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aller f ∈ A mit f(X) ⊆ R. Dann ist, wie leicht einzusehen ist, B eine

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aller f ∈ A mit f (X) ⊆ R. Dann ist, wie leicht einzusehen ist, B eine Unteralgebra von
C(X, R). Diese Unteralgebra enth¨alt nat¨
urlich alle konstanten reellwertigen Funktionen.
Sie ist auch punktetrennend. Zu x, y ∈ X, x = y, existiert ein f = u + iv ∈ A mit
f (x) = 0, f (y) = 1. Dann liegt die Funktion u in B; und sie nimmt in x und y verschiedene
Werte an: u(x) = 0, u(y) = 1. Daher liegt nach der reellen Fassung des Satzes von Stone
und Weierstraß B in C(X, R) dicht.
Ist f ∈ C(X, C) beliebig, f = u + iv, u, v ∈ C(X, R), so existieren also zu beliebigem
ε > 0 Funktionen g, h ∈ B ⊆ A, so daß u − g ∞ , v − h ∞ < ε/2. := g + ih liegt in
A. Schließlich ist f − ∞ < ε.
✷
Folgerung 8.2. Es sei S := {z ∈ C | |z| = 1} die Einheitskreislinie in der komplexen
Ebene. Dann gibt es zu jeder stetigen komplexen Funktion f : S → C und zu jedem ε > 0
eine Funktion der Form z → nk=−n ck z k (ck ∈ C) mit
n
f (z) −
k=−n
ck z k < ε f¨
ur alle z ∈ S.
Beweis: Es sei A die Menge aller Funktionen der Form S z → nk=−n ck z k , n ∈ N,
ck ∈ C, k = −n, . . . , n. Diese Menge ist offensichtlich eine Unteralgebra von C(S, C),
die alle konstanten Funktionen enth¨alt. Es ist z −k = z k , wenn z ∈ S. Folglich ist A
selbstkonjugiert. Die Identit¨at liegt in A. Also ist A auch punktetrennend. Damit ist der
vorige Satz anwendbar.
✷
Dieser Satz hat Folgerungen f¨
ur periodische Funktionen f : R → C. F¨
ur T > 0
betrachten wir die Menge
ur alle x ∈ R}
CT (K) := {f ∈ C(R, K) | f (x + T ) = f (x) f¨
aller auf R stetigen Funktionen mit der Periode T . Offensichtlich ist diese Menge ein
Unterraum des Vektorraumes B(R, K) aller beschr¨ankten Funktionen g : R → K, da
jedes f ∈ CT (K) wegen f (R) = f ([a, a + T ]) (a ∈ R beliebig) beschr¨ankt ist. Somit
ist CT (K) mit der Supremumsnorm f ∞ := supx∈R |f (x)| = maxa≤x≤a+T |f (x)| ein
normierter Raum (ein Unterraum des Banachraumes B(R, K)). CT (K) ist dann ebenfalls
ein Banachraum, da, wie man leicht erkennt, dieser Unterraum von B(R, K) abgeschlossen
ist.
Um die R¨aume CT (K) zu studieren, gen¨
ugt es, dies f¨
ur ein festes T , z.B. f¨
ur T = 2π,
T
Ende am zu tun. (Hat f die Periode T , so hat g, definiert durch g(y) := f ( 2π
y), die Periode 2π.)
5.1.02
Bemerkung 8.1. Es sei f ∈ C2π (K). Es sei z ∈ S = {z ∈ C | |z| = 1}, z = eiϕ ,
−π ≤ ϕ < π. Dann ist g : S → K, g(eiϕ ) := f (ϕ), wohldefiniert und stetig.
Es ist nur die Stetigkeit von g zu zeigen. Wenn z ∈ S, z = −1 und wenn S zn → z,
ur alle hinreichend große n. Damit liegen z und diese zn in der geschlitzten
so ist zn = −1 f¨
Ebene C− . Dort ist der Hauptzweig des Logarithmus stetig (Bemerkung 5.1). F¨
ur z = eiϕ ,
iϕn
zn = e
mit ϕ, ϕn ∈] − π, π[ folgt daher aus zn → z, daß ϕn = log(zn ) → log(z) = ϕ.
Wegen der Stetigkeit von f konvergiert g(zn ) = f (ϕn ) gegen f (ϕ) = g(z).
