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3.2 Systeme des Bestandsmanagements Wie kommt es - WINFOR

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3.2 Systeme des Bestandsmanagements
Wie kommt es zu Lagerbeständen?
Was ist Bestandsmanagement?
Grob gesagt, wird im Bestandsmanagement festgelegt,
welche Mengen eines Produktes zu welchem Zeitpunkt zu
bestellen sind
Hierdurch wird der Bestand eines bestimmten Produktes im
Lager determiniert
Qualität des Bestandsmanagements
Diese treten dann auf wenn die Stückkosten mit der Produktions-,
Transport- oder Bestellmenge zurückgehen
Beispiel Abfüllanlagen für Softdrinks
Unsicherheit
Unsicherheit ist ein weiterer Grund für Lagerbestände
Erhöhte Lagerbestände dienen dabei der Vermeidung von
Fehlmengen bei steigender Nachfrage
322
Gründe für Lagerbestände
Business Computing and Operations Research
323
3.2.1 Klassisches Bestellmengenproblem
Dieses ist das bekannteste Modell zum Bestandsmanagement
Es geht auf Harris zurück und wurde bereits im Jahre 1915
entwickelt
Folgende (restriktive) Annahmen liegen diesem einfachen
Modell zu Grunde
Transportzeiten
Des weiteren werden durch entstehende
Transportzeiten Lagerbestände notwendig
So führen signifikante Transportzeiten zu erheblichen
Kapitalbindungen
Gegebener Gesamtbedarf im Planungszeitraum
Konstante Bedarfsrate je ZE
Unendliche Lieferrate je ZE
Konstanter Beschaffungspreis je FE
Fehlmengen sind unzulässig
Keine Ressourcenbeschränkungen
Weitere Faktoren
Spekulationen auf Preisschwankungen
Langfristige Bindungen
Business Computing and Operations Research
Skaleneffekte
– Hohe Reinigungskosten treten beim Wechsel von Produkten auf
– Daher ist die Abfüllung einzelner Flaschen zu ineffizient
– So werden durch die Herstellung großer Mengen einzelner Drinks
Skaleneffekte erzielt und damit die Stückkosten reduziert
Kann entscheidend für den Wettbewerbserfolg sein
In Deutschland beträgt der Gesamtwert des
Lagerbestandes, die irgendwo gelagert sind und „auf
Nachfrage warten“ ungefähr 500 Milliarden Euro
Irgendwie nicht so richtig effizient, oder?
Business Computing and Operations Research
Am Besten wir bestellen nur, wenn Bedarf vorliegt
oder klar absehbar ist
Problemfelder
324
Business Computing and Operations Research
325
1
Betrachtete Kostenarten
Optimaler Bestellpunkt
Variable Bestellkosten
Kostensatz q, der pro Einheit der Bestellmenge auftritt
Proportional zur Bestellmenge
z.B. Transportkosten, Beschaffungskosten pro Einheit
Fixen Bestellkosten
Treten fix (d.h. unabhängig von der gewählten Bestellmenge) bei jeder
ausgeführten Bestellung auf
Bei x>0 fallen genau einmal Kosten von k pro Bestellung an
→ Bestellkosten
Summe aus fixen und variablen Bestellkosten C(x)
Damit gilt
 0 falls x = 0
C ( x) = 
k + q ⋅ x sonst
→ Lagerhaltungskosten
Fallen je gelagerte Einheit pro Zeiteinheit an
Wir benötigen für ihre Bestimmung also die durchschnittliche Menge an
Produkten, die im Planungszeitraum auf Lager ist
Business Computing and Operations Research
Gibt die Höhe des Lagerbestandes an, bei dem eine Bestellung
in Höhe der optimalen Bestellmenge x getätigt werden soll
Die Bestimmung hängt von der Liefergeschwindigkeit ab
Im klassischen Bestellmengenproblem lässt sich der optimale
Bestellpunkt sehr einfach ermitteln
So sind zunächst Fehlmengen verboten, weshalb nur ein
Bestellpunkt größer oder gleich Null in Frage kommen kann
Daneben führt – aufgrund der unendlichen Liefergeschwindigkeit
– ein Bestellpunkt größer als Null lediglich zu höheren
Lagerbeständen – und damit höheren Lagerkosten – weshalb im
klassischen Bestellmengenproblem grundsätzlich genau dann
bestellt wird, wenn der Lagerbestand Null ist
326
Beobachtung
327
Variablen / Parameter des Modells
Wir haben mit den Bestell- und Lagerkosten zwei
konfliktäre Zielgrößen
Dabei ist zu beachten, dass die Bestellmenge x keinen
Einfluss auf die gesamten variablen Bestellkosten hat
Die variablen Bestellkosten sind somit nicht
entscheidungsirrelevant für die Bestimmung der
optimalen Bestellmenge und brauchen nicht weiter
berücksichtigt werden, d.h. wir können unsere
Zielfunktion entsprechend vereinfachen
Damit ergibt sich das folgende einfache Modell zur
Bestimmung einer wirtschaftlichen Bestellmenge
Business Computing and Operations Research
Business Computing and Operations Research
328
Variable:
x
die zu bestellende Menge je Bestellvorgang, in [FE]/[Best.]
