze)
Wähle schließlich unter diesen Kandidaten die
Bestellmenge aus
{x (q ), a
*
i0 +1
i0
, ai0 + 2 , ..., aI
}
mit minimalen Kosten
{ ( ( ))
( )
}
min K i0 x* qi0 , K i0 +1 ai0 +1 , ... K I (aI )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
344
Beispiel
Wir betrachten die folgende einfache Konstellation
Stufe 0:
Bei Bestellmengen zwischen 0 und <200 Stück ergibt sich ein
Beschaffungspreis von 16 €/Stück
Stufe 1:
Bei Bestellmengen zwischen 200 und <500 Stück ergibt sich ein
Beschaffungspreis von 15 €/Stück
Stufe 2:
Bei Bestellmengen größer oder gleich 500 Stück ergibt sich ein
Beschaffungspreis von 14 €/Stück
Weitere Daten sind
µ=1.000 Stück/Jahr
k=50,00 €/Bestellung
hi=0,1.ci €/(kg.Jahr)
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
345
Wir betrachten nun die Stufe 2
Die optimale Bestellmenge lautet dort
x* (q2 ) =
2 ⋅1000 ⋅ 50
= 267 < 500
1,4
Damit berechnen wir die Kosten der unteren Grenze,
also
K (500) = 1000 ⋅14 +
1000
500
⋅ 50 +
⋅1,4 = 14.450
500
2
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
346
Wir betrachten nun die Stufe 1
Die optimale Bestellmenge lautet dort
x* (q1 ) =
2 ⋅1000 ⋅ 50
= 258 ≥ 200 ⇒ i0 = 1
1,5
Damit ist die Betrachtung weiterer Stufen unnötig
und wir berechnen die Kosten der optimalen
Bestellmenge der Stufe 1
K (258) = 1000 ⋅15 +
1000
258
⋅ 50 +
⋅1,5 = 15.387
258
2
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
347
Ergebnis
Aufgrund der geringeren Gesamtkosten realisieren
wir die Bestellmenge 500 Stück
Dies entspricht der unteren Schranke der höchsten
Rabattstufe
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
348
3.2.3 Stochastisches Bestandsmanagement
Im Folgenden betrachten wir Problemstellungen, bei
denen die Nachfrage nicht exakt prognostiziert
werden kann
Das heißt, obwohl die Nachfrage unsicher ist, ist eine
Bestellmenge festzulegen
Dazu arbeiten wir mit stochastischen Verteilungen
der Nachfrage
Wir beginnen hierzu mit der Betrachtung
einperiodischer Modelle, d.h. es wird lediglich eine
Periode betrachtet, für die eine optimale
Bestellmenge zu ermitteln ist
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
349
3.2.3.1 Einperiodisches Bestandsmanagement
Bei einem einperiodischen Modell wird lediglich ein
Bestellvorgang betrachtet
Hierzu ist eine optimale Bestellmenge zu ermitteln
Dabei handelt es sich meist um Anwendungen mit
sehr verderblichen Gütern, d.h., um Güter, die – falls
nicht verkauft – in den Folgeperioden nicht mehr
verwendbar sind
Mögliche Beispiele sind hierfür
Tageszeitungen
Leicht verderbliche Lebensmittel
Aktionswaren
Extreme Modeartikel
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
350
Newsvendor Problem
Als klassisches Modell dient in diesem Bereich das so genannte
„Newsvendor or Newsboy Model“, d.h. das
„Zeitungsverkäufermodell“
Bei diesem Modell wird ein Zeitungsverkäufer betrachtet
Dieser entscheidet an jedem Morgen, wie viele Zeitungen er
bestellt
Für jede Zeitung ist ein Betrag von c Euro Bestellkosten zu
entrichten
Dagegen erzielt der Verkäufer einen Erlös von r Euro pro
verkaufter Zeitung
Auch ist es möglich, eine nicht verkaufte Zeitung für v Euro
zurückzugeben
Offensichtlich gilt: r > c > v
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Computer Journal at Mac‘s
351
(vgl. Nahmias (2005))
Wir betrachten ein einfaches Beispiel
Mac, Besitzer eines Zeitungskiosks bestellt jeden
Sonntag das wöchentlich erscheinende Magazin „The
Computer Journal“
Er bezahlt c=25 Cents für jedes Exemplar im Einkauf
und veräußert es zu r=75 Cents
Daneben können nicht veräußerte Exemplare für v=10
Cents zurückgegeben werden
Mac möchte ein effizientes Bestandsmanagement
installieren und erfasst hierzu die Häufigkeit der
Nachfrage
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
352
Nachfrage der letzten 52 Wochen
Nachfrage
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2
21
2
2
2
25
2
27
2
2
3
31
3
3
3
35
3
37
3
3
4
41
4
4
4
45
4
47
4
4
50
51 52
Tag
Mittelwert der Reihe ist 11,7307692
Standardabweichung ist 4,74079246
353
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Resultierende Häufigkeiten
Häufigkeit
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Nachfrage
354
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Daten der diskreten Verteilung
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
0
1
0,019230769
0,019230769
1
0
0
0,019230769
2
0
0
0,019230769
3
0
0
0,019230769
4
3
0,057692308
0,076923077
5
1
0,019230769
0,096153846
6
2
0,038461538
0,134615385
7
2
0,038461538
0,173076923
8
4
0,076923077
0,25
9
6
0,115384615
0,365384615
10
2
0,038461538
0,403846154
11
5
0,096153846
0,5
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
355
Fortsetzung
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
12
4
0,076923077
0,576923077
13
1
0,019230769
0,596153846
14
5
0,096153846
0,692307692
15
5
0,096153846
0,788461538
16
1
0,019230769
0,807692308
17
3
0,057692308
0,865384615
18
3
0,057692308
0,923076923
19
3
0,057692308
0,980769231
20
0
0
0,980769231
21
0
0
0,980769231
22
1
0,019230769
1
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
356
Optimale Bestellmenge
Mac möchte die Bestellmenge optimieren, um sein
Bestandsmanagement zu verbessern, d.h. es sind die
Kosten zu minimieren, deren Höhe von der
Bestellmenge beeinflusst wird
Zur Findung der optimalen Bestellmenge ist zu
untersuchen, welche Kosten jeweils von Fehl- oder
Überschussmengen verursacht werden
Diese sind dann entsprechend zu quantifizieren und in
ihrer Häufigkeit zu bewerten
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
357
Entwicklung einer Kostenfunktion
Werden zu wenige Einheiten bestellt, d.h. es gibt Fehlmengen,
treten die erzielbaren Erlöse als Opportunitätskosten auf.
Hier gibt es einen Unterbestand und wir setzen als
Unterbestandskostensatz cu an (Unit Underage Cost)
Im Fall zu großer Bestellmengen ist dagegen die Differenz aus
Bestellkosten und Rückgabeerlös anzusetzen.
Hier gibt es einen Überbestand und wir setzen als
Überbestandskostensatz co an (Unit Overage Cost)
co = c − v
cu = r − c
Es muss gelten r > c > v
Damit ergibt sich der Erwartungswert der Kosten aus der
Betrachtung aller möglichen Fälle, d.h. aller möglichen
Nachfragen, in Abhängigkeit der gewählten Bestellmenge S
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
358
Übergang zur stetigen Variante
Im Folgenden wollen wir uns stetigen Nachfragefunktionen
zuwenden
Warum?
Häufig lassen sich Gesetzmäßigkeiten in diskreten Verteilungen
erkennen (siehe zum Beispiel der Tests auf Normalverteilung)
Dies verbessert die Analysierbarkeit der Zusammenhänge
Zudem können die Instrumente der Infinitesimalrechnung
genutzt werden
Zunächst wird nur eine beliebige stetige Verteilung
herangezogen, um allgemeine Ergebnisse erzielen zu können
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
359
Eigenschaften der stetigen Variante
Gegeben sei eine Zufallsvariable y, die für die Nachfrage steht
Wir unterstellen eine beliebige stetige Nachfrageverteilung
Deren Dichtefunktion f(y) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass genau y Güter nachgefragt werden
Deren Verteilungsfunktion F(y) gibt an, dass 0 bis einschließlich y
Güter nachgefragt werden
Falls f(y) bzw. F(y) nicht geben ist, sind Wertetabellen einsehbar
Zudem unterstellen wir, dass es keine negativen Nachfragen
geben kann, d.h. f(y)=0 für y<0
Beachte, dass dies keine triviale Annahme ist. Zum Beispiel lässt
die Normalverteilung bei geringen Mittelwerten und (relativ
hierzu) größeren Varianzen durchaus positive
Wahrscheinlichkeiten für negative Nachfragemengen zu
Darüber hinaus werden aber keine weitere Annahmen an den
genauen Verlauf der Nachfrageverteilung gestellt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
360
Die stetige Kostenfunktion
Wir betrachten somit im Folgenden die
Kostenfunktion
∞
S
Z ( S ) = co ⋅
∫ ( S − y ) ⋅ f ( y ) dy + c ⋅ ∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy
u
y=0
y =S
Vorgehen
Wie können wir die optimale Bestellmenge
bestimmen?
Offensichtlich ist hierzu zunächst die Ableitung nach S
zu ermitteln und dann Extrempunkte zu finden
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
361
Leibnizregel
Zur Lösung unseres Problems benötigen wir die so
genannte Leibnizregel. Sie lautet allgemein
∂Z ( S ) ∂
=
∂S
∂S
a2 ( S )
∫
a2 ( S )
∫
=
h ( y,S ) dy
y = a1( S )
y = a1( S )
∂h ( y,S )
∂a ( S )
∂a ( S )
dy + h ( a2 ( S ) ,S ) ⋅ 2
− h ( a1 ( S ) ,S ) ⋅ 1
∂S
∂S
∂S
Diese können wir nun einfach auf unser Problem
anwenden. Für das erste Integral ergibt sich die
Substitution
a1 (S ) = 0, a2 (S ) = S , h( y,S ) = (S − y ) ⋅ f ( y )
362
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Integral 1
Damit erhalten wir

