close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Kapitel 3 Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?

EinbettenHerunterladen
Kapitel 3
Wie soll man mit Quantenobjekten
umgehen?
Wir werden hier das quantenmechanische Kalk¨
ul anhand von typischen (modernen)
Experimenten mit Quantenobjekten erarbeiten. Wie bereits erw¨ahnt, soll hier nicht der
(vergebliche) Versuch unternommen werden, die Gesetze der QM herzuleiten, ich will
sie aber auch nicht einfach “auf den Kopf werfen”. Daher werden wir schrittweise vorgehen. Wobei wir bereits mit dem einfachsten Experiment tief in die Quantentheorie
vorstoßen werden und mit der Begriffsbildung von Zustand, Pr¨
aparation und Messung beginnen. Und es bei weiteren Experimenten wiederholen und vertiefen.
3.1
Ein Experiment mit polarisiertem Licht
Wir betrachten zun¨achst einen ganz einfache Versuchsaufbau und werden sehen, dass
wir dabei bereits tief in die Quantentheorie eindringen m¨
ussen. Anschließend werden
wir unsere ersten quantenmechanische Rechnungen durchf¨
uhren.
3.1.1
Polarisiertes Licht quantenmechanisch verstehen
Wir starten mit polarisiertem Licht und versuchen eine Interpretation im Rahmen
der Korpuskulartheorie, also in Termen von Photonen. Alle experimentellen Befunde
k¨onnen in diesem Fall (solange die Intensit¨at gen¨
ugend groß ist) auch mit der klassischen Elektrodynamik (Wellentheorie des Lichtes) verstanden werden. Da es aber
andere Experimente gibt, die nur in Termen von Photonen verstanden werden k¨onnen,
muss es auch m¨oglich sein, die Polarisationsexperimente im Rahmen der Quantentheorie zu beschreiben, denn diese soll ja die klassische Theorie enthalten. Wir werden auf
diese Weise Aufschluss u
¨ber typisch quantenmechanische Verhaltensweisen erhalten,
19
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Abbildung 3.1: Wie die Polarisierung ge¨andert wird.
die auch f¨
ur Systeme zutreffen, bei denen eine klassische Interpretation nicht m¨oglich
ist.
Gegen¨
uber anderen Objekten haben Photonen einige Vorteile. Sie haben untereinander (nahezu) keine Wechselwirkung, ein Experiment mit einem Photonstrahl gibt daher
Aufschluss u
¨ber das einzelne Photon; die Charakterisierung der Zust¨ande und damit
unsere erste Begriffsbildung ist relativ einfach.
Wie stellt man einen linear polarisierten Lichtstrahl her? Dazu produziert man einen
unpolarisierten Strahl und l¨asst diesen durch einen Polarisator a (z.B. eine Polarisationsbrille) treten. Ein solcher Polarisator l¨asst nur den Anteil des Lichtes durch, der
parallel zu einer bestimmten Richtung (Durchlasrichtung a) polarisiert ist. Den polarisierten Strahl lassen wir durch einen zweiten Polarisator b treten, dessen Durchlasrichtung gegen¨
uber der des ersten Polarisators um einen Winkel α verdreht ist. Wir messen
die durchgelassene Intensit¨at als Funktion von α, die gemessene Intensit¨at ergibt
I = I0 cos2 α .
(3.1)
Im Rahmen der klassischen Elektrodynamik ist dieses Resultat leicht herzuleiten.
Eine ebene, linear polarisierte elektromagnetische Welle, die in der z–Richtung l¨auft
(Polarisatoren senkrecht auf diese Richtung), wird durch einen elektrischen Feldvektor
E und einen magnetischen Feldvektor B mit den Komponenten (a y–Richtung, der
Einfachheit halber)
Ey = −Bx = A cos(kz − ωt)
Ex = Ez = By = Bz = 0
ω
ω = 2π ν , k =
c
(3.2)
beschrieben. Der zweite Polarisator l¨asst nur den Anteil des Lichtes durch, dessen EVektor parallel zur Durchlassrichtung ist, das ist die Projektion von Ey auf diese Rich20
3.1. Ein Experiment mit polarisiertem Licht
Abbildung 3.2: Wie aus unpolarisierten Licht, polarisiertes entsteht.
tung, also Ey cos α (cos α =
a·b
).
|a||b|
2
Die dazu senkrechte Komponente wird absorbiert.
Die Intensit¨at ist proportional E , also erhalten wir ∼ Ey2 cos2 (α).
Nun versuchen wir eine quantenmechanische Beschreibung. Wir fassen den Lichtstrahl
als einen Strahl von Photonen (=Lichtteilchen) auf. Den Zustand eines Photons, seine Kenngr¨oßen oder Eigenschaften, k¨onnen wir dann durch die Energie, die Bewegungsrichtung und die Polarisation charakterisieren. Wir denken uns Energie und
Richtung fixiert (wir gehen davon aus, dass sie sich w¨ahrend des Experimentes nicht
ussen uns zuerst davon u
¨andern) und betrachten nur die Polarisation. Wir m¨
¨berzeugen, ob die Aussage der Zustand der Photonen oder sogar eines Photons nach dem
Polarisator a ist solch, dass diese in Richtung a polarisiert sind.
Es muss also einen eindeutigen Test geben, ob vorgegebene Teilchen in einer betreffenden Klasse sind oder nicht. Ein solcher ist leicht durchzuf¨
uhren. Stellen wir den
Polarisator b parallel zu a (α = 0) und messen die Intensit¨at, so k¨onnen wir feststellen: Die Photonen eines gegebenen Strahls sind dann und nur dann im Zustand der in
a–Polarisation, d.h. in der Richtung a polarisiert, wenn sie einen Polarisator mit der
Durchlassrichtung parallel zu a ungeschw¨acht passieren.
21
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Als n¨achstes m¨
ussen wir untersuchen, ob eine weitere Unterteilung m¨oglich ist. Wenn
wir außer der Polarisation noch Energie und Bewegungsrichtung vorgeben, ist dies nach
allgemeinem physikalischen Wissen nicht der Fall, d.h. diese Angaben legen den Zustand fest. Das ist keineswegs evident, sondern das Resultat vieler Experimente, das
ge¨andert werden m¨
usste, wenn uns neue Resultate dazu zwingen. Es muss beachtet
werden, dass wir zur Zustandsdefinition der Polarisation den Begriff des elektromagnetischen Feldes nicht verwendet haben. Es war f¨
ur die Definition des Polarisationszustandes nicht notwendig, die klassische Aussage Ey = 0, Ex = Ez = 0 zu benutzen. Sie
kann auch mit keinem der vorhin beschriebenen Experimente gemessen werden. Eine
eingehende quantenmechanische Analyse zeigt, dass der Begriff “elektromagnetisches
Feld eines Photons” physikalisch sinnlos ist. Ein solches kann erst realisiert werden,
wenn viele Photonen vorhanden sind. Das Versagen dieses Begriffes beschr¨ankt aber in
keiner Weise unsere M¨oglichkeiten ein, Polarisationszust¨ande experimentell herzustellen und zu untersuchen.
Die Tatsache, dass wir einen Messapparat (Polarisator) dazu verwendet haben, einen
Zustand zu erkl¨aren, ist f¨
ur die Quantentheorie typisch. Dieser Apparat ist alles, was
man f¨
ur die Beschreibung des Zustandes braucht und diese so gegebene Beschreibung
funktioniert sowohl f¨
ur wenig intensive Strahlen, f¨
ur die man kein elektrisches Feld definieren kann, als auch f¨
ur intensive, f¨
ur die eine klassische Wellenbeschreibung m¨oglich
w¨are.
Ein weiterer f¨
ur die QM typischer Punkt ist, dass unsere Zustandsdefinition die Registrierung vieler identisch pr¨aparierten Photonen enth¨alt: Wenn das Vorliegen des Zustandes festgestellt werden soll, m¨
ussen Intensit¨atsmessungen vorgenommen, d.h. viele
Teilchen gez¨ahlt werden. Das ist auch kein Hindernis bei intensit¨atsschwachen Strahlen.
