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51 Als nächstes betrachten wir zusammengesetzte Funktionen (wie

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51
Als n¨
achstes betrachten wir zusammengesetzte Funktionen (wie in Kapitel 1, Seite 12
definiert). Sei h = g ◦ f , wobei f : D −→ R und g : D −→ R mit f (D) ⊆ D. Das heisst, es
gilt h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) f¨
ur alle x ∈ D.
Satz 4.2 (Kettenregel) Ist f differenzierbar in x0 und g differenzierbar in y0 = f (x0 ), so
ist die Komposition g ◦ f differenzierbar in x0 und es gilt
(g ◦ f )′ (x0 ) = g′ (f (x0 )) · f ′ (x0 ) .
Da (g ◦ f )(x) = g(f (x)), nennt man g die a
¨ussere Funktion und f die innere Funktion. Die
Kettenregel
(g ◦ f )′ (x0 ) = g′ (f (x0 )) · f ′ (x0 )
kann man sich (in Kurzform) also so merken:
aussere Ableitung · innere Ableitung
¨
Genauer bedeutet dies: Die Ableitung der ¨ausseren Funktion an der Stelle der inneren Funktion mal die Ableitung der inneren Funktion.
Beispiele
1. Sei h(x) = sin(5x).
2. Sei h(x) = sin5 x = (sin x)5 .
52
3. Sei h(x) = ax f¨
ur a > 0. Nach Definition (vgl. Seite 23) ist ja h(x) = ex ln(a) eine
zusammengesetzte Funktion, n¨
amlich h(x) = g(f (x)) mit
f (x) = x · ln(a)
g(y) = ey .
und
Wegen f ′ (x) = ln(a) und g′ (y) = ey folgt
h′ (x) = g′ (f (x)) · f ′ (x) = ex ln(a) · ln(a) = ax · ln(a) .
Satz 4.3 Sei f : D −→ R umkehrbar und differenzierbar in x0 mit f ′ (x0 ) = 0. Dann ist die
Umkehrfunktion g = f −1 differenzierbar in y0 = f (x0 ) und es gilt
g′ (y0 ) =
1
1
= ′
.
f ′ (x0 )
f (g(y0 ))
Die Formel aus Satz 4.3 kann mit Hilfe der Kettenregel hergeleitet werden. Da g = f −1
die Umkehrfunktion von f ist, gilt (vgl. Kapitel 1, Seite 12)
g(f (x0 )) = x0 .
Nun leiten wir diese Gleichung auf beiden Seiten ab, wobei wir f¨
ur die linke Seite die Kettenregel anwenden:
g′ (f (x0 )) · f ′ (x0 ) = 1
Da f ′ (x0 ) = 0, k¨onnen wir diese Gleichung durch f ′ (x0 ) dividieren und erhalten
g′ (f (x0 )) =
1
f ′ (x
0)
.
Wegen f (x0 ) = y0 , bzw. x0 = f −1 (y0 ) = g(y0 ) folgt schliesslich
g′ (y0 ) = g′ (f (x0 )) =
1
f ′ (x0 )
=
1
f ′ (g(y
0 ))
.
Beispiele
1. Die Funktion g(y) = ln(y) ist die Umkehrfunktion von f (x) = ex .
2. Sei g(y) =
√
y.
53
3. Die Funktion f (x) = sin x : [− π2 , π2 ] −→ [−1, 1] ist umkehrbar und f ′ (x) = cos x ist = 0 f¨
ur
π
π
ur −1 < y < 1
− 2 < x < 2 . Die Umkehrfunktion g(y) = arcsin y ist deshalb differenzierbar f¨
(denn sin(± π2 ) = ±1) und es gilt
Wegen cos2 x + sin2 x = 1 ist cos x =
1 − sin2 x. Damit erhalten wir
4. Die Funktion f (x) = tan x : (− π2 , π2 ) −→ R ist umkehrbar und f ′ (x) = cos12 x ist = 0 f¨
ur
alle x im Definitionsbereich. Die Umkehrfunktion g(y) = arctan y ist deshalb differenzierbar
f¨
ur alle y ∈ R und es gilt
Wegen
cos2 x =
1
1
cos2 x
=
=
2
2
sin x
1 + tan2 x
cos2 x + sin x
1 + cos
2x
folgt
4.2
Extremalstellen
Sei f : D −→ R eine differenzierbare Funktion. Falls die Ableitung f ′ : D −→ R wieder
differenzierbar ist, k¨onnen wir die Ableitung von f ′ bilden und erhalten die zweite Ableitung
f ′′ von f , usw. Eine Funktion f , die man auf diese Weise n-mal ableiten kann, heisst n-mal
differenzierbar. Die n-te Ableitung bezeichnet man mit
f (n) (x) .