 ∂a (S ) 
 ∂a (S )
∂ (S − y ) ⋅ f ( y )
dy + h a2 (S ),S  ⋅ 2
− h a1 (S ),S  ⋅ 1

 ∂S

 ∂S
∂S
 =0

 =S

S
∫
y =0
= ( S − S )⋅ f ( y )
=1
= ( 0 − S )⋅ f ( y )
=0
∂S ⋅ f ( y ) − y ⋅ f ( y )
= ∫
dy = ∫ f ( y )dy = F (S ) − F (0) = F (S )
∂S
y=0
y=0
S
S
Für das zweite Integral ergibt sich die Substitution
a1 (S ) = S , a2 (S ) = ∞, h( y,S ) = ( y − S ) ⋅ f ( y )
363
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Integral 2
Damit erhalten wir
k
lim k →∞
∫
y=S

 ∂a (S ) 
 ∂a (S )
∂( y − S )⋅ f ( y )
dy + h a2 (S ),S  ⋅ 2
− h a1 (S ),S  ⋅ 1

 ∂S

 ∂S
∂S
=
S


 =k

= ( S − k )⋅ f ( y )
∞
=
∫
y=S
=0
=( S − S )⋅ f ( y )=0
=1
∂ ( y ⋅ f ( y ) − S ⋅ f ( y ))
dy = ∫ − f ( y )dy = − 1 + F (S )
∂S
y =S
∞
Damit ergibt sich als erste Ableitung
co ⋅ F (S ) − cu ⋅ (1 − F (S ))
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
364
Und als zweite Ableitung
ergibt sich somit
∂ (co ⋅ F (S ) − cu ⋅ (1 − F (S )))
= co ⋅ f (S ) + cu ⋅ f (S )
∂S
Diese zweite Ableitung ist offensichtlich größer oder
gleich Null für alle Werte von S und somit konvex
Damit sind alle Nullstellen der ersten Ableitung
Minima der Kostenfunktion
Wir berechnen also die optimale Bestellmenge durch
Nullsetzen der ersten Ableitung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
365
Berechnung der optimalen Bestellmenge
Wir erhalten somit
co ⋅ F (S ) − cu ⋅ (1 − F (S )) = 0
⇔ co ⋅ F (S ) − cu + cu ⋅ F (S ) = 0
⇔ (co + cu ) ⋅ F (S ) = cu ⇔ F (S ) =
cu
co + cu
 c 
cu
⇔ S = F −1  u , mit CR =
c
+
c
c
o + cu
 o u
Man bezeichnet CR als das Critical ratio
Es gilt für alle Nachfrageverteilungen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
366
CR – Beispielrechnung
Sei die folgende Parameterkonstellation gegeben
c=1€
r=3€
v=0,5€
Damit gilt
co = c − v = 1 − 0,5 = 0,5€
cu = r − c = 3 − 1 = 2€
⇒ CR =
2
= 0,8
2,5
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
367
Zurück zur diskreten Variante
Da man davon ausgeht, dass die jeweilige diskrete
Verteilung durch eine stetige angenähert werden
kann, sind unsere Ergebnisse der stetigen Version
auch verwendbar für den diskreten Fall
Dies führt uns nun zurück zu unserem kleinen
Eingangsbeispiel
Das Mac Beispiel
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
368
CR – Für das Mac Beispiel
Hier war die folgende Parameterkonstellation
gegeben
c=25 Cents
r=75 Cents
v=10 Cents
Damit gilt
co = c − v = 25 − 10 = 15 Cents
cu = r − c = 75 − 25 = 50 Cents
⇒ CR =
50
= 0,76923
65
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
369
Wie lässt sich dieses Ergebnis interpretieren?
Wir wählen bei einer beliebigen Nachfrageverteilung
die Bestellmenge, die in 80 Prozent aller Fälle keine
Fehlmengen verursacht, d.h. es gilt
Anders ausgedrückt: p(x≤S*)=F(S*)=0,8
Für das Beispiel Mac
CR=0,76923
Wir suchen die Nachfrage bei der F ungefähr den Wert
0,76923 annimmt
Dies ist wollen wir anhand der Tabelle ermitteln
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
370
Daten der diskreten Verteilung
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
0
1
0,019230769
0,019230769
1
0
0
0,019230769
2
0
0
0,019230769
3
0
0
0,019230769
4
3
0,057692308
0,076923077
5
1
0,019230769
0,096153846
6
2
0,038461538
0,134615385
7
2
0,038461538
0,173076923
8
4
0,076923077
0,25
9
6
0,115384615
0,365384615
10
2
0,038461538
0,403846154
11
5
0,096153846
0,5
371
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Fortsetzung
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
12
4
0,076923077
0,576923077
13
1
0,019230769
0,596153846
14
5
0,096153846
0,692307692
15
5
0,096153846
0,788461538
16
1
0,019230769
0,807692308
17
3
0,057692308
0,865384615
18
3
0,057692308
0,923076923
19
3
0,057692308
0,980769231
20
0
0
0,980769231
21
0
0
0,980769231
22
1
0,019230769
1
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
372
Konsequenz
Der gesuchte Wert CR wird offensichtlich zwischen 14
und 15 angenommen
Wir wählen aufgrund der Nähe zu den Werten und
nach einer genaueren Betrachtung 15 als optimale
Bestellmenge
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
373
Unterstellung einer Normalverteilung
Im Folgenden wollen wir eine Normalverteilung als
Nachfragefunktion unterstellen
Dazu benötigen wir zunächst einige allgemeine
Informationen zur Normalverteilung
Sie besitzt die Dichtefunktion
 1  x − µ 2 
 − ⋅