Man verwendet als Nachweisger¨at einen Photovervielfacher gen¨
ugender Empfindlichkeit und detektiert u
ugend lange Zeiten. Man bestimmt also den Zustand von
¨ber gen¨
identisch pr¨aparierten Objekten. Den Zustand eines einzelnen Photons kann man offenbar auf diese Weise nicht bestimmen: Registriert man hinter dem Polarisator einen
Click, so sagt dieser nichts u
¨ber die Polarisation des Teilchens vor dem Polarisator aus,
denn es kann z.B. auch einem schr¨ag polarisierten Strahl entstammen. Dass es nicht
sinnvoll ist, den Zustandsbegriff anzuwenden, wenn es keine Gesamtheit identischer
Objekte gibt, liegt also am Begriff selbst (bzw. an seiner Definition).
Zusammenfassend k¨onnen wir sagen, dass der Polarisator a die Photonen so pr¨apariert,
das diese nachher in a Richtung polarisiert sind.
Nun betrachten wir das Experiment mit dem um den Winkel α verdrehten zweiten
Polarisator b im Sinn der Quantentheorie. Es w¨are naheliegend anzunehmen, das der
zweite Polarisator jedes Photon irgendwie in zwei neue spaltet, von denen eines parallel zur Durchlassrichtung polarisiert ist und durchgelassen wird, das zweite hingegen
senkrecht dazu polarisiert ist und absorbiert wird. Wenn das so w¨are, m¨
usste aber der
22
3.1. Ein Experiment mit polarisiertem Licht
durchgelassene Strahl aus genauso vielen Photonen wie der einfallende bestehen. Um
die niedrigere Intensit¨at zu erkl¨aren, m¨
usste man annehmen, das der durchgelassene
Strahl im Mittel weniger Energie transportiert. Wegen E = hν m¨
usste sich dann die
Frequenz ν ¨andern.
Wie Messungen der Frequenz jedoch zeigen, ist das nicht der Fall. Jedes Photon hat
nach Durchdringen des Polarisators genau dieselbe Energie wie vorher. Die Abnahme der Intensit¨at bedeutet daher die Abnahme der Anzahl der Photonen pro Sekunde.
Wir schließen daraus, das ein Bruchteil cos2 α der auf den zweiten Polarisator fallenden
Photonen durchgelassen und ein Bruchteil sin2 α absorbiert wird. Die Wahrscheinlichkeit daf¨
ur, das Photonen in dem durch den Polarisator a bestimmten Zustand den
Polarisator b durchdringen, ist
W = cos2 α .
(3.3)
Ist das die “richtige” Interpretation der experimentellen Ergebnisse?
Man k¨onnte gegen diese Interpretationen einwenden, das sich die identisch pr¨aparierten Photonen in dem durch a hergestellten Zustand nicht gleich benehmen, wenn sie
auf b treffen. Dies bedeutet, dass man mit dem Begriff identisch vorsichtig umgehen
muss: Er ist so gemeint, das sich die Teilchen dann identisch benehmen, wenn nach
ihrer Identit¨at gefragt wird, das es also eine Anordnung gibt, gegen¨
uber der sie sich
identisch verhalten (n¨amlich die mit α = 0).
Achtung: Dies wird uns noch ¨ofter begegnen, eine Interpretation eines Experiments
muss oft “total” ge¨andert werden, falls man ein neues Element dazu nimmt (hier der
zweite Polarisator), da dabei — gegen unseren Hausverstand — praktisch ein neues Experiment erfolgt! Man muss also allgemein immer sehr vorsichtig sein, welche
Schlussfolgerungen aus einen Experiment wirklich folgen und welche nur, wenn man
Zusatzannahmen (oft versteckt) macht.
Die angef¨
uhrte statistische Interpretation bezieht sich zun¨achst auf viele Photonen,
es war von einem absorbierten bzw. durchgelassenen Bruchteil die Rede. Man kann
aber auch f¨
ur ein einzelnes Photon keine exakten, sondern nur statistische Aussagen
machen: Die Wahrscheinlichkeit f¨
ur die Absorption ist sin2 α, die f¨
ur das Durchdringen,
2
die Gegenwahrscheinlichkeit, cos α. Das kann man experimentell sehen, indem man das
Experiment mit einem sehr intensit¨atsschwachen Strahl und einem Photovervielfacher
durchf¨
uhrt. Dieser spricht nur gelegentlich an, die Clicks sind in der Zeit statistisch
verteilt, aber immer solche eines “ganzen” Photons (es kommen nie “halbe” Teilchen
an).
Die statistische Interpretation wird also durch das Experiment gest¨
utzt. Die Teilchennatur der Photonen bleibt durch sie gesichert. Sie stellt den auffallendsten Unterschied
zwischen klassischer Physik und Quantenphysik dar. Die klassische Beschreibung ist
23
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
vollkommen deterministisch: Bei gegebenen Anfangsbedingungen kann (wenigstens im
Prinzip) das Resultat jedes Experimentes genau berechnet werden. In der Quantentheorie ist das anders: Der Zustand enth¨alt die maximale m¨ogliche Information u
¨ber
¨
ein Kollektiv identischer Objekte. Uber die meisten Experimente k¨onnen nur statistische Aussagen gemacht werden. Dieser Zug der Quantentheorie wurde von vielen
Physikern kritisiert, vor allem von solchen der ¨alteren Generation, die noch mit der
klassischen Physik aufgewachsen sind (z.B. Einstein). Es hat viele Versuche gegeben,
nach “verborgenen” Variablen zu suchen (siehe Kapitel 1), die eine deterministische
Beschreibung erm¨oglichen sollten. Keiner von ihnen war in dem Sinn erfolgreich, das
man dabei auf Variablen mit besonderer physikalischer Bedeutung gestoßen ist.
Es ist aber zu beachten, das die Wahrscheinlichkeit f¨
ur jedes Experiment streng determiniert ist: es ist Aufgabe der Quantentheorie, sie zu berechnen. Ein weiterer, von der
klassischen Physik her ungewohnter Aspekt der Quantentheorie kann an dem Experiment ebenfalls abgelesen werden. Die Photonen, die den zweiten Polarisator b durchquert haben, sind nicht mehr im selben Quantenzustand wie vorher. Wie man mit einem
dritten Polarisator leicht nachmessen kann, sind sie in dem durch die Durchlasrichtung
¨
von b bestimmten Zustand. Diese Anderung
des Zustandes durch eine Messung ist ein
weiterer wesentlicher Zug der Quantentheorie. Klassisch ¨andert sich der Inhalt eines
Buches nicht, wenn es gelesen wird, jedoch ein quantenmechanisches Buch w¨are f¨
ur
jeden Leser ein neues!
Bei klassischen Systemen kann man die St¨orung des Systems durch die Messung vernachl¨assigen (d.h. als beliebig klein ansehen), da man es mit großen Objekten zu tun
hat. Bei Quantensystemen ist diese Vernachl¨assigung nicht erlaubt: Der Zustand wird
bei einer Messung immer ver¨andert, wenn man nicht gerade nach dem Zustand testet,
in dem das System vor der Messung war.
Puuhhhhhhh, jetzt sind wir mit dem einfachst m¨oglichsten Experiment, bereits in die
Tiefen der QM eingedrungen. Wir werden alle hier erw¨ahnten Erkenntnisse mit neuen
Experimenten wiederholen bzw. vertiefen.
Halten wir unsere Erkenntnisse mal soweit fest:
• Die QM macht nur statistische Aussagen, sie ist eine statistische Theorie. F¨
ur ein einzelnes Photon gib es keine
exakten, sondern nur statistische Aussagen.
• Sagt man, ein Objekt sei in diesem oder jenem Zustand,
so impliziert man, dass das Objekt einer Gesamtheit von
identisch pr¨aparierten Objekten angeh¨ort.
24
3.1. Ein Experiment mit polarisiertem Licht
Abbildung 3.3: Ein E–Vektor einer elektromagnetischen Welle kann in zwei orthogonale
Komponenten zerlegt werden. Beim linear polarisierten Licht besteht der Lichtstrahl
entweder nur aus einer Komponente des E–Vektors oder aus mehreren Lichtstrahlen,
deren E–Vektoren in verschiedene Richtungen zeigen k¨onnen, die aber immer zur selben
Zeit ihre Schwingungsknoten haben. Zirkular polarisiertes Licht erh¨alt man aus der
¨
Uberlagerung
zweier Lichtstrahlen, deren E–Vektoren im rechten Winkel zueinander
stehen, betragsm¨aßig die selbe Amplitude besitzen und eine Phasenverschiebung von
π
aufweisen. Der E–Vektor beschreibt eine Spirale, die sich rechts– oder linksdrehend
2
ist. Sind die Amplituden nicht gleich, ergibt sich eine elliptische Polarisation.
