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3.2 Systeme des Bestandsmanagements Wie kommt es - WINFOR

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3.2 Systeme des Bestandsmanagements
Was ist Bestandsmanagement?
Grob gesagt, wird im Bestandsmanagement festgelegt,
welche Mengen eines Produktes zu welchem Zeitpunkt zu
bestellen sind
Hierdurch wird der Bestand eines bestimmten Produktes im
Lager determiniert
Qualität des Bestandsmanagements
Kann entscheidend für den Wettbewerbserfolg sein
In Deutschland beträgt der Gesamtwert des
Lagerbestandes, die irgendwo gelagert sind und „auf
Nachfrage warten“ ungefähr 500 Milliarden Euro
Irgendwie nicht so richtig effizient, oder?
Business Computing and Operations Research
318
Wie kommt es zu Lagerbeständen?
Am Besten wir bestellen nur wenn Bedarf vorliegt
oder klar absehbar ist
Problemfelder
Skaleneffekte
Diese treten dann auf wenn die Stückkosten mit der Produktions-,
Transport- oder Bestellmenge zurückgehen
Beispiel Abfüllanlagen für Softdrinks
– Hohe Reinigungskosten treten beim Wechsel von Produkten auf
– Daher ist die Abfüllung einzelner Flaschen zu ineffizient
– So werden durch die Herstellung großer Mengen einzelner Drinks
Skaleneffekte erzielt und damit die Stückkosten reduziert
Unsicherheit
Unsicherheit ist ein weiterer Grund für Lagerbestände
Erhöhte Lagerbestände dienen dabei der Vermeidung von
Fehlmengen bei steigender Nachfrage
Business Computing and Operations Research
319
Gründe für Lagerbestände
Transportzeiten
Des weiteren werden durch entstehende
Transportzeiten Lagerbestände notwendig
So führen signifikante Transportzeiten zu erheblichen
Kapitalbindungen
Weitere Faktoren
Spekulationen auf Preisschwankungen
Langfristige Bindungen
Business Computing and Operations Research
320
3.2.1 Klassisches Bestellmengenproblem
Dieses ist das bekannteste Modell zum Bestandsmanagement
Es geht auf Harris zurück und wurde bereits im Jahre 1915
entwickelt
Folgende (restriktive) Annahmen liegen diesem einfachen
Modell zu Grunde
Gegebener Gesamtbedarf im Planungszeitraum
Konstante Bedarfsrate je ZE
Unendliche Lieferrate je ZE
Konstanter Beschaffungspreis je FE
Fehlmengen sind unzulässig
Keine Ressourcenbeschränkungen
Business Computing and Operations Research
321
Betrachtete Kostenarten
Variable Bestellkosten
Kosten c, die pro Einheit der Bestellmenge auftreten
Proportional zur Bestellmenge
z.B. Transportkosten, Beschaffungskosten pro Einheit
Fixen Bestellkosten
Treten fix (d.h. unabhängig von der gewählten Bestellmenge) bei jeder
ausgeführten Bestellung auf
Bei x>0 fallen genau einmal Kosten von k pro Bestellung an
→ Bestellkosten
Summe aus fixen und variablen Bestellkosten C(x)
Damit gilt
 0 falls x = 0
C (x) = 
k + c ⋅ x sonst
→ Lagerhaltungskosten
Fallen je gelagerte Einheit pro Zeiteinheit an
Wir benötigen für ihre Bestimmung also die durchschnittliche Menge an
Produkten, die im Planungszeitraum auf Lager ist
Business Computing and Operations Research
322
Optimaler Bestellpunkt r
Gibt die Höhe des Lagerbestandes an, bei dem eine Bestellung
in Höhe der optimalen Bestellmenge x getätigt werden soll
Die Bestimmung hängt von der Liefergeschwindigkeit ab
Im klassischen Bestellmengenproblem lässt sich der optimale
Bestellpunkt sehr einfach ermitteln
So sind zunächst Fehlmengen verboten, weshalb nur ein
Bestellpunkt größer oder gleich Null in Frage kommen kann
Daneben führt – aufgrund der unendlichen Liefergeschwindigkeit
– ein Bestellpunkt größer als Null lediglich zu höheren
Lagerbeständen – und damit höheren Lagerkosten – weshalb r im
klassischen Bestellmengenproblem grundsätzlich auf Null zu
setzen ist
Business Computing and Operations Research
323
Beobachtung
Wir haben mit den Bestell- und Lagerkosten zwei
konfliktäre Zielgrößen
Dabei ist zu beachten, dass die Bestellmenge x keinen
Einfluss auf die gesamten variablen Bestellkosten hat
Deshalb sind diese Kosten entscheidungsirrelevant
und deshalb nicht weiter zu berücksichtigen, d.h. wir
können unsere Zielfunktion entsprechend
vereinfachen
Damit ergibt sich das folgende einfache Modell zur
Bestimmung einer wirtschaftlichen Bestellmenge
Business Computing and Operations Research
324
Variablen / Parameter des Modells
Variable:
x
die zu bestellende Menge je Bestellvorgang, in [FE]/[Best.]