Alternative Schreibweisen sind
f (n) (x) = f
′′ ···′
(x) =
dn
dn f (x)
=
f (x) .
dxn
dxn
Das Ziel dieses Abschnitts ist, aus den Ableitungen einer Funktion R¨
uckschl¨
usse auf deren
Verlauf zu ziehen.
Das Monotonieverhalten einer Funktion kann direkt an der Ableitung der Funktion abgelesen werden. Dieser Zusammenhang basiert auf dem folgenden wichtigen Satz.
54
Satz 4.4 (Mittelwertsatz) Sei f eine reelle Funktion, die in einem Intervall [a, b] differenzierbar ist. Dann gibt es einen Punkt x0 ∈ [a, b], so dass
f (b) − f (a) = f ′ (x0 ) · (b − a) .
Der Mittelwertsatz sagt aus, dass es zu jeder Sekante eine parallele Tangente an den Funktionsgraphen gibt.
Steigung der Sekante =
f (b) − f (a)
= f ′ (x0 ) = Steigung der Tangente in x0
b−a
Beispiel
Wir betrachten f (x) = x3 − x im Intervall [a, b] = [0, 2]. Es gilt
Nach dem Mittelwertsatz gibt es also (mindestens) ein x0 ∈ [0, 2] mit f ′ (x0 ) = 3. Nun ist
Da x0 im Intervall [0, 2] liegt, ist also x0 =
√2
3
der gesuchte Punkt.
55
Satz 4.5 Sei f differenzierbar in [a, b]. Dann gilt
(i) f monoton wachsend in [a, b] ⇐⇒ f ′ (x) ≥ 0 f¨
ur alle x ∈ [a, b]
(ii)
f monoton fallend in [a, b]
(iii)
f konstant in [a, b]
⇐⇒
⇐⇒
f ′ (x) ≤ 0 f¨
ur alle x ∈ [a, b]
f ′ (x) = 0 f¨
ur alle x ∈ [a, b]
Beweis der Aussage (i) von Satz 4.5 (die Beweise der anderen Aussagen gehen analog):
“=⇒” Sei f monoton wachsend in [a, b]. F¨
ur h > 0 gilt deshalb f (x + h) ≥ f (x) f¨
ur alle
x ∈ [a, b]. Da f differenzierbar ist, folgt
f ′ (x) = lim
h↓0
f (x + h) − f (x)
≥0
h
f¨
ur alle x ∈ [a, b] .
“⇐=” Seien x1 , x2 ∈ [a, b] mit x1 < x2 . Gem¨
ass Mittelwertsatz gibt es ein x0 ∈ [x1 , x2 ] ⊆ [a, b]
mit
f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (x0 ) · (x2 − x1 ) ≥ 0 .
>0
≥0
Es folgt f (x2 ) ≥ f (x1 ), das heisst, f ist monoton wachsend in [a, b].
Sei nun f : [a, b] −→ R eine Funktion. Wir wollen die sogenannten Extremalstellen (bzw.
die Extrema) bestimmen.
Die Punkte x im offenen Intervall (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} nennen wir die inneren
Punkte und die Punkte x = a und x = b heissen Randpunkte von [a, b].
Definition Ein Punkt x0 ∈ [a, b] heisst globale Maximalstelle bzw. globale Minimalstelle
von f in [a, b], falls gilt f (x) ≤ f (x0 ) bzw. f (x) ≥ f (x0 ) f¨
ur alle x ∈ [a, b]. In diesen
F¨allen ist f (x0 ) ein globales Maximum bzw. globales Minimum von f in [a, b]. Eine globale
Maximalstelle oder Minimalstelle x0 heisst auch eine globale Extremalstelle und der Wert
f (x0 ) ein globales Extremum.