Parameter:
μ
Gesamtbedarf an einer Materialart im Planungszeitraum, in
[FE]/[PZE]
k
Bestellfixe Kosten je Einzelbestellung, in [GE]/[Best.]
h
Lagerhaltungskostensatz, in [GE]/([FE] . [PZE])
q
Beschaffungspreis der Materialart, in [GE]/[FE]
Business Computing and Operations Research
329
2
Kostenfunktion
Verlauf des Lagerbestandes
Man erkennt, dass gerade die Hälfte der gewählten
Bestellmenge x durchschnittlich auf Lager liegt
Damit können wir x/2 als durchschnittlichen Bestand ansetzen:
Die zu minimierenden Kosten betragen somit in
Abhängigkeit von der gewählten Bestellmenge
Lagerbestand
K (x ) =
µ
x
⋅ k + ∅I (x )⋅ h
Wir sehen, dass wir noch den durchschnittlichen
Bestand ∅I (x ) benötigen, um die Formel zu
komplettieren
Dies ist aber sehr leicht möglich, wie die folgende
Abbildung veranschaulicht
x/2
t
Business Computing and Operations Research
330
Gesamtkosten
K (x ) =
µ
x
⋅k
Summe fixe Bestellkosten
Einheiten:
( GE / Best .)⋅(( FE / PZE ) /( FE / Best .))
=GE / PZE
+
Business Computing and Operations Research
331
Bestimmung der optimalen Bestellmenge
K (x ) =
1
⋅ x⋅h
2
Summe Lagerkoste n
Einheiten:
( Best .)⋅(( FE / Best .)⋅( GE /( FE ⋅ PZE )))
=GE / PZE
µ
x
1
⋅k + ⋅ x⋅h
2
∂K ( x )
∂
µ 1
∂K (x )
∂x = 2 ⋅ k ⋅ µ > 0 ∀x ∈ IR
= −k ⋅ 2 + ⋅ h;
+
∂x
x
2
∂x
x3
µ 1
µ 1
∂K (x )
= 0 ⇔ −k ⋅ 2 + ⋅ h = 0 ⇔ k ⋅ 2 = ⋅ h
∂x
x
2
x
2
+
µ
µ
⇔ 2 ⋅ k ⋅ = x2 ⇔ x =
2⋅k ⋅
−
h
h
x = 2⋅k ⋅
µ
wird als wirtschaftliche Beschaffungsmenge
h
oder optimale Bestellmen ge (economic order quantity) bezeichnet
Business Computing and Operations Research
332
Business Computing and Operations Research
333
3
Einheiten
Klassische Bestellmenge – Beispiel
Daten:
μ=18.000 kg/Jahr
k=120,00 €/Bestellung
h=0,75 €/(kg.Jahr)
µ
x = 2⋅k ⋅
h
Einheiten :
 FE 
µ
 1   GE 
 PZE  = 2 ⋅ k  GE  ⋅ µ
2
⋅k
⋅
 Best.2  h
 Best.   Best.  h  GE 


 FE ⋅ PZE 
= 2⋅k ⋅
 FE 2 


 GE 
µ  FE 2 
⇒ x = 2 ⋅120
18000
= 5760000 = 2400 [kg / Best.]
0,75
µ  FE 

 = 2⋅k ⋅ 
h  Best.2 
h  Best. 