Parameter:
µ
Gesamtbedarf an einer Materialart im Planungszeitraum, in
[FE]/[PZE]
k
Bestellfixe Kosten, in [GE]/[Best.]
h
Lagerhaltungskosten, in [GE]/([FE] . [PZE])
q
Beschaffungspreis der Materialart, in [GE]/[FE]
Business Computing and Operations Research
325
Kostenfunktion
Die zu minimierenden Kosten betragen somit in
Abhängigkeit von der gewählten Bestellmenge
Z (x ) =
µ
x
⋅ k + ∅B ( x ) ⋅ h
Wir sehen, dass wir noch den durchschnittlichen
Bestand benötigen, um die Formel zu komplettieren
Dies ist aber sehr leicht möglich, wie die folgende
Abbildung veranschaulicht
Business Computing and Operations Research
326
Verlauf des Lagerbestandes
Man erkennt, dass gerade die Hälfte der gewählten
Bestellmenge x durchschnittlich auf Lager liegt
Damit können wir x/2 als durchschnittlichen Bestand ansetzen:
Lagerbestand
x/2
t
Business Computing and Operations Research
327
Gesamtkosten
µ
Z (x ) =
x
⋅k
Summe fixe Bestellkos ten
Einheiten:
( GE / Best .)⋅(( FE / PZE ) /( FE / Best .))
=GE / PZE
+
1
⋅ x⋅h
2
Summe Lagerkoste n
Einheiten:
( Best .)⋅(( FE / Best .)⋅( GE /( FE ⋅ PZE )))
=GE / PZE
Business Computing and Operations Research
328
Bestimmung der optimalen Bestellmenge
Z (x ) =
µ
x
1
⋅k + ⋅ x⋅h
2
∂Z (x )
∂
µ 1
∂Z ( x )
∂x = 2 ⋅ k ⋅ µ > 0 ∀x ∈ IR
= −k ⋅ 2 + ⋅ h;
+
∂x
x
2
∂x
x3
µ 1
µ 1
∂Z ( x )
= 0 ⇔ −k ⋅ 2 + ⋅ h = 0 ⇔ k ⋅ 2 = ⋅ h
∂x
x
2
x
2
+
µ
µ
2
⇔ 2⋅k ⋅ = x ⇔ x =
2⋅k ⋅
−
h
h
x = 2⋅k ⋅
µ
wird als wirtschaftliche Beschaffungsmenge
h
oder optimale Bestellmen ge bezeichnet
Business Computing and Operations Research
329
Einheiten
µ
x = 2⋅k ⋅
h
Einheiten :
 FE 
µ
2
 1   GE 
 PZE  = 2 ⋅ k  GE  ⋅ µ  FE 
2
⋅k
⋅


2



GE

 Best.   Best.  h 
 Best.  h  GE 
 FE ⋅ PZE 
= 2⋅k ⋅
µ  FE 2 
µ  FE 

 = 2⋅k ⋅ 
h  Best.2 
h  Best. 
330
Business Computing and Operations Research
Klassische Bestellmenge – Beispiel
Daten:
µ=18.000 kg/Jahr
k=120,00 €/Bestellung
h=0,75 €/(kg.Jahr)
⇒ x = 2 ⋅120
18000
= 5760000 = 2400 [kg / Best.]