 2  σ  
1

f ( x) =
⋅ e
,
σ ⋅ 2⋅π
mit µ als Erwartungswert und σ als Standardabweichung
374
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Eigenschaften
Es gilt
 1  t − µ 2 
 
σ  
µ
− ⋅
 2 
1
F (µ) = ∫
⋅ e
−∞ σ ⋅ 2 ⋅ π
dt =
1
2
und

2
1  x−µ  
 
σ  
− ⋅
 2 
1
f ( x) =
⋅ e
σ ⋅ 2⋅π
= f (− x + 2 ⋅ µ )
 1  ( − x + 2 ⋅µ ) − µ  2 
 − ⋅
 
2
σ
 

1
=
⋅ e
σ ⋅ 2⋅π
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
375
Konsequenzen
Damit entsprechen sich bei der Normalverteilung
Median und Mittelwert
Die Normalverteilung ist offensichtlich symmetrisch
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
376
Die zugehörige Verteilungsfunktion…
ist leider nicht analytisch berechenbar
Daher wird oft der Spezialfall mit µ=0 und σ=1 betrachtet
Diese spezielle Verteilungsfunktion ist die so genannte
Standardnormalverteilung N(0,1)
Für diese Funktion sind spezielle Tabellierungen verfügbar
Daher wäre es wünschenswert die allgemeine
Normalverteilung hierauf zurückzuführen
Auf diese Weise kann auf die spezielle Tabellierung der
Standardnormalverteilung zurückgegriffen werden
Wir wollen nun einige Eigenschaften dieser speziellen
Verteilungsfunktion herleiten
377
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Eigenschaften der Standardnormalverteilung
Dichtefunktion
1
f01 ( x ) = ϕ ( x ) =
2⋅π
⋅e
 x2 
−

 2 


Verteilungsfunktion
x
F01 ( x ) = Φ ( x ) =
∫
−∞
 t2 
− 
2 


1
⋅ e
2⋅π
dt
378
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Transformation der Normalverteilung N(µ,σ)
Es gilt die folgende z-Transformation
 x− µ
F ( x ) = F01 
=
 σ 
x− µ
=z
σ
∫
−∞
1
2⋅π
⋅e
 t2 
− 
 2 


dt
Diese lässt sich leicht durch die folgende Beziehung
zeigen. So gilt
 1 x− µ 2 
 x− µ
 
 − ⋅
∂F01 



 σ  = F ′  x − µ  ⋅ 1 = f  x − µ  ⋅ 1 = 1 ⋅ e 2  σ   ⋅ 1 = f x
( )
01 
01



∂x
σ
σ
σ
σ
σ
2π




Damit erhält man die Dichtefunktion als Ableitung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
379
Grundsätzliche Folgerungen
Damit ist „die Brücke zur Standardnormalverteilung
hergestellt“ und wir können nun formulieren
Falls die Zufallsvariable x nach N(µ,σ) verteilt ist, gilt
a−µ
P ( x ≥ a ) = 1 − F ( a ) = 1 − F01 

 σ 
Damit gilt für Intervalle
P ( a ≤ x ≤ b ) = P ( x ≥ a ) − P ( x ≥ b ) = 1 − F ( a ) − (1 − F ( b ) )
a−µ
b− µ
b− µ
a−µ
= 1 − F01 
 − 1 + F01 
 = F01 
 − F01 

 σ 
 σ 
 σ 
 σ 
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
380
α – Quantil
Für α (0≤α≤1) ist das α – Quantil der Wert z(α), bei
dem gilt
F01 ( z ( α ) ) = P ( x ≤ z ( α ) ) = α
Daraus folgt unmittelbar
z ( α ) = F01−1 ( α )
Da aber auch die Verteilungsfunktion der
Standardnormalverteilung nicht analytisch
bestimmbar ist, kommt die folgende numerische
Näherung der z-Transformation zur Anwendung
S ∗ ( α ) = µ + z (α ) ⋅ σ , mit α − Quantil der Standardnormalverteilung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
381
Konsequenz
Erinnern wir uns: Für das Critical Ratio CR gilt F(S*)=CR
Für die Standardisierung der Zufallsvariable S*
erhalten wir somit
 x − µ S* − µ
F (S* ) = P x ≤ S * = P 
≤
 σ
σ

(
)

 = F01 ( z ( CR ) ) = CR

Das Critical Ratio CR also ein CR – Quantil der
Standardnormalverteilung
Die optimale Bestellmenge wird über die
Rücktransformation erhalten
S ∗ = µ + z ( CR ) ⋅ σ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
382
Konsequenz
F01 ( z )
CR
z
f 01 ( z )
z ( CR )
F01 ( z ( CR ) ) =
∫
f 01 ( z ) ⋅ dz = CR
−∞
z ( CR ) =
S* − µ
z
σ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
383
Das Mac Beispiel
In dem Mac Beispiel galt CR=0,8. Aus der numerischen
Näherung der Standardnormalverteilung ergibt sich
z ( CR ) = F01−1 ( 0,8 ) ≈ 0,84
Seien die folgenden Daten gegeben
µ = 100 Stück, σ = 20 Stück
S = µ + z ( CR ) ⋅ σ ≈ 100 + 0 ,84 ⋅ 20 = 117 Stück
∗
Wir wählen somit für eine stochastisch unabhängige
und normalverteilte Nachfrage eine Bestellmenge von
117 Stück
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
384
Die Näherung der Standardnormalverteilung
z(α)
α = F01(z(α))
0,69
0,755
0,71
0,76
0,72
0,765
0,74
0,77
0,755
0,775
0,78
0,78
0,79
0,785
0,81
0,79
0,825
0,795
0,84
0,8
0,86
0,805
0,88
0,81
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
385
Erwartete Fehlmenge J(S)
Man vereinbart als erwartete Fehlmenge bzgl. S
∞
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy
J (S ) =
y =S
Damit gilt
∞
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy = lim
J (S ) =
k
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy
k →∞
y=S∗
y =S
k
= limk →∞
∫ ( y − S)⋅ σ ⋅
y=S
1
⋅e
2⋅π
 1  y − µ 2 
 − ⋅
 

 2 σ  
dy
386
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Erwartete normierte Fehlmenge L(z)
Analog hierzu wird die erwartete normierte
Fehlmenge für z vereinbart
∞
∫ ( y − z ) ⋅ ϕ ( y ) dy
L( z) =
y= z
Zusammenhang zwischen J(S*) und L(z*)
L ( z∗ ) =

