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Dreisatzrechnung Aufgabe: Ein PKW verbraucht auf 100 - aj-dons

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Dreisatzrechnung
Aufgabe:
Ein PKW verbraucht auf 100 km 10 Liter Treibstoff. Wie viel Liter benötigt er bei gleicher
Fahrweise für 200 km, 300 km, .... ?
Analyse:
Der Treibstoffverbrauch je km kann durch eine lineare Funktion der Form f(x)= mx
beschrieben werden.
Es gilt: f(x) = 0,1 L/km @ x km 6 f(x) = 0, 1 x
Die folgende Abbildung gibt den Funktionsverlauf wieder.
Wir erkennen aus der Abbildung z.B. folgende Beziehungen :
 für eine Fahrtstrecke von 100 km benötigen wir 10 Liter Treibstoff
 für eine Fahrtstrecke von 200 km benötigen wir 20 Liter Treibstoff
und können fragen :
“Wie viel Liter benötigen wir für 400 km ?”
Damit kann der sogenannte Bedingungs- und Fragesatz formulieren:
Bedingungssatz :
Fragesatz:
100 km 6 10 L
400 km 6 x L
Rechnung:
x = (400 km @ 10 L) / 100 km = 40 L
Definition: Wenn aus “mehr” “mehr” oder “weniger” “weniger” wird, dann sprechen wir von einer
direkten Proportionalität oder einem Dreisatz mit “geradem Verhältnis”.
Es gilt allgemein bei einem Dreisatz mit “geradem Verhältnis”:
Bedingungssatz :
Fragesatz:
a 6 b
c 6 x
Lösung :
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 1-
Merke:
Die Lösung einer “Dreisatzaufgabe mit geradem Verhältnis” kann daher rechnerisch oder
graphisch mit einer lineare Funktion durch den Ursprung bestimmt werden. Dabei folgt der
Wert für den Steigungsfaktor m aus den Daten des Bedingungssatzes.
Es gilt:
Aufgabe:
Für die Erstellung eines Grabens benötigen 2 Arbeiter 10 Tage. Geben Sie eine Funktion
an, welche die Abhängigkeit der benötigten Arbeitstage von der Anzahl der eingesetzten
Arbeiter beschreibt.
Analyse:
Damit die Arbeit in weniger Tagen erledigt werden kann, muss das Unternehmen mehr
Arbeiter einsetzen.
Überlegung:
wenn
dann würde
2 Arbeiter 10 Tage benötigen
1 Arbeiter 20 Tage benötigen
wenn
dann benötigen
1 Arbeiter 20 Tage benötigt
4 Arbeiter 5 Tage benötigen
Damit kann der Bedingungs- und Fragesatz wie folgt formuliert werden:
Bedingungssatz :
Fragesatz:
2 Arbeiter 6 10 Tage
1 Arbeiter 6 y Tage
Rechnung:
y = (2 Arbeiter @ 10 Tage) / 1 Arbeiter = 20 Tage
Stellt man die Abhängigkeit der benötigten Tage von der Anzahl der eingesetzten Arbeiter
graphisch dar, so erkennt man eine gebrochen-rationale Funktion (Hyperbel-Funktion) der
Form y = h/x.
Definition: Wenn aus “weniger” “mehr” oder “mehr” “weniger” wird, dann sprechen wir von einer
indirekten Proportionalität oder einem Dreisatz mit “ungeradem Verhältnis”.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 2-
Es gilt allgemein bei einem Dreisatz mit einem “ungeraden Verhältnis”:
Bedingungssatz :
Fragesatz:
a 6 b
c 6 y
Lösung :
Merke:
Die Lösung einer “Dreisatzaufgabe mit ungeradem Verhältnis” kann daher rechnerisch oder
graphisch mit Hilfe der Funktion y = (a @ b) / x erfolgen.
Für unser Beispiel gilt: y = 20 / x ( y.= Tage ; x := Arbeiter) .
Übung:
Gerader Dreisatz
Ein Betrieb stellt bei 38stündiger wöchentlicher Arbeitszeit 11.400 Stück Bauteile her. Wie
hoch wird die Produktion bei 36 Stunden Wochenarbeitszeit sein?
Ansatz:
In 38 Stunden werden 11.400 Stück hergestellt
In 36 Stunden werden x Stück hergestellt
Übung:
Ungerader Dreisatz
(Bedingungssatz)
(Fragesatz)
Ein Rohstoffvorrat reicht für 35 Maschinen 24 Arbeitstage. 7 Maschinen fallen aus. Wie
lange reicht der Vorrat?
Ansatz:
Für 35 Maschinen reicht der Vorrat 24 Tage
Für 28 Maschinen reicht der Vorrat x Tage
(Bedingungssatz)
(Fragesatz)
Problem: Für den Neubau einer Lagerhalle müssen 15000 m³ Erde bewegt werden. Dazu benötigen 5
Maschinen 48 Arbeitsstunden. Wie viel Arbeitsstunden brauchen 6 Maschinen, wenn wegen
einer Bauplanänderung 23000 m³ Erde anfallen?
Analyse: Die Analyse zeigt, dass mehr als zwei Sachverhalte miteinander verknüpft sind. Wir sprechen
daher auch von einem zusammengesetzten Dreisatz.
Ansatz:
Bedingungssatz:
Fragesatz:
5 Maschinen bewegen 15000 m³ in 48 Stunden
6 Maschinen bewegen 23000 m³ in x Stunden
Lösung : Man schließe von der Vielzahl auf die Einzahl, in dem man den Sachverhalt schrittweise in
einfache Dreisätze auflöst.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 3-
Schlussrechnung:
Schritt
Sachverhalt
Verhältnis
â
5 Maschinen benötigen für
15.000 m3
ã
1 Maschine benötigt für
15.000 m3
ä
1 Maschine benötigt für
1 m3
Stunden
48
48 @ 5
ungerade
gerade
å
1 Maschine benötigt für
23.000 m3
gerade
æ
6 Maschinen benötigen für
23.000 m3
ungerade
ç
Ergebnis:
61 a Y
61 Std und
20 Minuten
Eine alternative Lösung kann wie folgt dargestellt werden:
Bedingungssatz :
Fragesatz:
5 Maschinen bewegen 15000 m³ in 48 Stunden
6 Maschinen bewegen 23000 m³ in x Stunden
Analyse der Verhältnisse: ungerade
gerade
Teilbruchstrich:
Lösung (Gesamtbruchstrich):
Übungen zur Dreisatzrechnung:
Aufgabe 1:
Für das Eindecken eines Flachdaches von 408 m² werden 10200 Platten benötigt.
Infolge einer Konstruktionsänderung wird das Dach nur 381 m² groß. Wie viel Platten
werden nun für das Dach bestellt?
Aufgabe 2:
Für eine Lackiererei benötigt ein Betrieb 34,5 m eines Spezialbodens von 70 cm Breite.
Der Belag ist aber nur in einer Breite von 50 cm vorrätig. Wie viel Meter müssen
geliefert werden.
Aufgabe 3:
Bei einer Lieferzeit von 21 Tagen ist ein eiserner Bestand von 861 Stück erforderlich.
Die Lieferzeit erhöht sich um 9 Tage. Wie hoch muss nun der eiserne Bestand sein?
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 4-
Aufgabe 4:
Aus 50 kg Rohkaffee erhält man 43,3 kg Röstkaffee. Wie hoch ist der Röstverlust bei
einer Tagesproduktion von 22650 kg Rohkaffee?
Aufgabe 5:
Einem Kunden wurden versehentlich gegen Barzahlung 600 Paar Socken zu 1,05 i je
Paar 1. Wahl geliefert. Er bat um Lieferung 2. Wahl zu 0,75 i je Paar. Wie viel Paar
müssen geliefert werden, wenn die Barzahlung voll eingesetzt werden soll?
Aufgabe 6:
(1)
Zur Herstellung eines Gewebes, 350 m lang, 80 cm breit, benötigt man 264 kg Garn.
Wie viel kg Garn müssen für ein Gewebe von 250 m Länge und 105 cm Breite angesetzt
werden?
Wie lang wird das Gewebe, wenn es 120 cm breit sein soll und 400 kg Garn zur
Verfügung stehen?
(2)
Aufgabe 7:
Für die Wandverkleidung einer Ausstellungshalle (15 m hoch und 24 m lang) werden
2640 Kupferplatten benötigt. Wie viel Platten müssen für eine Wand von 11 m Höhe
und 22 m Länge geliefert werden?
Aufgabe 8:
Einen Auftrag über 56 Werkstücke erledigen 14 Facharbeiter in 12 Arbeitstagen bei
achtstündiger täglicher Arbeitszeit. Ein Eilauftrag über 78 Stück soll in 9 Tagen
ausgeführt werden.
Wie viel Überstunden müsste jeder Arbeiter täglich machen?
Wie viel Arbeitskräfte müßten bei den vorgesehenen 9 Arbeitstagen für den Auftrag
über 78 Stücke zusätzlich eingesetzt werden, um Überstunden zu vermeiden?
(1)
(2)
Aufgabe 9:
An 8 Automaten werden in der 5-Tage-Woche bei täglicher Arbeitszeit von 9 Stunden
3780 Kegelräder gefertigt. Die tägliche Arbeitszeit wird auf 8 Stunden herabgesetzt.
Eine Maschine fällt aus. Wie hoch ist die Tagesproduktion bei achtstündiger Arbeitszeit.
Aufgabe 10:
Das Förderband einer Kiesgrube hat 3 Geschwindigkeiten. Stufe I 1,5m/Sek., Stufe II
2m/Sek., Stufe III 3m/Sek. bei gleicher Belastung. In einer Stunde können auf Stufe II
28 m³ gefördert werden. Wie viel m³ können je Stunde bei Stufe III gefördert werden?
Aufgabe 11:
Eine Chemiefabrik will eine Abteilung mit säurefesten Fliesen zu 18 x 22 cm auslegen
lassen. Erforderlich sind 20000 Platten. Ein anderer Hersteller bietet bessere Platten mit
den Maßen 10 x 12 cm an. Wie viel Platten müssen bei zweiten Hersteller bestellt
werden?
Aufgabe 12:
Ein Teeimporteur packt täglich mit 12 Automaten in zwei Schichten zu je 8 Stunden
3.200.000 Aufgussbeutel. Die Schichtarbeit wird um eine halbe Stunde gesenkt. Die
Absatzerwartung steigt auf 5000000 Beutel. Wie viel Automaten müssen zusätzlich
aufgrund der Arbeitszeitverkürzung und der Absatzerwartung angeschafft werden?
