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6. Körper So wie die Halbgruppe nur eine Vorstufe der - Home Arcor

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6. Körper
So wie die Halbgruppe nur eine Vorstufe der Gruppe ist, ist auch der Ring nur die Vorstufe des
„Körpers“. Beim Ring (M, , ) muss die zweite Verknüpfung „ “ nur eine Halbgruppe bilden, „ “
muss also nicht invertierbar sein. Vom Rechnen in den reellen Zahlen sind wir aber gewohnt, dass
wir auch die Multiplikation umkehren können - und genau diese Forderung bringt uns ganz allgemein
vom Ring zum Körper:
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Definition „Körper“
Die algebraische Struktur (M, , ) heißt „Körper“, wenn Sie folgende Bedingungen erfüllt:
(K1) (M, ) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element n
(K2) (M\{n}, ) ist eine abelsche Gruppe
(K3)
und erfüllen in M das Distributivgesetz
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Bemerkung
Bei (K2) wird das neutrale Element bezüglich ausgeschlossen, da es normalerweise bezüglich
nicht invertierbar ist. Sie kennen das aus dem Körper ( ,+,·): Dort ist das neutrale Element bezüglich + die Zahl 0, aber 0 hat kein Inverses bezüglich · (1/0 ist nicht definiert!).
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Beispiel
( ,+,·) ist ein Körper
(K1) dass ( ,+) eine abelsche Gruppe ist wurde bereits gezeigt
(K2) dass ( \{0},·) eine abelsche Gruppe ist wurde bereits gezeigt
(K3) dass + und · das Distributivgesetz erfüllen wissen wir bereits (Grundwissen)
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Bemerkung
Die Struktur aller Körper ähnelt sehr stark der Struktur von ( ,+,·). Deswegen bezeichnen wir in
jedem Körper (M, , ) die Verknüpfungen „ “ als „Addition“ und „ “ als „Multiplikation“ und
schreiben meist einfach „+“ und „·“.
In einem Körper gibt es stets zwei neutrale Elemente, die wir sprachlich unterscheiden müssen: Das
neutrale Element der Addition nennen wir „Nullelement“ n (oder 0), das neutrale Element der Multiplikation heißt „Einselement“ e (oder 1). Übrigens kann man zeigen, dass es bezüglich einer Verknüpfung stets nur ein neutrales Element geben kann, also kann es in einem Körper nur genau ein
„Nullelement“ und ein „Einselement“ geben!
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Aufgaben
1.
Gegeben ist die Menge Kp = {0,..,p-1}, p Primzahl, mit den Verknüpfungen
„ “ : a b = (a+b) mod p
(d.h. „Rest der Division (a+b) : p“)
„ “ : a b = (a·b) mod p
(d.h. „Rest der Division (a·b) : p“)
Zeigen Sie, dass (Kp, , ) ein Körper ist und geben Sie das Null- und Einselement an!
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2.
Gegeben ist die Menge V2 der zweidimensionalen Vektoren mit den Verknüfungen
„ “ : (a1 , a2) (b1 , b2) = (a1+b1 , a2+b2)
(komponentenweise Addition)
„ “ : (a1 , a2) (b1 , b2) = (a1·b1 , a2·b2)
(komponentenweise Multiplikation)
„ “ : (a1 , a2) (b1 , b2) = (a1·b1 - a2·b2 , a1·b2 + a2·b1)
Prüfen Sie, ob (V2, , ) oder (V2, , ) Körper sind!
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☎
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✝
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3.
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✝
Prüfen Sie, ob die folgenden Zahlenmengen mit den gewohnten Verknüpfungen „+“ und „·“
Halbgruppen, Gruppen, Ringe oder gar Körper sind! Tipp: Sie dürfen die Rechengesetze aus
der Unterstufe (Assoziativ-, Kommutativ-, Distributivgesetz) als gegeben voraussetzen!
a){1;..;10}
b)
c)
d)
e)
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Musteraufgabe
Gegeben ist die Menge Kp = {0,..,p-1} mit den Verknüpfungen
„ “ : a b = (a+b) mod p
(d.h. „Rest der Division (a+b) : p“)
„ “ : a b = (a·b) mod p
(d.h. „Rest der Division (a·b) : p“)
Zeigen Sie, dass (Kp, , ) ein Körper ist und geben Sie das Null- und Einselement an!
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Vorbemerkung
Die oben definierten Verknüpfungen heißen „Addition modulo p“ bzw. „Multiplikation modulo p“.
Bei der „Modulo-Division“ a mod p wird zuerst a durch p dividiert, dann aber nicht das Ergebnis
sondern der Rest genommen. Der Rest der Division a : p liegt stets zwischen 0 und p-1, durch diesen „Trick“ werden die Ergebnisse der Verknüpfungen „ “ und „ “ immer wieder in die Menge Kp
verschoben!