• Dass man einen Messapparat (Polarisator) dazu verwendet einen Zustand zu erkl¨aren, ist typisch f¨
ur die Quantentheorie. Es entspricht der interpretatorischen Freiheit,
was man dem Quantenobjekt zuordnet und was man dem
Objekt zuordnet, das es messen soll.
• Die Experimente zeigen, dass es keinen Sinn macht, “halbe” Photonen anzunehmen. Die Reduktion der Intensit¨at
bedeutet eine Reduktion der Z¨ahlrate, der Anzahl an Photonen pro Zeiteinheit.
• Der Zustand enth¨alt die maximale m¨ogliche Information
u
¨ber ein Kollektiv (ensemble) identischer Objekte.
25
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
• Der Zusand wird im Allgemeinen durch eine Messung
ver¨andert.
• Aufgabe der Quantentheorie ist es, die Wahrscheinlichkeiten f¨
ur jedes Experiment vorherzusagen, d.h. ein “Rezept”
zu pr¨asentieren, wie man diese berechnet.
3.1.2
Unsere ersten quantenmechanischen Berechnungen
Ein Quantenobjekt wir durch das Symbol
|
(3.4)
charakterisiert, wobei
f¨
ur den Zustand steht, also polarisiert in a Richtung, oder horizontal (H) oder vertical (V) polarisiert, der Spin zeigt in ⇑ Richtung oder z Richtung,
das Teilchen ist dort oder da, die Katze ist tot oder nicht, das Teilchen ist im Zustand
ψ und so weiter.
Wir haben im vorigen Experiment verwendet, dass die Polarisation in einen Anteil
parallel zur Polarisationsrichtung des Polarisator b und einen Anteil normal zur Polarisationsrichtung zerlegt werden kann. Damit haben wir das Superpositionsprinzip
verwendet, eines sehr grundlegenden Prinzips der Quantentheorie.
Zur Auswertung des Superpositionsprinzips liegt es nahe, die physikalischen Zust¨ande
durch mathematische Gr¨oßen zu repr¨asentieren, die man linear kombinieren kann.
Daf¨
ur bietet es sich an, auf die in der Mathematik entwickelten Begriffe des Vektors und
des Vektorraumes zur¨
uckzugreifen. Daher versuchen wir, die Menge der physikalischen
Zust¨ande mit einem komplexen (mit einem nur reellen funktioniert es nicht) Vektorraum in Verbindung zu bringen. Die Elemente eines solchen Vektorraumes nennen wir
nach Dirac ket-Vektoren | und bezeichnen sie dementsprechend mit
|ψ , |φ , . . .
(sprich ket-ψ u.s.w) .
(3.5)
Genau genommen beschreibt das in der Halbklammer |
enthaltene Symbol, dass
der ket-Vektor |ψ dem Zustand ψ zugeordnet ist. F¨
ur diese ket-Vektoren gelten die
u
¨blichen Vektorraumgesetze. Inbesondere, da der Vektorraum V abgeschlossen ist, gilt
f¨
ur alle |ψ1 ∈ V und |ψ2 ∈ V und ∀ c1 , c1 ∈ C gilt das Superpositionsprinzip
c1 |ψ1 + c2 |ψ2 ∈ V ,
26
(3.6)
3.1. Ein Experiment mit polarisiertem Licht
also ergibt einen neuen Zustandsvektor, ein Teilchen in einem Zustand, der sich durch
die “Addition” der zwei vorigen “Zustand” ψ1 , ψ2 ergibt.
Wir sehen aber auch sofort, welchen Preis wir zu zahlen haben. Gehen wir von einem
Zustand ψ aus und ordnen diesem einen ket–Vektor |ψ zu, dann sind auch
|ψ + |ψ = 2 |ψ
(3.7)
und
c |ψ
mit c ∈ C
(3.8)
ket-Vektoren zu dem Zustand ψ und entsprechen dem gleichen physikalischen Zustand,
wie wir noch o¨fters sehen werden.
Die physikalische Ununterscheidbarkeit von |ψ und c |ψ zeigt einen entscheidenden
Unterschied zwischen der QM und z.B. der klassischen Feldtheorie. Dieser Sachverhalt
ist ein wenig anlog zum Potentialbegriff in der Mechanik, da mussten wir auch einen
Preis zahlen, das Potential war nur bis auf eine Konstante eindeutig. Allerdings kann
man in der Quantentheorie dies in keiner Weise umschiffen, egal wie man sich dreht
und wendet, man muss sozusagen immer damit leben.
Zur¨
uck zum Experiment: Nach dem ersten Polarisator a k¨onnen wir sagen, dass der
Zustandsvektor des Photons durch
|Photon polarisiert in Richtung a
(3.9)
gegeben ist oder kurz, wenn wir definiert haben, wor¨
uber wir sprechen durch
|a ,
(3.10)
oder in unserem Fall zeigt der Vektor a in y–Richtung, also auch so
|y .
(3.11)
Wie kommen wir jetzt an die Intensit¨at oder an die Wahrscheinlichkeit, mit der das
Photon beim Polarisator b durchgelassen oder absorbiert wird, heran. Das Rezept der
Quantentheorie sagt, dass eine Messung durch das mathematische “Messsymbol”
|b b|
(3.12)
erreicht wird. Dabei soll sich die recht H¨alfte auf den Zustand beziehen, der akzeptiert
wird (auf das, was hineinfließt), und die linke H¨alfte (ein ket-Vektor) auf den Zustand,
der “herauskommt”. In der Quantentheorie wird immer von links nach rechts gelesen,
wie bei den Chinesen. Der recht Ausdruck | bezeichnet einen bra-Vektor. Wir wollen
27
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
ja schlussendlich ein Wahrscheinlichkeit, d.h. ein reelle Zahl zwischen 0 und 1 erhalten,
d.h. wir suchen etwas, dass aus einem Input Zustandsvektor |ψ einen Output Zustandsvektor |φ macht und, dies mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsamplitude. Wenn
wir uns an die Vektorraumtheorie bzw. an die Vektorrechnung erinnern, wissen wir,
dass wir eine Linearform oder ein lineares Funktional u
¨ber den dem ket–Vektorraum
V suchen.
Eine Linearform L u
¨ber dem Vektorraum V ist eine Abbildung von V in die Menge
der komplexen Zahlen
Lφ : V
|ψ
−→ C
−→ Lφ (|ψ ) := φ|ψ ∈ C
(3.13)
F¨
ur den bekannten R3 Vektorraum nichts anderes als das u
¨bliche Skalarprodukt, und
wir haben es auch so etwas f¨
ur die relativistische Mechanik eingef¨
uhrt (z.B. xµ xµ ).
Hierher kommt auch der Begriff “braket” (Engl. Klammer).
Zusammenfassend k¨onnen wir jedem Zustand ψ einen ket-Vektor (als Representant
eines Strahls), der im Vektorraum V lebt, oder andererseits einen bra-Vektor, der im
Dualraum V † (als Representant eines Strahls) lebt, zuordnen.
bra-Dual-Vektorraum V †
physikalischer Zustand
ket-Vektorraum V
ψ|
ψ
|ψ
Beide Vektoren liegen in verschiedenen R¨aumen, sind also nicht identisch. Da beide
auf den gleichen physikalischen Zustand bezogen sind, m¨
ussen wir fordern, dass ih†
re Vektorr¨aume V und V umkehrbar eindeutig, also bijektiv aufeinander abgebildet
werden.
Aber zur¨
uck zu unserem Experiment. Der Polarisator b angewandt an unser in a
Richtung polarisiertes Photon ergibt:
|b b| |a
=
b|a |b .
(3.14)
∈C
D.h. unsere Photon ist nach dem Polarisator b in b Richtung polarisiert. Aber welche
Bedeutung hat die komplexe Zahl?
Wie kommen wir an die Wahrscheinlichkeiten, den Vorhersagen der QM,
heran?
28
3.1. Ein Experiment mit polarisiertem Licht
Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen zwischen 0 und 1, wir haben aber behauptet, dass
b|a eine komplexe Zahl ist. Wie erh¨alt man aus einer komplexen Zahl eine reelle
Zahl? Durch Betrag nehmen. Dann m¨
ussen wir nur noch schauen, dass diese Zahl aus
dem Bereich [0, 1] ist, was leicht durch so genanntes normieren zu erreichen ist. Damit
h¨atten wir all formalen Kriterien einer Wahrscheinlichkeit erf¨
ullt.
