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1. Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate

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1. Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate
Übung 1: Die Tabelle und das
Diagramm zeigen, wie sich die
Lufttemperatur an einer
Messstation zwischen 6 Uhr und
14 Uhr verhalten hat.
Uhrzeit
Temperatur
in °C
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
19
23
28
31
33
34
34
a) Die Temperaturzunahme verlief nicht gleichmäßig. Begründen Sie dies.
b) Vergleichen Sie für die Zeiträume zwischen 6 und 8 Uhr, 7 und 10 Uhr bzw. 9 und 13
Uhr wie sich die Temperatur durchschnittlich pro Stunde geändert hat.
Übung 2: Zeichen Sie die Sekante s1 durch P1(0|f(0) und Q1(2|f(2)) sowie die Sekante s2
durch P2(2|f(2) und Q2(4|f(4)) in obiges KOSY ein und bestätigen Sie obige Aussage über
die Steigungen der Sekanten.
Übung 2: Zeichen Sie die zu den Intervallen [0;3] bzw. [4;5] gehörenden Sekanten s1 und
s2 in obigen Graphen des KOSY ein und bestätigen Sie obige Aussage über die Steigungen
der Sekanten.
Berechnen Sie dann den Werte der Steigungen m1, m2 der beiden Sekanten.
Übung 3: Bestimmen Sie den Differenzenquotienten der
Normalparabel im Intervall [1;3]. Zeichen Sie dann die
passende Sekante in den Graphen mit ein.
Übung 4:
1
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=− 4  2 + 2 + 2;  ∈ ℝ. Berechnen Sie die
mittlere Änderungsrate m von f in den Intervallen [2;3], [2;4], [4;6] und [2;10].
Lösung :
Intervall [2;3] : 1 =
Intervall [2;4] : 2 =
Intervall [4;6] : 3 =
Intervall [2;4] : 4 =
 3 −(2)
5,75−5
=
= 0,75
3−2
1
 4 −(2)
6−5
=
= 0,5;
4−2
2
 6 −(4)
5−6
=
= −0,5;
6−4
2
 10 −(2)
−3−5
=
= −1;
10−2
8
Übung 5: Die Funktion T :  → 75 ∙ 3−0,05 + 20 (t≥0 in min; T(t) in °C) beschreibt den
zeitlichen Verlauf der Temperatur einer frisch gebrühten Tasse Tee in guter Näherung.
a) Berechnen Sie die mittlere Abkühlung, also die mittlere
Änderung der Funktionswerte von T, für die Intervalle [5;40]
bzw. [15;50]. Beschreiben Sie in Worten, was diese Werte
angeben
c) Wie kann man an g1 und g2 erkennen, dass
die mittlere Temperaturabnahme in [5;40]
größer ist als in [15;50]?
b) Zeichen Sie den Graphen
von T und die zwei
Sekanten g1 und g2, die zu
den in a) betrachteten
Intervallen gehören in das
rechts abgebildete
Koordinatensystem ein.
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Gesundheitswesen
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