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3.2 Systeme des Bestandsmanagements Wie kommt es - WINFOR

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3.2 Systeme des Bestandsmanagements
Wie kommt es zu Lagerbestä
Lagerbeständen?
Was ist Bestandsmanagement?
Grob gesagt, wird im Bestandsmanagement festgelegt,
welche Mengen eines Produktes zu welchem Zeitpunkt zu
bestellen sind
Hierdurch wird der Bestand eines bestimmten Produktes im
Lager determiniert
Qualität des Bestandsmanagements
Diese treten dann auf wenn die Stückkosten mit der Produktions-,
Transport- oder Bestellmenge zurückgehen
Beispiel Abfüllanlagen für Softdrinks
Unsicherheit
Unsicherheit ist ein weiterer Grund für Lagerbestände
Erhöhte Lagerbestände dienen dabei der Vermeidung von
Fehlmengen bei steigender Nachfrage
356
Grü
Gründe fü
für Lagerbestä
Lagerbestände
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
357
3.2.1 Klassisches Bestellmengenproblem
Dieses ist das bekannteste Modell zum Bestandsmanagement
Es geht auf Harris zurück und wurde bereits im Jahre 1915
entwickelt
Folgende (restriktive) Annahmen liegen diesem einfachen
Modell zu Grunde
Transportzeiten
Des weiteren werden durch entstehende
Transportzeiten Lagerbestände notwendig
So führen signifikante Transportzeiten zu erheblichen
Kapitalbindungen
Gegebener Gesamtbedarf im Planungszeitraum
Konstante Bedarfsrate je ZE
Unendliche Lieferrate je ZE
Konstanter Beschaffungspreis je FE
Fehlmengen sind unzulässig
Keine Ressourcenbeschränkungen
Weitere Faktoren
Spekulationen auf Preisschwankungen
Langfristige Bindungen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Skaleneffekte
– Hohe Reinigungskosten treten beim Wechsel von Produkten auf
– Daher ist die Abfüllung einzelner Flaschen zu ineffizient
– So werden durch die Herstellung großer Mengen einzelner Drinks
Skaleneffekte erzielt und damit die Stückkosten reduziert
Kann entscheidend für den Wettbewerbserfolg sein
In Deutschland beträgt der Gesamtwert des
Lagerbestandes, die irgendwo gelagert sind und „auf
Nachfrage warten“ ungefähr 500 Milliarden Euro
Irgendwie nicht so richtig effizient, oder?
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Am Besten wir bestellen nur wenn Bedarf vorliegt
oder klar absehbar ist
Problemfelder
358
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
359
Optimaler Bestellpunkt r
Betrachtete Kostenarten
Variable Bestellkosten
Kosten c, die pro Einheit der Bestellmenge auftreten
Proportional zur Bestellmenge
z.B. Transportkosten, Beschaffungskosten pro Einheit
Fixen Bestellkosten
Treten fix (d.h. unabhängig von der gewählten Bestellmenge) bei jeder
ausgeführten Bestellung auf
Bei x>0 fallen genau einmal Kosten von k pro Bestellung an
→ Bestellkosten
Summe aus fixen und variablen Bestellkosten C(x)
Damit gilt
 0 falls x = 0
C (x ) = 
k + c ⋅ x sonst
→ Lagerhaltungskosten
Fallen je gelagerte Einheit pro Zeiteinheit an
Wir benötigen für ihre Bestimmung also die durchschnittliche Menge an
Produkten, die im Planungszeitraum auf Lager ist
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Gibt die Höhe des Lagerbestandes an, bei dem eine Bestellung
in Höhe der optimalen Bestellmenge x getätigt werden soll
Die Bestimmung hängt von der Liefergeschwindigkeit ab
Im klassischen Bestellmengenproblem lässt sich der optimale
Bestellpunkt sehr einfach ermitteln
So sind zunächst Fehlmengen verboten, weshalb nur ein
Bestellpunkt größer oder gleich Null in Frage kommen kann
Daneben führt – aufgrund der unendlichen Liefergeschwindigkeit
– ein Bestellpunkt größer als Null lediglich zu höheren
Lagerbeständen – und damit höheren Lagerkosten – weshalb r im
klassischen Bestellmengenproblem grundsätzlich auf Null zu
setzen ist
360
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Beobachtung
361
Variablen / Parameter des Modells
Wir haben mit den Bestell- und Lagerkosten zwei
konfliktäre Zielgrößen
Dabei ist zu beachten, dass die Bestellmenge x keinen
Einfluss auf die gesamten variablen Bestellkosten hat
Deshalb sind diese Kosten entscheidungsirrelevant
und deshalb nicht weiter zu berücksichtigen, d.h. wir
können unsere Zielfunktion entsprechend
vereinfachen
Damit ergibt sich das folgende einfache Modell zur
Bestimmung einer wirtschaftlichen Bestellmenge
Variable:
x
die zu bestellende Menge je Bestellvorgang, in [FE]/[Best.]
Parameter:
µ
Gesamtbedarf an einer Materialart im Planungszeitraum, in
[FE]/[PZE]
k
Bestellfixe Kosten, in [GE]/[Best.]
h
Lagerhaltungskosten, in [GE]/([FE] . [PZE])
q
Beschaffungspreis der Materialart, in [GE]/[FE]
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
362
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
363
Kostenfunktion
Verlauf des Lagerbestandes
Man erkennt, dass gerade die Hälfte der gewählten
Bestellmenge x durchschnittlich auf Lager liegt
Damit können wir x/2 als durchschnittlichen Bestand ansetzen:
Die zu minimierenden Kosten betragen somit in
Abhängigkeit von der gewählten Bestellmenge
Z (x ) =
µ
x
Lagerbestand
⋅ k + ∅B( x ) ⋅ h
Wir sehen, dass wir noch den durchschnittlichen
Bestand benötigen, um die Formel zu komplettieren
Dies ist aber sehr leicht möglich, wie die folgende
Abbildung veranschaulicht
x/2
t
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
364
Gesamtkosten
Z (x ) =
µ
x
⋅k
Summe fixe Bestellkosten
Einheiten:
( GE / Best .)⋅(( FE / PZE ) /( FE / Best .))
= GE / PZE
+
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
365
Bestimmung der optimalen Bestellmenge
Z (x ) =
1
⋅ x⋅h
2
Summe Lagerkosten
Einheiten:
( Best .)⋅(( FE / Best .)⋅( GE /( FE ⋅ PZE )))
=GE / PZE
µ
1
⋅k + ⋅ x⋅h
x
2
∂Z (x )
∂
µ 1
∂Z (x )
∂x = 2 ⋅ k ⋅ µ > 0 ∀x ∈ IR
= − k ⋅ 2 + ⋅ h;
+
x
x3
2
∂x
∂x
µ 1
µ 1
∂Z (x )
= 0 ⇔ −k ⋅ 2 + ⋅ h = 0 ⇔ k ⋅ 2 = ⋅ h
x
x
2
2
∂x
+
µ
µ
2⋅k ⋅
⇔ 2 ⋅ k ⋅ = x2 ⇔ x =
−
h
h
x = 2⋅k ⋅
µ
wird als wirtschaftliche Beschaffungsmenge
h
oder optimale Bestellmenge bezeichnet
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
366
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
367
Einheiten
x = 2⋅k ⋅
Klassische Bestellmenge – Beispiel
µ
h
Einheiten :
 FE 
2
 1   GE 
 PZE  = 2 ⋅ k  GE  ⋅ µ  FE 
k
⋅
⋅
2
 Best.2  h  GE 
 Best.   Best.  h  GE 