0,75
Business Computing and Operations Research
331
Illustration der Kostenverläufe
25000
20000
15000
Gesamtkosten
Fixe Bestellkosten
Lagerkosten
10000
5000
0
1
5
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65
Business Computing and Operations Research
332
Robustheit der Lösung
Die Frage stellt sich, in welchem Ausmaß
Abweichungen von der optimalen Bestellmenge
Auswirkungen auf die entstehenden Gesamtkosten
haben
Um dies zu untersuchen, wollen wir im Folgenden die
doppelte und die halbierte Bestellmenge ansetzen
und die sich ergebenden Kosten betrachten
Dies erfolgt auf der nächsten Folie
333
Business Computing and Operations Research
Variation der Bestellmenge
x
Z(x)
fixe Bestellkosten
Lagerkosten
1100
2376,136364
1963,636364
412,5
1200
2250
1800
450
1300
2149,038462
1661,538462
487,5
2200
1806,818182
981,8181818
825
2300
1801,630435
939,1304348
862,5
2400
1800
900
900
2500
1801,5
864
937,5
2600
1805,769231
830,7692308
975
4700
2222,074468
459,5744681
1762,5
4800
2250
450
1800
4900
2278,316327
440,8163265
1837,5
Business Computing and Operations Research
334
Man sieht…
dass die Gesamtkostenfunktion im Optimum sehr
flach verläuft und sich deshalb sehr unsensitiv
gegenüber Veränderungen verhält
Eine Verdopplung oder Halbierung der Bestellmenge
hat eine Kostensteigerung um lediglich 25 Prozent zur
Folge
Business Computing and Operations Research
335
3.2.2 Modellerweiterungen
Wir erweitern nun das klassische Problem um verschiedene
praxisrelevante Merkmale wie
Lieferzeiten,
endliche Lieferraten oder
Rabatte
Bisher wurde vereinfacht davon ausgegangen, dass
keine Lieferzeiten auftreten, d.h. wir können beliebige Mengen
ohne Zeitverzug beschaffen,
uns jeweils die gesamte Beschaffungsmenge in einer Lieferung
erreicht und
keine Rabattmöglichkeit gegeben ist
Diese Annahmen werden nun nacheinander aufgehoben
Business Computing and Operations Research
336
Berücksichtigung von Lieferzeiten
Im Folgenden stellen wir uns die Frage, wie sich die Lösung
verändert, wenn eine bestimmte Lieferzeit gegeben ist
Das heißt, wir haben nun eine Transport- oder
Auslieferungszeit zu berücksichtigen
Damit lässt sich natürlich ein Bestellpunkt Null nicht mehr
halten
Allerdings hat die isolierte Berücksichtigung von Lieferzeiten
keine Auswirkungen auf die Höhe der optimalen Bestellmenge
Vielmehr ist lediglich der Bestellpunkt entsprechend zu
modifizieren
So ist jeweils die Lagermenge zu finden bei der eine Bestellung
auszulösen ist, damit diese genau bei Lagerstand Null eintrifft
Business Computing and Operations Research
337
Bestimmung des Bestellpunktes
Die Frage ist nun, bei welchem Lagerbestand eine
Bestellung auszulösen ist
Dieser Lagerbestand leitet sich aus der Menge her, die
während der Lieferzeit verbraucht wird
Da µ Produkteinheiten im jeweiligen
Planungszeitraum verbraucht werden, ist nach dem
Verhältnis von T und LT zu fragen
T: Definiert die Zeitspanne in der eine komplette
Bestellung der Größe x verbraucht wird, d.h. dies ist die
Dauer zwischen zwei Bestellungen
LT: Lieferzeit für eine Bestellung
Business Computing and Operations Research
338
Damit: Berechnung des Bestellpunktes
Wir können somit festhalten r ∗ = (LT modulo T ) ⋅ µ
Diese Formel gilt insbesondere auch für den Fall LT>T
Lagerbestand
x
r*
Periode
LT
T
LT modulo T
Business Computing and Operations Research
339
Berechnung des Bestellpunktes – Beispiel
Seien x=40 [PE], µ=20 [PE]/[Woche] gegeben
Damit gilt T=40/20 [PE]/[PE]/[Woche]=2 [Wochen]
LT sei 1,4 [Wochen]
Damit gilt r*=(1,4 modulo 2).20=1,4.20=28 PE
Sinkt der Lagerbestand auf 28 PE muss bestellt
werden
Falls nun LT 2,6 [Wochen]
Dann gilt r*=(2,6 modulo 2).20=0,6.20=12 PE
Sinkt der Lagerbestand auf 12 PE muss bestellt