Auf den folgenden beiden Seiten finden Sie Lösungen zu den Aufgaben!
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 5-
Lösungen zur Dreisatzrechnung (Seite 4 und 5)
Aufgabe 1:
Für das Eindecken eines Flachdaches von 408 m² werden 10200 Platten benötigt.
Infolge einer Konstruktionsänderung wird das Dach nur 381 m² groß. Wie viel Platten
werden nun für das Dach bestellt?
Aufgabe 2:
Für eine Lackiererei benötigt ein Betrieb 34,5 m eines Spezialbodens von 70 cm Breite.
Der Belag ist aber nur in einer Breite von 50 cm vorrätig. Wie viel Meter müssen
geliefert werden.
Aufgabe 3:
Bei einer Lieferzeit von 21 Tagen ist ein eiserner Bestand von 861 Stück erforderlich.
Die Lieferzeit erhöht sich um 9 Tage. Wie hoch muss nun der eiserne Bestand sein?
Aufgabe 4:
Aus 50 kg Rohkaffee erhält man 43,3 kg Röstkaffee. Wie hoch ist der Röstverlust bei
einer Tagesproduktion von 22650 kg Rohkaffee?
d.b. einen Verlust von 3.035,10 kg
Aufgabe 5:
Einem Kunden wurden versehentlich gegen Barzahlung 600 Paar Socken zu 1,05 i je
Paar 1. Wahl geliefert. Er bat um Lieferung 2. Wahl zu 0,75 i je Paar. Wie viel Paar
müssen geliefert werden, wenn die Barzahlung voll eingesetzt werden soll?
Aufgabe 6:
(1)
Zur Herstellung eines Gewebes, 350 m lang, 80 cm breit, benötigt man 264 kg Garn.
Wie viel kg Garn müssen für ein Gewebe von 250 m Länge und 105 cm Breite angesetzt
werden?
Wie lang wird das Gewebe, wenn es 120 cm breit sein soll und 400 kg Garn zur
Verfügung stehen?
(2)
Aufgabe 7:
Für die Wandverkleidung einer Ausstellungshalle (15 m hoch und 24 m lang) werden
2640 Kupferplatten benötigt. Wie viel Platten müssen für eine Wand von 11 m Höhe
und 22 m Länge geliefert werden?
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 6-
Aufgabe 8:
(1)
(2)
Einen Auftrag über 56 Werkstücke erledigen 14 Facharbeiter in 12 Arbeitstagen bei
achtstündiger täglicher Arbeitszeit. Ein Eilauftrag über 78 Stück soll in 9 Tagen
ausgeführt werden.
Wie viel Überstunden müsste jeder Arbeiter täglich machen?
Wie viel Arbeitskräfte müßten bei den vorgesehenen 9 Arbeitstagen für den Auftrag
über 78 Stücke zusätzlich eingesetzt werden, um Überstunden zu vermeiden?
Aufgabe 9:
An 8 Automaten werden in der 5-Tage-Woche bei täglicher Arbeitszeit von 9 Stunden
3780 Kegelräder am Tag gefertigt. Die tägliche Arbeitszeit wird auf 8 Stunden
herabgesetzt. Eine Maschine fällt aus. Wie hoch ist die Tagesproduktion bei
achtstündiger Arbeitszeit.
Aufgabe 10:
Das Förderband einer Kiesgrube hat 3 Geschwindigkeiten. Stufe I 1,5m/Sek., Stufe II
2m/Sek., Stufe III 3m/Sek. bei gleicher Belastung. In einer Stunde können auf Stufe II
28 m³ gefördert werden. Wie viel m³ können je Stunde bei Stufe III gefördert werden?
Aufgabe 11:
Eine Chemiefabrik will eine Abteilung mit säurefesten Fliesen zu 18 x 22 cm auslegen
lassen. Erforderlich sind 20000 Platten. Ein anderer Hersteller bietet bessere Platten mit
den Maßen 10 x 12 cm an. Wie viel Platten müssen beim zweiten Hersteller bestellt
werden?
Aufgabe 11
Aufgabe 12:
Ein Teeimporteur packt täglich mit 12 Automaten in zwei Schichten zu je 8 Stunden
3.200.000 Aufgussbeutel. Die Schichtarbeit wird um eine halbe Stunde gesenkt. Die
Absatzerwartung steigt auf 5.000.000 Beutel. Wie viel Automaten müssen zusätzlich
aufgrund der Arbeitszeitverkürzung und der Absatzerwartung angeschafft werden?
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 7-
Weitere Übungen zur Dreisatzrechnung:
Aufgabe 1: Auf 8 Werkzeugmaschinen werden in 15 Arbeitstagen 12.800 Balkenverbinder hergestellt.
Dabei sind die Maschinen täglich 7 Std in Betrieb.
Infolge einer Reparatur kann eine Maschine für drei Wochen nicht mehr eingesetzt
werden. Dadurch können die Maschinen wegen Überlastung nur noch 6 Stunden am Tag
für die Herstellung der Balkenverbinder eingesetzt werden.
Kann ein Anschlussauftrag über ebenfalls 12.800 Balkenverbinder pünktlich erfüllt werden,
wenn dafür 20 Arbeitstage zur Verfügung stehen?
Aufgabe 2: Für die Abschrift eines Schriftsatzes, der 150.000 Anschläge umfasst, benötigen drei
Schreibkräfte mit einer Leistung von 240 Anschlägen je Minute unter Berücksichtigung
aller Pausen insgesamt 4 Stunden.
Wie viel Zeit (in Stunden, Minuten und Sekunden) benötigen dann zwei Schreibkräfte für
einen Schriftsatz von 120.000 Anschlägen bei einer Leistung von 200 Anschlägen je
Minute ?
Aufgabe 3: Die Fa. Taff&Co. fertigt im Monat 225 Kaffeeautomaten. Durch den Übergang von der
38- zur 40-Stunden-Woche und der Senkung der Mitarbeiterzahl von 500 auf 400 soll auf
die veränderten Wettbewerbsbedingungen reagiert werden.
Um welchen Faktor müßten neue Maschinen rationeller arbeiten, wenn eine
Monatsproduktion von 400 Automaten angestrebt wird?
Aufgabe 4: Für die Erstellung des Rohbaus einer Fertigungshalle stehen insgesamt 48 Arbeitstage zur
Verfügung, wenn der Auftrag termingerecht erfüllt werden soll. Dazu waren 14
Arbeitskräfte eingeplant worden.
Nach 20 Tagen konnte aber erst ein Viertel des Rohbaus fertig gestellt werden.
Wie viel Arbeitskräfte müssen zusätzlich eingestellt werden, wenn der Termin eingehalten
werden und durch den Einsatz weiterer Maschinen die Leistung je Arbeitskraft verdoppelt
werden soll ?
Aufgabe 5: Die Fertigung von 48 Herrenmäntel erforderte den Einsatz von 8 Näherinnen, die bei einer
täglichen Arbeitszeit von 8Std den Auftrag in 12 Tagen erledigen konnten.
Damit ein dringender Anschlussauftrag über 63 Mäntel in 8 Tagen ausgeführt werden
kann, wird eine tägliche Arbeitszeit von 9 Std. Vereinbart.
Wie viel Näherinnen müssen zusätzlich für die Erledigung dieses Auftrages eingesetzt
werden ?
Aufgabe 6: Für den Transport von 2.400 t Schotter vom Hafen zur Industriebetrieb setzt ein
Fuhrunternehmer an 5 Tagen 8 LKW ein. Dabei wird jedes Fahrzeug von zwei Fahrern
abwechselnd gefahren, wobei die tägliche Arbeitszeit jedes Fahrers 6 Std. beträgt.
Für einen neuen Auftrag über 7.200 t kann der Fuhrunternehmer insgesamt 10 LKW
einsetzten und für jeden LKW diesmal drei Fahrer einplanen (gleiche Arbeitszeit wie beim
ersten Auftrag).
In welcher Zeit kann der neue Transport durchgeführt werden ?
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 8-
Lösungsbruchstriche:
Aufgabe 1:
; der Auftrag kann pünktlich erfüllt werden.
Aufgabe 2:
;
Aufgabe 3:
Aufgabe 4:
5,76 Std ergeben: 5 Std. , 45 Minuten, 36 Sek.
; der Faktor beträgt 2,11, das sind 111% Steigerung.
; d.h. 1 Arbeitskraft muss zusätzlich eingestellt werden.
Hinweis:
Im Bedingungssatz fragen wir danach, was beabsichtigt wurde. Wenn nach 20 Tagen erst
ein Viertel fertig ist, dann sind doch noch drei Viertel des Rohbaus herzustellen. Benötigen
wir also für 1/4 20-Tage, dann doch für 3/4 60 Tage. Damit lautet der Bedingungssatz :
60 Tage - Leistungsfaktor 1 - 14 Arbeiter
Im Fragesatz müssen wir dann nach den restlichen 28 Tagen fragen (48 - 20), da der
Auftrag ja pünktlich in 48 Tagen erledigt werden soll.
Damit lautet der Fragesatz : 28 Tage - Leistungsfaktor 2 - x Arbeiter .
Alternativ:
BS : 20 Tage - 1/4 fertig
- Leistungsfaktor 1 - 14 Arbeiter
FS : 28 Tage - 3/4 herzustellen - Leistungsfaktor 2 - x Arbeiter
Aufgabe 5:
Aufgabe 6:
; d.h. es müssen 6 Näherinnen neu eingesetzt werden.
Tage
Anmerkung : Da die tägliche Arbeitszeit gleich ist, braucht sie nicht berücksichtigt werden.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 9-
Aufgabe 7:
Für die Verlegung einer 10 km langen Versorgungsleitung soll ein Graben von 0,5 m
Breite und 1m Tiefe ausgehoben werden. Damit der Graben in 20 Arbeitstagen
fertiggestellt werden kann, wird der Einsatz von 10 Arbeitskräften mit einer täglichen
Arbeitszeit von 8 Std. vorgesehen.
Bevor mit den Arbeiten begonnen wird, muss die Planung geändert werden, da
gleichzeitig weitere Versorgungsleitungen mit verlegt werden können.