 FE ⋅ PZE 
µ
= 2⋅k ⋅
µ  FE 2 
Daten:
µ=18.000 kg/Jahr
k=120,00 €/Bestellung
h=0,75 €/(kg.Jahr)
⇒ x = 2 ⋅120
18000
= 5760000 = 2400 [kg / Best.]
0,75
µ  FE 
= 2⋅k ⋅ 

2
h  Best. 
h  Best. 
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
368
Illustration der Kostenverlä
Kostenverläufe
369
Robustheit der Lö
Lösung
25000
20000
15000
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Gesamtkosten
Fixe Bestellkosten
Lagerkosten
10000
Die Frage stellt sich, in welchem Ausmaß
Abweichungen von der optimalen Bestellmenge
Auswirkungen auf die entstehenden Gesamtkosten
haben
Um dies zu untersuchen, wollen wir im Folgenden die
doppelte und die halbierte Bestellmenge ansetzen
und die sich ergebenden Kosten betrachten
Dies erfolgt auf der nächsten Folie
5000
0
1
5
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
370
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
371
Variation der Bestellmenge
Man sieht…
sieht…
x
Z(x)
Z(x)
fixe Bestellkosten
Lagerkosten
1100
2376,136364
1963,636364
412,5
1200
2250
1800
450
1300
2149,038462
1661,538462
487,5
2200
1806,818182
981,8181818
825
2300
1801,630435
939,1304348
862,5
2400
1800
900
900
2500
1801,5
864
937,5
2600
1805,769231
830,7692308
975
4700
2222,074468
459,5744681
1762,5
4800
2250
450
1800
4900
2278,316327
440,8163265
1837,5
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
dass die Gesamtkostenfunktion im Optimum sehr
flach verläuft und sich deshalb sehr unsensitiv
gegenüber Veränderungen verhält
Eine Verdopplung oder Halbierung der Bestellmenge
hat eine Kostensteigerung um lediglich 25 Prozent zur
Folge
372
3.2.2 Modellerweiterungen
373
Berü
Berücksichtigung von Lieferzeiten
Im Folgenden stellen wir uns die Frage, wie sich die Lösung
verändert, wenn eine bestimmte Lieferzeit gegeben ist
Das heißt, wir haben nun eine Transport- oder
Auslieferungszeit zu berücksichtigen
Damit lässt sich natürlich ein Bestellpunkt Null nicht mehr
halten
Allerdings hat die isolierte Berücksichtigung von Lieferzeiten
keine Auswirkungen auf die Höhe der optimalen Bestellmenge
Vielmehr ist lediglich der Bestellpunkt entsprechend zu
modifizieren
So ist jeweils die Lagermenge zu finden bei der eine Bestellung
auszulösen ist, damit diese genau bei Lagerstand Null eintrifft
Wir erweitern nun das klassische Problem um verschiedene
praxisrelevante Merkmale wie
Lieferzeiten,
endliche Lieferraten oder
Rabatte
Bisher wurde vereinfacht davon ausgegangen, dass
keine Lieferzeiten auftreten, d.h. wir können beliebige Mengen
ohne Zeitverzug beschaffen,
uns jeweils die gesamte Beschaffungsmenge in einer Lieferung
erreicht und
keine Rabattmöglichkeit gegeben ist
Diese Annahmen werden nun nacheinander aufgehoben
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
374
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
375
Bestimmung des Bestellpunktes
Damit: Berechnung des Bestellpunktes
Die Frage ist nun, bei welchem Lagerbestand eine
Bestellung auszulösen ist
Dieser Lagerbestand leitet sich aus der Menge her, die
während der Lieferzeit verbraucht wird
Da µ Produkteinheiten im jeweiligen
Planungszeitraum verbraucht werden, ist nach dem
Verhältnis von T und LT zu fragen
T: Definiert die Zeitspanne in der eine komplette
Bestellung der Größe x verbraucht wird, d.h. dies ist die
x
r*
Periode
LT
LT modulo T
376
Berechnung des Bestellpunktes – Beispiel
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
377
Berü
Berücksichtigung von endlichen Lieferraten
Seien x=40 [PE], µ=20 [PE]/[Woche] gegeben
Damit gilt T=40/20 [PE]/[PE]/[Woche]=2 [Wochen]
LT sei 1,4 [Wochen]
Damit gilt r*=(1,4 modulo 2).20=1,4.20=28 PE
Sinkt der Lagerbestand auf 28 PE muss bestellt
werden
Bei einer endlichen Lieferrate treffen die Lieferungen
nicht komplett sondern in Raten ein
Dies bedeutet, dass wir im Folgenden eine
kontinuierliche Lieferrate λ (ähnlich zum
kontinuierlichen Bedarf µ) unterstellen
Es gilt: λ≥µ
Andernfalls läge eine unlösbare Problemstellung vor
Wir können prinzipiell die für den Standardfall
hergeleitete Lösungsformel weiter verwenden
Allerdings ist zu beachten, dass durch das schrittweise
Füllen des Lagers geringere Lagerkosten auftreten, da
die Bestände geringer sind als im klassischen Modell
Falls nun LT 2,6 [Wochen]
Dann gilt r*=(2,6 modulo 2).20=0,6.20=12 PE
Sinkt der Lagerbestand auf 12 PE muss bestellt
werden
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Lagerbestand
T
Dauer zwischen zwei Bestellungen
LT: Lieferzeit für eine Bestellung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wir können somit festhalten r ∗ = (LT modulo T ) ⋅ µ
Diese Formel gilt insbesondere auch für den Fall LT>T
378
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
379
Bestandsverlauf bei endlicher Lieferrate
Durchschnittlicher Lagerbestand
Da der Verlauf wiederum linear ist, brauchen wir nur
den Höchst- und den Mindestbestand zu betrachten
Damit erhalten wir
Lagerbestand
x
=TP. µ
TP.λ =
∅I ( x ) =
=
TP=
x
λ
380
Neue Kostenfunktion
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
381
Modifizierte optimale Bestellmenge
Wir ersetzen in der Formel
Wir erhalten somit die folgende Kostenfunktion
x = 2⋅k ⋅
µ
1
 µ
K ( x ) = k + ⋅ x ⋅ 1 −  ⋅ h
x
2
 λ
µ
h
µ
h durch 1 −  ⋅ h
Wir können nun zur Ermittlung der optimalen
Bestellmenge die Ableitung bilden und deren
Nullstelle ermitteln
Allerdings lässt sich die bereits hergeleitete Formel
verwenden, da wir es nur mit modifizierten
Lagerkosten zu tun haben, der Rest aber unberührt
bleibt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Anteil der Bestellmenge x, der im
Planungszeitraum
durchschnittlich auf Lager ist
λ << ∞
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
1  µ
⋅ 1 − 
2  λ
1
 µ
⋅ x ⋅ 1 −  = x ⋅
2
 λ
Zeit
T
λ =∞
1
1 
x 
⋅ (( x − TP ⋅ µ ) + 0 ) = ⋅  x − ⋅ µ 
λ 
2
2 

λ
und erhalten
x=
382
2⋅k ⋅µ
 µ
1 −  ⋅ h
 λ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
383
Modifizierte Bestellmenge – Beispiel
Einbeziehung von Rabatten
Daten:
µ=18.000 kg/Jahr
λ=36.000 kg/Jahr
k=120,00 €/Bestellung
h=0,75 €/(kg.Jahr)
Vielfach ist es in der Praxis möglich,
mengenabhängige Rabatte zu erhalten
Das heißt, eine größere Bestellmenge kann sich durch
geringere variable Beschaffungskosten auszeichnen
Damit wird diese Kostenkategorie erstmals
entscheidungsrelevant!
43200000
18000
=
0,375
 18000 
0,75 ⋅ 1 −