Nimmt man das Quadrat von der Wahrscheinlichkeitsamplitude b|a , dann erh¨alt
man
W =
b|a |b
2
= ( b|a |b )† ( b|a |b ) =
b|a
2
b|b
1
=
2
b|a
.
(3.15)
Bei unserem Experiment war der Polarisator b um den Winkel α verdreht. Zun¨achst
k¨onnen wir durch das Superpositionsprinzip den Zustand nach Polarisator a auch so
anschreiben:
|a
= cos(α) |b + sin(α) |b⊥ .
(3.16)
Nach dem Polarisator b haben wir den folgenden Zustand
|b b| |a
= (cos(α) b|b + sin(α) b|b⊥ ) |b
1
0
= cos(α) |b .
(3.17)
Damit ergibt sich die Durchlasswahrscheinlichkeit zu
W =
cos(α) |b
2
= ( cos(α) |b )† (cos(α) |b )
= cos(α)∗ cos(α) b|b = cos2 (α)
(3.18)
Dies ist identisch zu der Wahrscheinlichkeitsamplitude zum Quadrat.
Die Absorptionswahrscheinlichkeit ergibt sich durch
Wabs =
sin(α)|b⊥
2
= sin2 (α) ,
(3.19)
also genau die Gegenwahrscheinlichkeit zur Durchlasswahrscheinlichkeit, d.h.
W + Wabs = 1 .
(3.20)
Ein paar Rechenbeispiele:
|a a| |a
|a⊥ a⊥ | |a
= 1 · |a = |a
= 0 · |a⊥
|b b| (c1 · |a + c2 · |a⊥ ) = (c1 · b|a + c2 · b|a⊥ ) · |b
29
(3.21)
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Abbildung 3.4: Schematische Darstellung eines doppelt brechenden Kristalls (z.B. Kalkspat).
3.2
Der Zweikanalanalysator und Projektoren
Wir betrachten weiterhin polarisiertes Licht, werden aber nicht wie im vorigen Abschnitt einen Polarisator betrachten, der ein Photon durchl¨asst oder absorbiert, sondern einen doppelt brechenden Kristall (z.B. Kalkspat). Dieser hat die Eigenschaft,
einen unpolarisierten Lichtstrahl in zwei senkrecht zueinander linear polarisierte Anteile aufzuspalten. Wir nennen die durch den ordentlichen Strahl definierte Polarisationsrichtung a und die durch den außerordentlichen Strahl definierte zu a orthogonale
Richtung a⊥ (a · a⊥ = 0; im R2 gibt es nat¨
urlich zu a zwei orthogonale Vektoren,
allerdings unterscheiden sie sich nur im Vorzeichen, das keine Rolle spielt). Falls zum
Beispiel a in die x Richtung zeigt und a⊥ in die y-Richtung, dann stellt der ganze
Kristall einen xy-Analysator dar.
Wir werden den Apparat (und entsprechende analoge Verallgemeinerungen) oft verwenden und f¨
uhren daher ein kurzes Schaltzeichen ein:
30
3.2. Der Zweikanalanalysator und Projektoren
Dabei bezeichnen, 1, 2 den ordentlichen und den außerordentlichen Strahl dar, beziehungsweise allgemeiner, die Aufspaltung in zwei M¨oglichkeiten. Schalten wir einen
solchen Analysator und einen entsprechenden umgekehrten hintereinander, der so beschaffen ist, dass er den urspr¨
unglichen Strahl voll rekonstruiert, so nennen wir die
Anordnung einen Analysatorkreis und schreiben daf¨
ur
Per definitionem ¨andert eine solche Anordnung an einem Strahl nichts. Um sie praktisch
herzustellen, muss man zwischen den Analysatoren in einen der Strahleng¨ange ein
St¨
uck durchsichtiges Material einbringen, damit die relative Phasenbeziehung bei der
Rekombination der Strahlen dieselbe wie vor der Trennung ist.
Blockieren wir zwischen den Analysatoren einen der Strahlen, so erhalten wir einen
Polarisator, wie wir ihn im ersten Experiment im vorigen Abschnitt kennengelernt
haben. Wir nennen ihn einen Projektor auf die entsprechende Polarisationsrichtung.
Das Schaltzeichen daf¨
ur ist
Hier wir auf den Ausgang (Output) 1 projiziert, zum Beispiel polarisiert in x–Richtung,
das wir auch mit horizontal polarisiert (H) bezeichnen k¨onnen. Nat¨
urlich k¨onnen wir
auch auf Output 2 projizieren, in unserem Fall w¨
urden wir einen in y–Richtung oder
vertikal (V ) polarisierten Strahl erzeugen:
31
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Statt nach den Richtungen x, y (bzw. 1,2) zu analysieren, k¨onnen wir auch nach zwei
anderen, zueinander und zur Strahlrichtung senkrechten Richtungen analysieren, indem wir z.B. den Analysator (bzw. die entsprechenden anderen Anordnungen) um die
Strahlrichtung um einen festen Winkel α drehen. Wir bezeichnen die entsprechenden
Apparate mit
Ein Analysatorkreis muss f¨
ur alle α wieder den urspr¨
unglichen Strahl herstellen:
Statt mit linear polarisiertem Licht kann man auch mit zirkular polarisiertem arbeiten. Klassisch wird eine zirkular polarisierte ebene Welle, die in der z–Richtung l¨auft,
durch einen E–Vektor beschrieben, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die
z-Achse rotiert. Je nach dem Drehsinn kann man zwischen rechtszirkularer und linkszirkularer Polarisation unterscheiden. Eine zirkular polarisierte Welle kann man durch
¨
Uberlagerung
von zwei senkrecht zueinander linear polarisierten Wellen mit gleicher
Amplitude und 90◦ Phasenverschiebung erzeugen.
Um einen zirkular polarisierten Strahl im Teilchenbild interpretieren zu k¨onnen, muss
man entsprechend einen rechtszirkularen, bzw. linkszirkularen Polarisationszustand f¨
ur
das Photon definieren. Praktisch kann ein solcher Analysator z.B. aus einem Quarzkristall bestehen: Quarz ist doppeltbrechend, wobei die beiden gebrochenen Strahlen
32
3.3. Weitere Experimente mit Analysatoren
rechts- bzw. linkszirkular polarisiert sind. Bei Verdrehen um die Strahlachse ¨andert
sich wegen der Rotationssymmetrie an der Struktur der auslaufenden Strahlen nichts.
Analog wie f¨
ur lineare Polarisation kann man Analysator bzw. Analysatorkreise durch
charakterisieren. Analog zu vorher kann man Projektoren durch blocken eines Strahls
erreichen. Die beschriebenen Apparate sind genauso wie die Apparate f¨
ur die linear
polarisierten Strahlen dazu geeignet, Polarisationszust¨ande eines Strahls herzustellen
und zu untersuchen. Offenbar stellt ein Projektor aus einem beliebigen Strahl einen
solchen her, dessen Photonen alle in dem Polarisationszustand sind, den der Projektor
durchl¨asst.
Wie stellt man fest, wie ein Strahl polarisiert ist? Mit einem Analysator kann man
offensichtlich auch untersuchen, ob ein Strahl polarisiert ist. Setzt man z.B. in den
Strahl einen linearen α–Analysator ein, so ist der Strahl 1 polarisiert, wenn man im
1 –Ausgangskanal die volle und im 2 –Ausgangskanal die Intensit¨at 0 feststellt. Wird f¨
ur
keinen Winkel α in einem Kanal die volle und im anderen die Intensit¨at 0 gemessen, so
war der Strahl nicht linear polarisiert. Zirkulare Polarisationszust¨ande k¨onnen analog
untersucht werden. Alle charakterisierten Apparate sind wirklich herstellbar, und zwar
sogar so, dass man der hier angenommenen Idealisierung “verlustfreier” Apparate (z.B.
kein Intensit¨atsverlust beim Durchgang eines Lichtstrahls durch einen Analysatorkreis)
sehr nahekommt.