werden
Business Computing and Operations Research
340
Berücksichtigung von endlichen Lieferraten
Bei einer endlichen Lieferrate treffen die Lieferungen
nicht komplett sondern in Raten ein
Dies bedeutet, dass wir im Folgenden eine
kontinuierliche Lieferrate λ (ähnlich zum
kontinuierlichen Bedarf µ) unterstellen
Es gilt: λ≥µ
Andernfalls läge eine unlösbare Problemstellung vor
Wir können prinzipiell die für den Standardfall
hergeleitete Lösungsformel weiter verwenden
Allerdings ist zu beachten, dass durch das schrittweise
Füllen des Lagers geringere Lagerkosten auftreten, da
die Bestände geringer sind als im klassischen Modell
Business Computing and Operations Research
341
Bestandsverlauf bei endlicher Lieferrate
Lagerbestand
x
=TP. µ
TP=
TP.λ =
x
λ
Zeit
T
λ =∞
λ << ∞
Business Computing and Operations Research
342
Durchschnittlicher Lagerbestand
Da der Verlauf wiederum linear ist, brauchen wir nur
den Höchst- und den Mindestbestand zu betrachten
Damit erhalten wir
1
1 
x 
⋅ (( x − TP ⋅ µ ) + 0 ) = ⋅  x − ⋅ µ 
λ 
2
2 
1
1  µ
 µ
= ⋅ x ⋅ 1 −  = x ⋅
⋅ 1 − 
2
2  λ
 λ
∅I ( x ) =
Anteil der Bestellmenge x, der im
Planungszeitraum
durchschnittlich auf Lager ist
Business Computing and Operations Research
343
Neue Kostenfunktion
Wir erhalten somit die folgende Kostenfunktion
K (x ) =
µ
1
 µ
k + ⋅ x ⋅ 1 −  ⋅ h
x
2
 λ
Wir können nun zur Ermittlung der optimalen
Bestellmenge die Ableitung bilden und deren
Nullstelle ermitteln
Allerdings lässt sich die bereits hergeleitete Formel
verwenden, da wir es nur mit modifizierten
Lagerkosten zu tun haben, der Rest aber unberührt
bleibt
Business Computing and Operations Research
344
Modifizierte optimale Bestellmenge
Wir ersetzen in der Formel
x = 2⋅k ⋅
µ
h
 µ
h durch 1 −  ⋅ h
 λ
und erhalten
x=
2⋅k ⋅µ
 µ
1 −  ⋅ h
 λ
345
Business Computing and Operations Research
Modifizierte Bestellmenge – Beispiel
Daten:
µ=18.000 kg/Jahr
λ=36.000 kg/Jahr
k=120,00 €/Bestellung
h=0,75 €/(kg.Jahr)
⇒ x = 2 ⋅120
18000
=
 18000 
0,75 ⋅ 1 −

 36000 
43200000
0,375
= 10733,12629 [kg / Best.]
Business Computing and Operations Research
346
Einbeziehung von Rabatten
Vielfach ist es in der Praxis möglich,
mengenabhängige Rabatte zu erhalten
Das heißt, eine größere Bestellmenge kann sich durch
geringere variable Beschaffungskosten auszeichnen
Damit wird diese Kostenkategorie erstmals
entscheidungsrelevant!
Business Computing and Operations Research
347
Bekannte Rabattarten
Rabatt
ist ein mengen- oder wertabhängiger Abschlag von
einer bestimmten Ausgangsgröße
Mengenabhängige versus wertabhängige Rabatte
Mengenabhängig:
Bei Abnahme von mehr als x Stück wird ein Rabatt von
y Prozent gewährt
Wertmäßig:
Bei Erwerb von mehr als x Euro Wert wird ein Rabatt
von y Prozent gewährt
Business Computing and Operations Research
348
Rabattarten
Einzelbestellmengenbezogene versus Zeitraum
bezogene Rabatte
Einzelbestellmengebezogenen Rabatten:
Pro einzelnem Auftrag / einzelner Bestellung wird
jeweils entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird
Zeitraumbezogene Rabatten:
Bezogen auf das Auftragsverhalten in einem Zeitraum
wird entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird (durch
den Lieferanten wird ein bestimmtes Kundenverhalten
angestrebt)
Business Computing and Operations Research
349
Angestoßener Rabatt
Angestoßener Rabatt
Es werden hierbei t Rabattklassen definiert, die bestimmten Mindestund Höchstmengen als zulässige Intervalle besitzen.
Rabattklasse I:
a0 ≤ x < a1
Rabattklasse II:
a1 ≤ x < a2
Rabattklasse III: a2 ≤ x < a3
Rabattklasse IV: a3 ≤ x < a4
…
Rabattklasse k:
ak-1 ≤ x < ak
Beachte: Es werden nur die Mengen in den jeweiligen Klassen mit dem
entsprechenden Rabatt berücksichtigt.
