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2 Indirekte Nutzenfunktion Es ist zu zeigen, wie sich aus dem in

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2
Indirekte Nutzenfunktion
Es ist zu zeigen, wie sich aus dem in Mengeneinheiten definierten
marginalen Wert eines Gutes eine eindeutige in Geldeinheiten
ausgedrückte Wertgröße ableiten lässt. Hierzu stehen zwei Konzepte zur
Verfügung. Das erste ist die indirekte Nutzenfunktion.
2.1
Herleitung
(1.6) max L = U( x1 , x 2 , v 3 ) + λ(E − p1 ⋅ x1 − p 2 ⋅ x 2 − R 3 ⋅ v 3 )
x1 , x 2 ,λ
p1 , p 2 , R3 und v3 sind Konstante
Bedingungen erster Ordnung:
(1.7)
(1.8)
(1.9)
L1 = U 1 − λ ⋅ p1 = 0 
p1 U 1
=
(1.10)
⇒
L2 = U 2 − λ ⋅ p 2 = 0
p2 U 2
L λ = E − p1 ⋅ x1 − p 2 ⋅ x 2 − R 3 ⋅ v 3 = 0
Aus den Optimalbedingungen können die sog. MARSHALLschen oder
„normalen“ Nachfragefunktionen gewonnen werden:
(1 . 11 )
x1 = x1 ( p1 , p 2 , R 3 , E , v 3 )
(1 . 12 )
x 2 = x 2 ( p1 , p 2 , R 3 , E , v 3 )
Beachte: Die Mengengröße v 3 ist jeweils Argumentwert der Nachfragefunktionen. Erläuterung: siehe fünfte Ableitungseigenschaft der
indirekten Nutzenfunktion.
Setzt man sie in die (direkte) Nutzenfunktion U ein, so erhält man die
indirekte Nutzenfunktion:
(1.13)
U max = U ( x1 ( p1, p 2 , R3 , E , v 3 ), x 2 ( p1 , p2 , R3, E , v3 ), v3 )
= V ( p1 , p2 , R3 , E , v3 )
Beachte: Die Mengengröße v 3 beeinflusst den maximal erzielbaren
Nutzen direkt und indirekt (über die Nachfragen x1 und x 2 ).
12
2.2
Eigenschaften der indirekten Nutzenfunktion
Fragestellung: Wie verändert sich jeweils der maximal erzielbare Nutzen
bei Variation von E , p1 , R3 oder v 3 ?
1. Variation des Pauscheinkommens
(1.14)
∂x
∂x
∂V
= U1 ⋅ 1 + U 2 ⋅ 2
{
{
∂E =λp ∂E =λp ∂E
1
2
Berücksichtigung von (1.7) und (1.8):
(1.15)
∂x
∂x 

= λ  p1 ⋅ 1 + p2 ⋅ 2 
∂E
∂E 

Der Klammerausdruck ergibt sich durch
Budgetrestriktion nach dem Pauscheinkommen:
Differenzierung
der
(1.16) E = p1 ⋅ x1 + p2 ⋅ x2 + R3 ⋅ v3 ⇒
(1.17) 1 = p1 ⋅
∂x1
∂x
+ p2 ⋅ 2
∂E
∂E
In die Ableitung der indirekten Nutzenfunktion eingesetzt:
(1.18)
∂V
=λ>0
∂E
(a) λ (= Schattenpreis der Restriktion) gibt den Grenznutzen des
Einkommens an. (b) Der Grenznutzen des Einkommens ist positiv.
2. Variation des Preises eines nicht-rationierten Gutes (sei: Gut 1)
(1.19)
∂V ∂U ∂x1 ∂U ∂x 2
+
⋅
=
⋅
∂p1 ∂x1 ∂p1 ∂x 2 ∂p1
= λ (p1 ⋅
∂x1
∂x
+ p2 ⋅ 2 )
∂p1
∂p1
Wieder aus der Differenzierung der Budgetrestriktion (hier: nach p1 ) :
13
(1.16)
E = p1 ⋅ x1 + p2 ⋅ x 2 + R3 ⋅ v3
(1.20) 0 = x1 + p1 ⋅
(1.20a ) − x1 = p1 ⋅
∂x1
∂x
+ p2 ⋅ 2
∂p1
∂p1
⇒
⇔
∂x1
∂x
+ p2 ⋅ 2
∂p1
∂p1
folgt:
(1.21)
∂V
= − λ x1 < 0
∂ p1
Der maximal erzielbare Nutzen sinkt, wenn der Preis eines nichtrationierten Gutes steigt.