 36000 
= 10733,12629 [kg / Best.]
⇒ x = 2 ⋅120
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
384
Bekannte Rabattarten
385
Rabattarten
Rabatt
Einzelbestellmengenbezogene versus Zeitraum
bezogene Rabatte
Einzelbestellmengebezogenen Rabatten:
ist ein mengen- oder wertabhängiger Abschlag von
einer bestimmten Ausgangsgröße
Mengenabhä
Mengenabhängige versus wertabhä
wertabhängige Rabatte
Pro einzelnem Auftrag / einzelner Bestellung wird
jeweils entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird
Mengenabhä
Mengenabhängig:
Bei Abnahme von mehr als x Stück wird ein Rabatt von
y Prozent gewährt
Wertmäß
Wertmäßig:
äßig:
Bei Erwerb von mehr als x Euro Wert wird ein Rabatt
von y Prozent gewährt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Zeitraumbezogene Rabatten:
Bezogen auf das Auftragsverhalten in einem Zeitraum
wird entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird (durch
den Lieferanten wird ein bestimmtes Kundenverhalten
angestrebt)
386
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
387
Angestoß
Angestoßener Rabatt
Illustration – Angestoß
Angestoßener Rabatt
Angestoßener Rabatt
Es werden hierbei t Rabattklassen definiert, die bestimmten Mindestund Höchstmengen als zulässige Intervalle besitzen.
Rabattklasse I:
a0 ≤ x < a1
Rabattklasse II:
a1 ≤ x < a2
Rabattklasse III: a2 ≤ x < a3
Rabattklasse IV: a3 ≤ x < a4
…
Rabattklasse k:
ak-1 ≤ x < ak
K
Beachte:
Beachte Es werden nur die Mengen in den jeweiligen Klassen mit dem
entsprechenden Rabatt berücksichtigt.
Beispiel: a2 ≤ x < a3
Nur für die x – a2 vielen Mengeneinheiten erhält man einen Rabatt.
Somit lohnt es sich nie mehr als benötigt zu beschaffen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
x
x1
388
Durchgerechneter Rabatt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
389
Beispiel zur Überbestellung
Durchgerechneter Rabatt:
Hier gilt der Rabatt jeweils für alle bestellten Einheiten
Hier kann es sich u. Umständen lohnen mehr als
benötigt zu bestellen (und zu vernichten)
Beispiel: Es gelte ein durchgerechneter Rabatt von 10
Prozent bei Abnahme von über 1.001 Stück
x Stück seien zu beschaffen mit x ≤ 1.000
Frage ist nun:
„Für welche x lohnt sich die „Überbestellung“ wenn die
folgenden Angaben gelten?“
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
x3
390
Preis pro Stück:
Vernichtungskosten:
1.000 €/Stck
10 €/Stck
Überbestellung lohnt sich bei:
(1001 – x).10 + 1001.900 –1000.x ≤ 0
Damit gilt:
10010 – 10.x + 900.900 – 1000.x ≤ 0
Somit:
910910 – 1010 x ≤ 0
Und deshalb folgt für die benötigte Menge x
x ≥ 901,8910891
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
391
Manche nutzen einfach jeden Rabatt
Bestimmung optimaler Bestellmengen
„Frau Lamprecht, Sie haben da nicht den Überblick…“
„…der blattweise Einkauf von
Schreibmaschinenpapier ist betriebswirtschaftlich
nicht sinnvoll…“
„…und Sie sorgen dafür, dass das hier weggeräumt
wird…“
Zeitraumbezogener Rabatt
Gewährung des Rabattes in Abh. der Menge R, die in gesamten
Zeitraum beschafft wird.
r(µ): Reduktion des Lagerkostensatzes in Abhängigkeit des
Gesamtbedarfs
q0: Lagerkostensatz bei einem Beschaffungspreis ohne Rabatt
q(µ): Lagerkostensatz bei einem Beschaffungspreis mit Rabatt
abhängig von µ
Auswirkung hat eine solche Rabattform dann auf die optimale
Bestellmenge, wenn der Lagerkostensatz eine wertmäßige
Komponente enthält, d.h. es gilt:
h ( µ) = q ( µ) +
Wertmäßige
Komponente
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
392
Modifizierte Bestellmenge
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
393
D.h. je größer der Rabatt, desto größer die optimale
Bestellmenge, da der Lagerkostenbeitrag in diesem Fall sinkt.
2⋅k ⋅ µ
2⋅k ⋅ µ
x =
=
q( µ )
q0 ⋅ [1 − r ( µ )]
*
1
Damit gilt
2⋅k ⋅ µ
1
2⋅k ⋅ µ
1
=
⋅
= x0∗ ⋅
q0 ⋅ [1 − r ( µ )]
1 − r(µ)
q0
1 − r(µ)
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Mengenabhängige
Komponenten
Ergebnis
Es gilt somit (die Mengenkomponente wird hierbei
durch die Wertkomponente miterfasst):
x1* =
m( µ)
394
r(µ)
x1* − x0*
⋅ 100
x0*
5%
2,6 %
10 %
5,4 %
15 %
8,5 %
20 %
11,8 %
25 %
15,5 %
30 %
19,5 %
62 %
62,2 %
70 %
82,6 %
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
395
Optimale Bestellmenge bei
Grundlegende Erkenntnis
Einzelbestellmengenbezogener Rabatt
Hierbei ist nun die Rabatthöhe abhängig vom
gewählten x
Dabei gilt:
Es gilt:
Optimale Bestellmenge xi*von K i ist immer
vorteilhafter als alle Bestellmengen von K 0 bis K i −1
Problem ist aber:
falls
a0 = 0 ≤ x < a1
 q0