3.3
Weitere Experimente mit Analysatoren
Wir f¨
uhren nun mit diesen Apparaten einige Experimente durch, bei denen wir bestimmte Apparate hintereinander in einen Strahlengang einsetzen und an gewissen
Stellen (a, a1 , a2 , b1 , b2 ) die Intensit¨at (I(ai ), I(bi )) messen. Das Ergebnis kann im Rahmen der klassischen Wellenvorstellung hergeleitet werden. F¨
ur die Quantentheorie liefert uns die relative Intensit¨at I(bi )/I(ai ) eine Aussage u
¨ber eine Wahrscheinlichkeit,
die experimentell gemessen werden. Das erste Experiment sieht so aus:
33
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Ergebnis: I(b1 ) = I(a1 ), I(b2 ) = 0. Das Experiment entspricht auch unsere Zustandsdefinition. Der Projektor stellt den Zustand a1 (= lineare Polarisation in 1 = x–Richtung)
her (d.h. er l¨asst nur solche Photonen durch). Mit dem Analysator wird dann festgestellt, dass dieser Zustand vorliegt (s.o., α = 0). In Termen von Wahrscheinlichkeiten
lautet das Resultat
W (b1 |a1 ) = 1 ,
W (b2 |a1 ) = 0 .
(3.22)
Aber wir wissen bereits aus dem vorvorigen Abschnitt, wie die quantenmechanische
Rechnung dazu aussieht:
W (b1 |a1 ) = ||b1 b1 | |a1 |2 = | b1 |a1 |b1 |2 = | b1 |a1 |2 = | a1 |a1 |2 = 1 ,
W (b2 |a1 ) = ||b2 b2 | |a1 |2 = | b2 |a1 |b2 |2 = | b2 |a1 |2 = | a2 |a1 |2 = 0 .
(3.23)
oder in der vorigen Schreibweise
W (b1 |a1 ) = | a|a |a |2 = | a|a |2 = 1 ,
W (b2 |a1 ) = | a⊥ |a |a⊥ |2 = | a⊥ |a |2 = 0 .
(3.24)
Wir k¨onnen nat¨
urlich genauso Strahl 1 blocken, dann sieht das Ergebnis genau um¨
gekehrt auch (siehe Ubungen):
Statt dieses Experimentes kann man auch zwei Messungen vornehmen, bei denen nur
Projektoren verwendet werden:
34
3.3. Weitere Experimente mit Analysatoren
Experiment Ia Ergebnis: I(b1 ) = I(a1 ), W (b1 |a1 ) = 1. Experiment Ib Ergebnis: I(b2 ) =
0, W (b2 |a1 ) = 0. Version Ia zeigt, das zwei hintereinander geschaltete gleiche Projektoren so gut wie einer sind! Eine wichtige Eigenschaft, die wir oft verwenden werden und
bereits bei der Zustandsdefinition ben¨
utzt haben.
Mathematisch wird ein Projektor durch
Pa1 = |a1 a1 |
(3.25)
bezeichnet (unser Messsymbol) und die Idempotenz, also das Hintereinaderschalten
mehrerer Projektoren ergibt wieder den gleichen Projektor
Pa1 Pa1 . . . Pa1 = Pa1 = |a1 a1 | |a1 a1 | . . . |a1 a1 | = |a1 a1 |
(3.26)
1
F¨
uhrt man hingegen das folgende Experiment durch
Experiment Ib zeigt, das zwei hintereinandergeschaltete entgegengesetzte Projektoren
so wirken, das der Strahl blockiert wird (Intensit¨at 0):
Pa2 Pa2 . . . Pa1 = Pa2 Pa1 = |a2 a2 | |a2 a2 | . . . |a2 a2 ||a1 a1 |
1
= 0 · |a2 a1 |
0
(3.27)
Allgemein k¨onnen wir das so zusammenfassen, falls wir zwei Projektoren auf verschiedene Zust¨ande einer orthogonalen Basis (s.u.) haben, gilt
Pai Paj = δij Pai ,
35
(3.28)
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
wobei δij das Kronecker Delta ist (δ ist gleich 1 falls i = j und 0 falls i = j). Wir f¨
uhren
jetzt eine etwas allgemeinere Notation ein, d.h. a ≡ a1 und a⊥ ≡ a2 . Damit k¨onnen wir
unser Ergebnis auch so schreiben:
Pi Pj = δij Pi = |ai ai |aj aj | = ai |aj |ai aj | .
(3.29)
δij
F¨
uhrt man das Experiment mit anderen Projektoren durch (z.B. f¨
ur zirkulare Polarisation), so kommt evidenterweise dasselbe Resultat heraus, solange der Analysator
(bzw. der zweite Projektor) und der erste Projektor auf denselben Polarisationstyp
bezogen sind. Allgemein erhalten wir die obigen Ergebnisse nur falls beide Projektoren
auf den gleichen Polarisationstyp (linear, zirkul¨ar oder elliptisch) analysieren. Wir werden einen solchen Typ eine Basis nennen. Die entsprechenden Photonzust¨ande (z.B.
l1 = linear polarisiert (parallel zu x, horizontal polarisiert H), l2 = linear polarisiert
(parallel zu y, vertikal polarisiert V ) nennen wir Basiszust¨
ande.
Nun betrachten wir ein weiteres Experiment, hier ist der zweite Projektor um den
Winkel α verdreht:
Welche Wahrscheinlichkeit bzw. Intensit¨at werden wir erhalten? Hier k¨onnen wir wieder
das Superpositionsprinzip verwenden
|b1
|b2
= cos α |a1 + sin α |a2
= − sin α |a1 + cos α |a2
(3.30)
Damit ist Wahrscheinlichkeit f¨
ur Kanal b1 durch
W (b1 |a1 ) = |Pb1 |a1 |2 = |cos α a1 |a1 |b1 |2 = cos2 α
(3.31)
und f¨
ur Kanal b2 durch
W (b2 |a1 ) = |Pb2 |a1 |2 = |sin α a1 |a1 |b2 |2 = sin2 α
(3.32)
In der Intensit¨at ausgedr¨
uckt, die ein Experimentator misst, erh¨alt man damit
I(b1 ) = I(a1 ) cos2 α ,
I(b2 ) = I(a1 ) sin2 α .
(3.33)
Auch die Resultate dieses Experimentes kann man durch zwei Messungen erhalten,
bei denen nur Projektoren verwendet werden, z.B.:
36
3.3. Weitere Experimente mit Analysatoren
Ergebnis W (b1 |a1 ) = cos2 α. Oder falls b1 geblockt wird W (b2 |a1 ) = sin2 α. Diese
zwei Experimente entspricht offenbar dem fr¨
uher mit den Polarisatoren durchgef¨
uhrten
Experiment.
Mit anderen Projektoren bzw. Analysatoren erh¨alt man andere Zahlen. Wird z.B. der
erste Projektor durch einen f¨
ur zirkulare Polarisation ersetzt und der Analysator ist
einer f¨
ur linearpolarisiert,
so k¨onnen wir die Wahrscheinlichkeit erraten,
W (b1 |a1 ) = W (b2 |a2 ) =
1
,
2
(3.34)
da wir diesen Fall klassisch verstehen k¨onnen: Der Projektor stellt einen Strahl mit
(links-) zirkularer Polarisation her; da eine zirkularpolarisierte Welle aus zwei senkrecht
zueinander linear polarisierten Wellen mit gleicher Amplitude aufgebaut werden kann,
filtert jeder der beiden zweiten Projektoren die halbe Intensit¨at heraus.
Wie sieht aber die quantenmechanische Rechnung dazu aus?
Dazu ¨andern wir unsere Notation ein wenig. Bezeichnen wir die zwei m¨oglichen Outputs, Basiszust¨ande, eines Analysators, der linear polarisiertes Licht produziert, mit
|H , |V ,
mit
H|H
= V |V
= 1 und H|V
= H|V
= 0,
(3.35)
wobei wir w¨ahlen, dass der horizontal H schwingende Anteil im Kanal 1 sich befindet,
w¨ahrend der vertikal schwingende Anteil im Kanal 2 zu finden ist. Die zus¨atzlichen
Bedingung garantieren eine orthonormierte Basis.
37
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Hingegen bezeichnen wir die zwei Outputs, Basiszust¨ande, eines Analysators, der zirkular polarisiertes Licht erzeugt, mit
|R , |L ,
mit
R|R = L|L = 1 und R|L = L|R = 0 ,
(3.36)
wobei die rechtsdrehende (R) Welle in Kanal 1 und die linksdrehende (L) in Kanal
zwei erzeugt werden soll.
Damit erhalten wir f¨
ur das obige Experiment:
W (H, R) = | H|R |2
W (V, R) = | V |R |2 .