Es bleibt noch die Stetigkeit von g im Punkt z = −1 zu zeigen. W¨are g in z = −1
nicht stetig, so m¨
ußte es ein ε > 0 geben und eine Folge von Elementen zn = eiϕn ∈ S,
72
−π ≤ ϕn < π, so daß |g(zn ) − g(−1)| = |f (ϕn ) − f (−π)| ≥ ε f¨
ur alle n ∈ N. Die Folge der
ϕn ist beschr¨ankt und hat daher eine konvergente Teilfolge. Also existieren n1 < n2 < . . .
ur j → ∞. Dann konvergiert znj = eiϕnj
und ein ϕ∗ ∈ [−π, π], so daß ϕnj → ϕ∗ f¨
iϕ∗
gegen e . Als Teilfolge der gegen −1 konvergierenden Folge der zn , muß die Folge der
∗
znj auch gegen −1 konvergieren. Somit ist eiϕ = −1 und ϕ∗ ∈ {−π, π}. Weil f stetig
∗
ist, konvergiert f (ϕnj ) gegen f (ϕ ). Weil f die Periode 2π besitzt, ist f (−π) = f (π).
Daher konvergiert die Folge der f (ϕnj ) gegen f (ϕ∗ ) = f (−π), was im Widerspruch zu
f (ϕnj ) − f (−π) ≥ ε, j = 1, 2, . . ., steht.
Definition 8.1. Eine Funktion p : R → C heißt ein trigonometrisches Polynom, wenn
es n ∈ N und ck ∈ C gibt, so daß p(t) = nk=−n ck eikt f¨
ur alle t ∈ R. Die Menge all dieser
Funktionen wird mit T bezeichnet.
Offensichtlich ist die Menge T aller trigonometrischen Polynome eine Unteralgebra von
C2π (C), die alle konstanten Funktionen enth¨alt. Sie ist auch selbstkonjugiert, weil eikt =
e−ikt .
Satz 8.3. (Der Weierstraßsche Approximationssatz f¨
ur periodische Funktionen) Die Menge T liegt dicht im Raum C2π (C).
Beweis: Es sei f ∈ C2π (C). Die Funktion g : S → C, g(eit ) := f (t), ist nach obiger
Bemerkung stetig. Also existiert zu gegebenem ε > 0 eine Funktion der Form q(z) =
n
k
ur alle z ∈ S. Weil g(eit ) = f (t) f¨
ur alle t ∈ R heißt
k=−n ck z , so daß |g(z) − q(z)| < ε f¨
das mit p(t) := q(eit ), daß p ∈ T und daß |f (t) − p(t)| < ε f¨
ur alle t ∈ R.
✷
Bemerkung 8.2. Es ist leicht einzusehen, daß sich reellwertige trigonometrische Polynome immer in der Form
n
p(t) = a0 +
k=1
(ak cos(kt) + bk sin(kt)), n ∈ N, a0 , a1 , b1 , . . . , an , bn ∈ R,
darstellen lassen. Man hat nur den Realteil eines trigonometrischen Polynoms q, q(t) =
n
ikt
explizit hinzuschreiben.
k=−n ck e
Daraus folgt unmittelbar das folgende Resultat.
Folgerung 8.3. (Der Weierstraßsche Approximationssatz f¨
ur periodische Funktionen,
reelle Version) Die Menge der Funktionen p der Form
n
p(t) = a0 +
k=1
(ak cos(kt) + bk sin(kt)), n ∈ N, a0 , a1 , b1 , . . . , an , bn ∈ R,
liegt dicht im Raum C2π (R).
73
8.2
Innenproduktr¨
aume
Definition 8.2. Es sei X ein K-Vektorraum. Dann heißt eine Abbildung
K ein Innenprodukt (auch inneres Produkt genannt), wenn
|
: X ×X →
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn x und y linear abh¨angig sind.
1. die Abbildung x → x | y von X nach K f¨
ur alle y ∈ X K-linear ist, wenn
ur alle x, y ∈ X und wenn
2. y | x = x | y f¨
3. x | x ≥ 0 f¨
ur alle x ∈ X, wobei x | x = 0 genau dann gilt, wenn x = 0.
Ein Paar (X, | ), wobei | ein Innenprodukt auf dem K-Vektorraum X ist, heißt
Innenproduktraum oder Pr¨ahilbertraum
Beispiele 8.1.