∞
∫ ( y − z )⋅
∗
y=z
∗
∞
=
∫
y = µ+ z ∗ ⋅σ
1

2
 − ⋅y 
1
⋅ e 2  dy =
2⋅π
1
 y − µ ∗
− z ⋅
⋅e

 σ
 2⋅π
 1
∞
∫ ( y − µ − z )⋅
∗
y = µ+ z
∗
 1  y − µ 2 
 − ⋅

 2  σ  


dy =
2
 − ⋅( y − µ ) 
1

⋅ e 2
dy
2⋅π
1
⋅ J (S∗ )
σ
⇒ σ ⋅ L ( z∗ ) = J ( S ∗ )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
387
Eine weitere wichtige Eigenschaft von L(z)
Nahmias (2005) zeigt die folgende wichtige
Eigenschaft der erwarteten normierten Fehlmenge
L( z) =
 1 2
 1 2
z


 − ⋅z 
− ⋅y 
1
1
⋅ e 2  − z ⋅  1 − ∫ ( y − z ) ⋅
⋅ e  2  dy 
 y =−∞

2⋅π
2
⋅
π


z


= φ ( z ) − z ⋅  1 − ∫ Φ ( y )dy  = f 01 ( z ) − z ⋅ (1 − F01 ( z ) )
 y =−∞



Diese Eigenschaft erlaubt uns eine kompakte
Darstellung der erwarteten optimalen Kosten
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
388
Erwartete optimale Kosten
Nun können wir für die erwarteten Kosten der optimalen Bestellmenge S*
formulieren
S∗
( )
∫ (S
Z S ∗ = co ⋅
∗
∞
)
∫ ( y − S )⋅ f ( y )dy
− y ⋅ f ( y )dy + cu ⋅
∗
y =S ∗
y =0
S∗
S∗

= co ⋅  S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy − ∫ y ⋅ f ( y )dy + S ∗ ⋅

y =0
y =0

∞
∞
y =S ∗
y =S ∗
∞
∞

y =S ∗
y =S ∗

∫ f ( y )dy − ∫ y ⋅ f ( y )dy − S ⋅ ∫ f ( y )dy + ∫ y ⋅ f ( y )dy 
∗
∞
+ cu ⋅
∫ (y − S )⋅ f ( y )dy
∗
y=S
∞
∞
∞
∞
∞


= co ⋅  S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy − ∫ y ⋅ f ( y )dy − S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy + ∫ y ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y =0
y =0
y =S
y= S∗
y =S ∗


∞
∞
∞


= co ⋅  S ∗ ⋅1 − µ − S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy + ∫ y ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y =S
y =S ∗
y=S∗


(
(
)
)
∞
∞


= co ⋅  S ∗ − µ + ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y =S
y =S ∗


(
)
(
)
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
389
Erwartete optimale Kosten
∞
∞


Z ( S ∗ ) = co ⋅  S ∗ − µ + ∫ ( y − S ∗ ) ⋅ f ( y ) dy  + cu ⋅ ∫ ( y − S ∗ ) ⋅ f ( y ) dy
 ∗

y=S
y=S∗
 = z ⋅σ

∞
= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + ( co + cu ) ⋅
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy = c
∗
o
⋅ z ∗ ⋅ σ + ( co + cu ) ⋅ σ ⋅ L ( z ∗ )
y=S
( )
( )
= J S ∗ =σ ⋅ L z ∗






∗
∗
∗
∗
= co ⋅ z ⋅ σ + ( co + cu ) ⋅ σ ⋅  f 01 ( z ) − z ⋅  1 − F01 ( z )  