(3.37)
¨
Da beide Wahrscheinlichkeiten nach unserer klassischen Uberlegung,
die ja hier ge1
nauso zutrifft falls die Intensit¨at hoch genug ist, 2 ist, stellt sich die Frage, ob wir
den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Basiszust¨anden eruieren k¨onnen. Also
ob wir aus | H|R |2 = | V |R |2 = 12 schließen k¨onnen, was H|R bzw. V |R ist.
¨
Da die Ubergangsamplituden
im Allgemeinen komplex sein k¨onnen, erhalten wir keine
eindeutige L¨osung! Nur das Argument der komplexen Zahl ist eindeutig:
H|R
V |R
1
= eiφ1 √
2
1
= eiφ2 √ ,
2
(3.38)
wobei φ1 , φ2 beliebige (reelle) Phasen sind.
Und damit k¨onnen wir den Zusammenhang zwischen der Basis H/V und R so hinschreiben:
|R
1
= √ eiφ1 |H + eiφ2 |V
2
.
(3.39)
Jetzt gilt, wie bereits besprochen, dass eine so genannte Overallphase, also eine komplexe Zahl vor einem Zustandsvektor, den gleichen physikalischen Zustand beschreibt,
daher k¨onnen wir eine Phase herausziehen
|R
1
= eiφ1 √ |H + ei(φ2 −φ1 ) |V
2
.
(3.40)
Es kommt also nur auf die Phase φ := φ2 − φ1 zwischen dem Zustandsvektor |H und
|V an, diese relativ Phase ist im Experiment messbar, wie wir gleich sehen werden.
Sie ist sehr typisch f¨
ur die Quantentheorie.
38
3.3. Weitere Experimente mit Analysatoren
Damit k¨onnen wir den Zusammenhang zwischen der Basis H/V und dem Basisvektor
R auch so hinschreiben:
|R
1
= √ |H + eiφ |V
2
.
(3.41)
Den Zusammenhang mit |L ergibt sich durch die Bedingungen an die orthonomierte
Basis R|L = 0 und der Tatsache, dass falls wir nicht den zweier Kanal geblockt h¨atten
¨
und damit den Zustand |L erzeugt h¨atten, die klassische Uberlegung
die gleichen
Wahrscheinlichkeiten ergibt. D.h. wir k¨onnen |L anschreiben durch
|L
1
= √ |H + eiχ |V
2
(3.42)
und aus
L|R
!
= 0 =
1
2
H| + e−iχ V |
|H + eiφ |V
1
H|H + ei(φ−χ) V |V
2
1
=
1 + ei(φ−χ)
2
=
(3.43)
folgt, dass ei(φ−χ) = −1 sein muss und damit χ = φ + kπ mit k = 1, 3, 5, . . . . Damit
haben wir gefunden
|L
1
= √ |H − eiφ |V
2
.
(3.44)
Ist die relative Phase φ bestimmbar? Dazu brauchen wir uns nur eine kleine Variante
unseres Experiments u
¨berlegen:
Das Ergebnis k¨onnen wir uns wieder gleich u
¨berlegen, da die zirkular polarisierte Welle
rotationssymmetrisch ist, Fig. 3.3, folgt, egal wie wir den zweiten Analysator zum ersten
Projektor verdrehen, der momentane E Vektor kann immer zu gleichen Teilen durch
39
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
horizontal und vertikal polarisiert aufgefasst werden, d.h. die Wahrscheinlichkeit im
oberen oder unteren Kanal zu finden sind immer gleich:
1
2
1
W (V α, R) =
2
W (Hα, R) =
(3.45)
Die quantenmechanische Rechnung dazu ist
W (Hα, R) =
cos α H| + sin α V | |R
2
cos α H| + sin α V | |H + eiφ |V
=
2
1
2
cos α + eiφ sin α
2
1
=
1 + 2 cos α sin α cos φ .
2
=
(3.46)
Damit f¨
ur alle α’s 12 herauskommt, muss φ = k π2 , wobei k eine ungerade Zahl ist. Damit
haben wir den Zusammenhang zwischen zwei orthonormierten Basen, der linear und
zirkul¨ar polarisierten Basen, gefunden:
|R
|L
1
= √ (|H + i |V )
2
1
= √ (|H − i |V ) .
2
(3.47)
Das Vorzeichen ist wieder Konvention (d.h. hier die Wahl k = 1, 5, 9 . . . ).
Hier sehen wir auch zum ersten Mal, dass wir komplexe Zahlen,
Vektoren ben¨otigen, um den Unterschied zwischen linear und zirkular polarisiertes Licht beschreiben zu k¨onnen. Und dass relative
Phasen im Gegensatz zu Overall–Phasen messbar sind!
3.3.1
Verschiedene Analysatoren und deren Zusammenhang
Fassen wir man unsere Experimente aus dem vorigen Abschnitt zusammen. In unserer
ersten Serie haben wir jeweils linear polarisierende Analysatoren verwendet, die wir
zueinander um einen Winkel α gedreht haben. Die gleichen Ergebnisse w¨
urden wir
erhalten falls wir nur mit z.B. zirkular polarisierenden Analysatoren arbeiten w¨
urden.
In unserer zweiten Serie haben wir untersucht, wie linear polarisiertes Licht mit zirkular
polarisierten Licht zusammen h¨angt.
40
3.3. Weitere Experimente mit Analysatoren
Die Zusammenh¨ange sind jeweils durch vier (komplexe) Zahlen beschrieben,
H |H
V |V
H |V
V |H
=
=
=
=
Hα|H = cos α ,
V α|V = sin α ,
Hα|V = cos α ,
V α|H = − sin α
(3.48)
und
1
i
1
i
H|R = √ , V |R = √ , H|L = √ und V |L = − √ .
2
2
2
2
(3.49)
Das k¨onnen wir auch kompakter Zusammenschreiben. Dazu identifizieren wir den Zustandsvektor mit einem Spaltenvektor
|H
≡
1
0
, |V
≡
0
1
(3.50)
Dann k¨onnen wir den Zusammenhang von linear polarisierten Basiszust¨anden (H/V )
zu den linear polarisierten Zust¨anden (H /V ) auch so schreiben
H
V
=
cos α sin α
− sin α cos α
H
V
(3.51)
Diese Matrix, die wir im folgenden U (α) nennen wollen, ist uns aus dem R2 bekannt, sie
beschreibt nichts anderes als die Rotation eines 2 dimensionalen Vektors um den Winkel
α. Bzw. beschreibt diese Matrix das Verhalten der Komponenten eines Vektors in der
Ebene bei Drehung des Koordinatensystems. Allgemein gilt f¨
ur Drehspiegelmatrizen
R · RT = RT · R = 1, falls auch gilt det R = 1 beschreibt R eine Rotation. D.h.
es sind genau diese Matrizen, die das (reelle) Skalarprodukt erhalten. Das entspricht
genau dem, das wir bei den aller ersten Experimenten mit einem Polarisator gemacht
haben.
Was wir ben¨otigen ist eine Matrix mit solchen Eigenschaften, dass das (komplexe)
Skalarprodukt unserer komplexen Vektoren unver¨andert l¨asst.
In Experimenten k¨onnen nur Wahrscheinlichkeiten gemessen werden, ein kurzes Nachrechnen zeigt, dass die Matrix
U (α) =
eiφ1 cos α eiφ2 sin α
eiφ3 sin α eiφ4 cos α
(3.52)
falls
ei(φ2 −φ1 ) = −ei(φ4 −φ3 ) .
41
(3.53)
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Wir sehen, dass wir die Phasen nicht bestimmen k¨onnen, sie werden aber eingeschr¨ankt.
Diese Einschr¨ankung ist die maximale Information, die man aus Experimenten erhalten
kann. Im Rahmen dieser Einschr¨ankung d¨
urfen wir die Phasen frei w¨ahlen. Um zum
obigen, einfachsten Darstellung zu erhalten, w¨ahlt man φ1 = φ2 = φ4 = 0; φ3 = π.
Bei der zweiten Serie hatten wir die Transformation aus der Basis (H/V ) zu (R/L)
betrachtet. Diese wird durch die Matrix
√1
2
−i
√
2
√i
2
√1
2
(3.54)
gew¨ahrleistet, sie gibt also an, wie man von linear polarisierten Licht zu zirkul¨ar polarisierten Licht kommt, wir bezeichnen diese Matrix daher durch U (zirk, l). Und die
vorige Basistransformation durch U (l , l) und analog dazu kann man die Transformationsmatrix zwischen beliebigen Basen berechnen.
Welche allgemeinen Eigenschaften haben solche Matrizen?