Ein innerer Punkt x0 von [a, b] heisst lokale Maximalstelle bzw. lokale Minimalstelle, falls
gilt f (x) ≤ f (x0 ) bzw. f (x) ≥ f (x0 ) in einer Umgebung von x0 .
y=f(x)
y
a
b
globales Maximum
lokale Extremalstellen
x
56
Ist f stetig in [a, b], dann wissen wir von Satz 2.8, dass f in [a, b] globale Extrema hat.
Wie finden wir diese Extrema? Als erstes Kriterium dient uns der folgende Satz.
Satz 4.6 Sei x0 eine lokale Extremalstelle von f im Intervall [a, b]. Ist f differenzierbar in
x0 , dann gilt f ′ (x0 ) = 0.
Ist also f differenzierbar, dann gilt
x0 lokale Extremalstelle
=⇒
f ′ (x0 ) = 0 .
Die Umkehrung gilt nicht. Zum Beispiel gilt f ′ (0) = 0 f¨
ur die Funktion f (x) = x3 , aber
x0 = 0 ist keine Extremalstelle von f . Und weiter kann es Extremalstellen x0 geben, f¨
ur
welche f ′ (x0 ) = 0 gilt; zum Beispiel wenn x0 einer der Randpunkte a oder b ist (vgl. die
Skizze oben: f¨
ur die globale Maximalstelle x = b gilt f ′ (b) = 0).
Strategie zum Finden der Extremalstellen:
(1) Bestimmung und Untersuchung von allen Stellen x0 mit f ′ (x0 ) = 0.
(2) Berechnung von f in den Randpunkten von [a, b] sowie in den Punkten, wo f nicht
differenzierbar ist, und Vergleich mit den in (1) erhaltenen Maxima und Minima.
F¨
ur die Untersuchung der Stellen x0 wie in (1) gibt es ein weiteres praktisches Kriterium,
falls die zweite Ableitung f ′′ (x0 ) in x0 existiert.
Satz 4.7 Ist f ′ (x0 ) = 0 und zus¨
atzlich f ′′ (x0 ) < 0 (bzw. f ′′ (x0 ) > 0), so hat f im Punkt
(x0 , f (x0 )) ein lokales Maximum (bzw. Minimum).
Schauen wir uns diese beiden F¨alle separat genauer an.
• Sei f ′ (x0 ) = 0 und f ′′ (x0 ) < 0.
Dann gilt, dass f ′′ (x) < 0 in einer (kleinen) Umgebung U (x0 ) von x0 .
=⇒ f ′ (x) ist monoton fallend in U (x0 )
=⇒ f beschreibt eine Rechtskurve in U (x0 )
=⇒ f (x0 ) ist ein lokales Maximum
y
m=0
m=−2
m=1
m=2
y=f(x)
x
m = f ′ (x) ist monoton fallend
57
• Sei f ′ (x0 ) = 0 und f ′′ (x0 ) > 0.
Dann gilt, dass f ′′ (x) > 0 in einer (kleinen) Umgebung U (x0 ) von x0 .
=⇒ f ′ (x) ist monoton wachsend in U (x0 )
=⇒ f beschreibt eine Linkskurve in U (x0 )
=⇒ f (x0 ) ist ein lokales Minimum
y
y=f(x)
m=1.2
m=−2
m=0.8
x
m = f ′ (x) ist monoton wachsend
Beispiel
Sei f (x) = 4x3 − 3x + 1.
Schr¨
anken wir die Funktion f (x) = 4x3 − 3x + 1 auf das Intervall [− 23 , 34 ] ein, dann ist (− 12 , 2)
ein globales Maximum, ( 12 , 0) ein lokales Minimum und (− 23 , f (− 32 )) = (− 23 , −8) ein globales
Minimum.
58
Wir haben soeben gesehen, dass der Funktionsgraph bei einem lokalen Maximum eine
Rechtskurve beschreibt (es gilt dort f ′′ (x) < 0) und bei einem lokalen Minimum eine Linkskurve (es gilt dort f ′′ (x) > 0). Ist f ′′ stetig, dann gibt es (nach dem Nullstellensatz) eine
Stelle x0 dazwischen, n¨
amlich x0 mit f ′′ (x0 ) = 0, wo die Rechts- in eine Linkskurve (bzw.
die Links- in eine Rechtskurve) u
¨bergeht. Man nennt diese Stelle x0 eine Wendestelle und
den Punkt (x0 , f (x0 )) einen Wendepunkt.
y
f’’<0
x0
f’’=0
f’’>0
x
An einem Wendepunkt “schneidet” die Tangente den Funktionsgraphen.