Die neuen Daten lauten: 0,9 m Breite, 1,5 m Tiefe und Fertigstellung in 18 Tagen. Durch
den Einsatz weiterer Maschinen soll die Leistungsfähigkeit um 1/5 erhöht werden. Wie
viel Arbeitskräfte müssen u.U. zusätzlich eingesetzt werden, wenn die tägliche Arbeitszeit
weiterhin 8 Std. beträgt?
Aufgab 8:
In einem Industriebetrieb wird für das Zentrallager das vorhandene Lochkartensystem
umgestellt. 8 Angestellte mussten dabei an 12 Tagen jeweils 2 Std arbeiten, um 12000
Lochkarten vorzubereiten. Für weitere 9000 Lochkarten können zwar 10 Angestellte für
täglich drei Stunden eingesetzt werden, jedoch ist aufgrund der jetzt vorhandenen
Qualifikation die Gesamtleistung der Gruppe 20% geringer als die der ersten Gruppe.
In wie viel Tagen hat die 2. Gruppe den Auftrag ausgeführt?
Aufgabe 9:
Die Inventurarbeiten in den Abteilungen eines Industriebetriebs sollen in 8 Tagen von 12
Arbeitskräften erledigt werden.
Nach 4 Tagen sind erst 2/5 der Inventurarbeiten erledigt. Wie viel Arbeitskräfte müssen
ab dem 6.Tag zusätzlich eingesetzt werden, damit der vorgesehene Termin eingehalten
werden kann?
Aufgabe 10: Der Verwalter kaufte für eine Wohnanlage 7.500 Liter Heizöl ein und hoffte, 4 Wochen
damit auskommen zu können, wenn er die Heizleistung des Brenners nur zur Hälfte
nutzen würde.
Da aber ein harter Winter vorausgesagt wurde, rechnet er mit einem 20% höheren
Verbrauch und kaufte noch 3.750 Liter nach.
Wie viel Wochen länger oder kürzer als ursprünglich kalkuliert, konnte er nun heizen?
Aufgabe 11: Eine Kolonne mit 12 Arbeitern hebt einen Graben von 40 m Länge, 0,7 m Tiefe und 1 m
Breite in 3 Tagen aus.
Wie viel Arbeiter müssen eingesetzt werden, wenn ein Graben von 80 m Länge, 1 m Tiefe
und 1,4 m Breite in 2 Tagen ausgehoben werden soll und die Leistungsfähigkeit der
Arbeiter gleichzeitig durch den Einsatz moderner Maschinen vervierfacht wird?
Aufgabe 12: Eine Schiffsladung Getreide von 700 t (Tonnen) kann mit zwei Saughebern von je 50 t
Saugleistung je Stunde in 7 Stunden gelöscht werden.
In welcher Zeit kann eine Ladung von 940 t gelöscht werden, wenn zusätzlich ein dritter
Saugheber mit einer Leistung von 60 t/Std. eingesetzt wird?
Aufgabe 13: Die Projektleitung einer Unternehmung plant eine Vorgabezeit von 45 Arbeitstagen für
die Herstellung einer Werkzeugmaschine. Dazu sind 18 Arbeitskräfte mit einer täglichen
Arbeitszeit von 8 Std. erforderlich.
Nach 9 Arbeitstagen erkrankten drei Arbeitskräfte, die nicht ersetzt werden konnten. Ihre
Arbeitsunfähigkeit erstreckte sich über einen Zeitraum von 9 Arbeitstagen.
Ermitteln Sie, wie viel Überstunden während der Krankheitszeit je Mitarbeiter und
Arbeitstag anfielen, wenn der geplante Termin eingehalten werden soll!
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 10-
Aufgabe 14: Der Umbau eines Lagers kann mit drei Arbeitskräften in 10 Tagen erfolgen, wenn die
tägliche Arbeitszeit 8 Stunden beträgt.
a.) Wie viel Arbeitskräfte müssen hinzugezogen werden, um den Umbau in 6 Tagen bei
unveränderter täglicher Arbeitszeit auszuführen?
b.) Wie viel Überstunden müssen täglich gemacht werden, wenn es nicht gelingt, weitere
Arbeitskräfte einzusetzen, der Umbau jedoch in 6 Tagen durchgeführt werden soll?
c.) Auf wie viel Stunden muss die tägliche Arbeitszeit verändert werden, wenn der
Umbau in der vorgesehenen Zeit von 6 Tagen unter Einsatz einer zusätzlichen
Arbeitskraft erfolgen soll?
Aufgabe 15: In einer Werkhalle wurden 48 Leuchtstofflampen installiert, die bei durchschnittlich 6stündiger Brenndauer in 30 Tagen Stromosten in Höhe von 210,00 i verursachen.
Wie hoch sind die Stromkosten für 28 Tage, wenn 6 weitere Lampen mit gleicher
elektrischer Leistung eingeschaltet werden und die durchschnittliche Brenndauer auf 7
Stunden pro Tag erhöht wird?
Lösungsbruchstriche:
Aufgabe 7:
Aufgabe 8:
Aufgabe 9: 12 Arbeiter - 4 Tage - 2/5
12 Arbeiter - 1 Tage - x
daraus folgt : x = 1/10
d.h. nach 5 Tagen haben 12 Arbeiter (2/5 + 1/10 = 5/10 = 1/2) die Hälfte geschafft.
Es muss noch eine weitere Hälfte fertig gestellt werden.
1/2 - 5 Tage - 12 Arbeiter
1/2 - 3 Tage - x Arbeiter
Daraus folgt : x = (5 *12) / 3 = 20 Arbeiter.
Antwort: 8 Arbeiter müssen zusätzlich eingestellt werden.
Aufgabe 10:
Antwort: eine Woche länger.
Aufgabe 11:
Aufgabe 12:
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 11-
Aufgabe 13: vor der Krankheit : 18 Arb - 9 Tage - 8 Std.
nach der Krankheit: 15 Arb - 9 Tage - x Std.
daraus folgt:
Aufgabe 14: a.) 10 - 8 - 3
6-8-x
b.)
c.)
10 - 8
6-x
daraus folgt:
10 - 8 - 3
6-x-4
Aufgabe 15:
daraus folgt: x = 5 , d.h. 2 mehr
48 - 6 - 30 - 210
54 - 7 - 28 - x
daraus folgt: x =
; d.h. 2 mehr
daraus folgt:
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 12-
Prozentrechnung
Mit Hilfe der Prozentrechnung werden vorgegebene, absolute Zahlen vergleichbar gemacht.
Problem: In der IHK-Abschlussprüfung bestanden von 500 Auszubildenden im Ausbildungsberuf
Industriekaufmann/-frau 425 Auszubildende die Prüfung, von 300 Auszubildenden im
Ausbildungsberuf Bürokaufmann/-frau 240 Auszubildende.
Welche Ausbildungsgruppe hat die größte Erfolgsquote ?
Analyse: In der ersten Gruppe haben 75 Personen, in der zweiten 60 Personen die Prüfung nicht
bestanden. Diese absoluten Zahlen haben jedoch wenig Aussagekraft, da die Bezugsgröße
verschieden ist.
Um die Frage beantworten zu können, müssen diese Zahlen auf eine gemeinsame
Bezugsgröße bezogen werden.
Dabei ist es zweckmäßig, als Bezugsgröße die Zahl 100 zu wählen.
Mit Hilfe des Dreisatzes erhalten wir dann:
Industriekaufmann/-frau
Bürokaufmann/-frau
von 500 bestanden 425
von 100 bestanden x
von 300 bestanden 240
von 100 bestanden x
Interpretation:
Von 100 Personen bestanden 85
Personen.
Von 100 Personen bestanden 80
Personen.
Definition : Bezieht man die Werte auf Hundert, so verwendet man hierfür die Bezeichnung
Prozent (lat. Pro centum = hundert).
Aussage : Von der Gruppe Industriekaufmann/-frau haben 85% der Prüflinge bestanden,
während von der Gruppe Bürokaufmann/-frau nur 80% der Prüflinge bestanden
haben.
Nach den absoluten Zahlen ohne Berücksichtigung der unterschiedlichen
Bezugsgrößen hätte sich eine andere Aussage ergeben.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 13-
Beispiel: Von der Gruppe der zahnmedizinischen Fachangestellten haben 87,5% die Abschlussprüfung
bestanden. Zur Prüfung hatten sich 120 Personen angemeldet. Wie viel Personen haben die
Prüfung bestanden ?
Mit Hilfe des Dreisatzes folgt:
100 % sind 120 Personen
87,5 % sind x Personen
Antwort : 105 Personen haben die Prüfung bestanden.
Merke:
Die Bezugsgröße beträgt immer 100% (Grundwert)
Bsp.:
Preissteigerung
Die bisherige Miete in Höhe von 420,00 i für ein Appartement wird um 4 % erhöht.
Berechnen Sie die neue Miete.
Alte Miete
100 %
420,00 i
Grundwert
Bsp.:
+
+
+
+
Mieterhöhung
4%
16,80 i
Prozentwert
=
=
=
=
Neue Miete
104 %
436,80 i
vermehrter Grundwert
Preissenkung
Der bisherige Preis für ein Bekleidungsstück wird um 20 % gesenkt. Berechnen Sie den
neuen Preis.
Alter Preis
100 %
120,00 i
Grundwert
-
Preissenkung
20 %
24,00 i
Prozentwert
=
=
=
=
Neuer Preis
80 %
96,00 i
verminderter Grundwert
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 14-
Analyse: Diese Beispiele zeigen die wichtigen Formeln der Prozentrechnung.
Beispiel: Der Preis einer Ware wurde Anfang des Jahres um 5 % angehoben. Im Rahmen eines
Firmenjubiläums wurde der Preis am Jahresende um 10 % gesenkt.
Berechnen Sie den ursprünglichen Preis, wenn der Artikel im Rahmen des Jubiläumsverkaufs
mit 299,00 i ausgezeichnet wurde.
Lösung: Preis am Anfang des Jahres vor der Erhöhung
+ Preiserhöhung (5%)
Preis nach der Erhöhung
- Jubiläumsrabatt (10%)
Jubiläumspreis
100 %
5%
105 %
299,00 i
100 %
10 %
90 %
Beispiel: Der Umsatz einer Filiale betrug im Mai 4% mehr als im April. Im Juni konnte der Umsatz
noch einmal um 3%, das waren 12.500,00 i gesteigert werden.
Berechnen Sie die Umsätze in den Monaten April, Mai und Juni.
