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5. Oligopolitische Märkte Es gibt mehr als einen Anbieter (wie im

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5. Oligopolitische Märkte
Es gibt mehr als einen Anbieter (wie im Monopol)
Es gibt weniger Anbieter als bei vollkommener
Konkurrenz
“Oligo“ → griechisch “wenige“ Anbieter
Einfachster Fall: Duopol mit zwei Anbietern
a) Mengenwettbewerb: Das Cournot-Nash-Gleichgewicht
a1) Reaktionsfunktionen
Gegeben sind zwei identische Anbieter i = 1, 2 eines Gutes mit individueller Kostenfunktion c ( xi )
X = x1 + x2
Gesamtangebotsmenge
pD ( X )
Preis-Absatz-Funktion
60
Gewinn einer Firma hängt auch von Produktionsniveau der anderen Firma ab.
Betrachte etwa Gewinn von Firma 2
pD ( x1 + x2 ) x2 − c ( x2 )
Je höher x1 , desto niedriger Preis, desto niedriger
also Gewinn von Firma 2 bei gegebenem x2 .
Insbesondere hängt auch gewinnmaximale Produktionsmenge von Firma 2 von Produktionsmenge
von Firma 1 ab. Wie?
Marginalbedingung für gewinnmaximale “Reaktionsmenge“ x2r ( x1 ) von Firma 2 bei gegebenem x1 :
p′D ( x1 + x2r ( x1 )) x2r ( x1 ) + pD ( x1 + x2r ( x1 )) − c′( x2r ( x1 )) = 0
61
x2r ( x1 ) beschreibt konditionales Verhalten von Fir-
ma 2 im Sinne der “Cournot-Nash- Verhaltenshypothese“
Reaktionsfunktion
Explizite Bestimmung von x2r ( x1 ) für den Spezialfall mit linearer Nachfrage- und Kostenfunktion:
pD ( X ) = a − bX und c ( xi ) = cxi
Gewinn von Firma 2:
( a − b( x1 + x2 ) ) x2 − cx2
Marginalbedingung für x2r ( x1 )
a − bx1 − 2bx2r ( x1 ) − c = 0
x2r ( x1 ) =
⇒
a−c 1
− x1
2b 2
62
Abbildung I-14
x2
Isoprofitlinien von Firma 2
Gewinnerhöhung für Firma 2
x2r (~
x1 )
x2r ( x1 )
~
x1
x1
a2) Isoprofitlinien
Isoprofitlinien von Firma 2 verbinden alle Punkte
( x1 , x2 ) , die für Firma 2 zum gleichen Gewinnni-
veau führen.
Im Spezialfall lautet Gleichung für Isoprofitlinie
zum Gewinn G2 :
( a − b( x1 + x2 )) x2 − cx2 = G2
bzw.
−bx22 + (a − c − bx1 ) x2 − G2 = 0
⇒ x1 = ( −bx22 + (a − c) x2 − G2 ) bx2
63
Beachte: Eine weiter links gelegene Isoprofitlinie
entspricht höherem Gewinn von Firma 2.
Warum?: Bei gleichem x2 bedeutet kleineres x1
höheren Preis.
Reaktionskurven lassen sich grafisch auch mit Hilfe der Isoprofit-Linien bestimmen:
Angenommen Firma 1 hat x1 gewählt. Firma 2
wählt dann x2r ( x1 ) so, dass ( x1 , x2r ( x1 ) ) auf der am
weitesten links gelegenen Isoprofitlinie von Firma
2 liegt:
Diese Isoprofitlinie tangiert eine Parallele zur x2 Achse im Abstand x1
→ Reaktionskurve von Firma 2 ist Verbindungslinie aller Scheitelpunkte der Isoprofitlinien von
Firma 2.
64
a3) Die Bestimmung des Cournot-Nash-Gleichgewichts
Abbildung I-15
x2
x1r ( x2 )
N
x2N
x2r ( x1 )
0
x1N
x1
Die beiden Reaktionsfunktionen
x1r ( x2 )
und
x2r ( x1 ) schneiden sich im Punkt N auf der Win-
kelhalbierenden mit den Produktionsniveaus
x N = x1N = x2N .
In N liegt Cournot-Nash-Gleichgewicht.
