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Das div-curl-Lemma und kompensierte Kompaktheit - Institut für

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¨ t Berlin
Technische Universita
Fakult¨
at II – Institut f¨
ur Mathematik
Bachelorarbeit
im Studiengang Mathematik
Das div-curl-Lemma und
kompensierte Kompaktheit
Martin Plonka (337266)
betreut von Dr. Hans-Christian Kreusler
Eidesstattliche Erkl¨
arung
Hiermit erkl¨
are ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstst¨andig und eigenh¨andig sowie
ohne unerlaubte fremde Hilfe und ausschließlich unter Verwendung der aufgef¨
uhrten
Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe.
Die selbstst¨
andige und eigenh¨
andige Anfertigung dieser Arbeit versichert an Eides statt:
Berlin, den
Martin Plonka
Inhaltsverzeichnis
1 Einf¨
uhrung
1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Schwache Konvergenz und Nichtlinearit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
8
2 Das div-curl-Lemma
11
2.1 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Das klassische div-curl-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Kompensierte Kompaktheit
23
3.1 Notwendige Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Hinreichende Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Ausblick
37
A Anhang
38
A.1 Schwache Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A.2 Funktionenr¨
aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Literaturverzeichnis
41
1 Einfu
¨hrung
In der modernen Physik werden viele Probleme mit Hilfe von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen modelliert. Bei der mathematischen Behandlung solcher Problemstellungen betrachtet man h¨
aufig eine Folge von Ersatzproblemen mit zugeh¨origen L¨osungen.
Mit Hilfe von a-priori Absch¨
atzungen erh¨alt man eine schwach konvergente Teilfolge der
L¨osungen. Die zentrale Frage ist nun, ob der schwache Grenzwert der Teilfolge eine L¨osung
des Grenzproblems ist. Diese Frage kann unter Umst¨anden mit klassischen Monotonie-,
Konvexit¨
ats- oder Kompaktheitsargumenten positiv beantwortet werden. Allgemein werden dabei im nichtlinearen Fall mehr Absch¨atzungen ben¨otigt als im linearen Fall.
In dieser Bachelorarbeit wird die in den siebziger Jahren entstandene Theorie der kompensierten Kompaktheit vorgestellt. Diese liefert unter anderem alternative Kriterien f¨
ur
die Vertr¨
aglichkeit von schwacher Konvergenz und Nichtlinearit¨at. Die Resultate, die hier
pr¨asentiert werden, nutzen gegebene Informationen u
¨ber partielle Ableitungen der Funktionenfolgen aus, um die Nichtlinearit¨at gerade soweit einzuschr¨anken, dass die mangelnde
Kompaktheit kompensiert wird.
Der Hauptaspekt dieser Arbeit liegt auf dem historisch ersten Resultat, dem klassischen
div-curl-Lemma (Satz 2.10), und dem Hauptsatz (Satz 3.6) der kompensierten Kompaktheit. Diese liefern hinreichende Kriterien f¨
ur die Vertr¨aglichkeit des euklidischen Skalarproduktes und allgemeiner quadratischer Formen mit bestimmten schwach konvergenten
Funktionenfolgen. Die Kernidee der kompensierten Kompaktheit ist, dass die relevanten
Funktionen als L¨
osungen von Differentialgleichungen eventuell mehr Struktur besitzen, die
man verwenden kann. Mit dieser zus¨atzlichen Struktur erh¨alt man eine gewisse Kontrolle, sodass man die Nichtlinearit¨
at nur noch in unkontrollierbare Richtungen einschr¨anken
muss. Die Hauptaussagen samt Beweisskizzen und die Beispiele sind in [Tar79] und [Tar09,
Kap. 9,17] zu finden.