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Zur Vereinfachung wird zunächst gezeigt, dass die Kommutativität von „ “ und „ “ direkt aus der
Kommutativität von „+“ und „·“ folgt:
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a b = (a + b) mod p = (b + a) mod p = b a
a b = (a · b) mod p = (b · a) mod p = b a
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✁
(K1) zu zeigen: (Kp, ) ist abelsche Gruppe
(G1) (Kp, ) ist abgeschlossen, da a b stets zwischen 0 und p-1 liegt (siehe oben)
(G2) „ “ ist assoziativ:
a (b c) = a ( (b+c) mod p ) = (a + (b+c) mod p) mod p = (a+b+c) mod p
(a b) c = ( (a+b) mod p ) c = ((a+b) mod p + c) mod p = (a+b+c) mod p
(G3) 0 ist neutrales Element bezüglich „ “:
0 a = (0+a) mod p = a mod p = a , a 0 ebenso (da kommutativ ist)
(G4) die inversen Elemente sind â=(p-a) mod p:
a â = (a+p-a) mod p = n mod p = 0 , â a ebenso (da kommutativ ist)
(G5) „ “ ist kommutativ: siehe oben
=> (Kp, ) ist abelsche Gruppe
(K2) zu zeigen: (Kp\{0}, ) ist abelsche Gruppe
(G1) (Kp\{0}, ) ist abgeschlossen, da a b stets zwischen 0 und p-1 liegt (siehe oben)
(G2) „ “ ist assoziativ:
a (b c) = a ( b·c mod p ) = a·b·c mod p
(a b) c = ( a·b mod p ) c = a·b·c mod p
(G3) 1 ist neutrales Element bezüglich „ “:
1 a = ( 1·a mod p ) = a mod p = a ; a 1 ebenso (da kommutativ ist)
(G4) die inversene Elemente sind â=(ap-2) mod p:
a â = (a ap-2) mod p = ap-1 mod p = 1
(beachten Sie die Fußnote♣)
(G5) „ “ ist kommutativ: siehe oben
=> (Kp\{0}, ) ist abelsche Gruppe
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(K3) zu zeigen: und erfüllen das Distributivgesetz:
a (b c) = a·(b+c) mod p = (a·b + a·c) mod p = a b a c
der Beweis für (a b) c läuft analog, da und kommutativ sind!
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==> (Kp, , ) ist ein Körper
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♣ Der letzte Schritt ist nicht ohne weiteres einsichtig. Dahinter steckt der sogenannte „kleine Satz von Fermat“, der
besagt: wenn p eine Primzahl und a eine Zahl zwischen 1 und p ist, dann gilt ap-1 mod p = 1 .
Der Beweis dieses Satzes ist zwar relativ leicht, aber mit unseren Mitteln nur schwer zu formulieren!
Lösungen
2.
Gegeben ist die Menge V2 der zweidimensionalen Vektoren mit den Verknüfungen
„ “ : (a1 , a2) (b1 , b2) = (a1+b1 , a2+b2)
(komponentenweise Addition)
„ “ : (a1 , a2) (b1 , b2) = (a1·b1 , a2·b2)
(komponentenweise Multiplikation)
„ “ : (a1 , a2) (b1 , b2) = (a1·b1 - a2·b2 , a1·b2 + a2·b1)
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Prüfen Sie, ob (V2, , ) oder (V2, , ) Körper sind!
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(K1) (V2, ) ist eine abelsche Gruppe, wie bereits gezeigt wurde!
(K2) (V2\{ (0,0) }, ) ist nur eine Halbgruppe, da es zu (1,0) und (0,1) keine Inversen gibt!
=> (V2, , ) ist nur ein Ring, kein Körper!
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✁
(K2) zu zeigen: (V2\{(0,0)}, ) ist eine abelsche Gruppe
(G1) dass a b wieder eine V2-Vektor ist, ist offensichtlich
(G2) zu zeigen: a b c
a b c
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✆
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☎
✞
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✆
✟
✌
✝
b
✑
✒
✓
c
✔
✕
✖
✓
a
✛
b
✤
✢
☛
☞
b 1 c1 b 2 c2
b 1 c2 b 2 c1
✌
✍
✎
✘
✗
c1
c2
✜
✣
✚
✚
✙
a 1 b1 a 2 b2
a 1 b2 a 2 b1
c
✤
✣
✣
✡
‘’‘ ’‘
‘
’‘’‘
a1
a2
✏
a
✠
✤
✙
✛
✚
✛
✍
✌
a 1 b 1 c1 b 2 c2
a 1 b 1 c2 b 2 c1
✛
✜
✛
✙
✢
✢
✜
✢
✜
✛
✙
a 1 b 1 a 2 b 2 c1
a 1 b 1 a 2 b 2 c2
✙
✛
✜
✢
’‘
’‘
a 2 b 1 c 2 b 2 c1
a 2 b 1 c 1 b 2 c2
✜
✜
✢
✚
a 1 b2 a 2 b 1 c2
a 1 b2 a 2 b 1 c1
✛
✙
✢
✙
✛
✢
✙
✢
✚
’
’
a 1 b 1 c1 a 1 b 2 c2 a 2 b 1 c2 a 2 b 2 c 1
a 1 b 1 c2 a 1 b 2 c1 a 2 b 1 c1 a 2 b 2 c 2
✜
✜
✜
✙
✙
✜
a 1 b 1 c1 a 2 b 2 c1 a 1 b 2 c2 a 2 b 1 c 2
a 1 b 1 c2 a 2 b 2 c2 a 1 b 2 c1 a 2 b 1 c 1
✜
✜
✜
✜
✙
✙
durch Vergleich sieht man: beide Ergebnisse sind gleich, „ “ ist in V2 assoziativ!