Satz 4.8 Ist f ′′ (x0 ) = 0 und f ′′′ (x0 ) = 0, dann hat f eine Wendestelle in x0 .
Beispiel
Wir betrachten nochmals f (x) = 4x3 − 3x + 1. Wir haben oben berechnet, dass f ′′ (x) = 24x.
Eine Wendestelle von f (x) ist eine Stelle x0 , welche eine lokale Extremalstelle f¨
ur f ′ (x) ist.
′′′
Dies erkl¨art die Bedingung f (x0 ) = 0.
Die Bedingung f ′′′ (x0 ) = 0 (bzw. f ′′ (x0 ) = 0) ist jedoch nicht notwendig f¨
ur eine Wen5
destelle (bzw. Extremalstelle) x0 . Zum Beispiel hat die Funktion f (x) = x eine Wendestelle
in x0 = 0 mit f ′′′ (0) = 0 und die Funktion g(x) = x4 hat ein globales Minimum in x0 = 0
mit f ′′ (0) = 0.
59
4.3
Die Regeln von de l’Hˆ
opital
f (x)
x→x0 g(x)
In Kapitel 2 haben wir gesehen, wie man Grenzwerte der Form lim
berechnet. Es gibt
jedoch Grenzwerte, die wir mit den dort angegebenen Methoden nicht bestimmen k¨onnen,
zum Beispiel den Grenzwert
sin x
.
lim
x→0 x
Bei diesem Beispiel strebt sowohl der Z¨
ahler als auch der Nenner gegen 0 f¨
ur x → 0.
Mit Hilfe des Mittelwertsatzes (Satz 4.4) k¨onnen wir diesen Grenzwert nun bestimmen.
Der Mittelwertsatz f¨
ur f (x) = sin x auf dem Intervall [0, x] ergibt
Wir finden damit
Dieser Trick funktioniert allgemein. Seien f und g zwei differenzierbare Funktionen mit
f (a) = g(a) = 0. Der Grenzwert
f (x)
lim
x→a g(x)
ist in dem Fall unbestimmt. Nun folgt aber mit dem Mittelwertsatz, dass
f (x) − f (a)
f ′ (x0 )(x − a)
f ′ (x0 )
f (x)
=
= ′
= ′
g(x)
g(x) − g(a)
g (x1 )(x − a)
g (x1 )
f¨
ur x = a und x0 , x1 zwischen a und x. Ist g′ (a) = 0, dann erh¨
alt man
f (x)
f ′ (a)
f ′ (x0 )
= lim ′
= ′
,
x→a g(x)
x→a g (x1 )
g (a)
lim
denn f¨
ur x → a streben auch x0 und x1 gegen a.
Dies ist eine der folgenden Regeln von Bernoulli-de l’Hˆ
opital.
Satz 4.9 Seien f, g : (a, b) −→ R differenzierbar, wobei −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Weiter gelte
lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a
x→a
oder
lim f (x) = lim g(x) = ±∞ .
x→a
′
x→a
(x)
existiert (d.h. ∈ R ∪ {±∞} ist), gilt
Falls der Grenzwert lim fg′ (x)
x→a
f (x)
f ′ (x)
= lim ′
.
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
Dies gilt analog f¨
ur Grenzwerte x → b.
60
Beispiele
ex − 1
x→0
x
1. lim
x2 + 109999
x→∞ 2x − 102014
2. lim
Dies erkl¨art die Merkregel “exponentiell ist st¨
arker als polynomial” von Kapitel 2 (Seite 18).
c
ln(1 + cx)
= lim
= c.
x→0 1 + cx
x→0
x
Damit gilt weiter
3. lim
1
lim
1
lim (1 + cx) x = lim e x ln(1+cx) = ex→0
x→0
ln(1+cx)
x
x→0
= ec ,
wobei wir beim zweiten Gleichheitszeichen die Stetigkeit von ex benutzt haben. F¨
ur die Folge
1
xn = n mit lim xn = 0 folgt insbesondere, dass
n→∞
1
1
ec = lim (1 + cx) x = lim (1 + cxn ) xn = lim
n→∞
n→∞
x→0
1+
c
n
n
,
wie in Kapitel 2 (Seite 22) f¨
ur c = 1 behauptet.