April
Steigerung
Mai
100%
4%
104%
100%
Steigerung
Juni
3%
103 %
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 15-
Eine wichtige Anwendung der Prozentrechnung stellt die Warenhandelskalkulation dar, mit deren Hilfe
Einzel- und Großhändler die Verkaufspreise für ihre Waren kalkulieren können. Die folgende Tabelle
zeigt das entsprechende Kalkulationsschema mit Beispielprozentsätzen..
Bsp.: Berechnen Sie den Ladenpreis für einen LCD-Fernseher bei einem Listeneinkaufspreis von
755,00 i. Bezugskosten: 14,12 i..
Listeneinkaufspreis
100 %
- Liefererrabatt
20 %
Zieleinkaufspreis
80 %
100 %
- Liefererskonto
3%
Bareinkaufspreis
97 %
+ Bezugskosten
Bezugspreis
+ Handlungskosten
Selbstkosten
100 %
22 %
122 %
+ Gewinn
7%
Barverkaufspreis
97 %
+ Kundenskonto
3%
Zielverkaufspreis
100 %
+ Kundenrabatt
Verkaufspreis (netto)
+ Umsatzsteuer
Bruttoverkaufspreis
100 %
107 %
95 %
5%
100 %
100 %
19 %
119 %
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 16-
Übungen zur Prozentrechnung
Aufgabe 1: Am Gesamtumsatz einer Bäckerei in Höhe von 447.000,00 i sind die Filialen A mit
125.160,00 i, B mit 232.440,00 i, C mit 55.875,00 i und D mit 33.525,00 i beteiligt.
Berechnen Sie die prozentualen Anteile der Filialen am Gesamtumsatz.
Aufgabe 2: Nach einer Mieterhöhung von 4% zahlt ein Mieter die neue Monatsmiete in Höhe von
312,00 i.
Berechnen Sie die Erhöhung in i und die Miete vor der Erhöhung.
Aufgabe 3: Nach einer Preissenkung um 45 i wurde ein Artikel im Laden mit 405,00 i
ausgezeichnet.
a.) Um wie viel Prozent wurde der bisherige Ladenpreis reduziert?
b.) Berechnen Sie den alten Ladenpreis.
Aufgabe 4: Beim Kauf eines Schreibtisches gewährt ein Händler dem Kunden an der Kasse Rabatt
und Skonto. Nach Abzug von 10% Rabatt und 2% Skonto zahlte der Kunde einen Betrag
in Höhe von 423,36 i.
Mit welchem Preis war der Schreibtisch in der Ausstellung ausgezeichnet worden.
Aufgabe 5: Die Umsätze einer Filiale unterlagen von Monat zu Monat bestimmten Schwankungen. So
konnte der Umsatz vom November im Dezember um 12%, das waren 12.000,00 i,
erhöht werden, während er im Januar um 8% niedriger war als im Vormonat.
Berechnen Sie die Umsätze im November, Dezember und Januar.
Aufgabe 6: Ein Wirtschaftsgut wird degressiv mit 20% vom jeweiligen Buchwert abgeschrieben. Der
Abschreibungsbetrag im dritten Jahr beträgt dabei 12.000,00 i. Wie groß war der
Anschaffungswert?
Aufgabe 7: Eine Preiserhöhung kann indirekt dadurch erfolgen, dass man bei gleichem Verkaufspreis
die Menge reduziert.
Um wie viel Prozent wurde der Preis einer Ware erhöht, wenn der Packungsinhalt von
250g auf 200 g reduziert wird ?
Aufgabe 8: Bei einer Bestellung über 135 Stück erhält der Kaufmann zusätzlich 15 Stück, die nicht
berechnet werden.
Welchem Rabattsatz entspricht diese Warendraufgabe ?
(Hinweis: gelieferte Menge = 100%)
Welchem Rabattsatz entspricht eine Warendreingabe, bei der von 135 Stück nur 120
Stück berechnet werden ?
Aufgabe 9: Ein Artikel kostete zunächst 1.250,00 i. Dieser Ladenpreis wurde um einen bestimmen
i - Betrag erhöht. Nach einiger Zeit wurde der Preis noch einmal um den gleichen Betrag
erhöht. Der Ladenpreis betrug jetzt 1.350,0 i.
Wie viel Prozent betrugen die jeweiligen Erhöhungen ?
Aufgabe 10*: Der Anschaffungswert einer Maschine betrug 12.000,00 i. Nach dem zwei Jahre lang
mit dem gleichen Abschreibungsprozentsatz degressiv abgeschrieben wurde, beträgt der
Buchwert noch 8.670,00 i. Berechnen Sie den Abschreibungsprozentsatz.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 17-
Aufgabe 11*: Ein Kioskbesitzer kauft 200 Liter Orangensaft und 300 Liter Apfelsaft. Er erhält auf den
Orangensaft 8% Rabatt und auf den Apfelsaft 10 % Rabatt. Nach Abzug des Rabattes
überweist er 1908,00 i,
Wären ihm auf den Orangensaft 10% Rabatt und auf den Apfelsaft 8% Rabatt gewährt
worden, so hätte er 6,00 i mehr zahlenmüssen.
Wie viel i kostet ein Liter Orangensaft und ein Liter Apfelsaft?
(Lö: 4,50 i und 4,00 i)
Aufgabe 12*: Von zwei Rechnungen konnten wir von dem ersten 2% Skonto und von dem zweiten
3% Skonto abziehen. Der Abzug für beide Rechnungen betrug zusammen 108,00 i.
Hätte man von jeder Rechnung 2,5% Skonto abziehen dürfen, so hätte die
Skontoersparniss insgesamt nur 100,00 i betragen.
Berechnen Sie den Rechnungsbetrag der Rechnung Nr.1 und Rechnung Nr. 2
Lösungen:
Aufgabe 1: A 28%, B 52%, C 12,5%, D 7,5%
Aufgabe 2: a.) 12 i; b.) 300 i
Aufgabe 3: a.) 10% ; b.) 450 i
Aufgabe 4: 480 i
Aufgabe 5: Nov. 100.000 i; Dez 112.000 i; Jan 103.040 i
Aufgabe 6: Anschaffungswert: 93.750,00 i
Aufgabe 7: 25%
Aufgabe 8: 10%
Aufgabe 9: Jede Preiserhöhung machte den Betrag von 50 i aus. Mit Hilfe des Dreisatzes folgt dann
für die erste Erhöhung der Wert von 4%.
Die zweite Erhöhung erfolgt von 1.300 i aus auf 1.350 i. Diese Erhöhung entspricht
einem Aufschlag von 3,846%.
Aufgabe 10: 8.670 = 12.000 q2; q = 0,85 d.b. p = 15% (Abschreibungssatz)
Aufgabe 11: Gleichungssystem aufstellen!
(200 x) 0,92 + (300 y) 0,9 = 1908
(200 x) 0,9 + (300 y) 0,92 = 1914
184 x + 270 y = 1908
180 x + 276 y = 1914
Daraus folgt: x = 4,50 i und y = 4,00 i
Aufgabe 12: x @0,02 + y @0,03 = 108
x @0,025 + y @0,025 = 100
x = 1.200 i (Rechnung1) und y = 2.800 i (Rechnung 2)
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 18-
Zinsrechnung
Zinsen sind der Preis, den der Schuldner dem Gläubiger für das Überlassen von Kapital zu zahlen hat.
Dieses Entgelt wird z.B. fällig für Bankkredite, bei Zielgeschäften, beim Zahlungsverzug und durch im
Lager gebundenes Kapital.
Die Höhe der Zinsen hängt ab
1.
2.
3.
von der Höhe des überlassenen Kapitals;
vom Zinssatz p. a. (per annum);
von der Laufzeit, für die das Kapital dem Schuldner überlassen wird.
Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Die Größen der Prozentrechnung heißen
in der Zinsrechnung:
Grundwert
Prozentsatz
Prozentwert
Neuer Faktor
þ
þ
þ
þ
Kapital (K)
Zinssatz (p)
Zinsen (Z)
Zeit (n,t,i 0 ù)
Jahreszinsen
Beispiel:
Wir nehmen einen Kredit bei einer Bank über 20.000,00 i für 3 Jahre auf. Wie viel
Zinsen müssen in diesem Zeitraum bei einem Zinssatz von 5% p. a. gezahlt werden.
Überlegung zunächst für ein Jahr:
100 % des Kapitals
=
1 % des Kapitals
=
5 % des Kapitals
=
20000
Für n-Jahre, in diesem Falle n = 3, gilt dann:
Zinsen für 3 Jahre
=
Setzt man nun Platzhalter ein, so lautet die Formel allgemein:
Merke:
Die Jahreszinsformel kann nur dann angewandt werden, wenn z.B. ein Geldinstitut die
jährlich anfallenden Zinsen von dem Sparkonto auf das Girokonto überweist, d.b. in jedem
n-ten Jahr ist nur das Kapital K zu verzinsen.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 19-
Monatszinsen
Beispiel:
Unser Kunde ist seit 2 Monaten mit der Rechnung R205-06, Betrag 4.200,00 i, in
Verzug geraten.
Für das notwendige Mahneschreiben sind 9% Verzugszinsen zu berechnen.
Tageszinsen
Sollen die Zinsen für beliebige Tage i, 0 < i <360, berechnet werden, so folgt aus der Jahreszinsformel
die sogenannte Tageszinsformel wie folgt:
Beispiel:
Unser Kunde ist seit dem 22.11.2004 mit der Rechnung R205-06, Betrag 4.200,00 i, in
Verzug geraten.
Für das notwendige Mahneschreiben am 31.01.2005 sind 9% Verzugszinsen zu
berechnen.
Analyse:
Bevor die Tageszinsformel angewandt werden kann, müssen zunächst die Tage zwischen
dem 22.11.2004 und dem 31.01.2005 bestimmt werden.
Dafür gelten z.Z. die folgenden Regeln für Zinstage:
â In der Zinsrechnung sind 1 Jahr = 360 Tage und 1 Monat = 30 Tage
ã Der 31. Tag des Monats wird nicht berechnet.
ä Beim Errechnen der Zinstage wird der 1. Tag des Zeitraumes nicht mitgezählt.
å Als Zinsmonat hat der Februar 30 Tage.