Im ersten Kapitel werden f¨
ur den Verlauf dieser Arbeit wichtige Begriffe und Ergebnisse der
Analysis und Funktionalanalysis eingef¨
uhrt. Außerdem wird die Problemstellung anhand
von zwei Beispielen illustriert. Das Ziel des zweiten Kapitels ist es, das klassische divcurl-Lemma zu beweisen. Hierzu werden die Fourier-Transformation als Hauptwerkzeug
dieser Arbeit und einige ihrer Eigenschaften vorgestellt. Im dritten Kapitel werden weitere
Aussagen der kompensierten Kompaktheit bewiesen. In dem Abschnitt 3.3 werden diese
neuen Resultate der kompensierten Kompaktheit mit klassischen Konvexit¨ats- und Kom¨
paktheitsargumenten verglichen. Abschließend wird ein Uberblick
u
¨ber die M¨oglichkeiten
und Weiterentwicklungen der Theorie der kompensierten Kompaktheit gegeben.
1
1.1 Grundlagen
1.1 Grundlagen
Die Theorie der kompensierten Kompaktheit besch¨aftigt sich mit schwach konvergenten Folgen von Funktionen und deren Ableitungen. Deshalb werden in diesem Abschnitt
zun¨achst einige relevante Definitionen und S¨atze aus der Analysis und Funktionalanalysis
pr¨asentiert. Insbesondere werden zwei verallgemeinerte Ableitungsbegriffe und spezielle
Konvergenzbegriffe vorgestellt. In dieser Arbeit werden weitere Resultate verwendet, die
nicht Teil dieser kurzen Einf¨
uhrung sein sollen. Diese sind im Anhang aufgef¨
uhrt. Bei
Verwendung wird auf die entsprechende Stelle des Anhangs verwiesen.
Definition 1.1: Schwache und Schwach∗ Konvergenz
Es sei (X, · X ) ein normierter Vektorraum und (X , · X ) bezeichne den topologischen
Dualraum von X.
(a) Eine Folge (xn )n ⊂ X heißt schwach konvergent gegen x ∈ X (symbolisch: xn
n→∞
ur alle f ∈ X gilt.
falls f (xn ) = f, xn X ,X −−−→ f, x X ,X = f (x) f¨
x),
(b) Eine Folge (f n )n ⊂ X heißt schwach∗ konvergent gegen f ∈ X (symbolisch:
n→∞
∗
ur alle x ∈ X gilt.
fn
f ), falls f n (x) = f n , x X ,X −−−→ f, x X ,X = f (x) f¨
Bemerkung:
• In dieser Arbeit wird im Allgemeinen symbolisch nicht zwischen der Menge X und
dem normierten Vektorraum X (= (X, · X )) unterschieden. Es sollte aus dem
Kontext stets deutlich werden, ob die Menge oder der Raum gemeint ist.
• Die Bilinearform ·, · X ,X wird auch duale Paarung genannt. In der Literatur wird
der Dualraum von X auch mit X ∗ bezeichnet.
• Schwache und schwach∗ Grenzwerte sind eindeutig (Satz A.1).
• Man kann die Begriffe schwache und schwach∗ Konvergenz auch von einem topologischen Standpunkt aus definieren. F¨
ur die entsprechenden Definitionen von schwacher
¨
und schwach∗ Konvergenz und deren Aquivalenz
zu Definition 1.1 sei an dieser Stelle
bei Interesse auf [Bre11, Kap. 3] verwiesen.
Im Folgenden werden meist separable und reflexive Banach- oder gar Hilbert-R¨aume
(siehe Definition A.2) betrachtet. F¨
ur eine Folge (f n )n aus dem Dualraum X eines reflexiven Raumes X gilt
n→∞
f n (x) −−−→ f (x)
f¨
ur alle x ∈ X genau dann, wenn f¨
ur alle ϕ ∈ (X ) gilt:
n→∞
ϕ(f n ) −−−→ ϕ(f ) .
Außerdem ist ein Raum X genau dann reflexiv, wenn sein Dualraum X reflexiv ist. Deshalb wird nun nur noch in R¨
aumen, die nicht reflexiv sind, explizit zwischen schwacher
und schwach∗ Konvergenz unterschieden.
Im Verlauf dieser Arbeit sei Ω ⊂ RN , N ∈ N, stets nichtleer und offen und wie u
¨blich
mit dem Lebesgue-Maß versehen. Das Maß einer messbaren Menge A ⊂ RN wird mit
meas (A) bezeichnet. Der Raum Cc (Ω; C) der stetigen, m¨oglicherweise komplexwertigen
Funktionen mit kompaktem Tr¨
ager in Ω und der Raum Cc∞ (Ω; C) der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Tr¨ager in Ω werden als bekannt vorausgesetzt.
