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Ich habe alles so gemacht, wie es im Skript steht. Wozu brauche ich

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Ich habe alles so
gemacht, wie es im
Skript steht. Wozu
brauche ich noch die
Fehlerrechnung?
1
Jede Größe ist
prinzipiell nur endlich
genau messbar
„Fehler“ bedeutet „Unsicherheit“
• J. R. Taylor
„Fehleranalyse: eine Einführung in die Untersuchung
von Unsicherheiten in physikalischen Messungen“
(„An Introduction to Error Analysis“)
• B. A. Barry
„Errors in Practical Measurement in Science,
Engineering, and Technology“
2
Systematische
Messabweichungen
Falsches Anzeigen der Messgeräte oder
Fehler in der Messmethode
wahrer Wert
Schwer zu finden
oder zu beheben
Mittelwert
Statistisch unmittelbar3
Grobe Fehler
Falsche Ablesen der Messgeräte oder
Unachtsamkeit beim Aufschreiben
Meist offensichtlich
Messungen mehrmals wiederholen
Statistisch mittelbar
4
Zufällige
Messabweichungen
In der Regel sind sie die Folge unbedeutender
Ungenauigkeiten, die uns willkürlich bei der Aufstellung
der Geräte und beim Ablesen unterlaufen
Messungen mehrmals wiederholen
und Streuung anschauen
Statistisch mittelbar
5
Systematische
Messabweichung
Spritze: (2.0 ± 0.1) ml mit 0.05 ml Skala
Kein Flüssigkeitsmeniskus
Ziel: Becher mit 20 ml füllen
Nach 10 Spritzenladungen:
V = 2.0 ⋅10 ± 0.1⋅10 = (20 ± 1) ml
6
Zufällige
Messabweichung
Spritze: (2.00 ± 0.05) ml
die beste Schätzung wegen
Flüssigkeitsmeniskus ≈ 0.1 ml
Ziel: Becher mit 20 ml füllen
7
Zum Beispiel
ΔX1 ≡ Absoluter Fehler wegen der zufälligen
Messabweichungen der Variable X1
ΔX2 ≡ Absoluter Fehler wegen der zufälligen
Messabweichungen der Variable X2
ΔX3 ≡ Absoluter Fehler wegen der zufälligen
Messabweichungen der Variable X3
allgemeiner absoluter Fehler:
ΔX = ΔX + ΔX + ΔX
2
1
2
2
2
3
8
Zufällige
Messabweichung
Spritze: (2.00 ± 0.05) ml
die beste Schätzung wegen
Flüssigkeitsmeniskus ≈ 0.1 ml
Ziel: Becher mit 20 ml füllen
Nach 10 Spritzenladungen:
V = 2.0 ⋅10 ± 0.1 ⋅10 = (20.0 ± 0.4) ml
2
9
Zufällige
Messabweichung
10 Spritzen: (2.0 ± 0.1) ml
mit 0.05 ml Skala
Kein Flüssigkeitsmeniskus
Ziel: Becher mit 20 ml füllen
Nach 10 Spritzenladungen:
V = 2.0 ⋅10 ± 0.1 ⋅10 = (20.0 ± 0.4) ml
2
10
X = X ± ΔX
Absoluter Fehler = zu erwartende
Abweichung vom wahren Wert
m = (50.0 ± 0.1) kg
Δm = 0.1 kg
r = (1.3 ± 0.3) mm
Δr = 0.3 mm
T = (273.000 ± 0.009) K
ΔT = 0.009 K
11
δX = ΔX / X bzw.
δX = (ΔX / X) × 100%
Relativer Fehler = zu erwartende Abweichung
vom wahren Wert normiert auf den Messwert
Ist Genauigkeitsmaß der Messung
r = 1.3 mm δr = 0.3 mm / 1.3 mm = 0.23 = 23 %
m = 50.0 kg δm = 0.1 kg / 50 kg = 0.002 = 0.2 %
T = 273.000 K δT = 0.009 K / 273 K = 3.3 10-5 = 3.3 10-3 % 12
9 Zahlenwerte werden kaufmännisch gerundet:
1, 2, 3, 4: abrunden ⇒ 111 ≡ 110; 1.4 ≡ 1; 0.12 ≡ 0.1
5, 6, 7, 8, 9: aufrunden ⇒ 117 ≡ 120; 1.5 ≡ 2; 0.08 ≡ 0.1
9 Fehler werden immer aufgerundet !!!
Fehler von Zwischenergebnissen mit zwei Stellen
notieren.