 =1− cu = co  
 cu + co cu + co  

co
= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + ( co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 ( z ∗ ) − ( co + cu ) ⋅ σ ⋅ z ∗ ⋅
cu + co
= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + ( co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 ( z ∗ ) − co ⋅ σ ⋅ z ∗ = ( co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 ( z ∗ )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
390
Damit ergeben sich für Z(S*)
Es gilt somit
Z ( S ∗ ) = ( co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 ( z ∗ ) = (1 − 0, 5 + 3 − 1) ⋅ 20 ⋅ f 01 ( 0, 84 )
= 2, 5 ⋅ 20 ⋅ 0, 28 = 14
Damit ergibt sich als optimaler Gewinn
Π ( S ∗ ) = cu ⋅ µ − Z ( S ∗ ) = ( 3 − 1) ⋅ 100 − Z ( S ∗ ) = 200 − 14 = 186
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
391
Konsequenzen
Wir sehen unmittelbar, dass sowohl die Höhe des
Erwartungswertes als auch die Höhe der Standardabweichung
einen signifikanten Einfluss auf den erwarteten Gewinn haben
Triviale Erkenntnis
Je größer der Erwartungswert (also des erwarteten Absatzes)
desto größer ist der erwartete Erlös und damit der erwartete
Gewinn
Je größer die Standardabweichung (also die Unsicherheit in der
Nachfrage) desto größer werden die erwarteten Kosten und
mindert damit den erwarteten Gewinn. Zu beachten ist hierbei
Es gibt Unsicherheit aufgrund einer unscharfen Nachfrageprognose
(hier gibt es ein wichtiges Verbesserungspotential)
Somit ist an einer verbesserten Prognose mit geringeren
Abweichungen zu arbeiten
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
392
Folge: Idealer Extremfall
Bei sicherer Nachfrageprognose ohne Abweichungen
ergeben sich keinerlei erwartete Kosten mehr
So wäre in diesem Fall die Bestellmenge an der nun
sicheren erwarteten Nachfrageprognose auszurichten
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
393
Z(S*) bei Halbierung von σ
Es gilt nun
S ∗ = S ∗ (CR ) = µ + 0,84 ⋅ σ = 100 + 0,84 ⋅10 ≈ 109
Erwartete Kosten
( )
( )
Z S ∗ = (co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 z ∗ = (0,5 + 2) ⋅10 ⋅ f 01 (0,84)
= 2,5 ⋅10 ⋅ 0,28 = 7
Damit ergibt sich als optimaler erwarteter Gewinn
( )
( )
Π S ∗ = (3 − 1) ⋅100 − Z S ∗ = 200 − 7 = 193
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
394
Diskrete Variante
Hier tritt die Nachfrage in vordefinierten
Wahrscheinlichkeiten in diskreten Niveaus auf
Wir gehen dabei davon aus, dass die Nachfrage für
kleinere n Poisson verteilt ist
Hierzu zunächst einige Informationen zur
Poissonverteilung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
395
Informationen zur Poissonverteilung
Die Poissonverteilung ist eine diskrete
Wahrscheinlichkeitsverteilung, d.h. es treten nur abzählbar
viele Ausprägungen auf
Sie ist abgeleitet aus einer Folge von Bernoulli Experimenten
(2 mögliche Ausgänge)
Die Dichtefunktion der Poissonverteilung ist definiert durch
p( X = y ) = p y =
λ y −λ
⋅ e , mit λ als Ereignisrate
y!
Die Ereignisrate λ ist zugleich Erwartungswert und Varianz der
Verteilung
Der Einsatz einer solchen Verteilung bietet sich immer dann an,
wenn nur wenige Ausprägungen möglich sind
Geht die Anzahl der möglichen Ausprägungen gegen Unendlich
nähert sich die speziell parametrisierte Poissonverteilung der
Standardnormalverteilung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
396
Erwartungswert der Poissonverteilung
Es gilt für den Erwartungswert:
∞
∞
y =0
y =0
E ( X ) = ∑ y ⋅ py = ∑ y ⋅
∞
λ y −λ
λy
⋅ e = e− λ ⋅ ∑ y ⋅
y!
y!
y =0
λ y −1
= λ⋅e ⋅∑
=λ
y
− 1) !
(
y =1
∞
−λ
=e λ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
397
Varianz der Poissonverteilung
Es gilt für die Varianz
∞
∞
(
)
Var( X ) = ∑ ( y − λ ) ⋅ p y = ∑ y 2 − 2 ⋅ y ⋅ λ + λ 2 ⋅ p y
2
y =0
∞
y=0
(
)
= ∑ y2 − 2 ⋅ y ⋅ λ + λ2 ⋅
y=0
∞
+ λ2 ⋅ ∑
y=0
∞
y=0
∞
λ y −λ
λy
⋅ e + λ − λ 2 = ∑ ( y ⋅ ( y − 1))⋅ ⋅ e − λ + λ − λ 2
y!
y!
y=0
∞
= λ 2 ⋅ ∑ ( y ⋅ ( y − 1)) ⋅
y=2
∞
y=2
y
∞
∞
λ y −λ ∞ 2 λ y −λ
λy
⋅ e = ∑ y ⋅ ⋅ e − 2 ⋅ λ 2 + λ 2 = ∑ ( y ⋅ ( y − 1) + y ) ⋅ ⋅ e− λ − λ 2
y!
y!
y!
y=0
y =0
= ∑ ( y ⋅ ( y − 1))⋅
= λ2 ⋅ ∑
∞
λ
λ
λ y −1
⋅ e−λ = ∑ y 2 ⋅ ⋅ e−λ − 2 ⋅ λ2 ⋅ ∑
⋅ e− λ
y!
y!
y =0
y =1 ( y − 1)!
y
λ y −2
( y − 2)!
1
λ y −2
⋅
⋅ e−λ + λ − λ2
y ⋅ ( y − 1) ( y − 2 )!
⋅ e− λ + λ − λ2 = λ2 + λ − λ2 = λ
398
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Erwartungswert der Kosten
Damit können wir die folgende Formel ansetzen
S ∗ −1
( )
((
)
∞
)
((
)
)
Z S ∗ = co ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
y=S ∗
y =0
Bei der Ermittlung der optimalen Bestellmenge „stört“ die
unendliche Summe
Diese lässt sich allerdings durch einen einfachen Trick
„entfernen“
Wir definieren wie folgt
∞
((
)
)
cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p ( X = y )
y=S ∗
∞
((
)
S ∗ −1
)
((
)
)
= cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p ( X = y ) − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
y =0
y=0
399
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Direkte Vereinfachungen
Und erhalten schließlich als vereinfachten Ausdruck
∞
∞
S ∗ −1
y =0
y=0
y=0
((
)
)
)
)
= cu ⋅ ∑ ( y ⋅ p( X = y )) − S ∗ ⋅ cu ⋅ ∑ ( p ( X = y )) − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
S ∗ −1
((
)
)
= cu ⋅ λ − S ∗ ⋅ cu ⋅1 − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
y =0
Somit ergibt sich für die erwarteten Kosten
( )
S∗
((
)
)
(
)
S ∗ −1
((
Z S ∗ = co ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − S ∗ − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p ( X = y )
y =0
y =0
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
400
Erwartungswert der Kosten
Und damit erhalten wir
( )
Z S∗
S∗
((
)
S∗
)
((
)
)
((
)
)
(
= co ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − S ∗
y =0
S
∗
)
y =0
((
)
S
)
∗
= co ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − cu ⋅ S ∗
y =0
y =0
S∗
((
)
)
(
= (co + cu ) ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − S ∗
)
y =0
401
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Poissonverteilung mit Mittelwert 3
Nachfrage
Wahrscheinlichkeit
Kumulierte Wahrscheinlichkeit
0
0,049787068
0,049787068
1
0,149361205
2
0,224041808
0,423190081
3
0,224041808
0,647231889
4
0,168031356
0,815263245
5
0,100818813
0,916082058
6
0,050409407
0,966491465
7
0,021604031
0,988095496
8
0,008101512
0,996197008
9
0,002700504
0,998897512
10
0,000810151
0,999707663
11
0,00022095
0,999928613
12
5,52376E-05
0,999983851
13
1,27471E-05
0,999996598
14
2,73153E-06
0,99999933
15
5,46306E-07
0,999999876
16
1,02432E-07
0,999999978
17
1,80763E-08
0,999999996
18
3,01272E-09
0,999999999
19
4,75692E-10
1
20
7,13538E-11
1
21
1,01934E-11
1
22
1,39001E-12
1
0,199148273
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
402
Beispiel – Bestimmung von S*
Wie man sofort sieht, ist S* auf 4 zu setzen
( )
S∗
((
)
)
(
Z S ∗ = (co + cu ) ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − S ∗
)
y =0
4