Weshalb? Es gilt x2N = x2r ( x1N ) und x1N = x1r ( x2N )
65
Gegeben die Handlung der anderen Firma hat keine Firma Anreiz, andere Menge zu wählen.
Die optimalen Reaktionen beider Firmen sind miteinander “kompatibel“.
(Gleichgewicht allgemein: “Stabiler“ Zustand)
N muss also auf Reaktionspfad von Firma 2 und
auf Reaktionspfad von Firma 1 liegen, also im
Schnittpunkt der Reaktionsfunktion.
Konkrete Berechnung von N bzw. x N im Spezialfall:
x2N =
a−c 1 N
− x1
2b 2
x1N =
a−c 1 N
− x2
2b 2
66
x N = x1N = x2N =
⇒
a−c
3b
Dieses Ergebnis folgt wegen Symmetrie der Lösung auch direkt aus x N =
a−c 1 N
− x .
2b 2
a4) Koordiniertes Verhalten beider Firmen: Kollusion
Im Cournot-Nash-Gleichgewicht N kommt es
nicht zur Maximierung des gemeinsamen Gewinns
beider Firmen.
Grafische Erklärung:
Abbildung I-16
x2
x1r ( x2 )
N
x2N
K
x2K
0
x1K x1N
x2r ( x1 )
x1
67
In N stehen Isoprofit-Linien der beiden Firmen
senkrecht aufeinander
→ es entsteht “Linse“ links unterhalb von N
→ für alle ( x1 , x2 ) in Linse ist Gewinn beider Firmen höher als in N .
“Pareto-optimale“ Gewinnsituationen (allein aus
der Sicht der Firmen!) sind gegeben, wenn keine
Firma Gewinn erhöhen kann, ohne dass Gewinn
der anderen Firma sinkt
Tangentialpunkte zwischen Isoprofit-Linien der
beiden Firmen
Im symmetrischen Fall besonders wichtig:
Gemeinsames Gewinnmaximum K = ( x K , x K )
auf der Winkelhalbierenden, d.h. bei gleichen
Produktionsniveaus beider Firmen.
68
Formal bestimmt sich x K durch Maximierung von
2 ( pD ( 2 x ) x − c ( x ) )
Im Spezialfall lautet diese Zielfunktion dann
2((a − 2bx ) x − cx)
Marginalbedingung für x K ist
a − 4bx K − c = 0
xK =
⇒
a−c
4b
Die Wahl von x K lässt sich auch als Ergebnis der
Fusion beider Firmen deuten. Es entsteht ein Monopol mit zwei Betriebsstätten. Gesamtangebot bei
Kollusion entspricht also der Angebotsmenge des
Monopolisten:
2xK =
a−c
= xM
2b
69
Vollständiger Zusammenschluss der beiden Firmen ist zur Maximierung des Gesamtgewinns
nicht nötig. Es reichen im Prinzip bindende Absprachen (wie bei OPEC).
Die Firmen bilden dann ein Angebotskartell.
Problem aus der Sicht der beteiligten Firmen: Kartelle sind instabil
Grafische Erklärung:
Abbildung I-17
x2
x1r ( x2 )
N
x2N
x2K
K
0
x2r ( x1 )
( )
x1K x1N x1r x2K
x1
70
Nach Einigung auf kooperative Kartelllösung
K = ( x K , x K ) hat z. B. Firma 1 Anreiz, aus Abma-
chung auszuscheren und x1r ( x K ) > x K zu produzieren.
Der Punkt
( x ( x ), x )
r
1
K
K
liegt auf niedrigerer
Isoprofitlinie von Firma 1 als
(x
K
, xK ).
→ Firma 1 erhöht Gewinn durch Abweichung von
Kartellvereinbarung.
Beide Firmen haben Anreiz, sich nicht an Abmachung zu halten → Kartell bricht zusammen und
Cournot-Nash-Gleichgewicht N wird zum Schaden beider Firmen realisiert.
Es besteht Konflikt zwischen individueller Rationalität der Firmen und kollektiver Rationalität (→
Gefangenen-Dilemma, siehe später!)