Business Computing and Operations Research
334
Illustration der Kostenverläufe
335
Robustheit der Lösung
25000
20000
15000
Business Computing and Operations Research
Gesamtkosten
Fixe Bestellkosten
Lagerkosten
10000
Die Frage stellt sich, in welchem Ausmaß
Abweichungen von der optimalen Bestellmenge
Auswirkungen auf die entstehenden Gesamtkosten
haben
Um dies zu untersuchen, wollen wir im Folgenden die
doppelte und die halbierte Bestellmenge ansetzen
und die sich ergebenden Kosten betrachten
Dies erfolgt auf der nächsten Folie
5000
0
1
5
9
13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65
Business Computing and Operations Research
336
Business Computing and Operations Research
337
4
Variation der Bestellmenge
Man sieht…
x
K(x)
fixe Bestellkosten
Lagerkosten
1100
2376,136364
1963,636364
412,5
1200
2250
1800
450
1300
2149,038462
1661,538462
487,5
2200
1806,818182
981,8181818
825
2300
1801,630435
939,1304348
862,5
2400
1800
900
900
2500
1801,5
864
937,5
2600
1805,769231
830,7692308
975
4700
2222,074468
459,5744681
1762,5
4800
2250
450
1800
4900
2278,316327
440,8163265
1837,5
Business Computing and Operations Research
dass die Gesamtkostenfunktion im Optimum sehr
flach verläuft und sich deshalb sehr unsensitiv
gegenüber Veränderungen verhält
Eine Verdopplung oder Halbierung der Bestellmenge
hat eine Kostensteigerung um lediglich 25 Prozent zur
Folge
338
Einbeziehung von variablen Bestellkosten
µ
x
339
3.2.2 Modellerweiterungen
Die variablen Bestellkosten sind, wie bereits erwähnt, für die
Bestimmung der optimalen Bestellmenge x nicht
entscheidungsrelevant, müssen in der Realität bei der
Berechnung der Gesamtkosten aber berücksichtigt werden
Die Formel zur Kostenbestimmung in Abhängigkeit der
Bestellmenge x erweitert sich bei Einbeziehung dieser Kosten
zu
K (x) =
Business Computing and Operations Research
Wir erweitern nun das klassische Problem um verschiedene
praxisrelevante Merkmale wie
Lieferzeiten,
endliche Lieferraten oder
Rabatte
Bisher wurde vereinfacht davon ausgegangen, dass
keine Lieferzeiten auftreten, d.h. wir können beliebige Mengen
ohne Zeitverzug beschaffen,
uns jeweils die gesamte Beschaffungsmenge in einer Lieferung
erreicht und
keine Rabattmöglichkeit gegeben ist
1
⋅ k + ⋅ x ⋅ h + q ⋅ µ.
2
Diese Annahmen werden nun nacheinander aufgehoben
Business Computing and Operations Research
340
Business Computing and Operations Research
341
5
Berücksichtigung von Lieferzeiten
Bestimmung des Bestellpunktes
Im Folgenden stellen wir uns die Frage, wie sich die Lösung
verändert, wenn eine bestimmte Lieferzeit gegeben ist
Das heißt, wir haben nun eine Transport- oder
Auslieferungszeit zu berücksichtigen
Damit lässt sich natürlich ein Bestellpunkt Null nicht mehr
halten
Allerdings hat die isolierte Berücksichtigung von Lieferzeiten
keine Auswirkungen auf die Höhe der optimalen Bestellmenge
Vielmehr ist lediglich der Bestellpunkt entsprechend zu
modifizieren
So ist jeweils die Lagermenge zu finden bei der eine Bestellung
auszulösen ist, damit diese genau bei Lagerstand Null eintrifft
342
Business Computing and Operations Research
Damit: Berechnung des Bestellpunktes
T: Definiert die Zeitspanne in der eine komplette
Bestellung der Größe x verbraucht wird, d.h. dies ist die