= (0,5 + 2 ) ⋅ ∑ ((4 − y ) ⋅ p ( X = y )) + 2 ⋅ (3 − 4 )
y =0
= 2,5 ⋅ (0,19914827 + 0,44808362 + 0,44808362 + 0,22404184 ) − 2
= 2,5 ⋅ (1,31935731) − 2 = 1,298393275 ≈ 1,30
Damit ergibt sich als erwarteter Gewinn
( )
( )
( )
Π S ∗ = cu ⋅ µ − Z S ∗ = ( 3 − 1) ⋅ 3 − Z S ∗ = 6 − 1,30 = 4,70
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
403
Servicegrade
Bisher haben wir für Fehlmengen und Überbestände einfach
Kosten angesetzt und diese schließlich minimiert
Problem dabei ist allerdings
dass diese Kosten nicht immer eindeutig ermittelbar sind
So gibt es unter Umständen Kunden, die aufgrund von
Fehlmengen dauerhaft oder zumindest längerfristig zur
Konkurrenz wechseln
Diese Auswirkungen zu ermitteln ist sehr schwierig
Daher gibt es andere Ansätze, die eine bestimmte Qualität in
Form von zu erreichenden Servicegraden vorgeben und
ausgehend hiervon die Bestellmengen festlegen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
404
α-Servicegrad
Idee:
Wir wollen mit der Vorgabe eines Wertes zwischen 0
und 1 für α bestimmen, dass die Nachfrage in α
Prozent vielen Fällen vollauf befriedigt werden kann
Das heißt formal, dass wir das folgende Problem
betrachten
Minimiere S
unter Beachtung der Nebenbedingung
F (S ) ≥ α
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
405
Beispielwerte
α
z(α)
0,895
1,25
0,9
1,29
0,905
1,31
0,91
1,34
0,915
1,37
0,92
1,41
0,925
1,44
0,93
1,48
0,935
1,51
0,94
1,56
0,945
1,6
0,95
1,64
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
406
α-Servicegrad – Die zugehörige Bestellmenge
Wir können somit S* direkt ermitteln durch
S ∗ = F −1 (α )
An unserem Beispiel (µ=100, σ=20) folgt für
α=0,95: z=1,64 und damit S*=100+1,64.20=132,8. Also
133 Stück
α=0,9: z=1,29 und damit S*=100+1,29.20=125,8. Also
126 Stück
Die Funktion nimmt bei Annäherung an α=1 einen
extrem ansteigenden Verlauf
407
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
β-Servicegrad
Idee:
Betrachte zu einer Bestellmenge S die erwartete
Fehlmenge J(S)
∞
J (S ) =
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y )dy
y=S
Sie enthält – wenn normiert – den Anteil der
Nachfrage, der nicht befriedigt werden kann, d.h.
∞
J (S )
=
µ
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y )dy
y=S
µ
408
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
β-Servicegrad
Das heißt – positiv formuliert – wir sind bei Bestellmenge S in
der Lage, genau
∞
1−
J (S )
= 1−
µ
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y )dy
y=S
µ
Prozent der Nachfrage zu befriedigen
Damit ergibt sich als Programm der Erfüllung eines βServicegrades
Minimiere S
unter Beachtung der Nebenbedingung 1 −
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
J (S )
≥β
µ
409
β-Servicegrad – Die zugehörige Bestellmenge
Wir betrachten wiederum unser Beispiel mit der
Normalverteilung
Unter Verwendung von J(S)=σ.L(z) gehen wir über zu
der normierten Funktion L(z)
Damit muss für S* gelten
( )
( )
( )
J S∗
σ ⋅ L z∗
µ − σ ⋅ L z∗
≥ β ⇔ 1−
≥β⇔
≥β
µ
µ
µ
(1 − β ) ⋅ µ ≥ L z ∗
⇔ µ − σ ⋅ L z ∗ ≥ β ⋅ µ ⇔ (1 − β ) ⋅ µ ≥ σ ⋅ L z ∗ ⇔
σ
1−
( )
( )
( )
Beachte dass L(z) eine fallende Funktion ist
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
410
Am Beispiel ergibt sich
Wir unterstellen wieder die obigen Daten
β = 0 ,95,µ = 100 ,σ = 20
5
= 0,25 ≥ L z ∗
σ
20
(1 − β ) ⋅ µ =
( )
Durch Betrachtung von entsprechenden Tabellen
erhalten wir
z ∗ = L−1 (0,25) ≈ 0,34
⇒ S ∗ = 100 + 0,34 ⋅ 20 = 106,8 ≈ 107
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
411
3.2.3.2 Periodisches Bestandsmanagement
Im Folgenden werden Modelle untersucht, die eine
Betrachtung des Bestandsverlaufs über mehrere Perioden
erlauben und somit längerfristige Effekte abbilden
Dabei wird davon ausgegangen, dass Überbestände auch in
den folgenden Perioden noch verwendet werden können und
Fehlmengen Nachbestellungen in den folgenden Perioden
auslösen
Zudem soll es (zunächst) möglich sein, Bestellungen in Nullzeit
zu erhalten, d.h. Lieferzeiten werden vernachlässigt
Wir können also am Anfang einer Periode bestellen und erhalten
in derselben Periode noch die entsprechende Lieferung
Des weiteren gehen wir von einem Zielbestand S aus, der jeweils
am Anfang einer jeden Periode auf dem Lager vorhanden sein
soll
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
412
Variablen des Modells
Wir vereinbaren als Parameter
X t : Bestellmenge in Periode t
I t : Lagerbestand am Anfang der Periode t
Yt : Nachfrage in Periode t
Alle diese Größen sind Zufallsvariablen
Damit ergibt sich die Bestellmenge aus dem Lagerbestand, der
zu Beginn einer Periode bekannt ist, durch die einfache Formel
X t = S − It
Negative Bestände repräsentieren Fehlmengen, die durch eine
nachfolgende Bestellung auszugleichen sind
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
413
Kostenfunktion
Wir wollen wiederum die erwarteten Kosten pro Periode
minimieren
Dazu ist zunächst zu determinieren, welche Kostenbestandteile
auftreten können und wie sich diese berechnen lassen
Variable Bestellkosten c fallen je bestellter Einheit an
Lagerhaltungskosten h fallen mit dem Lagerbestand an, der am
Ende einer jeden Periode noch vorliegt. Diese werden durch den
Lagerhaltungskostensatz h monetär bewertet
Strafkosten p (Penalty Cost) fallen pro Einheit an, die als
Fehlmenge auftritt (Kosten der Rückstellung einer Nachfrage,
Deckungsbeitrag)
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
414
Direkter Zusammenhang
Wir bestellen in jeder Periode soviel, dass wir schließlich den
Bestand S erreichen
Das heißt also, es gilt
X t = S − It
Darüber hinaus gilt
I t = I t −1 + X t −1 − Yt −1 = I t −1 + S − I t −1 − Yt −1 = S − Yt −1
⇔ S − I t = Yt −1
Man sieht
Wir bestellen einfach in jeder Periode genau den Verbrauch der letzten
Periode
X t = Yt −1
Wenn man einen positiven Endbestand erhält, dann fallen Lagerkosten
an
Wenn ein negativer Endbestand auftritt, dann fallen Fehlmengenkosten
an
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
415
Konsequenz
Fehlmengen- und Lagerhaltungskosten treten also immer bei
positiven oder negativen Beständen am Anfang einer Periode
auf
Da der Anfangsbestand einer Periode dem Endbestand der
Vorperiode entspricht, müssen wir uns also zur
Determinierung dieser Kosten lediglich den Bestand am Ende
der einzelnen Perioden anschauen
Damit ergibt sich für die Anfangsbestände I t +1 = S − Yt
Fehlmengen und Überbestände hängen somit lediglich von Yt
ab, d.h. wir müssen unterscheiden ob gilt
S < Yt oder S > Yt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
416
Die erwarteten Gesamtkosten
Da variable Bestellkosten entscheidungsirrelevant sind,
können wir für die erwarteten Gesamtkosten einer
Periode festhalten
Z (S ) = h ⋅ E (max{S − Yt ,0}) + p ⋅ E (max{Yt − S ,0})
Dies ist offensichtlich die Zielfunktion des Newsvendor
Problems, wenn man cu durch p und co durch h ersetzt
Somit erhalten wir als optimales Bestellniveau
 p 