1. Der Raum Kp ist mit x | y :=
p
j=1
Beweis: F¨
ur y = 0 ist die Ungleichung (mit Gleichheit) g¨
ultig. Es sei y = 0. F¨
ur
alle α ∈ K gilt 0 ≤ x + αy | x + αy = x | x + α x | y + α y | x + αα y | y . F¨
ur
α := − x | y / y | y folgt daraus die Behauptung. Unmittelbar erkennt man, daß in der
Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt, wenn x und y linear abh¨angig sind.
Wenn aber x und y linear unabh¨angig sind, ist x + αy | x + αy > 0. Mit dem obigen α
folgt dann, daß in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ein <-Zeichen zu stehen kommt.
✷
Bemerkung 8.4. In jedem Innenproduktraum (X, | ) ist durch x :=
Norm definiert. F¨
ur diese Norm gilt die Parallelogrammgleichung
xj yj ein Innenproduktraum.
2. Sind alle Komponenten aj des Vektors a := (a1 , a2 , . . . , ap ) positiv, so ist
definiert durch x | y a := pj=1 aj xj yj , ebenfalls ein Innenprodukt auf Kp
Hilfssatz 8.1. (Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) F¨
ur alle Vektoren x, y eines
Innenproduktraumes ist
| x|y |≤
x|x
y|y .
|
a,
3. Auf dem Raum C([a, b], K) ist ein Innenprodukt gegeben durch die Festsetzung
b
f | g := a f (t)g(t)dt.
x−y
2
2
+ x+y
=2 x
2
+2 y
2
.
Außerdem l¨aßt sich das Innenprodukt durch die Norm ausdr¨
ucken. Im Falle K = R ist
2
x | y = (x + y)/2
− (x − y)/2
2
,
4. F¨
ur beliebige stetige Abbildungen w : [a, b] →]0, ∞[ ist | w , definiert durch
b
f | g w := a w(t)f (t)g(t)dt, ebenfalls ein Innenprodukt auf C([a, b], K).
im Falle K = C gilt
5. Auf dem Raum C2π (K) der stetigen, 2π-periodischen Funktionen ist die unter
Punkt 3 oder allgemeiner unter Punkt 4 definierte Abbildung ebenfalls ein Innenprodukt, wenn a = −π und b = π gew¨ahlt wird.
Daraus folgt, daß das Innenprodukt als Funktion des Paares (x, y) stetig ist.
6. Jeder Unterraum Y eines Innenproduktraumes X ist mit der Einschr¨ankung des
Innenproduktes von X × X auf Y × Y ebenfalls ein Innenproduktraum.
Der Nachweis der Eigenschaften eines Innenproduktes ist fast immer einfach. Am inter¨
essantesten ist die Uberlegung,
wieso aus f | f = 0 folgt, daß f = 0; es ist zu zeigen,
b
daß f¨
ur g : [a, b] → [0, ∞[ aus g = 0 folgt, daß a g > 0: Da g ≥ 0 und g = 0, existiert ein
t0 ∈ [a, b] mit g(t0 ) =: δ > 0. Aufgrund der Stetigkeit von g existiert dann ein Teilintervall
ur alle t ∈ [c, d]. Dann ist
[c, d] positiver L¨ange in [a, b], das t0 enth¨alt, so daß g(t) ≥ δ/2 f¨
b
d
aber a g ≥ c g ≥ (δ/2)(d − c) > 0. Im letzten Punkt ist noch zus¨atzlich zu bedenken,
daß eine 2π-periodische Funktion, die auf [−π, π] verschwindet, identisch verschwindet.
Bemerkung 8.3. Offensichtlich gilt f¨
ur alle Vektoren x, y, z eines Innenproduktraumes
und alle α ∈ K:
x | y + z = x | y + x | z , x | αy = α x | y .
Es ist n¨amlich x | y + z = y + z | x = y | x + z | x = y | x + z | x = x | y +
x | z und x | αy = αy | x = α y | x = α y | x = α x | y .
Es wird sich zeigen, daß jeder Innenproduktraum mit Hilfe des Innenproduktes zu einem
normierten Raum gemacht werden kann. Um das einzusehen, ben¨otigt man die CauchySchwarzsche Ungleichung.