F¨
ur ϕ ∈ Cc (Ω; C) wird der Tr¨
ager mit supp (ϕ) bezeichnet.
Die Aussagen der kompensierten Kompaktheit betreffen meist Funktionenfolgen aus den
sogenannten Lp −R¨
aumen.
2
1.1 Grundlagen
Definition 1.2: Lp −R¨
aume
p
¨
F¨
ur 1 ≤ p ≤ ∞ sei L (Ω; C) der normierte Vektorraum der Aquivalenzklassen
fast u
¨berall
identischer Lebesgue-messbarer Funktionen f : Ω → C mit endlicher Norm
f
Lp
p
1
p
|f | dx
:=
f¨
ur 1 ≤ p < ∞ und
f
L∞
:= ess sup |f |
f¨
ur p = ∞ .
x∈Ω
Ω
Diese R¨
aume sind, abh¨
angig von p, separable, reflexive Banach-R¨aume (Satz A.11). Eine
umfassende Einf¨
uhrung in die Lp −R¨aume, welche auch, wie hier ben¨otigt, komplexwertige
Funktionen zul¨
asst, findet sich in [AF03, Kap. 2]. An dieser Stelle soll noch explizit ein
Resultat aus der Theorie der Lp −R¨aume angegeben und erweitert werden, welches in
mehreren Beweisen dieser Arbeit verwendet wird.
Satz 1.3: Satz von Lebesgue zur dominierten Konvergenz in Lp
Es sei p ≥ 1 und (f n )n ⊂ Lp (Ω; R). Die Folge (f n )n erf¨
ulle die folgenden Voraussetzungen.
(a) Die Folge (f n )n konvergiert fast u
¨berall punktweise gegen ein f : Ω → R.
(b) Es gibt eine Funktion h ∈ Lp (Ω; R) mit |f n (x)| ≤ h(x) f¨
ur alle n ∈ N und f¨
ur fast alle
x ∈ Ω.
Dann gilt f ∈ Lp (Ω; R) und f n − f
Lp
n→∞
−−−→ 0.
Beweis. Diese Aussage wird bewiesen in [For11, S.132].
Bemerkung:
• Das Symbol i bezeichnet die imagin¨are Einheit mit i2 = −1.
• Der Satz von Lebesgue l¨
asst sich auf komplexwertige Funktionen verallgemeinern,
denn es gilt f¨
ur f ∈ Lp (Ω; C) mit f = u + iv die Absch¨atzung
max{ u
Lp ,
v
Lp }
≤ f
Lp
≤ u
Lp
+ v
Lp
.
(1.1)
Somit ist f ∈ Lp (Ω; C) genau dann, wenn u, v ∈ Lp (Ω; R) sind. Es sei nun eine Folge
(f n )n ⊂ Lp (Ω; C) mit f n = un + iv n und un , v n ∈ Lp (Ω; R) f¨
ur alle n ∈ N gegeben.
Die Folge (f n )n konvergiere punktweise gegen ein f : Ω → C mit f = u + iv und
u, v : Ω → R. Dann konvergieren auch die Folgen (un )n und (v n )n punktweise gegen
u und v. Es gebe eine Funktion h ∈ Lp (Ω; R) mit |f n (x)| ≤ h(x) f¨
ur fast alle x ∈ Ω
n
n
und f¨
ur alle n ∈ N. Dann erf¨
ullen (u )n und (v )n mit (1.1) die Voraussetzungen des
Satzes von Lebesgue. Somit gilt u, v ∈ Lp (Ω; R) und folglich f ∈ Lp (Ω; C). Weiterhin
folgt mit der Konvergenz von (un )n und (v n )n und der Absch¨atzung (1.1)
fn − f
Lp
≤ un − u
Lp
+ vn − v
Lp
n→∞
−−−→ 0 .