4.4
Lineare Approximation
An den Graphen einer differenzierbaren Funktion f legen wir die Tangente in einem Punkt
P = (x0 , f (x0 )) an. Zoomen wir den Punkt P stark heran, so ist die Funktionskurve von der
Geraden nicht mehr zu unterscheiden!
f (x) = x2 , Tangente an f im Punkt P = (1, 1)
Beispiel
y
2
1.2
1.01
1.5
1.1
1.005
y
1
0.5
0.9
0
0
y
1
0.5
1
x
1.5
2
0.8
0.8
1
0.995
0.9
1
x
1.1
1.2
0.99
0.99
0.995
1
1.005
1.01
x
Die Tangente in x0 eignet sich also als lokale (lineare) N¨aherung der Funktion in der N¨ahe
des Punktes P . Oder gibt es eine noch besser approximierende Gerade?
61
Satz 4.10 Unter allen Geraden durch den Punkt (x0 , f (x0 )) ist die Tangente diejenige Gerade, die f lokal um x0 am besten approximiert.
Wie ist das gemeint? Sei g die Gerade durch (x0 , f (x0 )) mit der Steigung m, das heisst
g(x) = f (x0 ) + m(x − x0 ) .
(∗)
Dann gilt f (x) ≈ g(x) in der N¨ahe von x0 , das heisst
f (x0 + h) ≈ g(x0 + h)
f¨
ur kleine |h| .
F¨
ur den Fehler r(h) dieser N¨aherung erh¨
alt man unter Verwendung von (∗)
r(h) = f (x0 + h) − g(x0 + h) = f (x0 + h) − f (x0 ) − mh
und wir sehen, dass r(h) → 0 f¨
ur h → 0. Dies gilt f¨
ur jede Gerade g durch (x0 , f (x0 )). Jedoch
gilt nur f¨
ur die Tangente, dass der relative Fehler r(h)
ur h → 0.
h gegen 0 geht f¨
Ist t(x) die Tangente an f in x0 , dann gilt also
f (x0 + h) = t(x0 + h) + r(h)
r(h)
=0.
h→0 h
mit lim
(∗∗)
Die Tangente in x0 ist gem¨
ass (∗) gegeben durch
t(x) = f (x0 ) + m(x − x0 ) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) .
Setzt man die Tangentengleichung t(x) f¨
ur x = x0 + h in die Gleichung (∗∗) ein, dann erh¨
alt
man die folgende N¨aherung f¨
ur f in der N¨ahe von x0 .
Satz 4.11 Sei f : D −→ R differenzierbar in x0 ∈ D. Dann gilt
f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) · h + r(h)
mit
lim
h→0
r(h)
=0.
h
62
Da der Restterm r(h) f¨
ur kleine |h| verschwindend klein ist, benutzt man f¨
ur komplizierte
Funktionen f in der N¨ahe einer Stelle x0 oft die lineare N¨aherung
f (x0 + h) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 ) · h
f¨
ur kleine |h|
(N)
Beispiel
Mit Hilfe der N¨aherungsformel (N) kann zum Beispiel (im Kopf!) eine gute N¨aherung von
√
8, 92 gegeben werden.
√
Der auf 10 Stellen genaue Wert von 8, 92 ist 2,986636905, der N¨aherungsfehler r(−0, 08)
betr¨
agt also nur −0, 000029762 !
Auf der Formel (N) beruhen auch N¨aherungsformeln einiger elementarer Funktionen, die
in jeder Formelsammlung zu finden sind. F¨
ur kleine |x| gilt:
(1 + x)n ≈ 1 + nx
1
≈ 1+x
1−x
√
x
1+x ≈ 1+
2
ex ≈ 1 + x
sin x ≈ x
Um zum Beispiel die letzte N¨aherungsformel zu begr¨
unden, betrachtet man
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