(G3) e 1,0 ist das neutrale Element in (V2\{(0,0)}, ):
✥
✦
✥
✧
✩
★
‘’ ‘ ’‘
1
0
✪
e
a
✫
✬
✭
a1
a2
✮
✭
✯
✱
✰
✱
✳
✲
‘
✽
(G4) zu a
✹
a1 , a 2 ist a
✺
✸
’‘’
1 a1 0 a2
1 a2 0 a1
✾
✼
✻
❂
‘’
a1
a2
❅
a
❃
❄
❆
✴
a1
2
1
a
2
2
a
✿
✵
✵
a
✴
2
1
❀
a
‘ ’‘’ ‘
a1
a2
✵
e
✶
✴
a2
,
a
und
2
a2
❁
’
1
0
✶
a
2
1
a1 a1
2
2
a
❆
a2
❇
2
1
a
a1 a2
a
❊
❉
2
1
2
2
a
a2 a1
❋
a 21 a 22
❈
❋
❍
❋
●
a 21 a 22
❋
‘’
2
a a2
a2 a1 a2 a1
❍
●
a 21 a 22
✷
’‘’
✳
✳
✳
✲
a1
a2
✴
✵
a
✴
2
❋
2
1
❊
❋
✳
a1 a2
❊
❋
2
2
❋
2
a2 a2
❊
a
❈
✴
a1 1 a2 0
a1 0 a2 1
das inverse Element:
‘ ’‘ ’‘ ’
a1
a
a1
a2
1
0
e
❍
; a a e analog
❑
■
❏
▲
▼
◆
❖
a 21 a 22
❋
❋
◗
und da Quadrate stets positiv sind ist a auch für alle a 0, 0 definiert!
(G5) zu zeigen: a b b a
b1
a1 b1 a 2 b 2
b1 a1 b 2 a 2
b1
a1 b a
a b a1
a2
b2
a1 b 2 a2 b1
b1 a 2 b2 a1
b2
a2
=> (V2\{(0,0)}, ) ist abelsche Gruppe!
◗
€
❯
❯
❲
❱
‘’‘’‘
❯
❱
❲
❚
❙
❯
❱
❯
❘
❯
❱
’‘
❳
❲
’‘’‘’
❳
❲
❨
❲
❨
❱
❯
❯
❲
❱
❱
(K3) zu zeigen: a
❯
❯
b c
❙
❩
❩
a
❴
❬
b c
❭
‘
❪
❫
❴
❯
❚
❲
❯
❱
b 1 c1
b 2 c2
a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 c1 a 2 c2
a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 c2 a 2 c1
❵
❪
❪
❪
❵
❪
❴
❭
❪
❫
❵
❭
❪
❫
❪
a 2 b 2 c2
a 2 b 1 c1
❪
❪
❫
❭
❪
❫
’‘
a 1 b1 a 2 b2
a 1 b2 a 2 b1
❵
❭
❪
❴
❱
❪
❯
❯
❲
❯
❱
❱
❨
’
’‘’‘’‘’‘’
a 1 b 1 a 1 c1 a 2 b 2 a 2 c2
a 1 b 2 a 1 c2 a 2 b 1 a 2 c1
a 1 c1 a 2 c2
a 1 c2 a 2 c1
❵
c a c b c
❯
❯
❚
’‘
❨
a 1 b 1 c1
a 1 b 2 c2
❴
❪
a b
❯
❯
❙
❨
❪
❬
❯
❱
‘’‘ ’‘
’‘
a1
a2
und
a b a c
❯
❯
❱
❨
❩
❴
❪
❵
❵
❪
❪
❪
a1
a2
❬
b1
b2
❪
a1
a2
❬
❴
c1
c2
❩
❩
❴
a
❩
❬
b a
❪
❩
❬
c
die zweite Aussage folgt analog (d.h. auf gleiche Weise, ist nur noch Schreibarbeit!).
==> (V2, , ) ist ein Körper!
❛
❱
Bemerkung
Dieser Körper mit seiner seltsamen Multiplikation wird uns später noch einmal begegnen, und dann
wird auch klar werden, wie man zu der Multiplikation, dem Einselement und den multiplikativ-inversen Elementen kommt. Nur Geduld!
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