71
a5) Ansätze zur Stabilisierung von Kartellen
Drohstrategien können den Kartellpartner an einseitiger Abweichung hindern:
Anbieter i droht mit sofortiger Ausdehnung der
Produktion auf x N , wenn Anbieter j ausschert
Klappt nur, wenn sich i nicht an niedriger Produktionsmenge gebunden hat (etwa durch geringe Investitionen in Ölförderung)
Umgekehrt: Beidseitige Bindung an niedrige Produktion erhöht Kartellstabilität.
Bei großen Kartellen ist Drohung mit Rückfall auf
Cournot-Nash-Position nicht glaubhaft → Ausführung der Drohung bedeutet Selbstschädigung, weil
Kooperation sich auch nach Ausscheren eines einzigen “Schwarzen Schafes“ noch lohnt.
72
→ Große Kartelle sind instabiler als kleine.
Zudem ist die schon Bildung großer Kartelle
schwieriger:
• Hohe Transaktionskosten bei (evt. heimlichen)
Verhandlungen
• Probleme bei der Bestimmung von Aufteilungsschlüsseln (bei Gewinnen, Produktionsmengen) insbes. bei Heterogenität der Kartellmitglieder
Weitere Mechanismen zur Kartellstabilisierung:
• Drohung mit Sanktionen auf anderen Gebieten, z. B. Einstellung der technologischen
Kooperation.
• Furcht von Verlust der Reputation als zuverlässiger Kooperationspartner.
73
a6) Die Wohlfahrtseigenschaften des Duopols
Bisher wurden nur Anbieter und deren Gewinnposition betrachtet.
Jetzt: Einbeziehung der Konsumenten und deren
Wohlfahrt.
Darstellung im Preis-Mengen-Diagramm für Spezialfall
pD ( X ) = a − bX
ci ( xi ) = cxi
für i = 1, 2
Abbildung I-18
Preis, GK
C
pD ( X M )
pD ( X N )
p* = pD ( X * )
J
H
F
K
E
A
G
D
X
M
XN
B
X∗
c
Menge
74
a−c
X =
b
∗
Gesamtwirtschaftliches Optimum
ergibt sich aus Bedingung
Preis = Grenzkosten
XM =
a−c
2b
Monopollösung = Kartelllösung
ergibt sich aus Bedingung
Grenzerlös = Grenzkosten
X ∗ und X M in diesem Diagramm bereits aus vor-
heriger Analyse bekannt.
Wie
bestimmt
sich
Gesamtangebotsmenge
X N = 2 x N in Cournot-Nash-Gleichgewicht?
75
Wg. Symmetrie der beiden Firmen gilt
XN
pD′ ( X )
+ pD ( X N )
2
N
XN
= −b
+ a−b X N=
2
3
= a− b XN = c
2
⇒
XN =
2 a−c
3 b
Vergleich der drei Lösungen
XM < X N < X∗
Wohlfahrt im Monopol bzw. Kartell
AGHC
<
“
“ Cournot-Nash-GG
ADEC
<
“
ges. wi. Optimum
ABC
76
Produzentenrente (Gewinn) im Kartell
> “
AGHJ
“ im Cournot-Nash-GG ADEF
(sieht man nicht direkt an Abbildung!)
Konsumentenrente im Kartell
JHC
<
FEC
“
Cournot-Nash-GG
Schlussfolgerung: Kartellbildung geht zu Lasten
der Gesamtwohlfahrt (allokativer Schaden) und
der Konsumenten (distributiver Nachteil)
→ Deswegen Verbot von Kartellen
(in Deutschland: Durch das “Gesetz gegen
Wettbewerbsbeschränkungen )
77
a7) Der allgemeine Oligopoll-Fall
Jetzt gibt es n Firmen mit identischer Kostenfunktion ci ( xi ) = c( xi )
Reaktionsfunktion
xir ( X − i ) von Firma i hängt
jetzt von Gesamtangebotsmenge X − i = ∑ x j aller
j ≠i
anderen Firmen (außer Firma i ) ab.