qi =  q0 (1 − ci ) falls ai ≤ x ≤ ai +1 , ∀ i ∈ {1, ..., I − 1}
q (1 − c ) falls
x ≥ aI
I
 0
Wir müssen prüfen, ob
„Diese Bestellmenge im erforderlichen Intervall liegt,
d.h. ob für diese Bestellmenge die folgende IntervallBedingung gilt?
bei insgesamt I+1 Rabattstufen
Beachte:
Gesamtkostenfunktion hat mehrere Sprünge
Nur abschnittsweise differenzierbar.
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
ai ≤ x* (qi ) < ai +1
396
397
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Optimales Vorgehen
Optimales Vorgehen
1. Bestimme zunächst
2.
Gehe rückwärts alle Rabattstufen durch
j=I–1, I–2, ...,…
Prüfe ob gilt: aj≤x*(qj)
Ja, dann setzte i0=j und j=j-1
Bei j=0 gilt immer a0=0≤x*(q0)
Bei Stufe i0 scheiden sofort alle kleineren Stufen komplett
2⋅k ⋅ µ
x (qI ) =
, mit hI (wertmäßiger)
hI
*
Lagerkostensatz für Rabattstufe I
aus!
Warum? Es gilt:
a) Gilt nun:
a I ≤ x* (q I ) ⇒ x* (qI ) ist optimal!
∀j ∈ {i0 + 1, ..., I } : x* ( q j ) < a j . Wegen x* ( q j ) =
∧ h j ≤ h j −1 ≤ h j −2 ≤ ... ≤ h1 gilt: ∀j ∈ {i0 + 1, ..., I } : x* ( q j −1 ) ≤ x* ( q j )
sonst gilt : aI > x* (qI )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
2 KB ⋅ R
hj
398
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
399
Und somit gilt fü
für i0
( )
Und erhalten schließ
schließlich
( )
− 1}: Z (x (q )) ≥ Z (x (q ))
⇒ x* qi0 ≤ x* (q j ) < a j ∧ x* qi0 ≥ ai0
⇒ ai0 ≤ x* (q j ) < ai0 +1 ∧ ∀i ∈ {0,1,..., i0
*
*
i
i0
Da nun für die Abschnitte c=i0+1, i0+2, ...,I der
optimale Punkt überschritten ist, ist jeweils die
Bestellmenge ac zu wählen (untere Grenze)
Wähle schließlich unter diesen Kandidaten die
Bestellmenge aus
{x (q ), a
*
i0 +1
i0
, ai0 + 2 , ..., aI
}
mit minimalen Kosten
{ ( ( ))
( )
}
min K i0 x* qi0 , K i0 +1 ai0 +1 , ... K I (aI )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
400
Beispiel
401
Wir betrachten nun die Stufe 2
Wir betrachten die folgende einfache Konstellation
Die optimale Bestellmenge lautet dort
Stufe 0:
Bei Bestellmengen zwischen 0 und <200 Stück ergibt sich ein
Beschaffungspreis von 16 €/Stück
Stufe 1:
Bei Bestellmengen zwischen 200 und <500 Stück ergibt sich ein
Beschaffungspreis von 15 €/Stück
Stufe 2:
Bei Bestellmengen größer oder gleich 500 Stück ergibt sich ein
Beschaffungspreis von 14 €/Stück
Weitere Daten sind
µ=1.000 Stück/Jahr
k=50,00 €/Bestellung
hi=0,1.ci €/(kg.Jahr)
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
x* (q2 ) =
2 ⋅1000 ⋅ 50
= 267 < 500
1,4
Damit berechnen wir die Kosten der unteren Grenze,
also
K (500 ) = 1000 ⋅14 +
402
1000
500
⋅ 50 +
⋅1,4 = 14.450
500
2
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
403
Wir betrachten nun die Stufe 1
Ergebnis
Die optimale Bestellmenge lautet dort
x* (q1 ) =
Aufgrund der geringeren Gesamtkosten realisieren
wir die Bestellmenge 500 Stück
Dies entspricht der unteren Schranke der höchsten
Rabattstufe
2 ⋅1000 ⋅ 50
= 258 ≥ 200 ⇒ i0 = 1
1,5
Damit ist die Betrachtung weiterer Stufen unnötig
und wir berechnen die Kosten der optimalen
Bestellmenge der Stufe 1
K (258) = 1000 ⋅15 +
1000
258
⋅ 50 +
⋅1,5 = 15.387
258
2
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
404
3.2.3 Stochastisches Bestandsmanagement
405
3.2.3.1 Einperiodisches Bestandsmanagement
Bei einem einperiodischen Modell wird lediglich ein
Bestellvorgang betrachtet
Hierzu ist eine optimale Bestellmenge zu ermitteln
Dabei handelt es sich meist um Anwendungen mit
sehr verderblichen Gütern, d.h., um Güter, die – falls
nicht verkauft – in den Folgeperioden nicht mehr
verwendbar sind
Mögliche Beispiele sind hierfür
Im Folgenden betrachten wir Problemstellungen, bei
denen die Nachfrage nicht exakt prognostiziert
werden kann
Das heißt, obwohl die Nachfrage unsicher ist, ist eine
Bestellmenge festzulegen
Dazu arbeiten wir mit stochastischen Verteilungen
der Nachfrage
Wir beginnen hierzu mit der Betrachtung
einperiodischer Modelle, d.h. es wird lediglich eine
Periode betrachtet, für die eine optimale
Bestellmenge zu ermitteln ist
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Tageszeitungen
Leicht verderbliche Lebensmittel
Aktionswaren
Extreme Modeartikel
406
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
407
Newsvendor Problem
Computer Journal at Mac‘
Mac‘s
Als klassisches Modell dient in diesem Bereich das so genannte
„Newsvendor
Newsvendor or Newsboy Model“,
Model d.h. das
„Zeitungsverkäufermodell“
Bei diesem Modell wird ein Zeitungsverkäufer betrachtet
Dieser entscheidet an jedem Morgen, wie viele Zeitungen er
bestellt
Für jede Zeitung ist ein Betrag von c Euro Bestellkosten zu
entrichten
Dagegen erzielt der Verkäufer einen Erlös von r Euro pro
verkaufter Zeitung
Auch ist es möglich, eine nicht verkaufte Zeitung für v Euro
zurückzugeben
Offensichtlich gilt: r > c > v
Wir betrachten ein einfaches Beispiel
Mac, Besitzer eines Zeitungskiosks bestellt jeden
Sonntag das wöchentlich erscheinende Magazin „The
Computer Journal“
Er bezahlt c=25 Cents für jedes Exemplar im Einkauf
und veräußert es zu r=75 Cents
Daneben können nicht veräußerte Exemplare für v=10
Cents zurückgegeben werden
Mac möchte ein effizientes Bestandsmanagement
installieren und erfasst hierzu die Häufigkeit der
Nachfrage
408
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
(vgl. Nahmias (2005))
409
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Nachfrage der letzten 52 Wochen
Resultierende Hä
Häufigkeiten
Nachfrage
Häufigkeit
25
7
20
6
15
5
10
4
5
3
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2
21
2
2
2
25
2
27
2
2
3
31
3
3
3
35
3
37
3
3
4
Mittelwert der Reihe ist 11,7307692
Standardabweichung ist 4,74079246
41
4
4
4
45
4
47
4
4
50
51 52
Tag
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Nachfrage
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
410
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
411
Daten der diskreten Verteilung
Fortsetzung
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
0
1
0,019230769
0,019230769
1
0
0
0,019230769
2
0
0
0,019230769
3
0
0
0,019230769
4
3
0,057692308
0,076923077
5
1
0,019230769
0,096153846
6
2
0,038461538
0,134615385
7
2
0,038461538
0,173076923
8
4
0,076923077
0,25
9
6
0,115384615
0,365384615
10
2
0,038461538
0,403846154
11
5
0,096153846
0,5
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
412
Optimale Bestellmenge
Häufigkeit
f
F
12
4
0,076923077
0,576923077
13
1
0,019230769
0,596153846
14
5
0,096153846
0,692307692
15
5
0,096153846
0,788461538
16
1
0,019230769
0,807692308
17
3
0,057692308
0,865384615
18
3
0,057692308
0,923076923
19
3
0,057692308
0,980769231
20
0
0
0,980769231
21
0
0
0,980769231
22
1
0,019230769
1
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
413
Entwicklung einer Kostenfunktion
Mac möchte die Bestellmenge optimieren, um sein
Bestandsmanagement zu verbessern, d.h. es sind die
Kosten zu minimieren, deren Hö
Höhe von der
Bestellmenge beeinflusst wird
Zur Findung der optimalen Bestellmenge ist zu
untersuchen, welche Kosten jeweils von Fehl- oder
Überschussmengen verursacht werden
Diese sind dann entsprechend zu quantifizieren und in
ihrer Häufigkeit zu bewerten
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Nachfrage
414
Werden zu wenige Einheiten bestellt,
bestellt d.h. es gibt Fehlmengen,
Fehlmengen
treten die erzielbaren Erlöse als Opportunitätskosten auf
Hier gibt es einen Unterbestand
Wir setzen als Unterbestandskostensatz cu an (Unit Underage
Cost)
Im Fall zu groß
großer Bestellmengen ist dagegen die Differenz aus
Bestellkosten und Rückgabeerlös anzusetzen
Hier gibt es einen Überbestand
Wir setzen als Überbestandskostensatz co an (Unit Overage Cost)
Damit ergibt sich der Erwartungswert der Kosten aus der
Betrachtung aller möglichen Fälle, d.h. aller möglichen
Nachfragen, in Abhängigkeit der gewählten Bestellmenge S*
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
415
Übergang zur stetigen Variante
Eigenschaften der stetigen Variante
Im Folgenden wollen wir uns stetigen Nachfragefunktionen
zuwenden
Warum?
Zunächst unterstellen wir eine beliebige stetige
Nachfrageverteilung, deren Dichte f und Verteilungsfunktion F
gegeben, oder deren Wertetabellen einsehbar sind
Zudem unterstellen wir, dass es keine negativen Nachfragen
geben kann, d.h. f(y)=0, y<0
Beachte, dass dies keine triviale Annahme ist. Zum Beispiel
lässt die Normalverteilung bei geringen Mittelwerten und
(relativ hierzu) größeren Varianzen durchaus positive
Wahrscheinlichkeiten für negative Nachfragemengen zu
Darüber hinaus werden aber keine weitere Annahmen an den
genauen Verlauf der Nachfrageverteilung gestellt
Häufig lassen sich Gesetzmäßigkeiten in diskreten Verteilungen
erkennen (siehe zum Beispiel der Tests auf Normalverteilung)
Dies verbessert die Analysierbarkeit der Zusammenhänge
Zudem können die Instrumente der Infinitesimalrechnung
genutzt werden
Zunächst wird nur eine beliebige stetige Verteilung
herangezogen, um allgemeine Ergebnisse erzielen zu können
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
416
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Die stetige Kostenfunktion
Leibnizregel
Wir betrachten somit im Folgenden die
Kostenfunktion
Zur Lösung unseres Problems benötigen wir die so
genannte Leibnizregel. Sie lautet allgemein
∞
S
Z ( S ) = co ⋅
∂Z ( S ) ∂
=
∂S
∂S
∫ ( S − y ) ⋅ f ( y ) dy + c ⋅ ∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy
u
y =0
y=S
a2 ( S )
∫
Vorgehen
∫
y = a1( S )
Wie können wir die optimale Bestellmenge
bestimmen?
Offensichtlich ist hierzu zunächst die Ableitung nach S
zu ermitteln und dann Extrempunkte zu finden
h ( y,S ) dy
y = a1( S )
a2 ( S )
=
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
417
∂h ( y,S )
∂a ( S )
∂a ( S )
dy + h ( a2 ( S ) ,S ) ⋅ 2
− h ( a1 ( S ) ,S ) ⋅ 1
∂S
∂S
∂S
Diese können wir nun einfach auf unser Problem
anwenden. Für das erste Integral ergibt sich die
Substitution
a1 (S ) = 0, a2 (S ) = S , h( y,S ) = (S − y ) ⋅ f ( y )
418
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
419
Integral 1
Integral 2
Damit erhalten wir
Damit erhalten wir
 ∂a (S ) 