Dauer zwischen zwei Bestellungen
LT: Lieferzeit für eine Bestellung
Business Computing and Operations Research
343
Berechnung des Bestellpunktes – Beispiel
Seien x=40 [PE], μ=20 [PE]/[Woche] gegeben
Damit gilt T=40/20 [PE]/[PE]/[Woche]=2 [Wochen]
LT sei 1,4 [Wochen]
Damit gilt r*=(1,4 modulo 2).20=1,4.20=28 PE
Sinkt der Lagerbestand auf 28 PE muss bestellt
werden
Wir können somit festhalten r ∗ = (LT modulo T ) ⋅ µ
Diese Formel gilt insbesondere auch für den Fall LT>T
Lagerbestand
x
r*
Falls nun LT 2,6 [Wochen]
Dann gilt r*=(2,6 modulo 2).20=0,6.20=12 PE
Sinkt der Lagerbestand auf 12 PE muss bestellt
werden
Periode
LT
T
LT modulo T
Business Computing and Operations Research
Die Frage ist nun, bei welchem Lagerbestand eine
Bestellung auszulösen ist
Dieser Lagerbestand leitet sich aus der Menge her, die
während der Lieferzeit verbraucht wird
Da μ Produkteinheiten im jeweiligen
Planungszeitraum verbraucht werden, ist nach dem
Verhältnis von T und LT zu fragen
344
Business Computing and Operations Research
345
6
Berücksichtigung von endlichen Lieferraten
Bestandsverlauf bei endlicher Lieferrate
Bei einer endlichen Lieferrate treffen die Lieferungen
nicht komplett sondern in Raten ein
Dies bedeutet, dass wir im Folgenden eine
kontinuierliche Lieferrate λ (ähnlich zum
kontinuierlichen Bedarf μ) unterstellen
Es gilt: λ≥μ
Andernfalls läge eine unlösbare Problemstellung vor
Wir können prinzipiell die für den Standardfall
hergeleitete Lösungsformel weiter verwenden
Allerdings ist zu beachten, dass durch das schrittweise
Füllen des Lagers geringere Lagerkosten auftreten, da
die Bestände geringer sind als im klassischen Modell
Business Computing and Operations Research
346
Durchschnittlicher Lagerbestand
=TP. µ
TP=
TP.λ =
x
λ
Zeit
T
λ =∞
λ << ∞
Business Computing and Operations Research
347
Neue Kostenfunktion
Da der Verlauf wiederum linear ist, brauchen wir nur
den Höchst- und den Mindestbestand zu betrachten
Damit erhalten wir
Wir erhalten somit die folgende Kostenfunktion
K (x ) =
1
1 
x 
⋅ (( x − TP ⋅ µ ) + 0 ) = ⋅  x − ⋅ µ 
λ 
2
2 
1
1  µ
 µ
= ⋅ x ⋅ 1 −  = x ⋅
⋅ 1 − 
2
2  λ
 λ
µ
1
 µ
k + ⋅ x ⋅ 1 −  ⋅ h
x
2
 λ
Wir können nun zur Ermittlung der optimalen
Bestellmenge die Ableitung bilden und deren
Nullstelle ermitteln
Allerdings lässt sich die bereits hergeleitete Formel
verwenden, da wir es nur mit modifizierten
Lagerkosten zu tun haben, der Rest aber unberührt
bleibt
∅I ( x ) =
Anteil der Bestellmenge x, der im
Planungszeitraum
durchschnittlich auf Lager ist
Business Computing and Operations Research
Lagerbestand
x
348
Business Computing and Operations Research
349
7
Modifizierte optimale Bestellmenge
Modifizierte Bestellmenge – Beispiel
Wir ersetzen in der Formel
x = 2⋅k ⋅
h durch
und erhalten
Daten:
μ=18.000 kg/Jahr
λ=36.000 kg/Jahr
k=120,00 €/Bestellung
h=0,75 €/(kg.Jahr)
µ
h
 µ
1 −  ⋅ h
 λ
⇒ x = 2 ⋅120
2⋅k ⋅µ
x=
 µ
1 −  ⋅ h
 λ
Business Computing and Operations Research
= 3394,113 [kg / Best.]
350
Berücksichtigung der variablen Bestellkosten
351
Vielfach ist es in der Praxis möglich,
mengenabhängige Rabatte zu erhalten
Das heißt, eine größere Bestellmenge kann sich durch
geringere variable Beschaffungskosten auszeichnen
Damit wird diese Kostenkategorie erstmals
entscheidungsrelevant!