Die Nutzenminderung hängt dabei positiv ab von der Ausgangsmenge
des betreffenden Gutes und vom Grenznutzen des Einkommens.
Zur Plausibilität:
(i)
dV =
∂V
∂V
⋅ dp1 = −
⋅ x1 ⋅ dp1
∂p1
∂E
3. Variation des Preises des rationierten Marktgutes
(1.22)
(1.23)
∂V ∂U ∂x1 ∂U ∂x 2
=
⋅
+
⋅
∂R3 ∂x1 ∂R3 ∂x 2 ∂R3
= λ ( p1 ⋅
∂x1
∂x
+ p2 ⋅ 2 )
∂R3
∂R3
Aus der Differenzierung der Budgetrestriktion nach R3 (mit
gegeben!):
(1.16)
E = p1 ⋅ x1 + p2 ⋅ x 2 + R3 ⋅ v3
⇒
∂x1
∂x
+ p2 ⋅ 2 + v3
∂R3
∂R3
⇔
(1.24) 0 = p1 ⋅
(1.24a ) − v3 = p1 ⋅
folgt:
∂x1
∂x
+ p2 ⋅ 2
∂R3
∂R3
∂v 3
= 0 , da v3
∂R 3
14
∂V
= −λv3 < 0
∂R 3
(1.25)
Vgl. zur Interpretation: Gleichung (1.21). Die Preisänderung eines
rationierten Gutes beeinflusst offenbar den maximal erzielbaren Nutzen
ebenso wie die Preisänderung eines nicht-rationierten Gutes.
Die formale Übereinstimmung mit Gleichung (1.21) darf über einen
wesentlichen Unterschied nicht hinwegtäuschen: Da die rationierte
Menge v3 gegeben ist, gehen von einer Änderung des Güterpreises R3
keine Substitutionseffekte aus. Steigt z.B. R3 , dann sinkt mit
E − R3 ⋅ v3
dasjenige Einkommen, das für den Kauf von x1 und x2 zur Verfügung
steht. Hiernach ist es für die Nachfragereaktionen egal, ob E um einen €
sinkt oder R3 ⋅ v3 um einen € steigt.
4. Implikationen der Variationen von p1 und R3
(1.21)
∂V
= − λx1
∂p1
⇔
x1 = −
∂V / ∂p1
∂V / ∂E
(1.25)
∂V
= − λv 3
∂R3
⇔
v3 = −
∂V / ∂R3
∂V / ∂E
(1.26)
(1.27)
ROY-Identitäten
Zum Verständnis der Gleichung (1.27) sei von einem konstanten
maximalen Nutzen V ausgegangen. In diesem Falle gilt
(i)
−
dE ∂V / ∂R3 (−)
=
mit
dR3 ∂V / ∂E (+ )
dE
>0
dR3
und damit
(ii)
− v3 = −
dE
dR 3
Soll also der maximale Nutzen ( V ) konstant bleiben, obwohl
beispielsweise der Preis R3 um den marginalen Betrag dR3 steigt, dann
15
ist zur Kompensation des preisinduzierten "Kaufkraftentzugs" eine
Nominaleinkommenserhöhung von
(iii)
dE = v3 ⋅ dR3
notwendig.
Wir kommen zu demselben Ergebnis, wenn wir von dem oben
angegebenen "Resteinkommen" E − v3 ⋅ R3 ausgehen und sagen, dass der
Nutzen V nur dann bei einer Preiserhöhung des rationierten Gutes
konstant bleiben kann, wenn auch das "Resteinkommen" unverändert
bleibt:
(iv)
E − v3 ⋅ R3 = const.
oder
(v)
dE − v3 ⋅ dR3 = 0
oder
(iii)
dE = v3 ⋅ dR3
Die Gleichung (1.26) kann man nicht auf diese einfache Weise erklären,
weil durch eine Erhöhung von p1 Substitutionseffekte ausgelöst werden,
durch die x1 sinkt.