9 Kleine Fehler (bis ca. 10% vom Gesamtfehler) können
bei der Fehlerrechnung vernachlässigt werden, da der
Gesamtfehler immer aufgerundet wird.
13
m = (50.0 ± 0.1) kg
m = (50.03 ± 0.1) kg
Zu viele Stellen im Wert
m = (50 ± 0.1) kg
Zu wenig Stellen im Wert
m = (50.0 ± 0.093) kg
Zu viele Stellen im Fehler
m = (50.03 ± 0.093) kg
Zu viele Stellen
14
r = (1.3 ± 0.3) mm
r = (1.31 ± 0.3) mm
Zu viele Stellen im Wert
r = (1 ± 0.3) mm
Zu wenig Stellen im Wert
r = (1.3 ± 0.28) mm
Zu viele Stellen im Fehler
r = (1.31 ± 0.28) mm
Zu viele Stellen
15
T = (273.000 ± 0.009) K
T = (273.0003 ± 0.009) K
Zu viele Stellen im Wert
T = (273.0 ± 0.009) K
Zu wenig Stellen im Wert
T = (273.000 ± 0.0085) K
Zu viele Stellen im Fehler
T = (273.0003 ± 0.0085) K
Zu viele Stellen
16
m = (50.0 ± 0.1) kg
r = (1.3 ± 0.3) mm
T = (273.000 ± 0.009) K
9 Fehlerintervall und Zahlendarstellung müssen sich
entsprechen; d.h.: nicht zuwenig und nicht zuviel Ziffern!
9 Zahlendarstellung ist konsistent wenn Wert und
absoluter Fehler an der gleichen Stelle abbrechen!
9 Fehler werden im Endergebnis mit einer Stelle
17
angegeben!
Messwerte und Theoriewerte können nur im Rahmen
ihrer Fehlerintervalle miteinander verglichen werden.
9
Ergebnisse sind gleich (überlappen der Fehlerintervalle):
r1 = (1.3 ± 0.3) mm; r2 = (1.4 ± 0.3) mm.
9
Ergebnisse sind verträglich (Ergebnisse verträglich im Rahmen
des dreifachen Fehlerintervalls):
r1 = (1.3 ± 0.3) mm; r2 = (2.0 ± 0.3) mm.
9
Ergebnisse signifikant verschieden (Abweichung größer als
der dreifache Fehlerintervall):
r1 = (1.3 ± 0.3) mm; r2 = (3.0 ± 0.3) mm.
18
Messreihe :
x1, x2, x3, … xN.
Mittelwert :
1
x=
N
x
∑x
i
i
x
Annahme: Normalverteilung der Abweichungen
Standardabweichung :
∑ (x − x )
2
σ=
i
i
N −1
-3σ
-σ
+σ
+3σ
19
x
x1, x2, x3, … xN.
Messreihe :
1
x=
N
Mittelwert :
x
∑x
i
i
x
Standardabweichung :
∑ (x − x )
2
σ=
i
i
N −1
-3σ
-σ
+σ
+3σ
σ : einfache Standardabweichung (Messtechnik)
68% Sicherheit, 32% Irrtumswahrscheinlichkeit)
3σ : dreifache Standardabweichung (Medizin)
99.7% Sicherheit, 0.3% Irrtumswahrscheinlichkeit)
20
x
Messreihe :
x1, x2, x3, … xN.
Mittelwert :
1
x=
N
x
∑x
i
i
x
Standardabweichung :
σ=
2
(
)
∑ xi − x
i
N −1
-3σ
-σ
+σ
+3σ
x
21
x
Fehler des Mittelwertes :
Δx =
σ
N
-Δx
+Δx
Wie gut kann der Messwert
abgelesen werden?
Analoginstrumente:
Häufig noch Schätzwert zwischen den Skalenteilen möglich
ΔX= 0.1 – 0.5 Skl als Auflösung
Digitalinstrumente:
Eine Einheit an letzter Stelle (digit) als Auflösung
22
Wie gut kann der Messwert
gemessen werden?