µ
1
 µ
k + ⋅ x ⋅ 1 −  ⋅ h + q ⋅ µ.
x
2
 λ
Business Computing and Operations Research
Business Computing and Operations Research
Einbeziehung von Rabatten
Werden variable Bestellkosten bei der Berechnung
der Gesamtkosten berücksichtigt, ist folgende
Berechnungsformel anzuwenden
K (x ) =
18000
4320000
=
0,375
 18000 
0,75 ⋅ 1 −

 36000 
352
Business Computing and Operations Research
353
8
Bekannte Rabattarten
Rabattarten
Rabatt
Einzelbestellmengenbezogene versus Zeitraum
bezogene Rabatte
Einzelbestellmengebezogenen Rabatten:
ist ein mengen- oder wertabhängiger Abschlag von
einer bestimmten Ausgangsgröße
Mengenabhängige versus wertabhängige Rabatte
Pro einzelnem Auftrag / einzelner Bestellung wird
jeweils entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird
Mengenabhängig:
Bei Abnahme von mehr als x Stück wird ein Rabatt von
y Prozent gewährt
Wertmäßig:
Bei Erwerb von mehr als x Euro Wert wird ein Rabatt
von y Prozent gewährt
Business Computing and Operations Research
Zeitraumbezogene Rabatten:
Bezogen auf das Auftragsverhalten in einem Zeitraum
wird entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird (durch
den Lieferanten wird ein bestimmtes Kundenverhalten
angestrebt)
354
Angestoßener Rabatt
Illustration – Angestoßener Rabatt
Angestoßener Rabatt
Es werden hierbei t Rabattklassen definiert, die bestimmten Mindestund Höchstmengen als zulässige Intervalle besitzen.
Rabattklasse I:
a0 ≤ x < a1
Rabattklasse II:
a1 ≤ x < a2
Rabattklasse III: a2 ≤ x < a3
Rabattklasse IV: a3 ≤ x < a4
…
Rabattklasse k:
ak-1 ≤ x < ak
K
Beachte: Es werden nur die Mengen in den jeweiligen Klassen mit dem
entsprechenden Rabatt berücksichtigt.
Beispiel: a2 ≤ x < a3
Nur für die x – a2 vielen Mengeneinheiten erhält man einen Rabatt.
Somit lohnt es sich nie mehr als benötigt zu beschaffen
Business Computing and Operations Research
355
Business Computing and Operations Research
x
x1
356
x3
Business Computing and Operations Research
357
9
Durchgerechneter Rabatt
Beispiel zur Überbestellung
Preis pro Stück:
Vernichtungskosten:
Durchgerechneter Rabatt:
Hier gilt der Rabatt jeweils für alle bestellten Einheiten
Hier kann es sich u. Umständen lohnen mehr als
benötigt zu bestellen (und zu vernichten)
Beispiel: Es gelte ein durchgerechneter Rabatt von 10
Prozent bei Abnahme von über 1.001 Stück
x Stück seien zu beschaffen mit x ≤ 1.000
Frage ist nun:
„Für welche x lohnt sich die „Überbestellung“ wenn die
folgenden Angaben gelten?“
Business Computing and Operations Research
358
Manche nutzen einfach jeden Rabatt
Überbestellung lohnt sich bei:
(1001 – x).10 + 1001.900 –1000.x ≤ 0
Damit gilt:
10010 – 10.x + 900.900 – 1000.x ≤ 0
Somit:
910910 – 1010 x ≤ 0
Und deshalb folgt für die benötigte Menge x
x ≥ 901,8910891
Business Computing and Operations Research
359
Zeitraumbezogener Rabatt
„Frau Lamprecht, Sie haben da nicht den Überblick…“
„…der blattweise Einkauf von
Schreibmaschinenpapier ist betriebswirtschaftlich
nicht sinnvoll…“
„…und Sie sorgen dafür, dass das hier weggeräumt
wird…“
Business Computing and Operations Research
1.000 €/Stück
10 €/Stück
360
Zeitraumbezogener Rabatt
Gewährung des Rabattes in Abh. der Menge R, die in gesamten
Zeitraum beschafft wird.