Beispiel: a2 ≤ x < a3
Nur für die x – a2 vielen Mengeneinheiten erhält man einen Rabatt.
Somit lohnt es sich nie mehr als benötigt zu beschaffen
Business Computing and Operations Research
350
Illustration – Angestoßener Rabatt
K
x
x1
x3
Business Computing and Operations Research
351
Durchgerechneter Rabatt
Durchgerechneter Rabatt:
Hier gilt der Rabatt jeweils für alle bestellten Einheiten
Hier kann es sich u. Umständen lohnen mehr als
benötigt zu bestellen (und zu vernichten)
Beispiel: Es gelte ein durchgerechneter Rabatt von 10
Prozent bei Abnahme von über 1.001 Stück
x Stück seien zu beschaffen mit x ≤ 1.000
Frage ist nun:
„Für welche x lohnt sich die „Überbestellung“ wenn die
folgenden Angaben gelten?“
Business Computing and Operations Research
352
Beispiel zur Überbestellung
Preis pro Stück:
Vernichtungskosten:
1.000 €/Stck
10 €/Stck
Überbestellung lohnt sich bei:
(1001 – x).10 + 1001.900 –1000.x ≤ 0
Damit gilt:
10010 – 10.x + 900.900 – 1000.x ≤ 0
Somit:
910910 – 1010 x ≤ 0
Und deshalb folgt für die benötigte Menge x
x ≥ 901,8910891
Business Computing and Operations Research
353
Manche nutzen einfach jeden Rabatt
„Frau Lamprecht, Sie haben da nicht den Überblick…“
„…der blattweise Einkauf von
Schreibmaschinenpapier ist betriebswirtschaftlich
nicht sinnvoll…“
„…und Sie sorgen dafür, dass das hier weggeräumt
wird…“
Business Computing and Operations Research
354
Bestimmung optimaler Bestellmengen
Zeitraumbezogener Rabatt
Gewährung des Rabattes in Abh. der Menge R, die in gesamten
Zeitraum beschafft wird.
r(µ): Reduktion des Lagerkostensatzes in Abhängigkeit des
Gesamtbedarfs
q0: Lagerkostensatz bei einem Beschaffungspreis ohne Rabatt
q(µ): Lagerkostensatz bei einem Beschaffungspreis mit Rabatt
abhängig von µ
Auswirkung hat eine solche Rabattform dann auf die optimale
Bestellmenge, wenn der Lagerkostensatz eine wertmäßige
Komponente enthält, d.h. es gilt:
h ( µ) = q ( µ) +
Wertmäßige
Komponente
m ( µ)
Mengenabhängige
Komponenten
Business Computing and Operations Research
355
Modifizierte Bestellmenge
Es gilt somit (die Mengenkomponente wird hierbei
durch die Wertkomponente miterfasst):
x1* =
2⋅k ⋅ µ
2⋅k ⋅ µ
=
q( µ )
q0 ⋅ [1 − r ( µ )]
Damit gilt
x1* =
2⋅k ⋅ µ
1
2⋅k ⋅ µ
1
=
⋅
= x0∗ ⋅
q0 ⋅ [1 − r ( µ )]
1 − r(µ)
q0
1 − r (µ )
Business Computing and Operations Research
356
Ergebnis
D.h. je größer der Rabatt, desto größer die optimale
Bestellmenge, da der Lagerkostenbeitrag in diesem Fall sinkt.
r(µ)
x1* − x0*
⋅ 100
x0*
5%
2,6 %
10 %
5,4 %
15 %
8,5 %
20 %
11,8 %
25 %
15,5 %
30 %
19,5 %
62 %
62,2 %
70 %
82,6 %
Business Computing and Operations Research
357
Optimale Bestellmenge bei
Einzelbestellmengenbezogener Rabatt
Hierbei ist nun die Rabatthöhe abhängig vom
gewählten x
Dabei gilt:
falls
a0 = 0 ≤ x < a1
 q0

qi =  q0 (1 − ci ) falls ai ≤ x ≤ ai +1 , ∀ i ∈ {1, ..., I − 1}
q (1 − c ) falls
x ≥ aI
I
 0
bei insgesamt I+1 Rabattstufen
Beachte:
Gesamtkostenfunktion hat mehrere Sprünge
Nur abschnittsweise differenzierbar.