Analoginstrumente:
Güteklasse k: relativer Fehler vom Vollausschlag in %
ΔX = k × Messbereich/100
Digitalinstrumente:
Relative Genauigkeit p in %
ΔX = p × X/100
23
Einfache Methode
y = f (x )
x = 5.0 m ± 0.1 m
4.9 m
5.1 m
y = f (5.0 m)
y = f (4.9 m)
y = f (5.1 m)
Neben Funktionswert oberen und unteren Grenzwert berechnen
und größere Abweichung als Fehler des Funktionswertes nehmen
24
Reihenentwicklung
y = f (x, z)
f (x0 + Δx) = f (x0) + d(f(x0))/dx · Δx + … ; x0 >> Δx
y (x + Δx, z + Δz) ≈ y (x, z) + ∂y/∂x · Δx + ∂y/∂z · Δz
25
A = a ± Δa
Addition : C = A + B
c=a+b
C = c ± Δc
B = b ± Δb
Subtraktion : C = A - B
c=a–b
C = c ± Δc
Δc = Δa + Δb
Bei additiver Verknüpfung addieren sich die absoluten Fehlen
Multiplikation : C = A × B
c=a×b
C = c ± Δc
Division : C = A / B
c=a/b
C = c ± Δc
δc = δa + δb
Bei multiplikativer Verknüpfung addieren sich die relativen Fehlen
26
Y
y = m·x + b
Grenzgerade muss
halbwegs passen
Ausgleichsgerade muss
möglichst gut passen
X
27
Y
y = m·x + b
y = mA·x + bA
y = mG·x + bG
Δm = | mA - mG |
Δb = | bA - bG |
m = mA ± Δm
b = bA ± Δ b
X
28
C(t) = m·exp(-bt)
100
90
80
C/a.u.
70
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
t/sec
15
20 29
ln(C(t)) = ln(m) - bt
4.5
4
ln(C)/a.u.
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
t/s
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
0
C/a.u.
82.00
56.00
37.00
26.00
18.00
11.00
9.00
5.00
3.00
ln(C)
4.41
4.03
3.61
3.26
2.89
2.40
2.20
1.61
1.10
5
10
t/sec
15
20
30
Y
y = m·x + b
X
31
y = m·x + b
x
y
10
9
70
20
22
60
30
27
40
44
50
Y
40
30
50
45
60
66
y=x
δy ≅ 10%
20
10
0
10
20
30
40
50
60
X
32
y = m·x + b
Linear Regression y = b + m · x
Parameter
Value Error
----------------------------------------------b
-1.6
4.24578
m
1.06 0.10902
-----------------------------------------------
70
60
50
Y
40
R
SD
N
P
--------------------------------------------0.97949 4.5607 6 6.2655E-4
---------------------------------------------
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
X
33
Die Methode
der kleinsten Quadrate
Δyi = yi − m ⋅ xi − b (1)
70
N
f (Δy ) = ∑ Δyi2
60
50
(2)
i =1
Y
40
30
20
10
0
10
20
30
40
X
50
60
∂f (Δy )
=0
∂m
∂f (Δy )
=0
∂b
(3)
(4)
34
Δyi = yi − m ⋅ xi − b (1)
70
60
N
50
40
f (Δy ) = ∑ Δyi2
( 2)
∂f (Δy )
=0
∂m
(3)
Y
i =1
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
X
∂f (Δy ) N
= ∑ (2mxi2 − 2 yi xi + 2bxi ) = 0 ⇒
∂m
i =1
N
N
N
m∑ xi2 −∑ yi xi + b∑ xi = 0
i =1
i =1
i =1
(5)
35
Δyi = yi − m ⋅ xi − b (1)
70
60
N
50
40
f (Δy ) = ∑ Δyi2
(2)
∂f (Δy )
=0
∂b
( 4)
Y
i =1
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
X
∂f (Δy ) N
= ∑ (2b − 2 yi + 2mxi ) = 0 ⇒
∂b
i =1
N
N
N ⋅ b − ∑ yi + m∑ xi = 0
i =1
i =1
( 6)
36
N
70
N
N
i =1
i =1
m∑ x −∑ yi xi + b∑ xi = 0
60
2
i
i =1
50
N