Optimale Reaktion von Firma i bestimmt sich aus
pD ( xi + X − i ) xi − c( xi ) → max
Marginalbedingung für xir ( X − i )
p′D ( xir ( X − i ) + X − i ) xir ( X − i ) + pD ( xir ( X −i ) + X −i )
= c′( xir ( X − i ))
78
Mit X nN bezeichnen wir die Gesamtangebotsmenge aller n Firmen im Cournot-Nash-GG
Wg. Symmetrie lautet Marginalbedingung dann
N
N
X
X
p′D ( X nN ) n + pD ( X nN ) = c′( n )
n
n
Betrachte wieder Spezialfall mit
pD ( X ) = a − bX und c( xi ) = cxi
Marginalbedingung dann
X nN
−b
+ a − b ⋅ X nN = c
n
X nN =
n a−c
n +1 b
79
Vergleich mit zuvor erhaltenen Ergebnissen
n = 1 ( Monopollösung):
X 1N =
1 a−c
= XM
2 b
n = 2 ( Duopollösung):
X 2N =
2 a−c
= XN
3 b
n → ∞ ( vollk. Konkurrenz):
X
N
∞
a−c
=
= X∗
b
gesamtwirtschaftlich optimale
Lösung
n
1
= lim
=1
n →∞ n + 1
n→∞
1
1+
n
wg. lim
Grafische Darstellung mit Hilfe der Funktion
X
Qn ( X ) = pD ( X ) + pD ( X )
n
80
X nN bestimmt sich als Schnittpunkt von Qn ( X )
mit Grenzkostenfunktion c .
Preis, GK
Abbildung I-19
pD ( X nN )
c
Qn ( X ) pD ( X )
0
X
Menge
N
n
Im Spezialfall gilt
n +1
Qn ( X ) = a −
bX
n
Qn ( X ) hat immer den gleichen Preisachsen-
Abschnitt a , wird aber flacher, wenn n wächst.
Deshalb ergibt sich anhand Grafik, dass Menge
X nN wächst und Preis pnN = pD ( X nN ) fällt, wenn
die Zahl n der Firmen im Oligopol wächst.
81
Dabei steigt Gesamtwohlfahrt und Konsumentenrente, während Produzentenrente fällt.
Für n → ∞ nähert sich Qn ( X ) der Preis-AbsatzFunktion pD ( X ) an.
→ Vergrößerung der Firmenzahl führt zu Annäherung an Konkurrenzmarkt-Gleichgewicht:
X nN → X ∗ , pnN → p ∗ = c
b) Das Stackelberg-Gleichgewicht
Anders als im Cournot-Nash-GG handeln die beiden (Duopol)Firmen jetzt nicht gleichzeitig, sondern nacheinander. Dabei ist Stackelberg-Führer
(Firma 1) als erster am Zuge. Stackelberg-Folger
(Firma 2) zieht nach.
82
Wichtig: Firma 1 antizipiert dabei Reaktion von
Firma 2 perfekt und berücksichtigt dies bei ihrer Gewinnmaximierung.
Reaktion von Firma 2 ist dabei wieder durch
Cournot-Nash-Reaktionsfunktion x2r ( x1 ) gegeben.
Durch geschickte Wahl von x1 maximiert Firma 1
also
pD ( x1 + x2r ( x1 )) x1 − c( x1 )
Die (komplizierte) Marginalbedingung für die Stackelberg-Menge x1S von Firma 1 lautet
r
∂
x
p′D ( x1S + x2r ( x1S ))(1 + 2 ) x1S + pD ( x1S + x2r ( x1S )) = c′( x1S )
∂x1
Anstieg der Reaktionskurve von Firma 2
beschreibt Einfluss von x1 auf x2
Unterschied zu Cournot-Nash
83
Stackelberg-Menge
von
Firma
2
ist
dann
x2S = x2r ( x1S )
Grafische Darstellung des Stackelberg-GG
Firma 1 sucht auf Reaktionspfad x2r ( x1 ) von Firma
2 den Punkt mit höchstem Gewinn für sich selbst,
d.h. den Punkt auf x2r ( x1 ) , der auf niedrigster
Isoprofit-Linie von Firma 1 liegt.
Abbildung I-20
x2
x1r ( x2 )
N
x2N
S
x2S
0
x1N
x1S
x2r ( x1 )
x1
Stackelberg-Lösung S liegt also im Tangentialpunkt von x2r ( x1 ) mit einer Isoprofit-Linie von Firma 1.
84
Schlussfolgerungen für Lage von S :
Wegen glockenförmigem Verlauf der IsoprofitLinie liegt S rechts unterhalb von N auf dem Reaktionspfad x2r ( x1 ) .