Nun sollen Beziehungen zwischen verschiedenen Lp −R¨aumen erl¨autert werden. Zu diesem Zweck ist es f¨
ur 1 ≤ p < ∞ sinnvoll, den zu p konjugierten Exponenten p zu definieren

∞
falls p = 1
p
.
p :=
sonst

p−1
Die nachfolgende Version des Rieszschen Darstellungssatzes bietet eine M¨oglichkeit, schwache und schwach∗ Konvergenz in Lp −R¨aumen einfacher zu handhaben.
3
1.1 Grundlagen
Satz 1.4: Rieszscher Darstellungssatz in Lp
Es sei 1 ≤ p < ∞. Dann gibt es f¨
ur alle ∈ (Lp (Ω; C)) genau ein g ∈ Lp (Ω; C), sodass
gilt:
,f
(Lp ) ,Lp
f¨
ur alle f ∈ Lp (Ω; C).
f · g dx
= (f ) =
Ω
Der Dualraum von Lp (Ω; C) kann also als normierter Vektorraum isometrisch isomorph
mit dem Raum Lp (Ω; C) identifiziert werden.
Beweis. Der Beweis ist zu finden in [AF03, S.47].
Bemerkung:
• Das Symbol · bezeichnet f¨
ur M ∈ N das euklidische Skalarprodukt auf CM und | · |
die dadurch induzierte Norm
M
· : CM × CM → C
(u, v) → u · v :=
,
1
2
M
ui vi
,
|ui |2
|u| :=
i=1
.
i=1
• F¨
ur den Hilbert-Raum L2 (Ω; C), mit dem Skalarprodukt
f, g
L2
f · g dx ,
:=
Ω
stimmt Satz 1.4 auch mit dem Rieszschen Darstellungsatz in Hilbert-R¨aumen (Satz
A.3) u
¨berein.
• Analog zu den Lp −R¨
aumen definiert man die Lploc −R¨aume, wobei χA die charakteristische Funktion einer messbaren Menge A ⊂ RN sei, wie folgt:
Lploc (Ω; C) := {f : Ω → C | χK f ∈ Lp (Ω; C) f¨
ur jedes kompakte K ⊂ Ω} .
• Der Raum Lp (Ω; CM ) ist als der Raum der vektorwertigen Funktionen f , f¨
ur welche f (x) = (f1 (x), . . . , fM (x))T und fi ∈ Lp (Ω; C) f¨
ur alle i = 1, . . . , M gilt, zu
verstehen. Insbesondere sind Aussagen wie der Satz von Lebesgue (Satz 1.3) stets
koordinatenweise zu interpretieren.
Wenn im Folgenden nun eine Folge (f n )n ⊂ Lp (Ω; CM ) gegen f ∈ Lp (Ω; CM ) in
schwach f¨
ur 1 ≤ p < ∞ konvergiert, dann bedeutet dies nach dem Rieszschen
Darstellungssatz (Satz 1.4)
Lp (Ω; CM )
n→∞
f n · g dx −−−→
Ω
Analog konvergiert
falls gilt:
f · g dx
Ω
(g n )
n
⊂
Lp
(Ω; CM ) schwach∗ in Lp (Ω; CM ) gegen g ∈ Lp (Ω; CM ),
n→∞
f · g n dx −−−→
Ω
f¨
ur alle g ∈ Lp (Ω; CM ) .
f · g dx
f¨
ur alle f ∈ Lp (Ω; CM ).
Ω
Weiterhin gen¨
ugt es f¨
ur die schwache Konvergenz in Lp f¨
ur 1 < p < ∞ und die schwach∗
∞
Konvergenz in L die duale Paarung mit Treppenfunktionen oder Cc∞ −Funktionen zu
betrachten, da diese f¨
ur 1 ≤ p < ∞ dicht in Lp liegen (siehe Satz A.11 und Satz A.9).
Die schwache beziehungsweise schwach∗ Konvergenz von Funktionenfolgen in Lp −R¨aumen
wird eine zentrale Voraussetzung in den zu beweisenden Aussagen der kompensierten Kompaktheit sein. Allerdings lassen insbesondere das div-curl-Lemma und der Hauptsatz der
kompensierten Kompaktheit nur Folgerungen zu, die eine andere Art von Konvergenz
beinhalten. Diese soll in der folgenden Definition erl¨autert werden.