r(μ): Reduktion des Lagerkostensatzes in Abhängigkeit des
Gesamtbedarfs
h0: Lagerkostensatz bei einem Beschaffungspreis ohne Rabatt
h(μ): Lagerkostensatz bei einem Beschaffungspreis mit Rabatt
abhängig von μ
Auswirkung hat eine solche Rabattform dann auf die optimale
Bestellmenge, wenn der Lagerkostensatz eine wertmäßige
Komponente enthält, d.h. es gilt:
h ( µ ) = α ⋅ q ( µ ) + (1 − α ) ⋅
m ( µ)
Wertmäßige
Komponente
Mengenabhängige
Komponenten
,0 ≤ α ≤1
Business Computing and Operations Research
361
10
Anmerkungen
Modifizierte Bestellmenge
Bisher sind wir von rein mengenabhängigen
Lagerkosten ausgegangen, d.h. α=0
In der Praxis werden häufig, zur Berücksichtigung von
Opportunitätskosten, reine wertmäßige
Lagerkostensätze verwendet, d.h. es wird „die
Bindung von Kapital im Lager“ bestraft
Allerdings sind auch „Mischlösungen“ mit Werten 0<
α<1 denkbar
Im Folgenden werden wir vereinfachend von rein
wertmäßigen Lagerkostensätzen ausgehen, d.h. es gilt
α=1. Damit gilt h(µ)=q(µ)
Business Computing and Operations Research
362
Ergebnis
r(μ)
x1* − x0*
⋅ 100%
x0*
5%
2,6 %
10 %
5,4 %
15 %
8,5 %
20 %
11,8 %
25 %
15,5 %
30 %
19,5 %
62 %
62,2 %
70 %
82,6 %
x1* =
2⋅k ⋅ µ
2⋅k ⋅ µ
=
h( µ )
h0 ⋅ [1 − r ( µ )]
Damit gilt
x1* =
2⋅k ⋅ µ
1
2⋅k ⋅ µ
1
=
⋅
= x0∗ ⋅
h0 ⋅ [1 − r ( µ )]
1 − r (µ )
h0
1 − r(µ)
Business Computing and Operations Research
363
Einzelbestellmengenbezogenen Rabatt
Hierbei ist nun die Rabatthöhe abhängig von der
gewählten Bestellmenge
In der Rabattstufe i=0,…,I+1 gilt mit dem Rabatt ri für
den Beschaffungspreis qi
Je größer der Rabatt, desto
kleiner der Lagerkostensatz
Als Konsequenz steigt die
optimale Bestellmenge mit
zunehmendem Rabatt r(μ)
Business Computing and Operations Research
Es gilt somit (die Mengenkomponente wird hierbei
durch die Wertkomponente miterfasst):
q0
falls
a0 = 0 ≤ x < a1


qi =  q0 ⋅ (1 − ri ) falls ai ≤ x ≤ ai +1 , ∀ i ∈ {1, ..., I − 1}
q ⋅ (1 − r ) falls
x ≥ aI
I
 0
bei insgesamt I+1 Rabattstufen.
364
Business Computing and Operations Research
365
11
Auswirkung auf den Lagerhaltungskostensatz
Die Gesamtkostenfunktion für Rabattstufe i
Für Rabattstufe i lautet die Kostenfunktion
Im folgenden setzen wir voraus, dass sich der Lagerkostensatz
als Opportunitätskosten des eingesetzten Kapitals angesetzt
wird
Bezeichne z den anzusetzenden Kapitalmarktzins, dann gilt für
den Lagerhaltungskostensatz h0 = z·q0
Für die Rabattstufe i=0,…,I+1 mit dem Rabatt ri errechnet sich
damit der Lagerkostensatz hi durch
K i = K i ( x) = qi ⋅ µ +
und die optimale Bestellmenge für Rabattstufe i ist
xi* = xi* (hi ) =
h0
falls
a0 = 0 ≤ x < a1


hi =  h0 ⋅ (1 − ri ) falls ai ≤ x ≤ ai +1 , ∀ i ∈ {1, ..., I − 1}
h ⋅ (1 − r ) falls
x ≥ aI
I
 0
Beachte:
Gesamtkostenfunktion hat mehrere Sprünge
Die Funktion ist nur abschnittsweise differenzierbar.
366
Business Computing and Operations Research
Grundlegende Erkenntnis
367
Optimales Vorgehen - Algorithmus
Es gilt:
Optimale Bestellmenge xi* der Rabattklasse i mit den
Gesamtkosten K i ist immer vorteilhafter als alle
Bestellmengen mit Gesamtkosten von K 0 bis
Problem ist aber:
1.
2
Beginne bei der letzten Rabattstufe und setzte i=I
Berechne den Lagerhaltungskostensatz und Einstandspreis dieser
Rabattklasse i
3.
Berechne die optimale Bestellmenge der Rabattklasse i
hi = h0 ⋅ (1 − ri )
Das Bild k ann
zurzeit nicht
angezeigt werden.
x* ( hi ) =
Wir müssen prüfen, ob
„Diese Bestellmenge im erforderlichen Intervall liegt,
d.h. ob für diese Bestellmenge die folgende IntervallBedingung gilt?“
4.
5.
6.
ai ≤ x (hi ) < ai +1
7.