S ∗ = F −1 
 p+h
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
417
Am Beispiel
Wir betrachten als Beispiel wieder einen Händler
Diesmal soll ein Elektronikteilhändler betrachtet werden, der
sich auf spezielle Adapter für Hardwarebastler spezialisiert hat
Wir betrachten die wöchentliche Nachfrage, wobei der
Händler lediglich am Freitag bestellt und am Montagmorgen
vor Geschäftseröffnung die entsprechende Lieferung erhält
Da keine Verkäufe am Wochenende erfolgen, liegt hier die im
Modell unterstellte Lieferung in Nullzeit vor
Wir gehen wiederum von einer normalverteilten Nachfrage mit
dem Erwartungswert µ=100 Stück/Woche und einer
Standardabweichung von 50 Stück/Woche aus
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
418
Bestimmung des optimalen Bestandes S*
Wir unterstellen die folgenden Kostensätze
Lagerhaltungskosten h=0,5 €/Stück je Woche
Fehlmengenkosten p=3 €/Stück je Woche
Damit gilt für die optimale Bestellmenge
 p 
3 
−1 
S ∗ = F −1 
≈ F −1 ( 0,8571)
=F 
p
+
h
3
+
0,5 



Wir können z* direkt in der Tabelle der
Standardnormalverteilung ablesen und erhalten
z*=1,07. Damit erhalten wir
S * = µ + z* ⋅ σ = 100 + 1,07 ⋅ 50 = 153,5 Stück pro Woche
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
419
Erwartete Kosten
Wir können wiederum die Formel des Newsvendor
Problems direkt einsetzen und erhalten somit als
einfache Berechnung
Z ( S ∗ ) = ( p + h ) ⋅ f 01 ( z ∗ ) ⋅ σ = ( p + h ) ⋅ f 01 (1,07 ) ⋅ σ
= ( 3 + 0,5) ⋅ 0, 2251 ⋅ 50 = 39,3925 €/Woche
Setzt man einen Verkaufspreis von r=10€ und
Einkaufskosten von c=4€ an, erhalten wir damit als
erwarteten Gewinn
Π ( S ∗ ) = cu ⋅ µ − Z ( S ∗ ) = (10 − 4 ) ⋅ 100 − 39, 3925
= 560, 6075 €/Woche
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
420
Berücksichtigung der Lieferzeit
In vielen Problemstellungen muss allerdings eine
Lieferzeit durch das Anwendungssystem
berücksichtigt werden
Dies verändert die Problemstellung in der Weise, dass
der Lagerbestand nicht sprunghaft, sondern
schrittweise aufgefüllt wird
Wir verfügen also nicht nur über den physischen
Lagerbestand, sondern müssen noch zusätzlich
offene, d.h. erfolgte aber noch nicht eingetroffene,
Bestellungen berücksichtigen
Dies wird zu einer „gewissen Verschiebung“ der
Verteilung führen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
421
Parameter und Modelldefinitionen
Wir modifizieren unseren Modellentwurf nun wie
folgt
Neben dem Lagerbestand It zu einer Periode t treten
somit periodenbezogene Parameter zu ausstehenden
Bestellmengen Ot (Open Orders) und disponiblen
Lagerbeständen IPt (Inventory Position)
Der disponible Lagerbestand in Periode t IPt ergibt sich
als Summe der in t noch ausstehenden Bestellmenge
und dem dort vorliegenden Lagerbestand. Damit gilt
IPt = I t + Ot
Wir unterstellen zudem eine Lieferzeit von LT Perioden
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
422
Zusammenhang der Parameter
Damit können wir uns nun verdeutlichen, wie sich
Bestellungen in der Periode t auf den Lagerbestand in der
Periode t+LT auswirken
Konkret wird eine Bestellung in einer Periode wiederum so
gebildet, dass der Lagerbestand zu Beginn der Periode durch
die Bestellung auf den Zielbestand S aufgefüllt wird
Die Bestellung in der Periode t (also Xt) selbst trifft dann im
Laufe der Periode t+LT ein
So gilt am Ende der Periode t+LT für den Lagerbestand
I t + LT + X t − Yt + LT
Dabei lässt sich für den Lagerbestand am Ende der Periode
t+LT-1 (d.h. am Anfang der Periode t+LT) festhalten
I t + LT = I t + X t − LT + ... + X t −1 − Yt − ... − Yt + LT −1
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
423
Konsequenz
Damit können wir direkt für den Lagerbestand am
Anfang der Periode t+LT+1 folgern
I t + LT +1 = I t + LT + X t − Yt + LT
= I t + X t − LT + ... + X t −1 − Yt − ... − Yt + LT −1 + X t − Yt + LT
= I t + X t − LT + ... + X t −1 + X t − Yt − ... − Yt + LT −1 − Yt + LT
= IPt + X t − Yt − ... − Yt + LT −1 − Yt + LT
t + LT
=S−
Yτ
∑
τ
=t
Was bedeutet dieses Ergebnis für die Suche nach
einem optimalen Wert für S*?
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
424
Interpretation des Ergebnisses
Der Lagerbestand in Periode t wird also durch die
Nachfrage in den Perioden t, t-1,…,t-LT bestimmt, die
jeweils zu Fehlmengen oder Überständen führen
können
Damit sind wir an Informationen zur Verteilung der
Summe der Nachfragen über diese Perioden
interessiert
Dies wird als Faltung bezeichnet
Wir unterstellen wiederum stochastische
Unabhängigkeit zwischen den einzelnen Perioden und
definieren YLT+1 als die Faltung der LT+1 unabhängigen
Nachfragen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
425
Damit können wir schreiben
für den Lagerbestand, der sich am Ende der Periode t+LT ergibt
I t + LT = S − Y LT +1
Allerdings vereinfacht sich diese Berechnung signifikant, wenn
die Nachfrage jeweils normalverteilt ist
So ist im Allgemeinen die Summe von k normalverteilten
unabhängigen Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ und
Varianz σ2 wiederum normalverteilt mit Erwartungswert k.µ
und Varianz k.σ2
Dies wird an folgender Herleitung deutlich
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
426
Konsequenz
Damit ergibt sich für die Verteilung der letzten LT+1
Perioden
Erwartungswert (LT+1).µ und
Varianz (LT+1).σ2
Damit ergibt sich die Kostenfunktion
(
)
(
)
Z ( S ) = h ⋅ E max {S − Y LT +1 ,0} + p ⋅ E max {Y LT +1 − S ,0}
Damit ergibt sich wiederum als optimale Lösung
 p 
S ∗ = FLT−1+1 

 p+h
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
427
Direkte Konsequenz
Aufgrund der Eigenschaften der Normalverteilung gilt somit
S ∗ = µLT +1 + z ∗ ⋅ σ LT +1
Wir unterstellen nun für unser kleines Beispiel eine Lieferzeit
von LT=2 Wochen
Die anderen Parameter behalten wir bei, d.h.
Erwartungswert: µ=100 Stück/Woche
Standardabweichung: σ=50 Stück/Woche
Wir unterstellen die folgenden Kostensätze
Lagerhaltungskosten h=0,5 €/Stück je Woche
Fehlmengenkosten p=3 €/Stück je Woche
Damit erhalten wir
µLT+1=3.100=300 Stück/Woche
σ =(3.502)1/2=86,60 Stück/Woche
LT+1
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
428
Ermittlung von S*
Wir verwenden wieder die Gesetzmäßigkeit der
Normalverteilung und erhalten wiederum direkt
 p 
 3 
−1
−1
z ∗ = F01,−1LT +1 
 = F01,LT +1  3 + 0,5  ≈ F01,LT +1 ( 0,8571) ≈ 1,07