Der Zusammenhang zwischen den Basen zwischen zwei Analysatoren a und b ist durch
die Transformationsmatrix
U (b|a)ik =
bi |ak
i, k = 1, 2
(3.55)
gegeben. Mit k werden die zwei Basiszust¨ande von Analysator a bezeichnet (also falls
a = l, dann k = H, V ) und mit i die Basiszust¨ande von Analysator b.
Diese 2 × 2 Matrizen besitzen die folgenden Eigenschaften:
1. U −1 (b|a) = U (a|b) bzw. U · U −1 = U −1 · U = 1 (Invertierbarkeit).
2. U † (b|a) = U −1 (b|a) bzw. U † U = U · U † = 1 (Unitarit¨
at).
3. U (c|b) · U (b|a) = U (c|a) (Gruppeneigenschaft).
Die erste Eigenschaft ist leicht bewiesen
U (b|a) · U −1 (b|a) = U (b|a) · U (a|b) =
bi |aj aj |bk
= δik
(3.56)
j
und Ausdruck der Orthonomierung. Die zweite wichtige Eigenschaft beweist sich durch
(U −1 (a|b))ik = (U (b|a))ik = bi |ak = ak |bi
= ((U (a|b))ki )∗ = (U † (a|b))ik .
∗
Dies bedeutet inbesondere, dass das Photon seine Polarisierung nie verliert!
42
(3.57)
3.3. Weitere Experimente mit Analysatoren
Die letzte Eigenschaft, die Gruppeneigenschaft, beweist sich u
¨ber
j
U (c|b) · U (b|a)
ik
=
2 ci |bj bj |ak
= ci |
j=1
|bj bj | |ak
j=1
1
=
ci |ak
= (U (c|a))ik .
(3.58)
Dabei haben wir ben¨
utzt, dass die Summe aller Projektoren auf die Basiszust¨ande
eines vollst¨andig, orthogonalen Systems zur Einheit addieren. Das ist eine sehr wichtige Formel, die wir oft verwenden werden, und welche die Vollst¨andigkeit der Basis
ausdr¨
uckt. Schematisch entspricht es dem Analysator
Zusammenfassend haben wir gefunden, dass verschiedene Basen
stets durch unit¨
are Matrizen zusammenh¨angen und eine Gruppe
bilden! D.h. die Matrizen, die das Skalarprodukt erhalten
φ|U † U |ψ = φ|ψ ,
(3.59)
m¨
ussen die obigen Eigenschaften haben. (Hinweis: U muss nicht
unbedingt als Matrix darstellbar sein.)
3.3.2
Unterschiedliche Projektoren hintereinandergeschaltet
Betrachten wir das folgende Experiment:
Welches Ergebnis erwarten wir? Der erste Analysator a erzeugt horizontal polarisiertes
Licht. Der zweite zirkular polarisierenden Analysator b l¨asst nur links polarisierendes
43
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Licht durch. Der dritte Projektor c l¨asst wiederum nur vertikal polarisiertes Licht durch.
Das Ergebnis k¨onnen wir klassisch errechnen, der zweite Analysator l¨asst nur 50% der
hereinkommenden Photonen durch, der dritte wiederum nur 50% der hereinkommenden
Photonen, d.h. W (c|a) = 14 . Die quantenmechanische Rechnung dazu k¨onnen wir auch
schon hinschreiben:
|V V |L L|H
1
.
(3.60)
4
Wir erkennen, dass durch eine Messung sich der Zustand ¨andert, jedoch keine “Regeneration” erfolgt: Vor dem zirkularen Filter enth¨alt der Strahl keine vertikal polarisierten
Photonen, hinter diesem Filter sind sie offenbar wieder vorhanden.
Das gleich erhalten wir, falls wir unser Experiments so adaptieren:
−→ W (V |L|H) = | V |L L|H |2 =
|V V |R R|H
−→ W (V |R|H) = | V |R R|H |2 =
1
.
4
(3.61)
Aber wie sieht es mit dieser experimentellen Anordnung aus:
Naiv w¨
urden wir erwarten, dass jetzt doppelt so viele Photonen durchkommen. Das
ist aber nicht der Fall, man erh¨alt sogar, dass kein Photon durchkommt. Das ist sofort klar, falls wir uns an den vorigen Abschnitt erinnern, wo wir gezeigt haben, das
ein Analysatorkreis nichts am Zustand ¨andert, oder mathematisch die Summe aller
Projektoren die Einheit ergibt. Die ganze Schaltung entspricht:
|V V | |R R| + |L L| |H
= |V V |H
= 0|V
1
−→ W (V |1|H) = W (V |H) = 0 .
44
(3.62)
3.4. Allgemeine Apparate bzw. Operatoren
Wir lernen daraus, dass man bei mehreren offenen Wegen die entsprechenden Wahr¨
scheinlichkeiten nicht addieren darf und dass wir ohne komplexe Ubergangselemente,
Wahrscheinlichkeitamplituden, nicht auskommt.
Im Rahmen der klassischen Wellentheorie kennen wir dieses Ph¨anomen bereits. Es
handelt sich um einen Spezialfall der allgemeinen Welleneigenschaft Interferenz, zu
der es immer kommt, wenn mehrere Strahlen aus derselben Quelle u
¨berlagert werden.
Kann Licht auf mehreren Wegen an eine bestimmte Stelle gelangen, so ist das gesamte elektrische Feld an dieser Stelle die Vektorsumme der Felder, die den entlang der
einzelnen Wege laufenden Wellen entsprechen. Die gesamte Intensit¨at ist das Quadrat
des resultierenden elektrischen Vektors, der l¨anger oder k¨
urzer sein kann, als jeder der
Summanden, aus denen er sich zusammensetzt; er kann auch die L¨ange Null haben.
Der wesentliche Zug, dass man die Vektoren erst addieren und dann quadrieren muss,
ist eine Folge der Wellentheorie des Lichtes.
In der quantentheoretischen Beschreibung, um die es hier geht, d¨
urfen wir das klassische Wellenbild nicht ben¨
utzen, da es f¨
ur intensit¨atsschwache Strahlen, bzw. f¨
ur einzelne Photonen nicht funktioniert. Das ist aber auch der Kern, warum wir erstaunt sind.
Bei klassischen Wellen erkl¨art sich die Ausl¨osung einfach (Berg trifft auf Tal). Aber,
wenn wir nun ein einziges Photon durchschicken und dann, nachdem es sicher schon
registriert wurde, noch eines und so weiter und trotzdem finden wir ein Interferenzbild,
also Bereiche die bevorzugt besucht, andere die weniger bis gar nicht besucht werden,
finden wir keine dem Hausverstand gen¨
ugende Erkl¨arung. Wir m¨
ussen sagen, jedes
Photon interferiert mit sich selbst!
In unserem entwickelten Formalismus stellt es sich so dar: die Wahrscheinlichkeitsamplituden interferieren miteinander. Aber was soll schon eine Wahrscheinlichkeitsamplitude sein?!
Kein Wunder also, dass diese “einfachen” Experimente, von den wir noch einige diskutieren werden (Kapitel 6), schon zu soviel Kopfzerbrechen f¨
uhrt (gef¨
uhrt hat)!
3.4
Allgemeine Apparate bzw. Operatoren
Bisher haben wir gelernt, wie man gewisse Apparate (Projektoren, Analysatorkreise
und daraus aufgebaute “Schaltungen”) algebraisch darstellt. Wir interessieren uns nun
f¨
ur die Verallgemeinerung auf beliebige Apparate. Zun¨achst betrachten wir wieder die
Photonpolarisation. Jeder Apparat, der nur auf die Polarisation wirkt, kann als Kasten
mit einer Eingangs- und einer Ausgangs¨offnung gedacht werden, der die Energie der
Photonen sowie die Strahlrichtung nicht ¨andert, wohl aber die Polarisation und die
Intensit¨at beeinflusst. Wir bestrahlen nun einen solchen Apparat der Reihe nach mit H
und V polarisiertem Licht und messen die relative Intensit¨at des auslaufenden Strahls
45
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
nach Passieren eines H bzw. V Projektors. Die Schaltung ist also z.B.