5. Variation der Menge des rationierten Marktgutes
(1.28)
(1.29)
∂V ∂U ∂x1 ∂U ∂x 2 ∂U
=
⋅
+
⋅
+
∂v3 ∂x1 ∂v3 ∂x 2 ∂v3 ∂v3
= λ ( p1 ⋅
∂x1
∂x
∂U
+ p2 ⋅ 2 ) +
∂v3
∂v3
∂v3
16
Mit der Differenzierung der Budgetrestriktion nach v3:
(1.16)
E = p1 ⋅ x1 + p2 ⋅ x 2 + R3 ⋅ v3
(1.30) 0 = p1 ⋅
∂x1
∂x
+ p2 ⋅ 2 + R3
∂v3
∂v3
(1.30a ) − R3 = p1 ⋅
⇒
⇔
∂x1
∂x
+ p2 ⋅ 2
∂v3
∂v3
folgt:
(1.31)
∂V
∂U >
= − λR3 +
0
∂v3
∂v3 <
⇔
(1 . 31 a )
∂U >
λR3
∂v3 <
Interpretationen:
(a) Gemäß Gleichung (1.30a) sinken die für die Güter 1 und 2 getätigten
Ausgaben um R3 €, wenn dem Individuum eine zusätzliche Einheit des
rationierten Gutes 3 zugeteilt wird. Ob x1 bzw. x 2 sinken oder steigen,
also ∂x1 / ∂v3 bzw. ∂x 2 / ∂v3 einen positiven oder negativen Wert annehmen,
hängt von der Art der Beziehung zu Gut 3 ab (beachte: Es ist
ausgeschlossen, dass beide Kreuzbeziehungen positiv sind).
Beispiel 1: Gut 1 sei Hirse, Gut 3 (rationiert) sei Mais (zu Hirse
substitutiv). Bei Zuteilung eines zusätzlichen kg Mais sinkt die Nachfrage
nach Hirse; ∂x1 / ∂v3 ist negativ, das Vorzeichen von ∂x 2 / ∂v3 lässt sich
ohne weitere Informationen nicht bestimmen.
Beispiel 2: Gut 1 gebe Verkehrsleistungen – z.B. gemessen in
gefahrenen Autokilometern – an, Gut 3 (rationiert) sei Benzin (zu Gut 1
komplementär). Bei Zuteilung eines zusätzlichen Liters Benzin steigt die
Nachfrage nach Verkehrsleistungen; ∂x1 / ∂v3 ist positiv. In diesem Falle ist
∂x 2 / ∂v 3 eindeutig negativ.
(b) Gemäß Gleichung (1.31) kann der maximal erzielbare Nutzen auch
sinken (!), wenn dem Individuum eine zusätzliche Einheit des Gutes 3
zugeteilt wird. Dieses Ergebnis stellt sich dann ein, wenn dem
Individuum eine höhere Menge dieses Gutes aufgezwungen wird als
freiwillig bei den herrschenden Preisen nachgefragt würde.
Beispiel:
Unfreiwillige
Arbeitslosigkeit,
d.h.
der
tatsächliche
"Freizeitkonsum" (die tatsächliche Arbeitsleistung) ist größer (kleiner) als
der gewünschte "Freizeitkonsum" (die gewünschte Arbeitsleistung).
Formale Begründungen: Im nächsten Abschnitt 2.3.
17
2.3 Monetärer Bewertungsansatz: Schattenpreise
Bei der Bestimmung eindeutiger, in Geldeinheiten ausgedrückter
Wertgrößen unterscheiden wir nicht-rationierte von rationierten Gütern.
Nicht-rationierte Marktgüter
Zunächst sei gezeigt, dass die in Kapitel 1 aufgezeigte (potentielle)
Mehrdeutigkeit der monetären Bewertung eines Gutes (hier: Gut 1)
verschwindet, wenn, wie im Falle der indirekten Nutzenfunktion, von
nutzenmaximierendem Verhalten ausgegangen wird.