Es gilt also x1S > x1N (= x N ), x2S < x2N (= x N )
Interpretation: Stackelberg-Führerschaft gibt Firma 1 mehr “Macht“ als Firma 2. Dadurch gerät
Firma 2 in S in eine Position, in der sie mehr
zur Produktionseinschränkung (mit dem Ziel
der Preiserhöhung) beiträgt als Firma 1.
In S ist Gewinn von Firma 1 höher und der von
Firma 2 niedriger als in N .
Weil Reaktionspfad x2r ( x1 ) flacher als 45 -Linie
ist, gilt X S = x1S + x2S > x1N + x2N = X N
85
Gesamtproduktion in Stackelberg-Lösung S ist
größer als in Cournot-Nash-GG N .
→ Güterpreis in S niedriger als in N .
Berechnung von S für Spezialfall
c( xi ) = cxi und pD ( X ) = a − bX
Zielfunktion von Firma 1 ist dann
a−c 1 

−
+
− x1 )  x1 − cx1 → max
(
(
a
b
x
1

2b 2 
x2r ( x1 )
Ableitung der Zielfunktion nach x1 und Nullsetzen
der Ableitung ergibt
x1S =
a−c
2b
86
Einsetzen in Reaktionsfunktion x2r ( x1 ) von Firma 2
liefert
x2S =
a−c 1 S
= x1
4b
2
Vergleich der Gesamtproduktionsmengen in
S und N
X S = x1S + x2S =
3 a−c
2 a−c
> X N = 2xN =
4 b
3 b
Vergleich der Preise
1
p S = pD ( X S ) = a − bX S = (a + 3c)
4
1
< p N = pD ( X N ) = a − bX N = (a + 2c)
3
87
c) Preiswettbewerb (das Bertrand-Modell)
Gegeben wiederum
Zwei identische Firmen mit Kostenfunktion
c( xi ) = cxi
X D ( p) :
Nachfragefunktion
pD ( X ) :
inverse Nachfragefunktion
Jetzt aber sind die Preise p1 und p2 (und nicht wie
zuvor die Mengen) die strategischen Variablen von
Firma 1 und Firma 2.
Spezielle Annahmen:
• Konsumenten kaufen immer beim billigsten
Anbieter (vollkommene Markttransparenz,
homogenes Gut (“Benzin“), keine Vorlieben
für bestimmter Anbieter)
88
• Bei gleichem Preis p = p1 = p2 gleichmäßige
Aufteilung der Produktion auf beide Anbieter
X D ( p)
Beide produzieren
2
(“Prinzip des unzureichenden Grundes“)
Behauptung:
Im
Bertrand-Nash-Gleichgewicht
dieses Preiswettbewerbsspiels gilt für den
Gleichgewichtspreis p B = c und es wird die
ges. wi. optimale Menge X ∗ = X D (c) produziert.
Begründung:
(1) Ein Preis pi < c ist nicht möglich ( i = 1, 2 ).
Sonst Verlust pi − c < 0 pro verkaufter
Mengeneinheit bei Firma i → Ausscheiden von Firma i.
89
(2) Angenommen, Firma j setzt Preis p j > c .
Wie reagiert die Firma i darauf?
Drei Alternativen:
• pi > p j
:
Konsumenten kaufen nur
bei Firma j ⇒ Gewinn
von Firma i ist null.
• pi = p j
:
Wg. Ann. gleichmäßige
Marktaufteilung ⇒
Gewinn von Firma i
=
• pi < p j
:
( p j − c)
XD( pj )
2
Konsumenten kaufen nur
bei Firma i ⇒ Gewinn
von Firma i
=
( pi − c) X D ( pi )
90
(3) Firma i entscheidet sich zur Maximierung
ihres Gewinns für die 3. Alternative mit
einem nur wenig unter p j gelegenen Preis
pi = p j − ε . Warum?
Es gilt:
( p j − ε − c) X D ( p j − ε ) > ( p j − c)
X D ( pj )
2
falls ε genügend klein.
Durch Unterbietung des Preises von Firma
j wird gesamte Nachfrage von Firma i
“attrahiert“.
(4) Nur bei p B = p1B = p2B = c
besteht die Möglichkeit einer weiteren
Preisunterbietung nicht mehr (siehe (1)).