Für unser Beispiel folgt damit: i = 68 Tage
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 20-
Beispiele für die Ermittlung der Zinstage:
vom 29.07 bis 31.07
1 Zinstage
vom 29.07 bis 02.08
3 Zinstage
vom 19.02 bis Ende Februar
9 Zinstage
vom 19.02 bis Ende Februar (Schaltjahr)
10 Zinstage
vom 19.02 bis 01.03
12 Zinstage
vom 28.03 bis 05.07
97 Zinstage
Umformung der Tageszinsformel
Übungen zur Zinsrechnung Nr.1
Aufgabe 1:
Berechnen Sie die Zinstage:
Zeitraum vom
bis
02.06.
07.07.
20.04.
31.05.
04.01.
Ende Februar
07.09.
18.02.
18.10.
01.03.
22.11.
Ende Februar (Schaltjahr)
01.05.
24.11.
19.11.
05.01.
02.12.
04.03.
02.07.
15.08.
28.11.
15.12.
07.01.
09.04.
14.05.
31.12.
Tage
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 21-
Aufgabe 2:
Errechnen Sie die Rückzahlungssummen folgender Darlehen:
Î
Ï
Ð
Ñ
Aufgabe 3:
7%
vom 19.02. bis 07.04.
vom 19.12. bis 03.03.
8a% vom 24.02. bis 19.07.
vom 20.10. bis Ende Februar
vom 25.05. bis 05.08. zu 5%
vom 18.09. bis 31.12. zu 6%
vom 05.05. bis 03.08. zu 5%
vom 09.03. bis 29.07. zu 3%
vom 02.02. bis 17.03. zu 5,5%
=
4,20 i
=
51,00 i
=
32,78 i
=
29,40 i
10,97 i
=
Bestimmen Sie den Zinssatz.
Î
Ï
Ð
Ñ
Aufgabe 5:
zu
3,5%
zu
12,5%
Berechnen Sie die Kapitalien, für die folgende Zinsen gutgeschrieben werden.
Î
Ï
Ð
Ñ
Ò
Aufgabe 4:
2.829,00 i
875,75 i zu
14.328,00 i
224,80 i zu
720,00 i vom 02.05. bis 02.10. 9,00 i Zinsen
2.450,00 i vom 05.09. bis 20.11.
20,42 i Zinsen
765,00 i vom 03.04. bis 19.06. 5,40 i Zinsen
978,00 i vom 17.12. bis 28.02. 20,15 i Zinsen
Wie viel Tage wurden folgende Beträge verzinst? Errechnen Sie das
Rückzahlungsdatum.
Betrag
Zinssatz
Zinsen
fällig seit
2.420,00 i
4,00%
12,10 i
15.04.
240,00 i
5,00%
5,20 i
28.03.
18.690,00 i
6,00%
186,90 i
07.12
7.536,00 i
4,50%
306,15 i
17.09.
Aufgabe 6:
Für eine fällige Rechnung werden am 04.02. einschließlich 9,5% Verzugszinsen
17.212,30 i überwiesen.
Die Zahlungsbedingungen lauten: “Zahlung sofort mit 2% Skonto oder 30 Tage netto”.
Die Verzugszinsen betragen 412,30 i.
Wann wurde die Rechnung ausgestellt ?
Aufgabe 7:
Die Geschäftsleitung einer Werksfiliale prüft den Ankauf eines vermieteten Lagerhauses.
Die Mieteinnahmen betragen monatlich 9.000,00 i. Beim Kauf kann eine 1. Hypothek
über 300.000, 00 i zu 6% übernommen werden. Die Reparat ur- und
Instandhaltungskosten betragen 10% der jährlichen Mieteinnahmen, für Steuern,
Versicherungen und sonstige Kosten sind jährlich 18.850,00 i aufzuwenden. Welchen
Kaufpreis kann die Unternehmung höchstens bieten, wenn die Kapitalverzinsung 5%
betragen soll.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 22-
Aufgabe 8:
Der Kaufpreis eines Geschäftsgebäudes beträgt 900.000,00 i. Die Finanzierung erfolgt
mit 500.000,00 i, einer 1. Hypothek zu 7% und einer 2. Hypothek über 150.000,00 i
zu 8,5%.
Weiter entstehen folgende laufende Kosten:
Steuern, Versicherungen, Gebühren
1.500,00 i (vierteljährlich)
Reparaturen, Instandhaltung
1% der Kaufsumme (jährlich)
Sonstige Kosten
5.000,00 i (jährlich)
Die Mieteinnahmen betragen monatlich 7.300,00 i.
Mit wie viel % verzinst sich das Eigenkapital.
Lösungen:
Aufgabe 1:
35; 40 54; 161; 133; 97; 203; 46; 92; 43; 17; 92; 226
Aufgabe 2:
Aufgabe
Tage
Zinsen
Rückzahlung
1
48
26,40 i
2.855,40 i
2
74
6,30 i
882,05 i
3
145
480,92 i
14.808,92 i
4
128
9,99 i
234,79 i
Aufgabe 3:
Tage
Kapital
70
432,00 i
102
3.000,00 i
88
2.682,00 i
140
2.520,00 i
45
1.595,64 i
Aufgabe 4:
Tage
Zinssatz in %
150
3
75
4
76
3,34 (3 a)
71
10,45
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 23-
Aufgabe 5:
Tage
Datum
45
30.05.
156
04.09.
60
07.02. (n.J.)
325
12.08. (n.J.)
Aufgabe 6:
Aus der Aufgabenstellung folgt, dass der Betrag für die Zinsen bekannt ist. Daher kann
man das Kapital berechnen: K = 16.800,00 i.
Mit der Formel für die Tage erhält man: i = 93 Tage
D.b., dass für 93 Tage Zinsen berechnet wurden. Daher müssen wir vom 04.02.2006 93
Tage zurückrechnen. Wir erhalten so den 01.11.2005.
Da uns 30 Tage als Zahlungsziel eingeräumt wurden, lautet das Rechnungsdatum:
01.10.2005.
Aufgabe 7:
Einnahmen:
Miete im Jahr (12 A 9000)
Aufgaben:
Zinsen :
18.000,00 i
Reparaturen: 10.800,00 i
Sonstige:
18.850,00 i
Es verbleibt damit ein Jahresgewinn von:
Aus der Jahreszinsformel folgt dann für K:
Aufgabe 8:
108.000,00 i
47.650,00 i
60.350,00 i
1.207.000,00 i
Einnahmen:
Miete im Jahr (12 A 7300)
87.600,00 i
Aufgaben:
Zinsen 1:
35.000,00 i
Zinsen 2:
12.750,00 i
Steuern,...:
6.000,00 i
Reparaturen: 9.000,00 i
Sonstige:
5.000,00 i
67.750,00 i
Es verbleibt damit ein Jahresgewinn von:
19.850,00 i
Das Eigenkapital beträgt: 900.000 - 500.000 - 150.000 = 250.000 i
Aus der Jahreszinsformel folgt dann für p: 7,94 %
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 24-
Die Kaufmännische Zinsformel und ihre Anwendung in der summarischen Zinsrechnung
Entwicklung: Betrachten wir zunächst die Tageszinsformel in der Form
so kann unter Beachtung der Regel der Bruchrechnung, ”Zwei Brüche werden
multipliziert, in dem man rechnet: Zähler @ Zähler dividiert durch Nenner @ Nenner”,
die Tageszinsformel wie folgt geschrieben werden.:
In einer Zeit, als elektronische Rechenhilfen noch nicht zur Verfügung standen, war es
vorteilhaft, wenn die Anzahl von Rechenschritten minimiert werden konnte. Außerdem
war es sehr zweckmäßig, wenn man mit möglichst “bequemen Zahlenwerten” rechnen
konnte.
Betrachten wir dazu den Ausdruck p/360 für verschiedene Zinssätze:
p
p/360
360/p
3
0,0083333
120
4
0,0111111
90
6
0,0166666
60
9
0,025
40
0,0333333
30
12
Man erkennt, dass die Operation 360/p oft bequem im Kopf ausgeführt werden kann
und zu dem noch bequeme Zahlen liefert. Daher kann man die Tageszinsformel auch wie
folgt schreiben:
Bezeichnet man den Ausdruck
als Zinszahl (#) und 360/p als Zinsteiler so folgt
die kaufmännische Zinsformel:
Beispiel:
Ein Schuldner will zum 30.06. vier Rechnungen ausgleichen: Nr. 1 über 3.100,00 i,
fällig seit 28.12.; Nr. 2 über 550,00 i, fällig seit 02.02.; Nr. 3 über 2.155,50 i fällig seit
17.03.; Nr. 4 über 1.570,00 i fällig seit 01.06.; es fallen 6½% Verzugszinsen an. Auf
welchen Betrag lautet die Überweisung?
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 25-
Analyse:
Da für jeden Rechnungsbetrag der Zinssatz und damit der Zinsteiler gleich ist, braucht
man für jeden Rechnungsbetrag nur die jeweilige Zinszahl berechnen. Teilt man dann die
Summe der Zinszahlen einmal durch den Zinsteiler, so erhält man die Summe der
Verzugszinsen für alle vier Rechnungen.
Lösung:
In Tabellenform (Summarische Rechnung)
Nr
Rechnungsbetrag
Stichtag: 30.06.
Zinstage
#
1
3.100,00 i
28.12.
182
5642
2
550,00 i
02.02.
148
814
3
2.155,50 i
17.03.
103
2220
4
1.570,00 i
01.06.
29
455
7.375,50 i
9131
+ 164,87 i
Verzugszinsen
7.540,38 i
Überweisung am
30.06.
Lösungsweg: â Rechnungsbeträge und deren Fälligkeit eintragen
Ï Zinstage errechnen
Ð # ermitteln
Regel:
Bei der Berechnung der Zinszahl bleiben die Cent-Beträge beim Kapital
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 26-
unberücksichtigt. Erhält man dann eine Komma-Zahl, so wird sie auf die nächste
ganze Zahl auf oder abgerundet.
Ñ Verzugszinsen nach der kaufmännischen Zinsformel berechnen
Ò Summe der Rechnungsbeträge ermitteln
Ó Überweisungsbetrag = Summe der Rechnungsbeträge + Verzugszinsen
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 27-
Übungen zur Zinsrechnung Nr. 2
Aufgabe 1:
Errechnen Sie die # für:
Î
Ï
Ð
Ñ
Aufgabe 2:
Kapital
Kapital
Kapital
Kapital
435,05 i
3.217,55 i
55,60 i
923,34 i
Laufzeit 93 Tage
Laufzeit 29 Tage
Laufzeit 72 Tage
Laufzeit 33 Tage
Unser Kunde ist mit folgenden Rechnungen in Verzug geraten.