 ∂a (S )
∂ (S − y ) ⋅ f ( y )
− h a1 (S ),S  ⋅ 1
dy + h a2 (S ),S  ⋅ 2
∫y =0

 ∂S
 ∂S

∂S
 =0


 =S
= ( S − S )⋅ f ( y )
=1
= (0 − S )⋅ f ( y )
lim k →∞
= ( S − k )⋅ f ( y )
=
Für das zweite Integral ergibt sich die Substitution
= ( S − S )⋅ f ( y )= 0
=1
∞
Damit ergibt sich als erste Ableitung
co ⋅ F (S ) − cu ⋅ (1 − F (S ))
a1 (S ) = S , a2 (S ) = ∞, h( y,S ) = ( y − S ) ⋅ f ( y )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
=0
∂ ( y ⋅ f ( y ) − S ⋅ f ( y ))
dy = ∫ − f ( y )dy = − 1 + F (S )
∫y =S
∂S
y=S
∞
S
420
Und als zweite Ableitung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
421
Berechnung der optimalen Bestellmenge
ergibt sich somit
Wir erhalten somit
co ⋅ F (S ) − cu ⋅ (1 − F (S )) = 0
∂ (co ⋅ F (S ) − cu ⋅ (1 − F (S )))
= co ⋅ f (S ) + cu ⋅ f (S )
∂S
⇔ co ⋅ F (S ) − cu + cu ⋅ F (S ) = 0
⇔ (co + cu ) ⋅ F (S ) = cu ⇔ F (S ) =
Diese zweite Ableitung ist offensichtlich größer oder
gleich Null für alle Werte von S und somit konvex
Damit sind alle Nullstellen der ersten Ableitung
Minima der Kostenfunktion
Wir berechnen also die optimale Bestellmenge durch
Nullsetzen der ersten Ableitung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
∫
=0
∂S ⋅ f ( y ) − y ⋅ f ( y )
= ∫
dy = ∫ f ( y )dy = F (S ) − F (0 ) = F (S )
∂S
y =0
y =0
S
 ∂a (S ) 

 ∂a (S )
∂( y − S )⋅ f ( y )
− h a1 (S ),S  ⋅ 1
dy + h a2 (S ),S  ⋅ 2

 ∂S
 ∂S

∂S
y=S
 =S


 =k
k
S
cu
co + cu
 c 
cu
⇔ S = F −1  u , mit CR =
co + cu
 co + cu 
Man bezeichnet CR als das Critical ratio
Es gilt für alle Nachfrageverteilungen
422
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
423
CR – Beispielrechnung
Zurü
Zurück zur diskreten Variante
Sei die folgende Parameterkonstellation gegeben
Da man davon ausgeht, dass die jeweilige diskrete
Verteilung durch eine stetige angenähert werden
kann, sind unsere Ergebnisse der stetigen Version
auch verwendbar für den diskreten Fall
Dies führt uns nun zurück zu unserem kleinen
Eingangsbeispiel
Das Mac Beispiel
c=1€
r=3€
v=0,5€
Damit gilt
co = c − v = 1 − 0,5 = 0,5€
cu = r − c = 3 − 1 = 2€
⇒ CR =
2
= 0,8
2,5
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
424
CR – Für das Mac Beispiel
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
425
Wie lä
lässt sich dieses Ergebnis interpretieren?
Hier war die folgende Parameterkonstellation
gegeben
Wir wählen bei einer beliebigen Nachfrageverteilung
die Bestellmenge, die in 80 Prozent aller Fälle keine
Fehlmengen verursacht, d.h. es gilt
Anders ausgedrückt: p(x≤S*)=F(S*)=0,8
c=25 Cents
r=75 Cents
v=10 Cents
Damit gilt
Für das Beispiel Mac
co = c − v = 25 − 10 = 15 Cents
CR=0,76923
Wir suchen die Nachfrage bei der F ungefähr den Wert
0,76923 annimmt
Dies ist wollen wir anhand der Tabelle ermitteln
cu = r − c = 75 − 25 = 50 Cents
⇒ CR =
50
= 0,76923
65
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
426
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
427
Daten der diskreten Verteilung
Fortsetzung
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
0
1
0,019230769
0,019230769
1
0
0
0,019230769
2
0
0
0,019230769
3
0
0
0,019230769
4
3
0,057692308
0,076923077
5
1
0,019230769
0,096153846
6
2
0,038461538
0,134615385
7
2
0,038461538
0,173076923
8
4
0,076923077
0,25
9
6
0,115384615
0,365384615
10
2
0,038461538
0,403846154
11
5
0,096153846
0,5
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Nachfrage
Häufigkeit
f
F
12
4
0,076923077
0,576923077
13
1
0,019230769
0,596153846
14
5
0,096153846
0,692307692
15
5
0,096153846
0,788461538
16
1
0,019230769
0,807692308
17
3
0,057692308
0,865384615
18
3
0,057692308
0,923076923
19
3
0,057692308
0,980769231
20
0
0
0,980769231
21
0
0
0,980769231
22
1
0,019230769
1
428
Konsequenz
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
429
Unterstellung einer Normalverteilung
Der gesuchte Wert CR wird offensichtlich zwischen 14
und 15 angenommen
Wir wählen aufgrund der Nähe zu den Werten und
nach einer genaueren Betrachtung 15 als optimale
Bestellmenge
Im Folgenden wollen wir eine Normalverteilung als
Nachfragefunktion unterstellen
Dazu benötigen wir zunächst einige allgemeine
Informationen zur Normalverteilung
Sie besitzt die Dichtefunktion
2