74
x | x eine
x | y = (x + y)/2
2
2
− (x − y)/2
+i
(x + iy)/2
2
− (x − iy)/2
2
.
Beweis: Der einzig interessante Punkt ist die Dreiecksungleichung. Diese Folgt mit Hilfe
der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus der ersten der unten angegebenen Beziehung
f¨
ur x + y 2 :
x+y
2
=
≤
≤
x
x
x
2
2
2
2
+ y
+ y
2
+ y
+ x|y + y|x ≤
+| x|y |+| y|x |≤
2
+ 2 x y = ( x + y )2
Nach der Definition der Norm und aufgrund der Rechenregeln f¨
ur ein Innenprodukt gilt
x+y
x−y
2
2
=
=
x+y|x+y = x|x + x|y + y|x + y|y
x−y|x−y = x|x − x|y − y|x + y|y
Addiert man diese Gleichungen, so gelangt man zu
x+y
2
+ x−y
2
=2 x
2
+2 y
2
.
Im Falle K = R ist x | y = y | x = y | x ; somit ergibt sich durch Subtraktion der
zweiten von der ersten Gleichung, daß
x+y
2
− x−y
75
2
=4 x|y .
Im Falle K = C ergibt dieselbe Subtraktion, daß
x+y
2
− x−y
2
8.3
=2 x|y +2 y|x .
Mit iy anstelle von y ergibt sich
i
x + iy
2
− x − iy
2
Orthogonalit¨
at
Zwei Vektoren x, y eines Innenproduktraumes X heißen (zueinander) orthogonal, in Zeichen x ⊥ y, wenn x | y = 0. Zwei nichtleere Teilmengen M, N von X heißen (zueinander)
orthogonal (M ⊥ N ), wenn x ⊥ y f¨
ur alle x ∈ M und alle y ∈ N . x ⊥ N m¨oge eine
abk¨
urzende Schreibweise f¨
ur {x} ⊥ N sein.
Man sieht leicht ein, daß f¨
ur jede nichtleere Teilmenge M von X die Menge
= 2i x | iy + 2i iy | x = 2 x | y − 2 y | x .
Die Addition dieser beiden Beziehungen liefert dann die Behauptung im Fall K = C.
Somit ist das Innenprodukt x | y als Summe von zwei bzw. vier in (x, y) stetigen
Funktionen selbst stetig.
✷
ur n → ∞. Im
Daraus ergibt sich insbesondere, daß xn | y → x | y , wenn xn → x f¨
Spezialfall xn = y1 + y2 + . . . + yn heißt das wegen der Additivit¨at des Innenprodukts in
∞
∞
der ersten Komponente, daß
n=1 yn | y =
n=1 yn | y
Definition 8.3. Ein Innenproduktraum heißt Hilbertraum, wenn er, versehen mit der
durch das Innenprodukt definierten Norm, ein Banachraum ist.
M ⊥ := {x ∈ X | x ⊥ M }
ein abgeschlossener Unterraum von X ist.
Wenn M den Nullvektor enth¨alt, wenn also z.B. M selbst ein Unterraum ist, ist
M ∩ M ⊥ = {0}. Weil x | x = 0 nur f¨
ur x = 0 gilt, ist 0 der einzige Vektor in X
mit x ⊥ X. Ist x orthogonal zu x1 , x2 , . . . , xn , so ist x ⊥ x1 , x2 , . . . , xn , dem von
x1 , x2 , . . . , xn erzeugten Unterraum von X. Da aufgrund der Stetigkeit des Innenprodukts
aus x ⊥ M auch x ⊥ M folgt, gilt sogar, daß aus x ⊥ M folgt, daß x ⊥ M . Dies ist
wieder ein Unterraum von X, da in jedem normierten Raum die abgeschlossene H¨
ulle
eines Unterraums wieder ein Unterraum ist.
Bemerkung 8.5. (Satz von Pythagoras) Sind x1 , x2 , . . . , xn im Innenproduktraum
ur j = k), so gilt
X paarweise zueinander orthogonal (xj ⊥ xk f¨
xj
1. Die in den Beispielen 8.1.1 und 8.1.2 definierten Innenproduktr¨aume sind Hilbertr¨aume, da sie endlichdimensional sind.