2.150,00 i
783,50 i
5.120,00 i
fällig am 05.07.
fällig am 13.09.
fällig am 20.10.
Berechnen Sie unsere Forderung zum 31.12., wenn wir 9% Verzugszinsen in Rechnung
stellen.
Aufgabe 3:
Folgende Beträge wurden an dem angegebenen Datum auf ein Konto eingezahlt.
920,00 i Wert 03.10.
575,00 i Wert 17.11.
25,40 i Wert 05.12.
Berechnen Sie die Guthabenzinsen und das Guthaben insgesamt bei einem Zinssatz von
3,5% zum 31.12.
Aufgabe 4:
Prüfen Sie die Abrechnung und korrigieren Sie mögliche Fehler.
Rechnungsbetrag
Stichtag: 31.12.
Zinstage
5.200,00 i
fällig seit 03.07.
177
9204
7.450,00 i
fällig seit 15.09.
105
7823
880,00 i
fällig seit 29.10.
61
537
4.570,00 i
fällig seit 01.11.
59
2696
18.100,00 i
#
20260
-450,00 i
Verzugszinsen 8%
17.649,78 i
Überweisung am 31.12.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 28-
Lösungen:
Aufgabe 1:
Aufgabe
#
1
405
2
933
3
40
4
305
Aufgabe 2:
Betrag
Einzahlung am
Tage
#
2.150,00 i
05.07.
175
3763
783,50 i
13.09.
107
838
5.120,00 i
20.10.
70
3584
8.053,50 i
8185 / 80
102,31 i
8.155,81 i
Aufgabe 3:
Betrag
Einzahlung am
Tage
#
920,00 i
03.10.
87
800
575,00 i
17.11.
43
247
25,40 i
05.12.
25
6
1.520,40 i
1053 / 120
10,24 i
1.530,64 i
Aufgabe 4:
Rechnungsbetrag
Stichtag: 31.12.
Zinstage
#
5.200,00 i
fällig seit 03.07.
177
9204
7.450,00 i
fällig seit 15.09.
105
7823
880,00 i
fällig seit 29.10.
61
537
4.570,00 i
fällig seit 01.11.
59
2696
18.100,00 i
450,22 i
18.550,22 i
20260
Verzugszinsen 8%
20260 / 45 = 450,22
Überweisung am 31.12.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 29-
Umwandlung eines Zinssatzes in einen Prozentsatz
Beispiel:
Ein Darlehen von 24.000,00 i wird in der Zeit vom 07.07. bis 07.10. zu 12% verzinst.
a.) Berechnen Sie die Zinsen mit Hilfe einer Zinsformel.
b.) Alternative
Der Zinssatz gilt immer für 1 Jahr ' 360 Tage. Dann können wir mit Hilfe eines
Dreisatzes den Zeitzinssatz (Prozentsatz) bestimmen, der für 90 Tage gelten sollte.
360 Tage
90 Tage
/
/
12%
x%
Der Zeitzinssatz beträgt 3%
Folgerung: Hat man einen Zinssatz in einen Prozentsatz (Zeitzinssatz) umgewandelt,
so können die Zinsen auch im Rahmen einer Prozentrechnung berechnet werden.
Es gilt dann:
Merke:
Ein Zinssatz kann mit Hilfe eines Dreisatzes in einem äquivalenten Prozentsatz
umgewandelt werden.
Diese Kenntnis kann bei der Lösung der folgenden Problemstellungen angewandt
werden.
Kapital- / Zinsrechnen vom vermehrten und verminderten Wert
Definition:
Vermehrter Wert =
Verminderter Wert
Kapital + Zinsen
=
Kapital - Zinsen
Beispiel 1:
Ein am 15.01. zu 6% ausgeliehenes Kapital wird am 09.12. mit 4.031,55 i
zurückgezahlt. Wie hoch war das Kapital, und wie viel Zinsen sind in der Rückzahlung
enthalten?
Analyse:
In der Aufgabe ist nicht bekannt, von welchem Kapital die Zinsen berechnet worden
sind. Es ist nur der Rückzahlungsbetrag bekannt, der jedoch die Zinsen beinhaltet.
Die Situation ist noch einmal an den folgendem Zeitstrahl dargestellt.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 30-
Lösung:
Da Z (Zinsen) nicht bekannt ist, ist die Aufgabe im Rahmen der Formeln der
Zinsrechnung nicht zu lösen.
Formt man jedoch den Zinssatz 6% in einen äquivalenten Prozentsatz um, so kann die
Aufgabe im Rahmen der Prozentrechnung gelöst werden.
Schritt 1:
360 Tage
324 Tage
/
/
6%
x%
Ergebnis: x = 5,4% ,
d.h. der Rückzahlungsbetrag ist um 5,4% größer als das ursprüngliche Kapital.
Schritt 2:
Kapital + Zinsen = Rückzahlungsbetrag
100%
+ 5,4% = 105,4%
Aus diesem Sachverhalt folgt der Dreisatz:
105,4%
100%
Kontrolle:
/
/
4.031,55 i
xi
Berechnet man von dem Kapital, 3.825,00 i, für 324 Tage 6% Zinsen, so folgt:
Anfangskapital
+ Zinsen 324 Tage zu 6%
Rückzahlung
3.825,00 i
206,55 i
4.031,55 i
Beispiel 2:
Am 15.02. gewährt die Bank ihrem Kunden ein Darlehen, das in drei Monaten
zurückzuzahlen ist.
Von dem bewilligten Betrag behält die Bank sofort 9% Zinsen ein und zahlt einen
Betrag in Höhe von 9.775,00 i aus.
Welchen Betrag muss der Kunde nach drei Monaten an die Bank zurückzahlen?
Analyse:
In der Aufgabe ist nicht bekannt, von welchem Darlehensbetrag die Zinsen berechnet
worden sind. Es ist nur bekannt, das dem Kunden abzüglich der Zinsen ein Betrag in
Höhe von 9.775,00 i ausgezahlt wird.
Lösung:
Da Z (Zinsen) nicht bekannt ist, ist die Aufgabe im Rahmen der Formeln der
Zinsrechnung nicht zu lösen.
Formt man jedoch den Zinssatz 9% in einen äquivalenten Prozentsatz um, so kann die
Aufgabe im Rahmen der Prozentrechnung gelöst werden.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 31-
Schritt 1:
360 Tage
90 Tage
/
/
9%
x%
Ergebnis: x = 2,25% ,
d.h. der Auszahlungsbetrag ist um 2,25% geringer als der Darlehensbetrag.
Schritt 2:
Darlehen - Zinsen = Rückzahlungsbetrag
100%
- 2,25% = 97,75%
Aus diesem Sachverhalt folgt der Dreisatz:
97,75%
100 %
Kontrolle:
/
/
9.775 i
xi
Berechnet man von dem Darlehensbetrag 10.000,00 i, für 90 Tage 9% Zinsen, so
folgt:
Darlehen
- Zinsen 90 Tage zu 9%
Rückzahlung
10.000,00 i
225,00 i
9.775,00 i
Übungen zur Zinsrechnung Nr.3
Aufgabe 1:
Ein Hersteller von Verkaufswaagen erhält einen Zwischenkredit zu 12%, der am 15.11.
zurückzuzahlen ist, am 15.08. unter Einbehalt der Zinsen den Betrag von 24.250,00 i
ausgezahlt.
Wie viel i betragen Kredit und Zinsen?
Aufgabe 2:
Ein Kunde überweist am 11.06. für eine seit dem 25.01. fällige Rechnung 32.405,56 i
einschl. 9% Verzugszinsen.
Ermitteln Sie die ursprüngliche Forderung und die Zinsen.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 32-
Aufgabe 3:
Ermitteln Sie die tatsächliche Kredithöhe und die Zinsen.
Auszahlungsbetrag
Aufgabe 4:
Zinssatz
Kreditdauer
394,80 i
6,00%
vom 15.07. bis 03.10.
2.198,38 i
4,50%
vom 19.09. bis 19.03.
5.590,53 i
5,00%
vom 07.04. bis 19.08.
16.594,00 i
8,00%
3 Monate
Errechnen Sie die Jahreszinssätze aus folgenden Prozentsätzen:
Prozentsatz
Zeit
1,00%
21.09 - 21.10.
2,50%
17.04. - 02.05.
4,00%
03.06. - 08.03.
2,00%
13.08. - 08.09.
Lösungen:
Aufgabe 1:
Angepasster Zinssatz:
Anfangskapital zu 100%:
Berechnung der Zinsen:
Darlehenssumme
- Zinsen 12% 90 Tage
Auszahlungsbetrag
25.000,00 i
750,00 i
24.250,00 i
Darlehenssumme
+ Zinsen 9% 136 Tage
Auszahlungsbetrag
31.340,00 i
1.065,56 i
32.405,56 i
Aufgabe 2:
Angepasster Zinssatz:
Anfangskapital zu 100%:
Berechnung der Zinsen:
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 33-
Aufgabe 3:
Tage
Verm.
Kapital
Zinsen
78
1,30%
400,00 i
5,20 i
180
2,25%
2.248,98 i
50,60 i
72
1,00%
5.647,00 i
56,47 i
90
2,00%
16.932,66 i
338,65 i
Aufgabe 4:
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 34-
Effektive Verzinsung beim Ausnutzen von Skonto
Das Ausnutzen von Skonto lohnt sich für die Unternehmung oder eine Privatperson immer, wenn
genügend flüssige Mittel vorhanden sind.
Muss jedoch für den Skontoabzug ein Kredit aufgenommen oder das Konto überzogen werden, lohnt
es sich nur, wenn der Skonto die Nettokreditkosten (Kreditkosten + eigene Bearbeitungsgebühr)
übersteigt.
Sind die Skontoerträge niedriger als die Kreditkosten oder gleichen sich Erträge und Kosten aus,
empfiehlt es sich, den vollen Zielzeitraum in Anspruch zu nehmen.
Merke:
Beispiel:
Kredit = Rechnungssumme - Skonto
Liefererrechnung über 5.000,00 i;
Zahlungsbedingungen: Zahlung innerhalb von 10 Tagen mit 3% Skonto
oder innerhalb von 30 Tagen netto.
Um Skonto auszunutzen, müßte ein Kredit zu 18% über den Überweisungsauftrag
aufgenommen werden.