 − 0 ,5⋅ x − µ  

 σ  

1
,
⋅e
σ ⋅ 2⋅π
mit µ als Erwartungswert und σ als Standardabweichung
f (x ) =
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
430
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
431
Eigenschaften
Es gilt
µ
F (µ ) =
1
∫−∞ σ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ e
Konsequenzen
2

 − 0 ,5⋅ t − µ  

 σ  

dt =
Damit entsprechen sich bei der Normalverteilung
Median und Mittelwert
Die Normalverteilung ist offensichtlich symmetrisch
1
2
und
f (x ) =
2

 − 0 ,5⋅ x − µ  

 σ  

1
⋅e
σ ⋅ 2⋅π
= f (− x + 2 ⋅ µ )
=
1
⋅e
σ ⋅ 2⋅π
2

 − 0 ,5⋅ ( − x + 2⋅µ )− µ  

σ
 


Wirtschaftsinformatik und Operations Research
432
Die zugehö
zugehörige Verteilungsfunktion…
Verteilungsfunktion…
433
Eigenschaften der Standardnormalverteilung
ist leider nicht analytisch berechenbar
Daher wird oft der Spezialfall mit µ=0 und σ=1 betrachtet
Diese spezielle Verteilungsfunktion ist die so genannte
Standardnormalverteilung N(0,1)
Für diese Funktion sind spezielle Tabellierungen verfügbar
Daher wäre es wünschenswert die allgemeine
Normalverteilung hierauf zurückzuführen
Auf diese Weise kann auf die spezielle Tabellierung der
Standardnormalverteilung zurückgegriffen werden
Wir wollen nun einige Eigenschaften dieser speziellen
Verteilungsfunktion herleiten
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Dichtefunktion
ϕ (x ) =
1
⋅e
2⋅π
 x2
−
 2





Verteilungsfunktion
x
Φ(x ) =
∫
−∞
434
 t2 
− 
 2
1
⋅ e  dt
2⋅π
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
435
Transformation der Normalverteilung N(µ,
N( ,σ))
Grundsä
Grundsätzliche Folgerungen
Es gilt die folgende z-Transformation
 x−µ
F ( x ) = Φ
=
 σ 
x− µ
=z
σ
∫
−∞
1
⋅e
2⋅π
 t2
−
 2





Damit ist „die Brücke zur Standardnormalverteilung
hergestellt“ und wir können nun formulieren
Falls die Zufallsgröße Z N(µ,σ) verteilt ist, gilt
a−µ
P( x ≥ a ) = 1 − F (a ) = 1 − Φ

 σ 
Damit gilt für Intervalle
dt
Diese lässt sich leicht durch die folgende Beziehung
zeigen. So gilt
 x−µ
 1  x− µ 2 
∂Φ

 − ⋅
 
 2 σ   1
x
µ
x
µ
−
−
1
1
1
σ




 = Φ′

⋅ e
⋅ = f (x )
⋅ =
 ⋅ = ϕ

σ
σ
σ
σ
σ
∂x
2
π




P(a ≤ x ≤ b ) = P(x ≥ a ) − P( x ≥ b ) = 1 − F (a ) − (1 − F (b ))
a−µ
b− µ
b− µ
a−µ
= 1 − Φ
 − 1 + Φ
 = Φ
 − Φ

 σ 
 σ 
 σ 
 σ 
Damit erhält man die Dichtefunktion als Ableitung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
436
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
α – Quantil
Beispielwerte
Für α (0≤α≤1) ist das α – Quantil der Wert uα, bei dem
gilt
P( x ≥ uα ) = 1 − α
Daraus folgt unmittelbar
uα = F
−1
437
(α )
Da aber auch die Verteilungsfunktion der
Standardnormalverteilung nicht analytisch
bestimmbar ist, kommt die folgende numerische
Näherung der z-Transformation zur Anwendung
α
z(α)
z( )
0,755
0,69
0,76
0,71
0,765
0,72
0,77
0,74
0,775
0,755
0,78
0,78
0,785
0,79
0,79
0,81
0,795
0,825
0,8
0,84
0,805
0,86
0,81
0,88
S (α ) = µ + z (α ) ⋅ σ , mit z (α ) Quantil der Standardnormalverteilung
∗
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
438
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
439
Konsequenz
Erwartete Fehlmenge J(S)
Damit ergibt sich für CR=0,8 als CR – Quantil
Man vereinbart als erwartete Fehlmenge bzgl. S
∞
S ∗ = S ∗ (CR ) = µ + 0,84 ⋅ σ
J (S ) =
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy
y=S
Seien im Newsvendor Problem die folgenden Daten
gegeben
Damit gilt
∞
µ = 100 Stück, σ = 20 Stück
J (S ) =
S ∗ = S ∗ (CR ) = µ + 0 ,84 ⋅ σ ≈ 100 + 0,84 ⋅ 20 = 117 Stück
k
= lim k →∞
440
Erwartete normierte Fehlmenge L(z)
L(z)
∫ ( y − z ) ⋅ ϕ ( y ) dy
L( z ) =
Zusammenhang zwischen J(S*) und L(z*)
∞
∗
y = z∗
∞
∞
2
2
1
1
⋅ e (−0 ,5⋅ y )dy = ∫ y − µ − z ∗ ⋅
⋅ e (−0 ,5⋅( y − µ ) )dy
2⋅π
2⋅π
y= µ+ z∗


(
)
 y− µ 

σ 
− 0 ,5⋅


 y− µ ∗ 1
= ∫ 
− z ⋅
⋅ e
σ
2
⋅
π
∗


y = µ + z ⋅σ
2




dy =
1
∫y =S ( y − S ) ⋅ σ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ e

y− µ 
 −0 ,5⋅


 σ 

2



dy
441
Nahmias (2005) zeigt die folgende wichtige
Eigenschaft der erwarteten normierten Fehlmenge
y=z
( ) ∫ ( y − z )⋅
y=S∗
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
∞
L z∗ =
∫ ( y − S ) ⋅ f ( y ) dy
Eine weitere wichtige Eigenschaft von L(z)
L(z)
Analog hierzu wird die erwartete normierte
Fehlmenge für z vereinbart
L(z) =
∫
y=S
Wir wählen für eine Normalverteilung somit eine
Bestellmenge von 117 Stück
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
k
( y − S ) ⋅ f ( y ) dy = lim k →∞
z


2
2
1
1
⋅ e (−0 ,5⋅ z ) − z ⋅ 1 − ∫ ( y − z ) ⋅
⋅ e (−0 ,5⋅ y )dy 


2⋅π
2⋅π
 y = −∞

z



= ϕ (z ) − z ⋅ 1 − ∫ Φ ( y )dy  = f 01 (z ) − z ⋅ (1 − F01 (z ))



 y = −∞
Diese Eigenschaft erlaubt uns eine kompakte
Darstellung der erwarteten optimalen Kosten
1
⋅ J S∗
σ
( )
( ) ( )
⇒ σ ⋅ L z∗ = J S ∗
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
442
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
443
Erwartete optimale Kosten
Erwartete optimale Kosten
Nun können wir für die erwarteten Kosten der optimalen Bestellmenge S*
formulieren
S∗
( )
∫ (S
Z S ∗ = co ⋅
∗
∞
∞


Z S ∗ = co ⋅  S ∗ − µ + ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y=S
y=S ∗

 = z ∗ ⋅σ
( )
∞
)
− y ⋅ f ( y )dy + cu ⋅
∫ (y − S )⋅ f ( y )dy
∗
)
∞
∞
∞
∞
S∗
S∗


= co ⋅  S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy − ∫ y ⋅ f ( y )dy + S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy − ∫ y ⋅ f ( y )dy − S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy + ∫ y ⋅ f ( y )dy 


