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Hans Walser, [20090124a]
Abnehmende Zickzacklinien
Anregung: Roter Engel
1 Fragestellung
Wie verhalten sich die beiden Zickzacklinien?
Harmonisch abnehmende Zickzacklinie
Exponentiell abnehmende Zickzacklinie
2/4
Hans Walser: Abnehmende Zickzack-Linien
2
Bearbeitung
2.1 Harmonisch abnehmende Zickzacklinie
Wir führen ein Koordinatensystem und Bezeichnungen gemäß Arbeitsfigur ein. Gegeben seien die drei Punkte A1 ( 0,1) , F (1, 0 ) und G ( 1, 0 ) sowie die Gerade q mit der
Gleichung y = 2x . Die Gerade p ist die y-Achse.
y
A1 ( 0,1)
p
q
B1
A2
b1
b2
A3
a1
B2
B3
a3
a2
F (1,0 )
G ( 1,0 )
x
Arbeitsfigur
Wir verbinden A1 ( 0,1) mit F (1, 0 ) (Gerade a1 ) und schneiden mit q, das gibt B1 . Nun
schneiden wir B1G (Gerade b1 ) mit p und erhalten A2 . Schnitt von A2 F mit q gibt B2
und so weiter.
( )
( )
( )
( )
Wir erhalten dann der Reihe nach: B1 13 , 23 , A2 0, 12 , B2 15 , 25 , A3 0, 13 , ... . Allgemein gilt:
( ) (
)
1 , 2 , n An 0, 1n , Bn 2n+1
2n+1
Die y-Koordinaten bilden abnehmende harmonische Folgen.
Beweis induktiv:
( )
(II) Aus An ( 0, 1n ) erhalten wir für die Gerade an = An F die Gleichung an : y = 1n 1n x .
1 , 2 . Die Gerade b = B G hat
Schnitt mit der Geraden q : y = 2x ergibt Bn ( 2n+1
n
n
2n+1 )
(I) A1 ( 0,1) = A1 0, 11 ist gegeben.
1 + 1 x . Schnitt mit der Geraden p : x = 0 liefert
dann die Gleichung bn : y = n+1
n+1
1
An+1 0, n+1 . (
)
3/4
Hans Walser: Abnehmende Zickzack-Linien
2.2 Exponentiell abnehmende Zickzacklinie
Wir führen wiederum ein Koordinatensystem und Bezeichnungen gemäß Arbeitsfigur
ein. Die Nummerierung der Punkte An 0, yAn und Bn 13 , yBn beginnt aus ästheti-
(
(
)
)
schen Gründen mit Null. Gegeben seien die drei Punkte A0 ( 0,1) , F (1, 0 ) und G ( 1, 0 )
sowie die senkrechte Gerade q mit der Gleichung x = 13 . Die Gerade p ist wiederum die
y-Achse.
y
A0 (0,1)
q
p
B0
A1
b0
b1
B1
A2
G ( 1,0 )
B2
a0
a1
a2
1
3
0
F (1,0 )
x
Arbeitsfigur
Wir verbinden A0 ( 0,1) mit F (1, 0 ) (Gerade a0 ) und schneiden mit q, das gibt B0 . Nun
schneiden wir B0G (Gerade b0 ) mit p und erhalten A1 . Schnitt von A1F mit q gibt B1
und so weiter.
( )
Wir erhalten der Reihe nach: B0 13 , 23 (wie im oberen Fall der harmonischen Zickzacklinie), A1 0, 12 (ebenfalls wie oben), B1 13 , 23 , A2 0, 14 , ... . Allgemein gilt:
( )
( ) ( )
n
n
An 0, ( 12 ) , Bn 13 , 23 ( 12 ) , n {0}
Die y-Koordinaten sind geometrische Folgen mit dem Quotienten 12 ; wir haben also
einen exponentiellen Zerfall.
Beweis induktiv:
()
()
0
0
(I) A0 ( 0,1) = A0 0, 12 , also yA0 = 1 = 12 , ist gegeben.
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Hans Walser: Abnehmende Zickzack-Linien
yB
yA
(II) Auf Grund der Strahlensätze ist y n = 23 , also yBn = 23 yAn . Weiter ist y n+1 = 43 ,
An
Bn
( )n ergibt sich dar-
also yAn+1 = 43 yBn . Somit ist yAn+1 = 43 23 yAn = 12 yAn . Aus yAn = 12
( )n+1 . aus yAn+1 = 12
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