N
i =1
i =1
N ⋅ b − ∑ yi + m∑ xi = 0
Y
40
30
20
y = m⋅ x −b
10
0
10
20
30
40
50
60
X
N
m=
N
N
N
N ∑ yi xi − ∑ yi ∑ xi
i =1
N
i =1
N
i =1
N ∑ xi2 − (∑ xi ) 2
i =1
i =1
und
b=
N
N
N
∑x ∑ y −∑x ∑ y x
i =1
2
i
i =1
N
i
i =1
N
i
i =1
N ∑ xi2 − (∑ xi ) 2
i =1
i =1
37
i i
N
m=
N
N ∑ yi xi − ∑ yi ∑ xi
i =1
i =1
N
N
i =1
N ∑ xi2 − (∑ xi ) 2
i =1
70
N
N
≈ 1.06 und b =
i =1
N
N
i =1
i
i =1
N
60
i
i =1
N
i =1
N ∑ xi2 − (∑ xi ) 2
i =1
y = m·x + b
N
∑x ∑ y −∑x ∑ y x
2
i
i i
≈ −1.6
i =1
Parameter Value Error
--------------------------------------b
-1.6 4.24578
m
1.06 0.10902
----------------------------------------
50
xi
yi
10
9
20
22
20
30
27
10
40
44
0
50
45
60
66
Y
40
30
10
20
30
40
X
50
60
38
y = m·x + b
60
50
40
Y
Parameter Value Error
--------------------------------------b
-1.6 4.24578
m
1.06 0.10902
----------------------------------------
70
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
X
39
y = m·x + b
70
60
50
Y
Parameter Value Error
--------------------------------------b
-1.6 4.24578
m
1.06 0.10902
----------------------------------------
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
X
Standardabweichung :
σ=
∑ (y
− y)
2
i
i
N −1
40
x
y = m·x + b
70
60
50
Parameter Value Error
--------------------------------------b
-1.6 4.24578
m
1.06 0.10902
----------------------------------------
Y
40
30
20
10
0
Standardabweichung :
10
20
30
40
50
60
X
N
σY =
2
(
y
−
m
⋅
x
−
b
)
∑ i
i
i =1
N −2
41
Standardabweichung :
N
σY =
70
∑ ( y − m ⋅ x − b)
i
i =1
i
N −2
N
2
=
∑ ( y − 1.06 ⋅ x − 1.6)
i =1
y = m·x + b
60
i
i
6−2
2
= 4.56
Parameter Value Error
--------------------------------------b
-1.6 4.24578
m
1.06 0.10902
----------------------------------------
50
Y
40
30
20
10
0
10
20
30
40
X
50
60
xi
yi
10
9
20
22
30
27
40
44
50
45
60
66
42
y = m·x + b
Parameter Value Error
--------------------------------------b
-1.6 4.24578
m
1.06 0.10902
----------------------------------------
70
60
50
Y
40
30
20
Standardabweichung :
N
σY =
∑(y
i =1
i
10
− m ⋅ xi − b) 2
0
10
20
30
N −2
50
60
X
σ
δ b2 =
40
N
2
y
2
x
∑i
i =1
N
N
i =1
i =1
N ∑ xi2 − (∑ xi ) 2
und δ m2 =
N ⋅ σ y2
N
N
i =1
i =1
N ∑ xi2 − (∑ xi ) 2
y = m·x + b
Parameter Value Error
--------------------------------------b
-1.6 4.24578
m
1.06 0.10902
----------------------------------------
70
60
50
Y
40
30
20
Standardabweichung :
10
N
σY =
∑ ( y − m ⋅ x − b)
i =1
i
i
N −2
σ
δ b2 =
2
0
= 4.56
N
2
y
∑x
i =1
2
i
N
N
i =1
i =1
10
N ∑ xi2 − (∑ xi ) 2
20
30
40
50
60
X
N
=
20.8 ⋅ ∑ xi2
i =1
N
N
i =1
i =1
6 ⋅ ∑ xi2 − (∑ xi ) 2
≈ 18 ⇒ δ b ≈ 4.2458
y = m·x + b
Parameter Value Error
--------------------------------------b
-1.6 4.24578
m
1.06 0.10902
----------------------------------------
70
60
50
Y
40
30
20
Standardabweichung :
10
N