2. Der Raum C([a, b], K) ist mit dem unter Beispiele 8.1.3 erkl¨arten Innenprodukt
kein Hilbertraum.
¨
Das erkennt man durch folgende Uberlegung,
in der zur Vereinfachung der Notation
a = −1, b = 1 angenommen wird. F¨
ur n ∈ N sei fn : [−1, 1] → R definiert durch
fn (t) := 0, falls −1 ≤ t ≤ −1/n, durch fn (t) := 12 (nt + 1), falls −1/n ≤ t ≤
1/n, und durch fn (t) := 1, wenn 1/n ≤ t ≤ 1. Dann ist fn st¨
uckweise affin und
monoton, wobei die Werte von fn zwischen 0 und 1 liegen. F¨
ur n ≤ m ist dann (fn −
1
1/n
fm (t) = 0, wenn |t| > 1/n. Folglich ist fn − fm 2 = −1 (fn − fm )2 = −1/n (fn −
2
fm ) =
1/n
−1/n
1/n
−1/n
2
n
Beispiele 8.2.
1/n
fn2 + −1/n
1/n
2
fm
−2 −1/n
2
f n − fm ≤
fn fm . Da fn , fm ≥ 0 und da
1/n
−1/n
fm ,
1/n
−1/n
fn ≤
1 = 2/n, ist
4/n, wenn m ≥ n. Daher bilden die fn eine
Cauchyfolge in C([−1, 1], | ). Wenn es nun eine stetige Funktion f : [−1, 1] → R
ußte wegen der Eigenschaften von fn der
g¨abe, so daß limn→∞ f − fn = 0, so m¨
−1/n
1/n
1
Ausdruck −1 f 2 + −1/n (f − fn )2 + 1/n (f − 1)2 f¨
ur n → ∞ gegen 0 gehen. Weil
alle Integranden positiv sind, folgt bei gegebenem 0 < ε < 10 und f¨
ur n ≥ 1/ε,
−ε
−1/n
1
1
daß −1 f 2 ≤ −1 f 2 und daß ε (f − 1)2 ≤ 1/n (f − 1)2 . Die rechten Seiten
dieser Ungleichungen streben aber gegen 0. Folglich gilt f¨
ur alle 0 < ε < 1, daß
−ε 2
1
2
f
=
(f
−1)
=
0.
Daher
ist
(in
den
R¨
a
umen
C([−1,
−ε],
R) bzw. C([ε, 1], R))
−1
ε
f |[−1,−ε] = 0 und (1 − f )|[ε,1] = 0. F¨
ur ε → 0 folgt dann aus der angenommenen
Stetigkeit von f der Widerspruch 0 = f (0), 1 − f (0) = 0.
76
n
=
j=1
xj
2
.
j=1
Beweis:
2
n
xj
j=1
n
=
n
xj
j=1
n
xk
j=1 k=1
k=1
n
n
=
xj | x k =
j=1
n
xj | x j =
xj
2
.
j=1
✷
Eine nichtleere Teilmenge S des Innenproduktraumes X wird ein Orthogonalsystem genannt, wenn 0 ∈
/ S und wenn je zwei verschiedene Elemente aus S zueinander orthogonal
sind. Ein Orthogonalsystem S heißt Orthonormalsystem, wenn x = 1 f¨
ur alle x ∈ S.
Bemerkung 8.6. Jedes Orthogonalsystem ist eine linear unabh¨angige Menge.
ur
Beweis: Sind x1 , x2 , . . . , xn ∈ S und sind α1 , α2 , . . . , αn ∈ K, so ist αj xj ⊥ αk xk f¨
alle j = k. Aus der Annahme nj=1 αj xj = 0 folgt sodann mit Hilfe der vorigen Bemerkung, daß 0 =
verschwinden.
n
j=1
α j xj
2
=
n
j=1
|αj |2 xj 2 . Da alle xj = 0, m¨
ussen folglich alle αj
✷
Beispiele 8.3.
1. Im Innenproduktraum Kn mit dem Innenprodukt aus Bemerkung 8.1.1 ist die
kanonische Basis
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en (0, 0, . . . , 0, 1)
ein Orthonormalsystem.