4
1.1 Grundlagen
Definition 1.5: Der Raum der Radon-Maße
Ein Radon-Maß µ in Ω ist ein lineares Funktional auf Cc (Ω; R), wobei es f¨
ur jedes
kompakte K ⊂ Ω eine Konstante CK gibt, sodass gilt:
| µ, ϕ | ≤ CK ϕ
∞
f¨
ur alle ϕ ∈ Cc (Ω; R) mit supp (ϕ) ⊂ K .
Der Raum der Radon-Maße wird bezeichnet mit M(Ω). Eine Folge von Radon-Maßen
(µn )n ⊂ M(Ω) konvergiert M(Ω)−schwach∗ gegen µ ∈ M(Ω), falls gilt:
n→∞
µn , ϕ −−−→ µ, ϕ
f¨
ur alle ϕ ∈ Cc (Ω; R) .
Bemerkung:
• Diese Definition f¨
ur Radon-Maße und den Raum M(Ω) ist ungew¨ohnlich, aber f¨
ur
diese Arbeit praktischer, und stammt aus [Tar07, S.18]. Eine maßtheoretische Definition findet sich in [Bau92, S.176], wobei dann eine Version des Rieszschen Darstel¨
lungssatzes ([Bau92, §.29]) die Aquivalenz
dieser beiden Definitionen zeigt.
• Man kann den Raum L1loc (Ω; R) mit einem Unterraum von M(Ω) identifizieren, da
jedes f ∈ L1loc (Ω; R) eine lineares Funktional µf auf Cc (Ω; R) definiert
f ϕ dx f¨
ur alle ϕ ∈ Cc (Ω; R) und CK :=
µf (ϕ) :=
Ω
|f | dx < ∞ .
K
• Nach [AF03, S.28 f.] gelten f¨
ur beschr¨anktes Ω und alle 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ die stetigen
Einbettungen (Definition A.5)
Lq (Ω; C) → Lp (Ω; C) → Lploc (Ω; C) → L1loc (Ω; C).
Die letzten beiden Einbettungen gelten auch f¨
ur unbeschr¨anktes Ω.
Man m¨
ochte in der kompensierten Kompaktheit eine gewisse Kontrolle u
¨ber einige partielle Ableitungen der Funktionenfolgen ausnutzen. Dabei ist der klassische Ableitungsbegriff nicht ausreichend f¨
ur Lp −Funktionen. Eine erste Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffes liefert die folgende Definition. Es sei α ein Multiindex mit folgenden Konventionen
N
αi , xα := xα1 1 · . . . · xαNN f¨
ur x ∈ RN , ∂ α :=
α ∈ (N ∪ {0})N , |α| :=
i=1
∂xα1 1
∂ |α|
.
. . . ∂xαNN
Definition 1.6: Schwache partielle Ableitung
F¨
ur einen Multiindex α und eine Funktion u ∈ L1loc (Ω; C) heißt uα ∈ L1loc (Ω; C) die α−te
schwache partielle Ableitung von u, falls gilt:
uα · ϕ dx = (−1)|α|
Ω
u · ∂ α ϕ dx
f¨
ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω; C) .
Ω
Zur Illustration dieses Ableitungsbegriffes soll die folgende Definition verallgemeinert
werden.
Definition 1.7: Divergenz und Rotation
Es sei u : Ω → RN ein einmal stetig (klassisch) differenzierbares Vektorfeld.
(a) Die Divergenz von u ist definiert als
N
div u :=
i=1
5
∂ui
.
∂xi
1.1 Grundlagen
(b) Man definiert die Rotation von u als die Matrix
curl u := (∇u − (∇u)T ) =
∂uj
∂ui
−
∂xj
∂xi
.
i,j=1,...,N
Bemerkung:
• F¨
ur eine differenzierbare Funktion ϕ : Ω → CM bezeichnet das Symbol ∇ϕ den
Gradienten von ϕ.
• Die α−te schwache partielle Ableitung ist im L1loc Sinne eindeutig. F¨
ur α−mal
klassisch differenzierbare Funktionen stimmen klassische und schwache Ableitung
u
¨berein ([Zei90, S.232]).