Analyse:
â
ã
ä
å
Wenn innerhalb der ersten 10 Tage die Rechnung bezahlt wird, so können 3%
Skonto, das sind 150,00 i, vom Rechnungsbetrag abgezogen werden.
Sollten wir diesen Betrag von unserem Konto überweisen, ohne das unser Konto
die erforderliche Deckung aufweist, so überziehen wir unser Konto um den
Überweisungsbetrag in Höhe von 4.850,00 i.
Unterstellen wir, dass unser Konto durch Zahlungseingänge erst nach weiteren 20
Tagen ausgeglichen werden kann, so überziehen wir das Konto für insgesamt 20
Tage. Für diese Zeitspanne wird die Bank uns jedoch Zinsen
Die Zinsen können mit Hilfe der Tageszinsformel berechnet werden. Es gilt die
Rechnung:
Frage:
Lohnt die Ausnutzung des Kontos, wenn wir wegen der Überziehung unseres Kontos an
die Bank Zinsen bezahlen müssen ?
Lösung:
Von den zunächst 150,00 i, die wir den Skonto sparen, müssen wir 48,50 i Zinsen an
die Bank zahlen. Unser Finanzierungserfolg beträgt damit: 101,50 i .
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 35-
Frage:
Bei welchem Überziehungszinssatz wäre der Finanzierungserfolg 0,00 i gewesen ?
Lösung:
Der Finanzierungserfolg ist gleich Null, wenn gilt: Zinsen = Skonto ! Damit gilt:
Daraus folgt für den Zinssatz p:
Aussage:
p < 55,67 % : Skontoersparnis > Überziehungszinsen 6 Finanzierungserfolg
p = 55,67 % : Skontoersparnis = Überziehungszinsen 6
p > 55,67 % : Skontoersparnis < Überziehungszinsen 6 Finanzierungsverlust
Übung 1:
Rechnungsbetrag 12.000,00 i; Zahlungsbedingungen: innerhalb von 10 Tagen mit 2%
Skonto oder 60 Tage netto. Die Nettokreditkosten betragen 18%.
â
ã
ä
Übung2:
Wie viel i beträgt der Skontoertrag?
Wie viel Jahresprozent ist der Skontoabzug für die kostenpflichtige Kreditzeit?
Wie viel i betragen die Kreditkosten und der Finanzierungsgewinn /- verlust?
(Lö: 240,00 i / 14,7% / 294,00 i)
Rechnungsbetrag 20.000,00 i; Zahlungsbedingungen: innerhalb von 8 Tagen mit 2,5%
Skonto oder 30 Tage netto. Die Nettokreditkosten betragen 18%.Außerdem fällt noch
eine Bearbeitungsgebühr in Höhe von 0,5% von der Kreditsumme an.
â
ã
ä
Wie viel i beträgt der Skontoertrag?
Wie viel Jahresprozent ist der Skontoabzug für die kostenpflichtige Kreditzeit?
Wie viel i betragen die Kreditkosten und der Finanzierungsgewinn /- verlust?
(Lö: 500 i / 214,50 i + 97,50 i / 188,00 i)
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 36-
Effektive Verzinsung bei Darlehen
Darlehen werden häufig vom Kreditgeber (z.B. Banken, Bausparkassen) nicht zum vollen Betrag
(100%) ausgezahlt, sondern mit einem Disagio (Abschlag). Provisionen und Spesen können den
Auszahlungsbetrag weiter vermindern. Dadurch werden die tatsächlichen (effektiven) Kreditkosten
höher als der vereinbarte Zins (Nominalzins).
Beispiel:
Eine Bank zahlt ein Darlehen von 60.000,00 i, das mit 8% Zinsen begeben wird, zu 95%
aus. Die Bank berechnet 2% Bearbeitungsgebühren und 30,00 i Spesen. Das Darlehen
ist nach Ablauf von 10 Jahren in einer Summe zu tilgen.
Wie hoch sind
â
ã
ä
Lösung:
der Auszahlungsbetrag?
die tatsächlichen Kreditkosten in i?
der effektive Zinssatz?
60.000,00 i
3.000,00 i
1.200,00 i
30,00 i
55.770,00 i
Zu â:
Darlehen
- 5% Disagio
- 2% Gebühren
- Spesen
Auszahlungsbetrag
Zu ã:
Zinsen (8% 10 Jahre auf 60.000,00) 48.000,00 i
+ Disagio
3.000,00 i
+ Gebühren
1.200,00 i
+ Spesen
30,00 i
effektive Kreditkosten
52.230,00 i
Zu ä:
Um den effektiven Zinssatz zu ermitteln, müssen die Kreditkosten (52.230,00
i) auf 1 Jahr und zum gesamten Auszahlungsbetrag (55.770,00 i) ins
Verhältnis gesetzt werden. Die Jahresformel wird angewendet:
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 37-
Effektive Verzinsung bei Ratengeschäften
Im Teilzahlungsgeschäft werden die Zinsen für den Kredit nicht für 1 Jahr, sondern für 1 Monat
angegeben.
Situation:
Ein Unternehmen beliefert Kunden mit Waren im Werte von 2.000,00 i. Nach
Anzahlung von 10% des Kaufpreises soll die Restkaufsumme in sechs gleichen
Monatsraten beglichen werden.
Es werden 1% Zinsen je Monat auf den Anfangskredit und 0,5% einmalige
Bearbeitungsgebühr für den Teilzahlungsauftrag berechnet.
Analyse:
â: Kreditsumme
2.000,00 i
200,00 i
1.800,00 i
Gesamtkaufpreis
- 10% Anzahlung
Kreditsumme
1% Zinsen auf die Kreditsumme von 1.800,00 i für 6 Monate ergeben 108,00 i
tatsächlich zu zahlende Zinsen.
Die Bearbeitungsgebühr beträgt 0,5% von 1.800,00 i = 9,00 i.
Kreditsumme
+ 1% Zinsen f. 6 Monate
+ 0,5% Bearbeitungsgebühr
Gesamtrückzahlung
1.800,00 i
108,00 i
9,00 i
1.917,00 i
ã: Die echten Zinsen ergeben sich aus folgender Formel:
Ð: Effektiver Zinssatz
63,00
117,00
=
=
12%
x%
x = 22,285%
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 38-
Übungen zur Zinsrechnung Nr. 4
Aufgabe 1: Lohnt sich die Kreditaufnahme zum Ausnutzen von Skonto bei folgenden Rechnungen?
Errechnen Sie
den Skontoabzug in i und die Höhe der Überweisung
den Jahresprozentsatz des Skontoabzugs für den kostenpflichtigen Zielzeitraum
die effektiven Kreditkosten und den Finanzierungsgewinn bzw. -verlust in i
Rechnungsbetrag
Zahlungsbedingungen
Zinssatz
25.000,00 i
sofort mit 2% Skonto oder 1 Monat netto
15,00%
14.000,00 i
sofort mit 3% Skonto oder 15 Tage netto
11,50%
230.000,00 i
in 20 Tagen mit 1% Skonto oder 30 Tage netto
12,00%
62.500,00 i
in 30 Tagen mit 2% Skonto oder 3 Monate netto
15,00%
Aufgabe 2: Wir erhalt en eine Liefererrechnung über 75.000,00 i mit folgenden
Zahlungsbedingungen:
“Zahlung innerhalb von 14 Tagen mit 2,5% Skonto oder innerhalb von 30 Tagen netto
Kasse”
Wegen Liquiditätsschwierigkeiten ist zu prüfen, ob sich die Inanspruchnahme eines
Überziehungskredites zu 12,5% zum Ausnutzen von Skonto lohnt.
Errechnen Sie den evtl. Kreditbetrag, den Jahresprozentsatz des Skontoabzuges, die
tatsächlichen Kreditkosten und den Finanzierungserfolg.
Aufgabe 3: Errechnen Sie den evtl. Nötigen Kreditbetrag, den Jahresprozentsatz des Skontoabzugs,
die tatsächlichen Kreditkosten, den effektiven Zinssatz der Kreditkosten und den
Finanzierungserfolg.
Rechnungsbetrag
Zahlungsbedingungen
Zinsen
Gebühr v.
Kreditsumme
14.000,00 i
in 14 Tagen mit 3% Skonto oder 60 Tage netto Kasse
10,00%
0,75%
9.300,00 i
in 10 Tagen mit 2% Skonto oder 30 Tage netto Kasse
19,00%
1,00%
5.800,00 i
sofort mit 2,5% Skonto oder 14 Tage netto
12,00%
1,00%
38.250,00 i
14 Tage mit 3% Skonto oder 30 Tage netto
15,00%
2,00%
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 39-
Aufgabe 4: Ein Holzwerk benötigt zur Refinanzierung einer Kesseldruckimprägnierungsanlage ein
langfristiges Darlehen über 180.000,00 i, das am Ende der Laufzeit in einer Summe
zurückgezahlt werden soll. Folgende Kreditangebote liegen vor:
Bank
Laufzeit
Zinssatz
Auszahlung
Sonstiges
Sparkasse
10 Jahre
8,50%
97,00%
Provision 1% der Darlehenssumme; Bearbeitungsgebühr 25,00 i
Industriebank
12 Jahre
8,00%
Disagio
2,5%
einmalige Bearbeitungsgebühr 2% der Darlehenssumme; Spesen
40,00 i
GenoBa
11 Jahre
8,25%
98,00%
Provision 2,5% der Darlehenssumme; Nebenkosten 50,00 i
Für welches Angebot entscheidet sich das Holzwerk?
Aufgabe 5: Ein Versandhaus gewährt einem Kunden nach Anzahlung von 10% auf den Kaufpreis von
6.000,00 i für die Restzahlung 2 Jahre Kredit. Die Teilzahlung soll in gleichen
Monatsraten zu 0,9% Zinsen je Monat auf den Anfangskredit zuzüglich einer einmaligen
Bearbeitungsgebühr von 1,2% auf die Kreditsumme erfolgen.
Î
Ï
Ð
Wie hoch ist die Gesamtrückzahlung?
Wie hoch sind die Raten? (Die Bearbeitungsgebühr soll mit der 1. Rate
zurückgezahlt werden.)
Wie hoch sind die tatsächlichen Zinsen in Prozent ohne und mit Bearbeitungsgebühr?