Auf diese Weise messen wir 4 positive Zahlen (Wahrscheinlichkeiten). Diese reichen
aber nicht aus, um den Apparat eindeutig zu charakterisieren. Das sieht man an folgendem Beispiel: Nehmen wir f¨
ur A einen R Projektor, so sind alle vier Wahrscheinlichkeiten 1/4. F¨
ur einen L Projektor ist das aber auch der Fall; der Apparat ist daher
nicht eindeutig bestimmt. Nach der vorhergehenden Untersuchung ist das nicht verwunderlich, denn wir wissen bereits, dass wir jede Messung durch komplexe Zahlen
charakterisieren m¨
ussen. Daher sollten 4 komplexe (bzw. 8 reelle) Zahlen zur Charakterisierung ausreichen.
Algebraisieren wir unser Schaltbild nach unseren bisherigen Regeln, wobei wir f¨
ur den
Apparat einfach A schreiben, so erhalten wir f¨
ur das gezeichnete Bild den Ausdruck
|H H| A |H H| .
(3.63)
Wir haben gesehen, dass falls f¨
ur A bekannte Apparate eingesetzt werden, so resultiert
f¨
ur H| A |H stets eine komplexe Zahl. Wir versuchen daher, das f¨
ur einen beliebigen
Apparat durchzuhalten: wir fordern, dass H| A |H f¨
ur jeden Apparat eine komplexe
Zahl sein soll, deren Betragsquadrat die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeit hat. Algebraisieren wir die vier angedeuteten Messexperimente, so erhalten wir vier komplexe
Zahlen, die wir als 2 × 2–Matrix schreiben:
A(l|l) :=
H| A |H
V | A |H
H| A |V
V | A |V
(3.64)
Wir nennen diese Matrix ein Darstellung vom Apparat A in der H/V Basis. Eine
andere Darstellung erh¨alt man, indem man die zwei linearen Analysatoren gegen andere austauscht. Durch solche Experimente kann man die “Wirkung” eines beliebigen
Apparates A, also alle 4 komplexen Zahlen erhalten.
Schalten wir vor und nach dem Apparat A einen zirkularen Analysatorkreis erhalten
wir
|H
H|R · R| A |R · R|H + H|L · L| A |R · R|H
H|R · R| A |L · L|H + H|L · L| A |L · L|H
46
H| .
(3.65)
3.5. Das Observablenaxiom oder wie das Experiment mit der Theorie
zusammenh¨angt
Betrachten wir am Anfang und Ende wieder alle vier M¨oglichkeiten erhalten wir
A(l|l) = U (l|z) · A(z|z) · U (z|l) = U (l|z) · A(z|z) · U † (l|z) ,
(3.66)
dabei ist U die unit¨are Matrix, die eine Basis in eine andere umwandelt. Damit kennen
wir den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Darstellungen eines allgemeinen
Apparates.
Wir erkennen auch das falls wir A mit eiα , also einer belieben Phase multiplizieren,
diese aus allen Summanden als Faktor herausgehoben werden kann und f¨allt damit bei
der Bildung des Betragsquadrates —nur dieses ist messbar— wieder heraus. D.h. wir
brauchen nicht 8 reelle Zahlen, sondern nur 7 (vier Betr¨age, 3 Phasen) zur Bestimmung
eines allgemeinen Apparates.
Jetzt haben wir gelernt, wie wir im Formalismus jeden beliebigen Apparat durch
eine Matrix beschreiben k¨onnen. Hier sei darauf hingewiesen, dass nicht jede Matrix
ein Messapparat ist. Welche mathematischen Einschr¨ankungen an die Matrix gemacht
werden m¨
ussen, werden wir sp¨ater noch genauer behandeln.
Ein Kriterium k¨onnen wir leicht angeben: wir haben stets Apparate betrachtet, in
denen keine Objekte erzeugt werden. F¨
ur solche darf die Summe der Ausgangsintensit¨aten h¨ochstens gleich der Eingangsintensit¨at sein, d.h. es muss f¨
ur ein vollst¨andiges
System (|bi ) von Basiszust¨anden und irgendeinen Zustand, z.B. |a1 )
| bi |A|a1 |2 ≤ 1
(3.67)
i
gelten. Die analoge Beziehung f¨
ur Matrixelemente in einer Zeile
| a1 |A|bi |2 ≤ 1
(3.68)
i
ist ebenfalls erf¨
ullt.
3.5
Das Observablenaxiom oder wie das Experiment mit der Theorie zusammenh¨
angt
Wir haben bis jetzt sehr viel u
uber, wie
¨ber Operatoren gesprochen und sehr wage dar¨
es mit der im Experiment beobachteten Gr¨oße, Observable, zusammenh¨angt. Das
Axiom, also eine nicht u
ufbare Feststellung, k¨onnen wir so formulieren:
¨berpr¨
47
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Das Observablenaxiom:
(1) Jede physikalische Observable A wird durch einen linearen
hermitischen Operator A in der Theorie dargestellt.
(2) Der Erwartungswert A
ist durch
A
ψ
ψ
von A im (normierten) Zustand ψ
= ψ| A |ψ = T r(A |ψ ψ|)
(3.69)
gegeben. Die Hermitizit¨at von A garantiert, dass der Erwartungswert reell ist.
Nach diesem Axiom muss man f¨
ur jede physikalische beobachtbare Gr¨oße einen hermitischen Operator konstruieren k¨onnen. Interessant ist die Frage, ob auch die Umkehrung
gilt. Das muss eindeutig verneint werden; nicht jeder hermitische Operator entspricht
einer Observablen. Es ist aber oft hilfreich die Menge aller hermitischen Operatoren zu
betrachten und dann sp¨ater eventuell “Superauswahlregeln” zu definieren.
Ein weiteres Grundprinzip der empirischen Wissenschaften ist, dass Messungen reproduzierbar sein m¨
ussen.
Wie wir bei der Diskussion von Spin 12 Teilchen sehen werden, sind die m¨oglichen
Eigenwerte eines Operators die im Experiment gemessenen Werte. Weiters haben wir in
unseren Experiment erkannt, dass falls sich das Teilchen schon in einem der m¨oglichen
Eigenzust¨ande befindet, dann ¨andert dies eine weitere Messung nicht. Allgemein k¨onnen
wir dies so zusammenfassen:
Messwerte:
(3) Durch Messung eines diskreten Messwertes der Observablen
A stellt man einen Eigenzustand |a des zugeh¨origen Operators A her:
A |a = a |a .
(3.70)
Die m¨oglichen Messwerte von der Observablen A sind also die
Eigenwerte vom Operator A.
Ein Spezialfall eines Messoperators ist der Projektor, den wir als ersten kennengelernt
haben. Diese Operatoren sind durch die Idempotenz, also
Pb1 · · · · · Pb1 = Pb1 · Pb1 = Pb1 ,
48
(3.71)
3.5. Das Observablenaxiom oder wie das Experiment mit der Theorie
zusammenh¨angt
definiert. Die Eigenwertgleichung lautet daher
Pb1 · · · · · Pb1 |Eigenzustand
λ · · · · · λ|Eigenzustand
= Pb1 · Pb1 |Eigenzustand = Pb1 |Eigenzustand =
= λ2 |Eigenzustand = λ|Eigenzustand .
(3.72)
Die L¨osungen dieser Eigenwertgleichung sind λ = 0 und λ = 1. Die Eigenvektoren
zum Projektor Pb1 = |b1 b1 | k¨onnen wir daher gleich erraten
Pb1 |b1
Pb1 |b2
= 1 · |b1
= 0 · |b1 ,
(3.73)
wobei |b2 alle Zustandsvektoren sind, die orthogonal auf |b1 sind. Die zum Projektionsoperator Pb1 geh¨orende Observable legt also fest, ob der Zustand |b1 vorliegt oder
nicht, entspricht also der Frage ans Quantensystem: Bist Du im Zustand b1 oder
nicht?
Alle m¨oglichen Werte eines Messoperators werden als Spektrum bezeichnet. Es stellt
sich heraus, dass jeder Operator in die so genannten Spektraldarstellung zerlegt werden
A =
an |an an | =
n
an Pn
(3.74)
n
und das sogar eindeutig! Hierbei ist die Summe u
¨ber alle m¨oglichen Messwerte. Wie
sehen also, dass wir einen beliebigen Operator immer in Projektoren zerlegen k¨onnen.
Insbesondere gilt also nicht:
A·A = A
(
an Pn ) · (
n
a2n Pn · Pn +
am Pm ) =
m
n
i.Allg.
a2n Pn = an Pn .
=
an am Pn · Pm
n=m
(3.75)
n
49
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
50
Document
Kategorie
Seele and Geist
Seitenansichten
2
Dateigröße
909 KB
Tags
1/--Seiten
melden