F¨
ur eine Funktion u ∈ Lp (Ω; CN ) soll nun (im schwachen Sinne) div u ∈ Lp (Ω; C) die
Funktion bezeichnen, f¨
ur die gilt:
u · ∇ϕ dx f¨
ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω; C) .
div u · ϕ dx = −
Ω
Ω
Mit Hilfe der schwachen partiellen Ableitung kann man nun die sogenannten SobolewR¨aume definieren. Diese spielen nicht nur bei klassischen Kompaktheitsargumenten, sondern auch in der kompensierten Kompaktheit eine große Rolle.
Definition 1.8: Sobolew-R¨
aume
F¨
ur m ∈ (N ∪ {0}) und 1 ≤ p < ∞ ist der Sobolew-Raum W m,p (Ω; C) definiert als der
Raum aller Funktionen v ∈ Lp (Ω; C), deren schwache partielle Ableitungen ∂ α v f¨
ur alle
Multiindizes α mit 0 ≤ |α| ≤ m auch in Lp (Ω; C) liegen. Man definiert die Norm
1

f
W m,p
p
α
:= 
∂ f
p 
Lp
.
|α|≤m
Der Fall |α| = 0 bezeichnet dabei die Funktion selbst und analog m = 0 den entsprechenden
Lp −Raum. Weiterhin definiert man f¨
ur 1 ≤ p < ∞ die Sobolew-R¨
aume W0m,p (Ω; C) als
den Abschluss von Cc∞ (Ω; C) bez¨
uglich der Norm · W m,p .
Auch diese R¨
aume sind, abh¨
angig von p, separable und reflexive Banach- oder HilbertR¨aume (Satz A.12).
Bemerkung:
• Der Raum W m,2 (Ω; C) =: H m (Ω; C) ist ein Hilbert-Raum.
• Man kann auch f¨
ur p = ∞ Sobolew-R¨aume definieren, diese werden hier aber nicht
ben¨
otigt.
• In der Literatur (z.B. [Dob10]) wird auch die Bezeichnung H m,p (Ω; C) f¨
ur W m,p (Ω; C)
verwendet.
m,p
• Man kann die R¨
aume Wloc
(Ω; C) definieren, indem man in der Definition Lp mit
p
Lloc ersetzt.
• F¨
ur Ω = RN gilt W m,p (RN ; C) = W0m,p (RN ; C).
• Eine detaillierte Einf¨
uhrung in Sobolew-R¨aume und ihre Eigenschaften bietet [AF03].
6
1.1 Grundlagen
Um dem Ausdruck ∂ α u f¨
ur eine beliebige Lp −Funktion u eine Interpretation geben zu
k¨onnen, kann man einen noch allgemeineren Ableitungsbegriff einf¨
uhren.
Definition 1.9: Der Raum D (Ω; C)
Den Dualraum von Cc∞ (Ω; C), symbolisch dargestellt durch (Cc∞ (Ω; C)) =: D (Ω; C), bezeichnet man als den Raum der Distributionen. Eine Folge (v n )n ⊂ D (Ω; C) konvergiert im Sinne von Distributionen gegen v ∈ D (Ω; C) (symbolisch: v n → v in D (Ω; C) ),
falls gilt:
n→∞
v n (ϕ) −−−→ v(ϕ) f¨
ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω; C) .
Eine Distribution u besitzt die α−te distributionelle Ableitung ∂ α u = uα ∈ D (Ω; C), falls
gilt:
uα (ϕ) = (−1)|α|
u · ∂ α ϕ dx
f¨
ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω; C) .
Ω
Bemerkung:
• Die Definition von D (Ω; C) als Dualraum von Cc∞ (Ω; C) ist keineswegs trivial. Eine
Einf¨
uhrung in die Theorie der Distributionen bieten [H¨or83] und [Dob10, Kap. 9].
• Jedes Radon-Maß induziert eine Distribution. Falls eine Folge im M(Ω)−schwach∗
Sinne konvergiert, so konvergiert sie auch im Sinne von Distributionen.
• Bei entsprechender Regularit¨at stimmt die distributionelle mit der schwachen Ableitung u
¨berein.