σY =
∑ ( y − m ⋅ x − b)
δ m2 =
i =1
i
i
N −2
2
0
= 4.56
N ⋅ σ y2
N
N
i =1
i =1
10
N ∑ xi2 − (∑ xi ) 2
=
20
30
40
50
60
X
6 ⋅ 20.8
N
N
i =1
i =1
6 ⋅ ∑ xi2 − (∑ xi ) 2
≈ 0.0119 ⇒ δ m ≈ 0.109
b = -2 ± 5
70
m = 1.1 ± 0.2
y = m·x + b
60
Parameter Value Error
--------------------------------------b
-1.6 4.24578
m
1.06 0.10902
----------------------------------------
50
Y
40
30
20
10
0
10
20
30
40
X
50
60
xi
yi
10
9
20
22
30
27
40
44
50
45
60
66
46
y = m·x + b
R
SD
N
P
--------------------------------------------0.97949 4.5607 6 6.2655E-4
---------------------------------------------
Parameter Value Error
---------------------------------------b
-1.6 4.24578
m
1.06 0.10902
----------------------------------------
SD ≡ Standardabweichung
70
N
60
50
σY =
Y
40
2
(
y
−
m
⋅
x
−
b
)
∑ i
i
i =1
N −2
≈ 4.56
30
N ≡ Anzahl der Messungen
20
10
0
10
20
30
40
X
50
60
47
y = m·x + b
R
SD
N
P
--------------------------------------------0.97949 4.5607 6 6.2655E-4
---------------------------------------------
R ≡ der lineare
Korrelationskoeffizient
70
60
60
50
50
40
40
Y
Y
70
30
30
20
20
10
10
0
0
10
20
30
40
50
60
10
20
30
40
X
X
N
N
SS corr = ∑ ( yi − m ⋅ xi − b)
i =1
2
oder
SSuncorr = ∑ ( yi −
i =1
50
60
N
∑y
i =1
N
i
)2
y = m·x + b
R ≡ der lineare
Korrelationskoeffizient
70
R
SD
N
P
--------------------------------------------0.97949 4.5607 6 6.2655E-4
--------------------------------------------N
SS corr = ∑ ( yi − m ⋅ xi − b) 2
i =1
60
N
50
N
SSuncorr = ∑ ( yi −
Y
40
30
i =1
∑y
i =1
N
i
)2
20
r 2 = 1−
10
0
10
20
30
40
50
60
SS corr
SSuncorr
X
R und r2 → 1 : eine starke lineare Korrelation
R und r2 → 0 : keine lineare Korrelation
49
y = m·x + b
R
SD
N
P
--------------------------------------------0.97949 4.5607 6 6.2655E-4
---------------------------------------------
P ≡ p-Wert
70
60
60
50
50
40
40
Y
Y
70
30
30
20
20
10
10
0
0
10
20
30
40
X
50
60
10
20
30
40
50
60
X
P-Wert ist die Wahrscheinlichkeit dass R = 0
d.h. es gibt keine lineare Korrelation
50
Y
y = m·x + b
m=
N
N
N
i =1
i =1
N
i =1
N ∑ yi xi − ∑ yi ∑ xi
N
N ∑ xi2 − (∑ xi ) 2
i =1
N
b=
i =1
N
N
i =1
i =1
N
i
i =1
N
σ y2 ∑ xi2
und δ m2 =
i =1
N
N ∑ x − (∑ xi )
i =1
2
i
i =1
i =1
X
N
N
i
N ∑ xi2 − (∑ xi ) 2
i =1
δ b2 =
N
∑x ∑ y −∑x ∑ y x
2
i
i =1
2
N ⋅ σ y2
N
N
N ∑ x − (∑ xi ) 2
i =1
2
i
i =1
51
i i
• Fehlerrechnung ist kein Dogma oder Selbstzweck
• Sei kreative!
• Nicht zu kritisch und nicht zu nachlässig
• Plausible Fehlerrechnung machen und erläutern
• Sehr kleine Fehler gegen große Fehler
vernachlässigen (wegen der Aufrundregel)
Ein Messwert hat ohne das dazugehörige
Fehlerintervall keine Bedeutung!
52
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Gesundheitswesen
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