Ausgangspunkt: Potentiell mehrdeutige Bewertung von Gut 1 (Kapitel 1)
(i)
−
dx 2
⋅ p 2 [€ ] = 4 ⋅ 3 € = 12 €
dx1
(ii)
−
dx 3
⋅ p3 [€ ] = 5 ⋅ 2 € = 10 €
dx1
Bedingung für Eindeutigkeit:
(1.32)
−
dx
dx 2
⋅ p2 = − 3 ⋅ p3
dx1
dx1
Gemäß Gleichung (1.4) kann man auch schreiben:
(1.33)
∂U / ∂x1
∂U / ∂x1
⋅ p2 =
⋅ p3
∂U / ∂x 2
∂U / ∂x3
oder
(1.34)
∂U / ∂x 3 p3
=
∂U / ∂x 2 p 2
Bei Rationalverhalten (Nutzenmaximierung) ist diese Bedingung erfüllt,
d.h. es gilt die Eindeutigkeitsbedingung (1.32).
Die in Geldeinheiten (€) ausgedrückte marginale Wertschätzung von
Gut 1 kann also auf ein beliebiges Gut bezogen werden (hier Gut 2):
18
(1.35)
MW1 = −
dx2
⋅ p2
dx1
MW1 : Marginale
Wertschätzung von Gut 1 (bei einer bestimmten
Konsummenge x1 des Gutes 1)
Im Optimum gilt:
(1.8a)
p2 =
∂U / ∂x 2
λ
und somit für die marginale Wertschätzung von Gut 1 im Optimum:
(1.36)
MW1 =
=
∂U / ∂x1 ∂U / ∂x2
⋅
λ
∂U / ∂x2
∂U / ∂x1
λ
Gemäß der 1. Ableitungseigenschaft der indirekten Nutzenfunktion gilt
(1.18)
∂V
=λ
∂E
und daher:
(1.36a)
MW1 =
∂U / ∂x1
∂V / ∂E
Beispiel:
∂U
= 4 [Nutzeneinheiten je eine zusätzliche Einheit des Gutes 1]
∂x1
∂V
= 2 [Nutzeneinheiten je einem zusätzlichen Euro]
∂E
Hiernach misst das Individuum offenbar einer zusätzlichen Einheit des
Gutes 1 einen doppelt so hohen Wert bei wie einem zusätzlichen Euro.
Daraus folgt, dass aus Sicht des Individuums dem Gut 1 ein (subjektiver)
Wert von 2 € zukommt:
19
MW1 =
4[NE / ME ]
= 2[€ / ME ]
2[NE / € ]
NE : Nutzeneinheit(en)
ME : Mengeneinheit(en)
Wir hatten ∂V / ∂E den Schattenpreis der Restriktion genannt. Man kann
auch vom Schattenpreis des Einkommens oder vom Schattenpreis des
Geldes sprechen. Entsprechend bezeichnet man die in Geldeinheiten
ausgedrückte marginale Wertschätzung von Gut 1 ( MW1 ) auch als
Schattenpreis des Gutes 1 ( S1 ):
(1.36b)
S1 (:= MW1 ) =
∂U / ∂x1
∂V / ∂E
Abschließende Frage: Wie lässt sich der Schattenpreis eines nichtrationierten Gutes empirisch ermitteln? Dazu:
(1.7a)
p1 =
∂U / ∂x1
= S1
∂V / ∂E
Bei Rationalverhalten stimmen also der vom Individuum tatsächlich
gezahlte Preis und der Schattenpreis überein (Plausibilität?!). Ist der
tatsächlich gezahlte Preis der Marktpreis, dann lässt sich der individuelle
Schattenpreis eines Gutes also grundsätzlich auf einfache Weise
feststellen. Daher: Es ist begründet, in (vi) oder (vii) von Folie 10 den
Preis eines Gutes 2 oder 3 auch als subjektive monetäre
Bewertungsgröße aufzufassen.