F¨
ur jede Funktion u ∈ L1loc (Ω; C) und jeden Differentialoperator ∂ α l¨asst sich ∂ α u mit
einer Distribution identifizieren:
∂ α u(ϕ) := (−1)|α|
u · ∂ α ϕ dx f¨
ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω; C) .
Ω
Somit sind div , curl und weitere Differentialoperatoren auf L1loc −Funktionen stets im
Sinne von Distributionen wohldefiniert.
Mit Hilfe von Distributionen kann man nun die Dualr¨aume der Sobolew-R¨aume W0m,p
charakterisieren.
Satz 1.10: Dualr¨
aume von Sobolew-R¨
aumen
F¨
ur m ∈ N kann der Dualraum (W0m,p (Ω; C)) mit dem Raum W −m,p (Ω; C) der Distributionen T identifiziert werden, welche die Form haben:
fα · ∂ α u dx
T (u) =
|α|≤m Ω
f¨
ur fα ∈ Lp (Ω; C) und f¨
ur alle u ∈ W0m,p (Ω; C) .
Beweis. Diese Aussage wird in [AF03, Kap. 3] bewiesen.
Bemerkung:
• In diesem Sinne kann man zum Beispiel f¨
ur u ∈ L2loc (Ω; C) die Distribution
j ∈ {1, . . . , N } als ein Element des Raumes
−1
Hloc
(Ω; C)
∂u
∂xj
f¨
ur
auffassen.
• Der Dualraum des Sobolew-Raumes W m,p (Ω; C) kann f¨
ur Ω = RN nicht mit einem
Teilraum von D (Ω; C) identifiziert werden. Ein entsprechendes Gegenbeispiel findet
sich in [FN09, S.xxvii].
Im Verlauf dieser Arbeit wird an einigen Stellen noch weitere Theorie eingef¨
uhrt werden
m¨
ussen. Nun soll aber erst einmal die zentrale Problemstellung motiviert werden.
7
1.2 Schwache Konvergenz und Nichtlinearit¨at
1.2 Schwache Konvergenz und Nichtlinearit¨
at
In diesem Abschnitt soll demonstriert werden, dass Probleme bei der Verkn¨
upfung von
schwach konvergenten Folgen mit nichtlinearen Abbildungen auftreten k¨onnen und wo
dies geschieht.
Beispiel 1: Elektrostatik
Zun¨achst soll das folgende nichtlineare System partieller Differentialgleichungen motiviert
werden. Es wird nicht die in der Elektrostatik u
¨bliche, sondern eine dieser Arbeit angepasste Notation verwendet.
v = −∇g
(1.2)
u = αv
(1.3)
div u = h
(1.4)
u·v =f
(1.5)
Man befindet sich in einem Volumenelement V ⊂ R3 offen und beschr¨ankt. Gegeben ist
ein elektrostatisches Potential g ∈ H 1 (V ; R), welches ein elektrisches Feld v ∈ L2 (V ; R3 )
erzeugt (1.2). Das Volumenelement V ist mit einem Medium gef¨
ullt, welches die Dielektrizit¨atskonstante α > 0 besitzt. Das effektive elektrische Feld oder auch das elektrische
Induktionsfeld u ∈ L2 (V ; R3 ) ist, abh¨angig vom Medium, proportional zu dem elektrischen
Feld (1.3). In der Herleitung der Gleichung (1.4) wurde die Verteilung der Punktladungen durch die Ladungsdichte h ∈ L2 (V ; R) ersetzt. Die elektrostatische Energiedichte
f ∈ L1 (V ; R) (1.5) kann man als eine Energieerhaltungsgr¨oße verstehen. Die eindeutige
L¨osbarkeit des Systems f¨
ur geeignete gegebene Gr¨oßen g und h soll hier nicht n¨aher thematisiert werden und sei im Folgenden stets vorausgesetzt.
Dieses System m¨
ochte man nun unter einer gewissen St¨orung beobachten. Die St¨orung sei
gegeben durch eine einmal klassisch differenzierbare periodische Funktion g1 ∈ C 1 (R3 ; R).
Man definiert
1
g n (x) := g(x) + g1 (nx)
n
und erh¨
alt
v n (x) = −∇g(x) − ∇g1 (nx) = −∇g n (x) .