 p+h
und somit für den optimalen Zielbestand
S ∗ = µ LT +1 + z ∗ ⋅ σ LT +1 = 300 + 1,07 ⋅ 86,80 = 392,662 Stück pro Woche
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
429
Ermittlung der erwarteten Kosten
Wir können wiederum die Formel des Newsvendor
Problems direkt einsetzen und erhalten
Z ( S ∗ ) = ( p + h ) ⋅ f 01 ( z ∗ ) ⋅ σ LT +1 = ( p + h ) ⋅ f 01 (1,07 ) ⋅ σ LT +1
= ( 3 + 0,5) ⋅ 0,2251 ⋅ 86,6 = 68, 22781 €/Woche
Setzt man wieder einen Verkaufspreis von r=10€ und
Einkaufskosten von c=4€ an, erhalten wir damit als
erwarteten Gewinn
Π ( S ∗ ) = cu ⋅ µ − Z ( S ∗ ) = (10 − 4 ) ⋅ 100 − 68, 22781
= 531, 77 €/Woche
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
430
Sensitivitätsanalyse
Wir sehen z.B. anhand der Formel für die Berechnung
der Bestellkosten
Z ( S ∗ ) = ( p + h ) ⋅ f 01 ( z ∗ ) ⋅ σ LT +1 = ( p + h ) ⋅ f 01 ( z ∗ ) ⋅ σ ⋅ LT + 1
dass die Bestellkosten linear mit der
Standardabweichung der Nachfrage steigen oder
fallen
oder dass die Bestellkosten linear mit (LT+1)1/2 steigen
oder fallen
431
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Praktische Konsequenz
Wir können untersuchen, was es an Ersparnissen
bringen würde, wenn wir durch eine bessere
Abstimmung mit unserem Lieferanten die Lieferzeit
auf eine Woche reduzieren würden
Da z* offensichtlich unabhängig von LT ist, können wir
einfach formulieren
∆Z LT ,LT −1 ( S ∗ ) = ( p + h ) ⋅ f 01 ( z ∗ ) ⋅ σ ⋅
= ( 3 + 0,5) ⋅ 0,2251 ⋅ 50 ⋅
(
(
LT + 1 − LT + 1 − 1
)
)
3 − 2 = 39,3925 ⋅ 0,3178 ≈ 12,52
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
432
Analyse der Bestandshöhe
Wir analysieren in Abhängigkeit der Lieferzeit LT den Verlauf
des
Pipelinebestands (ps=„pipeline stock“)
Sicherheitsbestands (ss=„safety stock“)
Liegt eine Lieferzeit LT vor, entstehen durchschnittliche
Pipelinebestände von
ps = LT ⋅ µ = µLT
D.h. in der Zeit der Beschaffung fallen diese Nachfragen
durchschnittlich an und wir bestellen jeweils die Differenz zu
S*, also durchschnittlich genau die erwartete Nachfragemenge
Zudem ergibt sich ein gesamter Sicherheitsbestand ss von
ss = S ∗ − µLT +1 = z ∗ ⋅ σ LT +1 = z∗ ⋅ LT + 1 ⋅ σ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
433
Der Sicherheitsbestand
dient zur Absicherung für Konstellationen in denen
die Nachfrage die Summe der durchschnittlichen
Erwartungswerte übersteigt
erzeugen entsprechende Lagerkosten über den
erwarteten Verbrauch
Dies ist somit der Preis für die Unsicherheit in der
Nachfrage
Damit erlaubt eine bessere Kenntnis über die
Nachfrage eine deutliche Reduktion der Kosten
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
434
α-Servicegrad
Misst die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Periode
keine Rückstellung notwendig wird
Man sucht damit aufgrund der oben hergeleiteten
Zusammenhänge die kleinste Bestellmenge S* mit
FLT +1 ( S ∗ ) ≥ α
Damit wählen wir
S ∗ = FLT−1+1 (α )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
435
α-Servicegrad – Am Beispiel
Wir betrachten nun wiederum ein einfaches Beispiel
zur Illustration des Vorgehens
Dazu sei bei unserem Hardware Shop ein αServicegrad von 95% angenommen
Dann muss gelten
S ∗ = FLT−1+1 ( 0,95 ) ⇒ S ∗ = µ LT +1 + z ∗ ⋅ σ LT +1 , mit
z ∗ = F01,−1LT +1 ( 0,95 ) ≈ 1, 65
⇒ S ∗ = µ LT +1 + z ∗ ⋅ σ LT +1 = 300 + 1,65 ⋅ 86,6 = 442,89
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
436
β-Servicegrad
Der β-Servicegrad misst nun den Anteil der Nachfrage einer
Periode der durchschnittlich zurückgestellt werden muss
Damit zielt dieser Servicegrad auf die Berechnung der
erwarteten Fehlmenge JLT+1(S) der Nachfrage in einer Periode
∞
J LT +1 ( S ) =
∫ ( y − S)⋅ f
LT +1
( y ) dy
y=S
Beim periodischen Bestandsmanagement lässt sich allerdings
diese Berechnung nicht einfach isoliert für die einzelnen
Perioden durchführen
Warum?
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
437
β-Servicegrad
Während beim vorherigen α-Servicegrad eine Periode in der
Weise isolierbar ist, dass nur gefragt wird, ob es keinerlei
Fehlmengen (d.h. keine unbefriedigte Nachfrage) gibt, ist dies
beim β-Servicegrad so einfach nicht mehr möglich
Das Problem besteht hier nun darin, dass die genaue
Wahrscheinlichkeit einer spezifischen Fehlmenge (d.h., y, mit
y>S*) nicht periodengenau vorliegt
Genauer gesagt, wir wissen nicht genau wann die Nachfrage y
aufgetreten ist
Somit kann es sein, dass wir in der betrachteten Periode eine
unbefriedigte Nachfrage messen, die in Wahrheit in der
Vorperiode aufgetreten ist und dort ebenfalls unbefriedigt
geblieben ist
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
438
Wahrscheinlichkeit einer Fehlmenge
Dies führt zu einer möglichen Überbewertung (d.h.
Mehrfachzählung) von Fehlmengen
Dies gilt natürlich nur für die von uns gewählte Definition des
β-Servicegrades
Für diese können wir aber die oben genannte Definition als
Näherungswert ansetzen
Dies erscheint vor allem dann sinnvoll, wenn der Wert für β
nahe bei 1,0 liegen soll
Hierbei ist zu beachten, dass diese höheren Werte für β
mehrfache Fehlmengen deutlich unwahrscheinlicher werden
lassen
Daher werden wir für diese Fälle die oben genannte
vereinfachte Formel als eine relativ genaue Näherung
verwenden
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
439
Berechnung des β-Servicegrades
Damit können wir allgemein den β-Servicegrad wie
folgt herleiten
Wir suchen die minimale Bestellmenge S*, für die gilt
J
( S ) ≥ β ⇔ µ − J ( S ) ≥ β ⇔ µ − J S ≥ µ ⋅ β ⇔ (1 − β ) ⋅ µ ≥ J S
1−
( )
( )
µ
µ
∗
LT +1
∗
LT +1
∗
LT +1
∗
LT +1
Betrachten wir hierzu unser kleines Beispiel
Seien β=0,95 und µ=100 Stück/Woche
Dann gilt
(1 − β ) ⋅ µ ≥ J LT +1 ( S ∗ ) ⇒ 0,05 ⋅100 = 5 ≥ J LT +1 ( S ∗ ) = σ LT +1 ⋅ L ( z )
⇔ 5 ≥ 86,6 ⋅ J 01 ( z ∗ ) ⇒ J 01 ( z ∗ ) ≤ 0,057737 ⇒ z ∗ ≈ 1,19
Bei minimal gewähltem S ∗ gilt somit S ∗ ≈ 300 + 86,6 ⋅1,19 = 403,054
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
440
Damit erhalten wir
Einen Pipelinebestand von
LT ⋅ µ = 2 ⋅100 = 200
und einen Sicherheitsbestand von
S ∗ − µLT +1 = z∗ ⋅ σ LT +1 = 403,054 − 300 = 103,054
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441
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