∗
∗
∗
∗
=
=
0
0
y
y
y=S
y=S
y =S
y=S


∫ (y − S )⋅ f ( y )dy
∗
(
(
∫ (y − S )⋅ f ( y )dy = c
∗
o
( )
⋅ z ∗ ⋅ σ + (co + cu ) ⋅ σ ⋅ L z ∗
y=S
( )
( )
( )
)
)
)
(
)
( )
444
Damit ergeben sich fü
für Z(S*)
445
Wir sehen unmittelbar, dass sowohl die Höhe des
Erwartungswertes als auch die Höhe der Standardabweichung
einen signifikanten Einfluss auf den erwarteten Gewinn haben
Triviale Erkenntnis
( )
Z S ∗ = (co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 z ∗ = (0,5 + 2 ) ⋅ 20 ⋅ f 01 (0,84)
= 2,5 ⋅ 20 ⋅ 0,28 = 14
Je größer der Erwartungswert (also des erwarteten Absatzes)
desto größer ist der erwartete Erlös und damit der erwartete
Gewinn
Je größer die Standardabweichung (also die Unsicherheit in der
Nachfrage) desto größer werden die erwarteten Kosten und
mindert damit den erwarteten Gewinn. Zu beachten ist hierbei
Damit ergibt sich als optimaler Gewinn
( )
Π S ∗ = (r − c ) ⋅ µ − Z S ∗ = (r − c ) ⋅ µ − (cu + co ) ⋅ f 01 z ∗ ⋅ σ
Im Beispiel ergibt sich somit
( )
Π S ∗ = (3 − 1) ⋅100 − Z S ∗ = 200 − 14 = 186
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Konsequenzen
Es gilt somit
( )
( )
= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + (co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 z ∗ − co ⋅ σ ⋅ z ∗ = (co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 z ∗
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
( )
( )
( )
∞
∞


= co ⋅  S ∗ − µ + ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y=S
y=S ∗


( )
= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + (co + cu ) ⋅






= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + (co + cu ) ⋅ σ ⋅  f 01 z ∗ − z ∗ ⋅  1 − F01 z ∗  




 =1− cu = co  
 cu + co cu + co  

co
= co ⋅ z ∗ ⋅ σ + (co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 z ∗ − (co + cu ) ⋅ σ ⋅ z ∗ ⋅
cu + co
y=S
∞
∞
∞
∞
∞


= co ⋅  S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy − ∫ y ⋅ f ( y )dy − S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy + ∫ y ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y=S
y =0
y =0
y=S ∗
y=S ∗


∞
∞
∞
 ∗

= co ⋅  S ⋅1 − µ − S ∗ ⋅ ∫ f ( y )dy + ∫ y ⋅ f ( y )dy  + cu ⋅ ∫ y − S ∗ ⋅ f ( y )dy