77
2. Im Innenproduktraum C2π (K) mit dem Innenprodukt aus Bemerkung 8.1.5, f¨
ur das
π
( f | g := −π f (t)g(t)dt gilt, bilden die Funktionen
eint
√ ,
2π
ein Orthonormalsystem. (Dies folgt aus
n∈Z
π
−π
v := xi+1 − ij=1 xi+1 | uj uj ein von 0 verschiedener Vektor in Ci+1 ; und zwar einer, der auf Ci orthogonal steht. Daraus folgt mit ui+1 := v1 v, daß u1 , u2 , . . . , ui+1 eine
Orthonormalsystem ist, das Ci+1 erzeugt.
✷
eiαt dt = 0, wenn α = 0.)
8.4
3. Ebenso bilden die Funktionen
1
cos nt sin nt
√
zusammen mit √ , √ ,
π
π
2π
n∈N
ein Orthonormalsystem in diesem Raum. (Dies verifiziert man am einfachsten mit
Hilfe der Darstellung der trigonometrischen Funktionen als Linearkombination von
Exponentialfunktionen.)
Ein Orthogonalsystem S heißt maximal, wenn S ⊥ = {0}.
Bemerkung 8.7. Die obigen Orthonormalsystem (Beispiele 8.3) sind maximal.
Das ist f¨
ur das erste Beispiel offensichtlich, da die kanonische Basis eine Basis ist. F¨
ur
das zweite folgt das aus dem folgenden Satz.
Satz 8.4. Gilt f¨
ur ein f ∈ C2π (K), daß
π
Dasselbe gilt, wenn −π f (t) cos(nt)dt =
m ∈ Z.
Beweis: Offensichtlich gen¨
ugt es, den abz¨ahlbaren Fall zu betrachten. F¨
ur i = 1 sei
u1 = x11 x1 . Wenn u1 , u2 , . . . , ui ein Orthonormalsystem ist, daß Ci erzeugt, so ist
π
−π
π
−π
f (t)e−int dt = 0 f¨
ur alle n ∈ Z, so ist f = 0.
f (t) sin(mt)dt = 0 f¨
ur alle n ∈ N0 und alle
Beweis: Der von allen Funktionen eint , n ∈ Z, erzeugte Raum stimmt mit dem von 1
und allen cos nt, sin nt, n ∈ N erzeugten Raum u
¨berein. Dieser Raum ist der Raum T
aller trigonometrischen Polynome. Sei f mit den Eigenschaften aus der Voraussetzung
des Satzes gegeben. Dann existiert nach Satz 8.3 zu jedem ε > 0 ein g = gε ∈ T , so daß
π
π
f − g ∞ ≤ ε. Daraus ergibt sich f − g 2 = −π (f − g)(f − g) = −π |f − g|2 ≤ ε2 2π.
Weil nach Voraussetzung f ⊥ T ist f ⊥ g; somit ergibt der Satz von Pythagoras, daß
2πε2 ≥ f − g 2 = f 2 + g 2 . Daraus folgt, daß f 2 ≤ 2πε f¨
ur alle ε > 0, was f = 0
bzw. f = 0 impliziert.
✷
Orthonormale Vektoren sind beim L¨osen linearer Gleichungssystem von großem Vorteil: Ist n¨amlich {u1 , u2 , . . . , un } ein Orthonormalsystem und x = nj=1 αj uj , so sind die
Koeffizienten αj gegeben durch αj = x | uj . Das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren gibt eine Methode an, wie man aus einer abz¨ahlbaren linear unabh¨angigen
Menge ein Orthonormalsystem gewinnen kann, das denselben Raum erzeugt wie die urspr¨
ungliche Menge.
Satz 8.5. (Das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren) Es sei B = {x 1 ,
x2 , . . . , xn } bzw. B = {x1 , x2 , . . .} eine endliche bzw. abz¨ahlbar unendliche linear unabh¨angige Teilmenge des Innenproduktraumes X. Dann existiert ein Orthonormalsyur alle i = 1, 2, . . . , n bzw. alle
stem C = {u1 , u2 , . . . , un } bzw. C = {u1 , u2 , . . .}, so daß f¨
i = 1, 2, . . .
Ci := x1 , x2 , . . . , xi = u1 , u2 , . . . , ui .
78
Die lineare Approximationsaufgabe
Viele Aufgaben der Reinen und Angewandten Mathematik sind Optimierungsprobleme.