Rationierte Marktgüter
Auch für rationierte Güter ergibt sich der Schattenpreis als Quotient aus
dem Grenznutzen des Gutes und dem Grenznutzen des Einkommens:
(1.37)
S 3 (v 3 ) =
∂U / ∂v 3
∂V / ∂E
S3 (v3 ) : Schattenpreis des Gutes 3 bei der rationierten Menge v 3
Im Gegensatz zu nicht-rationierten Gütern weicht aber der Schattenpreis
vom tatsächlich gezahlten Preis (R3 ) ab:
20
∂V
∂U
= − λR 3 +
∂v 3
∂v 3
(1.31)
und wegen (1.18):
∂U
∂V
∂V
⋅ R3 +
=−
∂E
∂v 3
∂v 3
(1.38)
oder:
∂V / ∂v3
∂U / ∂v3
= − R3 +
∂V / ∂E
∂4
V2
/ ∂4
E
1
3
(1.38a)
S3 ( v3 )
oder:
∂U / ∂v 3
∂V / ∂v 3
= R3 +
∂4
V2
/ ∂4
E
∂V / ∂E
1
3
(1.38b)
(≠ 0 )
S 3 ( v3 )
(a) Fall1: x3 (R3 ) > v3 ("Normalfall")
Übersicht 1.4:
MARSHALLsche Zahlungsbereitschaftsfunktion, Schattenpreis und Marktpreis eines rationierten Gutes
("Normalfall")
S3
S3 (v3 )
R3
S3 = S3 ( x3,⋅, E )
0
v3
xˆ3
x3
21
S 3 = S 3 (x 3 ,..., E ) :
v3 :
R3 :
xˆ 3 :
S3 (v3 ) :
MARSHALLsche Zahlungsbereitschaftsfunktion
Rationierte Menge
Preis des rationierten Gutes
Gewünschte Menge beim Preis R3
Schattenpreis an der Stelle v 3 = Zahlungsbereitschaft
an der Stelle v 3
Bei Rationierung gilt:
(i)
S 3 (v 3 ) = S 3 (v 3 ,..., E )
Für nicht-rationierte Güter gilt
(ii)
S 3 = p3
(vgl. 1.7a)
und damit:
(iii)
p 3 = p x3 (x 3 ,..., E )
(= Inverse MARSHALL-Nachfragefunktion)
In Übersicht 1.4:
S 3 (v 3 ) − R3 =
S3 (v3 ) :
∂V / ∂v 3
∂V / ∂E
„Brutto“-Wert einer zusätzlichen Einheit des rationierten
Gutes (= Zahlungsbereitschaft)
R3 :
Preis der zusätzlichen Einheit des rationierten Gutes
(= tatsächliche Zahlung)
S3 (v3 ) − R3 : „Netto“-Wert einer zusätzlichen Einheit des rationierten Gutes
(= Überschuss der Zahlungsbereitschaft über die tatsächliche
Zahlung)
22
(b) Fall 2: xˆ 3 (R3 ) < v3
Übersicht 1.5:
MARSHALLsche Zahlungsbereitschaftsfunktion, Schattenpreis und Marktpreis der Freizeit (Arbeit rationiert)
S3
R3
S 3 ( v3 )
S 3 = S 3 ( x 3 ,..., E )
0
xˆ 3
v3
x 3 ( Freizeit )
Lohnsatz: = Opportunitätskosten der Freizeit
R3 :
xˆ 3 :
v3 :
v 3 − xˆ 3 :
Lohnsatz der rationierten Arbeit
Gewünschte Freizeit beim Lohnsatz R3
Tatsächliche Freizeit
Unfreiwillige Arbeitslosigkeit beim Lohnsatz R3
Bei nicht-rationierter Arbeit gilt:
(iv)
S3 = w
(= Lohnsatz)
und damit:
(v)
w = w( x 3 ,..., E )
(= inverse MARSHALL-Nachfragefunktion der Freizeit)
In Übersicht 1.5:
S 3 (v 3 ) − R3 < 0 : Die „Zuteilung“ einer zusätzlichen Stunde Freizeit erzeugt
„netto“ eine Wertminderung
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