Business Computing and Operations Research
358
Grundlegende Erkenntnis
Es gilt:
Optimale Bestellmenge xi* von K i ist immer
vorteilhafter als alle Bestellmengen von K 0 bis K i −1
Problem ist aber:
Wir müssen prüfen, ob
„Diese Bestellmenge im erforderlichen Intervall liegt,
d.h. ob für diese Bestellmenge die folgende IntervallBedingung gilt?
ai ≤ x * (qi ) < ai +1
Business Computing and Operations Research
359
Optimales Vorgehen
1. Bestimme zunächst
x* (qI ) =
2⋅k ⋅ µ
, mit hI (wertmäßiger)
hI
Lagerkostensatz für Rabattstufe I
a) Gilt nun:
aI ≤ x* (qI ) ⇒ x* (qI ) ist optimal!
sonst gilt : aI > x* (q I )
360
Business Computing and Operations Research
Optimales Vorgehen
2.
Gehe rückwärts alle Rabattstufen durch
j=I–1, I–2, ...,…
Prüfe ob gilt: aj≤x*(qj)
Ja, dann setzte i0=j und j=j-1
Bei j=0 gilt immer a0=0≤x*(q0)
Bei Stufe i0 scheiden sofort alle kleineren Stufen komplett
aus!
Warum? Es gilt:
∀j ∈ {i0 + 1, ..., I } : x* ( q j ) < a j . Wegen x* ( q j ) =
2 KB ⋅ R
hj
∧ h j ≤ h j −1 ≤ h j − 2 ≤ ... ≤ h1 gilt: ∀j ∈ {i0 + 1, ..., I } : x* ( q j −1 ) ≤ x* ( q j )
361
Business Computing and Operations Research
Und somit gilt für i0
( )
( )
(
⇒ x* qi0 ≤ x* (q j ) < a j ∧ x* qi0 ≥ ai0
) ( ( ))
⇒ ai0 ≤ x (q j ) < ai0 +1 ∧ ∀i ∈ {0,1,..., i0 − 1}: Z x* (qi ) ≥ Z x* qi0
*
Business Computing and Operations Research
362
Und erhalten schließlich
Da nun für die Abschnitte c=i0+1, i0+2, ...,I der
optimale Punkt überschritten ist, ist jeweils die
Bestellmenge ac zu wählen (untere Grenze)
Wähle schließlich unter diesen Kandidaten die
Bestellmenge aus
{x (q ), a
*
i0 +1
i0
, ai0 + 2 , ..., aI
}
mit minimalen Kosten
{ ( ( ))
( )
}
min K i0 x* qi0 , K i0 +1 ai0 +1 , ... K I (aI )
Business Computing and Operations Research
363
Beispiel
Wir betrachten die folgende einfache Konstellation
Stufe 0:
Bei Bestellmengen zwischen 0 und <200 Stück ergibt sich ein
Beschaffungspreis von 16 €/Stück
Stufe 1:
Bei Bestellmengen zwischen 200 und <500 Stück ergibt sich ein
Beschaffungspreis von 15 €/Stück
Stufe 2:
Bei Bestellmengen größer oder gleich 500 Stück ergibt sich ein
Beschaffungspreis von 14 €/Stück
Weitere Daten sind
µ=1.000 Stück/Jahr
k=50,00 €/Bestellung
hi=0,1.ci €/(kg.Jahr)
Business Computing and Operations Research
364
Wir betrachten nun die Stufe 2
Die optimale Bestellmenge lautet dort
x* (q2 ) =
2 ⋅1000 ⋅ 50
= 267 < 500
1,4
Damit berechnen wir die Kosten der unteren Grenze,
also
K (500) = 1000 ⋅14 +
1000
500
⋅ 50 +
⋅1,4 = 14.450
500
2
Business Computing and Operations Research
365
Wir betrachten nun die Stufe 1
Die optimale Bestellmenge lautet dort
x* (q1 ) =
2 ⋅1000 ⋅ 50
= 258 ≥ 200 ⇒ i0 = 1
1,5
Damit ist die Betrachtung weiterer Stufen unnötig
und wir berechnen die Kosten der optimalen
Bestellmenge der Stufe 1
K (258) = 1000 ⋅15 +
1000
258
⋅ 50 +
⋅1,5 = 15.387
258
2
Business Computing and Operations Research
366
Ergebnis
Aufgrund der geringeren Gesamtkosten realisieren
wir die Bestellmenge 500 Stück
Dies entspricht der unteren Schranke der höchsten
Rabattstufe
Business Computing and Operations Research
367
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