Als Beispiel sei die Lineare Regression genannt:
Zu gegebenen Punkten (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) ∈ R2 wird eine Gerade y = ax + b
gesucht, so daß nj=1 (axj + b − yj )2 kleinstm¨oglich ist.
In allgemeinerer Form geht es darum bei gegebenem Innenproduktraum X und bei
gegebenem Unterraum Y zu x ∈ X ein y ∈ Y zu finden, so daß x − y ≤ x − z f¨
ur
alle z ∈ Y .
Satz 8.6. Es sei Y ein Unterraum des Innenproduktraumes X und es sei x ∈ X. Dann
existiert h¨ochstens ein y in Y , so daß x − y ≤ x − z f¨
ur alle z ∈ Y . Außerdem steht
x − y f¨
ur dieses y auf Y orthogonal.
Umgekehrt folgt f¨
ur y ∈ Y aus x − y ⊥ Y , daß x − y ≤ x − z f¨
ur alle z ∈ Y .
Beweis: Es sei y ∈ Y und x − y ≤ x − z f¨
ur alle z ∈ Y . Dann gilt f¨
ur alle α ∈ K
und alle z ∈ Y \ {z}
x−y
2
≤
=
x − (y + αz) 2 = (x − y) − αz 2 =
x − y 2 − α x − y | z − α x − y | z + αα z
2
.
Setzt man α := x − y | z / z 2 , also α = x − y | z / z 2 , so folgt daraus | x − y | z |2 ≤
0 oder x − y | z = 0, wie gew¨
unscht.
Ist y ein zweiter Vektor in Y mit x − y ≤ x − z f¨
ur alle z ∈ Y , so gilt ebenfalls
x − y ⊥ Y . Daher liegen x − y, x − y in Y ⊥ . Dann liegt aber y − y = (x − y) − (x − y )
in Y ∩ Y ⊥ = {0}, weswegen y = y .
Wenn y ∈ Y und x − y ⊥ Y , so ist x − y ⊥ y − z f¨
ur alle z ∈ Y . Der Satz von
Pythagoras ergibt dann x − z 2 = (x − y) + (y − z) 2 = x − y 2 + y − z 2 . Daher
ist x − y ≤ x − z f¨
ur alle z in Y mit Gleichheit genau dann, wenn y = z.
✷
Im allgemeinen muß diese lineare Approximationsaufgabe keine L¨osung besitzen. Wenn
man im Innenproduktraum X = C2π (K) als Unterraum den Raum T der trigonometrischen Polynome w¨ahlt und als Element von X eine Funktion f , die nicht stetig differenzierbar ist, so liegt f nicht in T . W¨are f − g ≤ f − h f¨
ur ein g ∈ T und alle h ∈ T ,
so w¨are f − g ⊥ T , also f − g = 0 oder f = g ∈ T , ein Widerspruch.
Wenn Y als Unterraum von X vollst¨andig ist, also z.B. endlichdimensional, so kann
dieser Fall nicht eintreten.
Satz 8.7. Es sei Y ein vollst¨andiger Unterraum des Innenproduktraumes X und es sei
x ∈ X. Dann existiert genau ein y in Y , so daß x − y ≤ x − z f¨
ur alle z ∈ Y .
79
Beweis: Es ist nur die Existenz zu zeigen. Es sei x ∈ X und δ := d(x, Y ) = inf{ x − z |
z ∈ Y }. Dann existiert eine Folge von Elementen yn ∈ Y mit δ = limn→∞ x − yn . Nun
wird die Parallelogrammgleichung auf die Vektoren x − yn und x − ym angewandt:
2 x − yn
Da
yn +ym
2
2
+ 2 x − ym
∈ Y , ist x −
2
=
yn + y m
= 4 x−
2
yn +ym
2
yn − ym
(x − yn ) + (x − ym )
2
2
+ (x − yn ) + (x − ym )
+ y n − ym
2
2
=
.
≥ δ. Daraus folgt
2
≤ 2 x − yn
2
+ 2 x − ym
2
− 4δ 2 ,
was aufgrund der Wahl der yn impliziert, daß die Folge der yn eine Cauchyfolge ist. Diese
hat nach Voraussetzung in Y einen Grenzwert y. Da x − y = limn→∞ x − yn = δ, ist
damit der Satz bewiesen.
✷
Ende am
20.1.02
unkorr.
80
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