Aufgabe 6: Eine Bank gewährt einem Kunden gegen Sicherungsübereignung (Übergabe des KfzBriefes) für die Neuanschaffung eines Pkw im Wert von 72.000,00 i bei einer
Eigenzahlung von 12,5% einen Autofinanzierungskredit über die Restsumme zu 0,32%
monatlichen Zinsen auf den Anfangskredit für die Laufzeit von 42 Monaten. Hinzu
kommen 2% Bearbeitungsgebühren.
Î
Ï
Ð
Wie hoch ist die Gesamtrückzahlung?
Wie hoch sind die effektiven Zinsen in Prozent ohne und mit Bearbeitungsgebühr?
Wie hoch sind die Monatsraten einschließlich Zinsen und Gebühren?
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 40-
Lösungen:
Aufgabe 1:
25000
140000
230000
62500
2% von 25000
3% von 14000
1% von 230000
2% von 62500
500
420
2300
1250
13850
227700
61250
S konto
Überw eisungsbetrag
24500
Jahreszins
Kreditkosten
Finanzierungsgew inn
500,00 i
- 306,26 i
= 193,75 i
420,00 i
- 65,07 i
= 354,92 i
2300,00 i
- 759,00 i
= 1541,00 i
1250,00 i
- 1531,25 i
= - 281,25 i
Aufgabe 2:
75000
S konto
2,5% von 75000
1875,00
Überw eisungsbetrag
73125,00
Jahreszins
Kreditkosten
Finanzierungsgew inn
1875,00 i
- 406,26 i
= 1468,75 i
Aufgabe 3:
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 41-
14000
9300
5800
38250
3% von 14000
2% von 9300
2,5% von 5800
3% von 38250
420
186
145
1147,50
9114
5655
37102,50
S konto
Überw eisungsbetrag
13580
Jahreszins
Kreditkosten
G ebühr
101,85 i
91,14 i
56,55 i
742,05 i
Finanzierungsgew inn
420,00 i
- 165,98 i
- 101,85 i
= 152,17 i
186,00
- 96,20
- 91,14
= - 1,34
i
i
i
i
145,00
- 26,39
- 56,55
= 62,06
i
i
i
i
1147,50
- 247,35
- 742,05
= 158,10
i
i
i
i
Aufgabe 4:
Sparkasse
Disagio
Gebühren
Spesen
Auszahlung
Industriebank
GenoBa
180000,00
- 5400,00
- 1800,00
- 25,00
= 172775,00
i
i
i
i
i
180000,00
- 4500,00
- 3600,00
- 40,00
= 171860,00
i
i
i
i
i
180000,00
- 3600,00
- 4500,00
- 50,00
= 171850,00
i
i
i
i
i
1530000,00
5400,00
1825,00
160225,00
i
i
i
i
172800,00
4500,00
3640,00
180940,00
i
i
i
i
163350,00
3600,00
4550,00
17150,00
i
i
i
i
Effektive Kreditkosten
Zinsen
Kreditkosten
Zinsen
Disagio
Spesen
Kreditkosten
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 42-
Effektiver
Jahreszins
Aufgabe 5 und 6:
Aufgabe 5
Kaufpreis
- 10% Anzahlung
= Kredithöhe
Aufgabe 6
6000,00 i
- 600,00 i
= 5400,00
Kaufpreis
- 12,5% Anzahlung
= Kredithöhe
i
Kredit
0,9% Zinsen*24 Mon * 5400
Gebühr 1,2% von 5400
Rückzahlung
5400,00 i
1166,40 i
64,80 i
= 6631,20
i
72000,00 i
- 9000,00 i
= 63000,00
i
Kredit
0,32% Zinsen*42
Mon*63000
Gebühr 2% von 63000
Rückzahlung
63000,00 i
8467,20 i
1260,00 i
= 72727,20
Raten
Raten
5400 / 24 Monate = 225,00 i pro Monat
63000 / 42 Monate = 1500,00 i pro Monat
Echte Zinsen
Echte Zinsen
Effektiver Zins
Effektiver Zins
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 43-
Übungen zur Zinsrechnung Nr. 5
Aufgabe 1: Errechnen Sie die Rückzahlungssumme für folgendes Darlehen:
2.829,00 i zu 7% vom 19.02. bis 07.04.
Aufgabe 2: Berechnen Sie das Kapital, für das die folgende Zinsen gutgeschrieben wurden.
Î
Ï
vom 25.05. bis 05.08. zu 5%
vom 18.09. bis 31.12. zu 6%
=
=
4,20 i
51,00 i
Aufgabe 3: Bestimmen Sie den Zinssatz.
Î
Ï
720,00 i vom 02.05. bis 02.10. 9,00 i Zinsen
2.450,00 i vom 05.09. bis 20.11. 20,42 i Zinsen
Aufgabe 4: Wie viel Tage wurden folgende Beträge verzinst? Errechnen Sie das Rückzahlungsdatum.
Betrag
Zinssatz
Zinsen
fällig seit
2.420,00 i
4,00%
12,10 i
15.04.
240,00 i
5,00%
5,20 i
28.03.
Aufgabe 5: Für eine fällige Rechnung werden am 04.02. einschließlich 9,5% Verzugszinsen
17.212,30 i überwiesen.
Die Zahlungsbedingungen lauten: “Zahlung sofort mit 2% Skonto oder 30 Tage netto”.
Die Verzugszinsen betragen 412,30 i.
Wann wurde die Rechnung ausgestellt ?
Aufgabe 6: Die Geschäftsleitung einer Werksfiliale prüft den Ankauf eines vermieteten Lagerhauses.
Die Mieteinnahmen betragen monatlich 9.000,00 i. Beim Kauf kann eine 1. Hypothek
über 300. 000, 00 i zu 6% übernommen werden. Die Reparatur- und
Instandhaltungskosten betragen 10% der jährlichen Mieteinnahmen, für Steuern,
Versicherungen und sonstige Kosten sind jährlich 18.850,00 i aufzuwenden. Welchen
Kaufpreis kann die Unternehmung höchstens bieten, wenn die Kapitalverzinsung 5%
betragen soll.
Aufgabe 7: Unser Kunde ist mit folgenden Rechnungen in Verzug geraten.
2.150,00 i
783,50 i
5.120,00 i
am 05.07.
am 13.09.
am 20.10.
Berechnen Sie unsere Forderung zum 31.12., wenn wir 4,5% Verzugszinsen in Rechnung
stellen.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 44-
Aufgabe 8: Prüfen Sie die Abrechnung und korrigieren Sie mögliche Fehler.
Rechnungsbetrag
Stichtag: 31.12.
Zinstage
5.200,00 i
fällig seit 03.07.
177
9204
7.450,00 i
fällig seit 15.09.
105
7823
880,00 i
fällig seit 29.10.
61
537
4.570,00 i
fällig seit 01.11.
59
2696
18.100,00 i
- 450,00 i
17.649,78 i
Aufgabe 9:
#
20260
Verzugszinsen 8%
Überweisung am 31.12.
Ein Hersteller von Verkaufswaagen beantragt am 15.08. Bei seinem Geldinstitut einen
Zwischenkredit zu einem Zinssatz von 12%, den er am 15.11. zurückzuzahlen hat.
Am 15.08. Überweist das Geldinstitut abzüglich Zinsen einen Betrag von 24.250,00 i
auf das Geschäftskonto des Antragsstellers.
Wie viel i betragen Kredit und Zinsen?
Aufgabe 10: Ein Kunde überweist am 11.06. für eine seit, dem 25.01. fällige Rechnung, den Betrag
von 32.405,56 i einschl. 9% Verzugszinsen. Ermitteln Sie die ursprüngliche Forderung
und die Zinsen.
Aufgabe 11: Wir erhalten eine Liefererrechnung über 75.000,00 i mit folgenden
Zahlungsbedingungen:
“Zahlung innerhalb von 14 Tagen mit 2,5% Skonto oder innerhalb von 30 Tagen netto
Kasse”
Wegen Liquiditätsschwierigkeiten ist zu prüfen, ob sich die Inanspruchnahme eines
Überziehungskredites zu 12,5% zum Ausnutzen von Skonto lohnt.
Errechnen Sie den evtl. Kreditbetrag, den Jahresprozentsatz des Skontoabzuges, die
tatsächlichen Kreditkosten und den Finanzierungserfolg.
Lösungen:
Aufgabe 1:
2.855,40 i
Aufgabe 2:
432,00 i; 3.000,00 i
Aufgabe 3:
3% ; 4%
Aufgabe 4:
45 Tage; 156 Tage
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 45-
Aufgabe 5:
93 Tage - 30 Tage Zahlungsziel = 63 Tage => Ausstellungsdatum 01.12.
Aufgabe 6:
Mieteinnahmen: 12 x 9.000,00 i
=
108.000,00 i
Kosten:
Zinsen:
6% von 300.000,00 i
Reparaturkosten:10% von 108.000,00 i
Sonstige Kosten:
Gesamtkosten
=
=
=
=
18.000,00
10.800,00
18.850,00
47.650,00
Nettoeinnahmen:
=
60.350,00 i
i
i
i
i
Aufgabe 7:
Betrag
Einzahlung am
Tage
#
2.150,00 i
05.07.
175
3763
783,50 i
13.09.
107
838
5.120,00 i
20.10.
70
3584
8.053,50 i
8185 / 80
102,31 i
8.155,81 i
Aufgabe 8:
Verzugszinsen müssen addiert werden!
Aufgabe 9:
Umwandlung des Zinssatzes in einen Prozentssatz, 12% Zinsen für 90 Tage entsprechen
einem Prozentsatz von 3%; der Auszahlungsbetrag in Höhe von 24250 i entspricht
dann einem Prozentsatz von 97% ; 100% sind dann 25.000 i; die Zinsen betragen
demnach 750 i
Aufgabe 10: 136 tage wurde das Konto überzogen; Umwandlung des Zinssatzes in einen Prozentsatz
liefert den Wert: 3,4%; danach entspricht der Betrag von 32.405,56 i 103,4%; 100%
entsprechen dann dem Rechnungsbetrag 31.340 i
Aufgabe 11: 2,5% Skonto entsprechen 1.875i, daher muss ein Kredit in Höhe von 73.125 i für 16
Tage (30 Tage Ziel - 14 Tage Skonto) aufgenommen werden, die Kreditzinsen für 16
Tage belaufen sich auf 406,25 i, da die Kreditzinsen geringer sind als die
Skontoersparniss lohnt der Skontoabzug bei gleichzeitiger Inanspruchnahme eines
Kredits für 16 Tage.
dokl
Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 46-
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Gesundheitswesen
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