y=S
y =S ∗
y=S ∗


( )
)
= J S ∗ =σ ⋅L z ∗
∞
(
(
∞
y=S ∗
y =0
+ cu ⋅
(
Es gibt Unsicherheit aufgrund einer unscharfen Nachfrageprognose
(hier gibt es ein wichtiges Verbesserungspotential)
Somit ist an einer verbesserten Prognose mit geringeren
Abweichungen zu arbeiten
446
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
447
Z(S*) bei Halbierung von σ
Folge: Idealer Extremfall
Bei sicherer Nachfrageprognose ohne Abweichungen
ergeben sich keinerlei erwartete Kosten mehr
So wäre in diesem Fall die Bestellmenge an der nun
sicheren erwarteten Nachfrageprognose auszurichten
Es gilt nun
S ∗ = S ∗ (CR ) = µ + 0,84 ⋅ σ = 100 + 0,84 ⋅10 ≈ 109
Erwartete Kosten
( )
( )
Z S ∗ = (co + cu ) ⋅ σ ⋅ f 01 z ∗ = (0,5 + 2 ) ⋅10 ⋅ f 01 (0,84)
= 2,5 ⋅10 ⋅ 0,28 = 7
Damit ergibt sich als optimaler erwarteter Gewinn
( )
( )
Π S ∗ = (3 − 1) ⋅100 − Z S ∗ = 200 − 7 = 193
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
448
Diskrete Variante
449
Informationen zur Poissonverteilung
Die Poissonverteilung ist eine diskrete
Wahrscheinlichkeitsverteilung, d.h. es treten nur abzählbar
Wahrscheinlichkeitsverteilung
viele Ausprägungen auf
Sie ist abgeleitet aus einer Folge von Bernoulli Experimenten (2
mögliche Ausgänge)
Die Dichtefunktion der Poissonverteilung ist definiert durch
Hier tritt die Nachfrage in vordefinierten
Wahrscheinlichkeiten in diskreten Niveaus auf
Wir gehen dabei davon aus, dass die Nachfrage für
kleinere n Poisson verteilt ist
Hierzu zunächst einige Informationen zur
Poissonverteilung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
p( X = y ) = p y =
λ y −λ
⋅ e , mit λ als Ereignisrate
y!
Die Ereignisrate λ ist zugleich Erwartungswert und Varianz der
Verteilung
Der Einsatz einer solchen Verteilung bietet sich immer dann an,
wenn nur wenige Ausprägungen möglich sind
Geht die Anzahl der möglichen Ausprägungen gegen Unendlich
nähert sich die speziell parametrisierte Poissonverteilung der
Standardnormalverteilung
450
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
451
Erwartungswert der Poissonverteilung
Varianz der Poissonverteilung
Es gilt für den Erwartungswert:
Es gilt für die Varianz
∞
∞
λy
λy
E ( X ) = ∑ y ⋅ p y = ∑ y ⋅ ⋅ e− λ = e− λ ⋅ ∑ y ⋅
y!
y!
y =0
y =0
y =0
∞
∞
(
)
∞
y =0
(
)
= ∑ y 2 − 2 ⋅ y ⋅ λ + λ2 ⋅
λ
=λ
y =1 ( y − 1) !
= λ ⋅ e− λ ⋅ ∑
2
y =0
y −1
∞
∞
Var( X ) = ∑ ( y − λ ) ⋅ p y = ∑ y 2 − 2 ⋅ y ⋅ λ + λ 2 ⋅ p y
y =0
∞
λ y −λ ∞ 2 λ y −λ
λ y −1
⋅ e = ∑ y ⋅ ⋅ e − 2 ⋅ λ2 ⋅ ∑
⋅ e− λ
(
)
−
y!
y!
y
!
1
y =0
y =1
∞
λy
λ y −λ ∞ 2 λ y −λ
⋅ e = ∑ y ⋅ ⋅ e − 2 ⋅ λ 2 + λ 2 = ∑ ( y ⋅ ( y − 1) + y ) ⋅ ⋅ e − λ − λ 2
y!
y!
y = 0 y!
y =0
y =0
∞
+ λ2 ⋅ ∑
=e λ
∞
= ∑ ( y ⋅ ( y − 1)) ⋅
y =0
∞
∞
λy
λ y −λ
⋅ e + λ − λ 2 = ∑ ( y ⋅ ( y − 1)) ⋅ ⋅ e − λ + λ − λ 2
y!
y!
y =0
= λ 2 ⋅ ∑ ( y ⋅ ( y − 1)) ⋅
y =2
λ y−2
1
⋅
⋅ e− λ + λ − λ 2
y ⋅ ( y − 1) ( y − 2 )!
λ y −2
⋅ e− λ + λ − λ 2 = λ2 + λ − λ2 = λ
y = 2 ( y − 2 )!
∞
= λ2 ⋅ ∑
452
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Erwartungswert der Kosten
Direkte Vereinfachungen
Damit können wir die folgende Formel ansetzen
S ∗ −1
( )
((
)
∞
)
((
Und erhalten schließlich als vereinfachten Ausdruck
)
)
Z S ∗ = co ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p ( X = y )
y =0
y=S
∞
((
)
((
)
y =0
y =0
((
)
)
((
)
)
)
)
y =0
Somit ergibt sich für die erwarteten Kosten
)
)
S ∗ −1
= cu ⋅ λ − S ⋅ cu ⋅1 − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
( )
S∗
((
)
)
(
)
S ∗ −1
((
Z S ∗ = co ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ λ − S ∗ − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
((
)
y =0
)
= cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y ) − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
y =0
S ∗ −1
∗
y=S ∗
S ∗ −1
∗
y =0
cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p( X = y )
∞
∞
= cu ⋅ ∑ ( y ⋅ p( X = y )) − S ⋅ cu ⋅ ∑ ( p( X = y )) − cu ⋅ ∑ y − S ∗ ⋅ p ( X = y )
∗
Bei der Ermittlung der optimalen Bestellmenge „stört“ die
unendliche Summe
Diese lässt sich allerdings durch einen einfachen Trick
„entfernen“
Wir definieren wie folgt
∞
453
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
y =0
y =0
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
454
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
455
Erwartungswert der Kosten
Poissonverteilung mit Mittelwert 3
Und damit erhalten wir
( )
Z S
∗
S∗
((
)
S∗
)
((
)
)
(
= co ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − S ∗
)
Nachfrage
Wahrscheinlichkeit
Kumulierte Wahrscheinlichkeit
0
0,049787068
0,049787068
1
0,149361205
0,199148273
2
0,224041808
0,423190081
3
0,224041808
0,647231889
4
0,168031356
0,815263245
5
0,100818813
0,916082058
y =0
y =0
6
0,050409407
0,966491465
S∗
S∗
7
0,021604031
0,988095496
8
0,008101512
0,996197008
9
0,002700504
0,998897512
10
0,000810151
0,999707663
11
0,00022095
0,999928613
12
5,52376E-05
0,999983851
13
1,27471E-05
0,999996598
14
2,73153E-06
0,99999933
15
5,46306E-07
0,999999876
16
1,02432E-07
0,999999978
17
1,80763E-08
0,999999996
18
3,01272E-09
0,999999999
19
4,75692E-10
1
20
7,13538E-11
1
21
1,01934E-11
1
22
1,39001E-12
1
((
)
)
((
)
)
= co ⋅ ∑ S − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ ∑ S − y ⋅ p ( X = y ) + cu ⋅ λ − cu ⋅ S
∗
y =0
∗
∗
y =0
S∗
((
)
)
(
= (co + cu ) ⋅ ∑ S − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ λ − S
∗
∗
)
y =0
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
456
Beispiel – Bestimmung von S*
S
( )
((
)
)
(
Z S ∗ = (co + cu ) ⋅ ∑ S ∗ − y ⋅ p( X = y ) + cu ⋅ λ − S ∗
Bisher haben wir für Fehlmengen und Überbestände einfach
Kosten angesetzt und diese schließlich minimiert
Problem dabei ist allerdings
)
y =0
4
= (0,5 + 2) ⋅ ∑ ((4 − y ) ⋅ p( X = y )) + 2 ⋅ (3 − 4 )
y =0
= 2,5 ⋅ (0,19914827 + 0,44808362 + 0,44808362 + 0,22404184) − 2
= 2,5 ⋅ (1,31935731) − 2 = 1,298393275 ≈ 1,30
( )
Π S ∗ = (3 − 1) ⋅ 3 − Z S ∗ = 6 − 1,30 = 4,70
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
dass diese Kosten nicht immer eindeutig ermittelbar sind
So gibt es unter Umständen Kunden, die aufgrund von
Fehlmengen dauerhaft oder zumindest längerfristig zur
Konkurrenz wechseln
Diese Auswirkungen zu ermitteln ist sehr schwierig
Daher gibt es andere Ansätze, die eine bestimmte Qualität in
Form von zu erreichenden Servicegraden vorgeben und
ausgehend hiervon die Bestellmengen festlegen
Damit ergibt sich als erwarteter Gewinn
( )
457
Servicegrade
Wie man sofort sieht, ist S* auf 4 zu setzen
∗
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
458
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
459
α--Servicegrad
Beispielwerte
Idee:
Wir wollen mit der Vorgabe eines Wertes zwischen 0
und 1 für α bestimmen, dass die Nachfrage in α Prozent
vielen Fä
Fällen vollauf befriedigt werden kann
Das heißt formal, dass wir das folgende Problem
betrachten
Minimiere S
α
z(α)
z( )
0,895
1,25
0,9
1,29
0,905
1,31
0,91
1,34
0,915
1,37
0,92
1,41
0,925
1,44
0,93
1,48
0,935
1,51
0,94
1,56
unter Beachtung der Nebenbedingung
0,945
1,6
F (S ) ≥ α
0,95
1,64
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
460
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
α--Servicegrad – Die zugehö
zugehörige Bestellmenge
461
β--Servicegrad
Wir können somit S* direkt ermitteln durch
Idee:
Betrachte zu einer Bestellmenge S die erwartete
Fehlmenge J(S)
S ∗ = F −1 (α )
∞
J (S ) =
An unserem Beispiel (µ=100, σ=20) folgt für
α=0,95: z=1,64 und damit S*=100+1,64.20=132,8. Also
133 Stück
α=0,9: z=1,29 und damit S*=100+1,29.20=125,8. Also
126 Stück
Sie enthält – wenn normiert – den Anteil der
Nachfrage, der nicht befriedigt werden kann, d.h.
∞
J (S )
=
µ
Die Funktion nimmt bei Annäherung an α=1 einen
extrem ansteigenden Verlauf
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
∫ ( y − S )⋅ f ( y )dy
y=S
462
∫ ( y − S )⋅ f ( y )dy
y=S
µ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
463
β--Servicegrad
β--Servicegrad – Die zugehö
zugehörige Bestellmenge
Das heißt – positiv formuliert – wir sind bei Bestellmenge S in
der Lage, genau
Wir betrachten wiederum unser Beispiel mit der
Normalverteilung
Unter Verwendung von J(S)=σ.L(z) gehen wir über zu
der normierten Funktion L(z)
Damit muss für S* gelten
∞
J (S )
1−
= 1−
µ
∫ ( y − S )⋅ f ( y )dy
y=S
µ
Prozent der Nachfrage zu befriedigen
Damit ergibt sich als Programm der Erfüllung eines βServicegrades
( )
( )
( )
Minimiere S
unter Beachtung der Nebenbedingung 1 −
J (S )
≥β
µ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
464
Wir unterstellen wieder die obigen Daten
β = 0 ,95,µ = 100,σ = 20
σ
5
= 0,25 ≥ L z ∗
20
( )
Durch Betrachtung von entsprechenden Tabellen
erhalten wir
z ∗ = L−1 (0,25) ≈ 0,34
⇒ S ∗ = 100 + 0,34 ⋅ 20 = 106,8 ≈ 107
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
( )
( )
Beachte dass L(z)
L(z) eine fallende Funktion ist
Am Beispiel ergibt sich
(1 − β ) ⋅ µ =
( )
µ − σ ⋅ L z∗
σ ⋅ L z∗
J S∗
≥ β ⇔ 1−
≥β⇔
≥β
µ
µ
µ
(1 − β ) ⋅ µ ≥ L z ∗
⇔ µ − σ ⋅ L z ∗ ≥ β ⋅ µ ⇔ (1 − β ) ⋅ µ ≥ σ ⋅ L z ∗ ⇔
σ
1−
466
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
465
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