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Beiblatt 4.2: Störentkopplung durch Zustandsrückführung

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Beiblatt 4.2: Störentkopplung durch Zustandsrückführung
Ausgangspunkt: Regelstrecke mit gleich vielen Stell- wie
Regelgrößen und unbekannter Störung z(t),
x& = Ax + Bu + Ez
y = Cx
(1)
Ziel: Entwurf einer Zustandsrückführung
u = − Rx
(2)
derart, daß y durch beliebige Störungen z(t) zu keinem Zeitpunkt
ausgelenkt wird (= Störentkopplung)
Störentkopplung liegt genau dann vor, wenn z(t) nur solche
Eigenbewegungen des Systems anregt, die unbeobachtbar sind, für
deren Regelungseigenvektoren also Cv Ri = 0 gilt.
Bedingung für Störentkopplung: Störentkopplung ist genau dann
gegeben, wenn sich jede Spalte von E als Linearkombination
derjenigen Regelungseigenvektoren bilden läßt, für die Cv Ri = 0 gilt.
Diese Aussage läßt sich auch wie folgt beweisen:
Für das geregelte System x& = ( A − BR) x + Ez erhält man durch LaplaceTransformation folgendes Störübertragungsverhalten:
y( s) = C
sI −4
A2
+444
BR) −13
Ez( s) .
1(44
(3)
Gz ( s)
Durch Transformation auf kanonische Normalform geht die Systemmatrix
A − BR über in die Diagonalmatrix Λ R der Regelungseigenwerte, und mit
der Matrix VR der Regelungseigenvektoren folgt
Cv Ri w RiT E
G z ( s) = CVR ( sI − Λ R ) V E = ∑
s − λ Ri
i =1
−1
−1
R
n
(4)
−1
Darin sind w Ri die Zeilen von VR . Für Störentkopplung muß G z ( s) = 0 sein,
T
das heißt jedes dyadische Produkt Cv Ri w Ri E , i = 1,..., n muß verschwinden.
T
Angenommen, es seien genau die ersten k Regelungseigenvektoren
unbeobachtbar,
Cv Ri = 0 , i = 1,..., k ,
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Moderne Methoden der Regelungstechnik 1
Lehrstuhl für Regelungstechnik
© Prof. Dr. B. Lohmann
(5)
Beiblatt
4.2 - 1
dann muß für die verbleibenden n-k Summanden von (4) gelten
w RiT E = 0 T , i = k + 1,..., n .
(6)
Die Bedingungen (6) lassen sich zusammenfassen zu
⎡ w RT1 ⎤
⎡M ⎤ k
⎢ ⎥
M
=
E
⎢ 0 ⎥n − k
⎢ ⎥
⎣ ⎦
T
⎢⎣w Rn ⎥⎦
(7)
wobei M eine nicht näher bestimmte (k,r)-Matrix ist. Multiplikation von links mit
der Matrix VR = v R1 L v Rn führt auf
[
]
⎡M ⎤
E = [v R1 L v Rn ]⎢ ⎥ = [v R1 L v Rk ]M .
⎣0 ⎦
(8)
Liegt Störentkopplung vor, so ist E also durch die ersten k
Regelungseigenvektoren aufbaubar; für diese gilt Cv Ri = 0 , q.e.d.
Entwurf von R über Roppenecker-Formel:
Die Roppenecker-Formel lautet
R = [ p1 L
mit
pn ][v R1 L v Rn ]
−1
( A − λ Ri I )v Ri = Bpi , i = 1,..., n
(9)
(10)
Die Forderung Cv Ri = 0 an k Regelungseigenvektoren wird mit (10)
kombiniert:
⎡ A − λ Ri I B ⎤ ⎡ v Ri ⎤ ⎡0 ⎤
=
⎢ C
0 ⎥⎦ ⎢⎣− pi ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦
⎣144244
3
,
i = 1,..., k
(11)
P ( λ Ri )
Diese Gleichung hat genau dann nichttriviale Lösungen v Ri , pi ,
wenn man λ R1 ,..., λ Rk gleich den invarianten Nullstellen des
Systems wählt (denn diese sind gerade über det P = 0 definiert).
k muß somit gleich der Zahl von invarianten Nullstellen des Systems
sein!
Ergebnis:
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4.2 - 2
Der Entwurf geschieht in folgenden Schritten:
1. Man bestimmt die invarianten Nullstellen des Systems (dies seien
k Stück) und bestimmt die zugehörigen Vektoren v Ri , pi aus (11).
2. Störentkoppelbarkeitsbedingung: Läßt sich jede Spalte von E
als Linearkombination aus diesen k Vektoren v Ri bilden, dann
kann Störentkopplung erreicht werden.
3. Man gibt nun diejenigen invarianten Nullstellen, deren zugehörige
v Ri aus (11) zur Bildung von E tatsächlich benötigt werden (das
können weniger als k Stück sein), als Regelungseigenwerte vor
und verwendet die zugehörigen v Ri , pi bei der Berechnung von R
gemäß (9).
4. Die restlichen Eigenwerte und Parametervektoren können frei
vorgegeben werden wie gewohnt.
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