Dort liegt dann das Gleichgewicht.
91
Durch Bedingung “Preis = Grenzkosten“
ist aber das ges. wi. Optimum charakterisiert.
QED.
Beachte Unterschied zu Cournot-Nash-GG mit
Mengenwettbewerb:
Dort gilt für Gesamtproduktionsmenge X N ja
XN
p′D ( X )
+ pD ( X N ) = c,
2
N
pD ( X N ) > c
d.h.
und
X N < X∗
Im Cournot-Fall also Wohlfahrtsverlust gegenüber
ges. wi. optimaler Lösung, der im Bertrand Fall
nicht auftritt.
92
Probleme mit dem Bertrand-Modell:
• Gleichmäßige Aufteilung der Produktion bei
gleichen Preisen nicht unbedingt realistisch:
Machtunterschiede zwischen beiden Firmen
möglich.
• Güter in der Regel nicht homogen. Zudem
auch bei gleichen Gütern unterschiedliche
Entfernungen zu Lieferanten (“Tankstellen“): Preisunterschiede durch Transportkosten.
• Markttransparenz oft nicht gegeben, z. B.
wg. hoher Informationskosten.
93
Deswegen jetzt: Analyse des Betrand-Wettbewerbs
bei nicht-homogenen Gütern
Realistischer Fall: In der Regel unterschiedliches
Design von Produkten, spezielles Markenimage
(BMW vs. Audi)
Konsumenten “switchen“ bei kleinem Preisunterschied dann nicht sofort von der einen zur anderen
Marke. Dadurch mehr Preissetzungsspielraum für
einzelne Firma.
Modelldarstellung:
Gegeben zwei identische Firmen i = 1, 2 mit
gleichen Kostenfunktionen cxi und gleichen
individuellen Nachfragefunktionen
xiD ( pi , p j ) = α − β pi + p j
94
Nachfrage nach Gut von Firma i fällt im Preis
pi von Firma i und steigt im Preis p j der ande-
ren Firma j .
Explizite Bestimmung der Reaktionsfunktionen
in diesem Fall:
Firma i maximiert für jeden gegebenen Preis
p j Gewinn durch Wahl von pi
( pi − c) xiD ( pi , p j )
→ max
Nullsetzen der Ableitung nach pi liefert Marginalbedingung für optimale Reaktion pir ( p j )
(α − β pir ( p j ) + p j ) − β ( pir ( p j ) − c) = 0 ⇒
( ∗ ) pir ( p j ) =
1
(α + β c + p j )
2β
95
“Der gewinnmaximierende eigene Preis pi ist
umso höher, je höher der andere Preis p j ist.“
Grafische Darstellung beider Reaktionskurven:
p1r ( p2 )
p2
p2r ( p1 )
pB
α + βc
2β
0
α + βc
2β
p1
pB
Der Bertrand-GG-Preis ergibt sich aus (∗ ) und
Symmetrie-Forderung
pir ( p B ) = p B :
1
p =
(α + β c + p B ) ⇒
2β
B
α + βc
p =
2β − 1
B
96
Zahlenbeispiel (Pindyck/Rubinfeld, S. 616):
α = 12 , β = 2 , c = 0 (nur fixe, keine variablen
Kosten; F = 20 )
pir ( p j ) = 3 +
1
pj
4
pB = 4
Jede Firma i produziert
xiD (4, 4) = 12 − 2 ⋅ 4 + 4 = 8
und
macht
dabei
Gewinn
Gütereinheiten
in
Höhe
von
4 ⋅ 8 − 20 = 12
Wie sieht Kartell/Kollusionslösung in diesem
Fall aus?
97
Maximiert wird gemeinsamer Gewinn der beiden
Firmen
( p − c )2 xiD ( p, p )
bzw.
2( p − c)(α − β p + p ) → max
Marginalbedingung für p K
(α − β p K + p K ) − ( β − 1)( p K − c) = 0
pK =
α + ( β − 1)c
2( β − 1)
⇒
> pB
Komplizierte Rechnung,
im allgemeinen Fall nicht
allzu wichtig
Im Zahlenbeispiel gilt:
pK =
12
= 6 > 4 = pB
2(2 − 1)
98
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