368
qi = q0 ⋅ (1 − ri )
2⋅k ⋅ µ
hi
Setze i0=i. Falls x*(hi) < ai , setze i=i-1 und gehe zu 2.
x*(hi) = ai für alle i=i0+1,i0+2,…,I
Berechne die Gesamtkosten für alle i=i0,i0+1,…,I
Ki =
*
Business Computing and Operations Research
2⋅k ⋅ µ
,
hi
falls ai ≤ xi < ai +1 gilt.
bei insgesamt I+1 Rabattstufen
Business Computing and Operations Research
µ
1
k + ⋅ x ⋅ hi .
x
2
µ ⋅k
1
+ ⋅ x* ( hi ) ⋅ hi + qi ⋅ µ
x* ( hi ) 2
Wähle die Bestellmenge x*(hi) mit kleinsten Gesamtkosten als optimale
Bestellmenge aus
Business Computing and Operations Research
369
12
Optimales Vorgehen - Erklärung
Optimales Vorgehen – Erklärung 2
Bei Stufe i0 scheiden sofort alle kleineren Stufen aus Kostengründen aus!
Warum? Es gilt:
∀j ∈ {i0 + 1, ..., I } : x* ( h j ) < a j . Wegen x* ( h j ) =
2⋅ k ⋅ µ
hj
∧ h j ≤ h j −1 ≤ h j − 2 ≤ ... ≤ h1 gilt: ∀j ∈ {i0 + 1, ..., I } : x* ( h j −1 ) ≤ x* ( h j )
( )
≤ x (h ) < a
( )
⇒ x* hi0 ≤ x* ( h j ) < a j ∧ x* hi0 ≥ ai0
⇒ ai0
*
j
i0 +1
Da nun für die Rabattstufen c=i0+1, i0+2, ...,I für die
Bestellmenge gilt x*(qc)<ac, ist die Bestellmenge auf ac
zu erhöhen, damit die Rabattklasse c überhaupt
gewährt wird. Es gilt daher x*(qi) = ac
Wähle schließlich unter diesen Kandidaten die
Bestellmenge
{x ( h ) , a
*
i0 +1
i0
∧ ∀i ∈ {0, 1,..., i0 − 1} : Ki ≥ Ki0
, ai0 + 2 , ..., aI
}
mit minimalen Kosten aus
{
min K i0 , K i0 +1 ,..., K I
Business Computing and Operations Research
370
Beispiel
Business Computing and Operations Research
371
Wir betrachten nun die Stufe 2
Wir betrachten die folgende einfache Konstellation
Die optimale Bestellmenge lautet dort
Stufe 0:
Bei Bestellmengen zwischen 0 und <200 Stück ergibt sich ein
Beschaffungspreis von 16 €/Stück
Stufe 1:
Bei Bestellmengen zwischen 200 und <500 Stück ergibt sich ein
Beschaffungspreis von 15 €/Stück
Stufe 2:
Bei Bestellmengen größer oder gleich 500 Stück ergibt sich ein
Beschaffungspreis von 14 €/Stück
Weitere Daten sind
x* (h2 ) =
2 ⋅1000 ⋅ 50
= 267 < 500
1,4
Damit berechnen wir die Kosten der unteren Grenze,
also
K (500) = 1000 ⋅14 +
μ=1.000 Stück/Jahr
k=50,00 €/Bestellung
z = 0,1 (Kapitalmarktzinssatz von 10%)
hi=z.qi = 0,1.qi€/(Stück.Jahr)
Business Computing and Operations Research
}
372
1000
500
⋅ 50 +
⋅1,4 = 14.450
500
2
Business Computing and Operations Research
373
13
Wir betrachten nun die Stufe 1
Ergebnis
Die optimale Bestellmenge lautet dort
x* (h1 ) =
Aufgrund der geringeren Gesamtkosten realisieren
wir die Bestellmenge 500 Stück
Dies entspricht der unteren Schranke der höchsten
Rabattstufe (Stufe 2)
2 ⋅1000 ⋅ 50
= 258 ≥ 200 ⇒ i0 = 1
1,5
Damit ist die Betrachtung weiterer Stufen unnötig
und wir berechnen die Kosten der optimalen
Bestellmenge der Stufe 1
K (258) = 1000 ⋅15 +
1000
258
⋅ 50 +
⋅1,5 = 15.387
258
2
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14
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Gesundheitswesen
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