Dann konvergiert g n stark in L2 gegen g, denn es gilt
gn − g
2
L2
=
V
2
1
1
g1 (nx) dx ≤ 2 meas (V ) g1
n
n
2 n→∞
∞ −−−→
0.
F¨
ur v n kann man aufgrund des oszillierenden Verhaltens von ∇g1 (nx) keine starke Konvergenz erwarten. Es liegt allerdings schwache Konvergenz gegen −∇g =: v vor, denn f¨
ur
∞
alle ϕ ∈ Cc (V ; R) gilt
(∇g n − ∇g) ϕ dx =
V
∇g1 (nx) ϕ dx = −
V
V
1
n→∞
g1 (nx)∇ϕ dx −−−→ 0 .
n
Die Ladungsdichte hn konvergiert als Dichtefunktion einer Verteilung von Punktladungen auch nur schwach in L2 (V ; R). Man betrachtet eine Folge von Systemen mit dazu
bekannten Gr¨
oßen
v n = −∇g n
n
u = αv
n
(1.7)
n
n
(1.8)
n
n
(1.9)
div u = h
n
(1.6)
u ·v =f .
8
1.2 Schwache Konvergenz und Nichtlinearit¨at
Insbesondere gilt f¨
ur die Folgen (un )n und (v n )n der eindeutigen L¨osungen
vn
v in L2 (V ; R3 )
und un
u in L2 (V ; R3 ) .
Nun m¨ochte man wissen, was mit der elektrostatischen Energiedichte f n passiert. Mit der
Gleichung (1.7) und dem klassischen Resultat, dass die Norm schwach folgenunterhalbstetig ist (Definition 3.1 und Satz A.1), bekommt man zun¨achst eine Absch¨atzung, denn
mit f n = α|v n |2 folgt
lim inf f n ≥ α|v|2 = α(u · v) .
n→∞
Es stellt sich die Frage, ob man noch eine bessere Konvergenzaussage erhalten kann.
♦
Das n¨
achste Beispiel illustriert, dass ohne weitere Voraussetzungen das euklidische Skalarprodukt von zwei schwach konvergenten Folgen nicht gegen das Produkt der Grenzwerte
konvergieren muss.
Beispiel 2: Schwache Konvergenz und Nichtlinearit¨
at
˜
F¨
ur f , die 1−periodische Fortsetzung auf ganz R von
f : [0, 1) → R ; x →
α
β
x ∈ [0, θ)
,
x ∈ [θ, 1)
definiert man die Folge (g n )n durch g n (x) := f˜(nx). Dann konvergiert (g n )n schwach in
Lp ((0, 1); R) (1 ≤ p < ∞) und schwach∗ in L∞ ((0, 1); R) gegen
g := (θ · α + (1 − θ) · β) .
Die Produktfolge (hn )n ⊂ Lp ((0, 1); R) mit hn := g n · g n konvergiert gegen die Funktion
h := θ · α2 + (1 − θ) · β 2 .
F¨
ur α = β gilt allerdings
h = θ · α2 + (1 − θ) · β 2 = (θ · α + (1 − θ) · β)2 = (g)2 .
Die entsprechende Konvergenz von (g n )n und (hn )n folgt unmittelbar aus dem n¨achsten
Satz (Satz 1.11).
♦
Auch wenn dieses Beispiel erst einmal eine negative Antwort gibt, so wird sich doch
herausstellen, dass die elektrostatische Energiedichte f n im Sinne von Distributionen konvergiert. Da un und v n nicht nur schwach konvergieren, sondern auch L¨osungen des Differentialgleichungssystems sind, wird mit dieser zus¨atzlichen Struktur das div-curl-Lemma
ein hinreichendes Kriterium f¨
ur eine positive Antwort sein.
Satz 1.11:
Es sei f ∈ Lp (T ; R) eine T −periodische Funktion mit T = ×N
i=1 (0, ai ), also ai −periodisch
in der i−ten Variable, und Ω beschr¨
ankt. Dann konvergiert die Folge (f n )n , definiert durch
f n (x) := f (nx), schwach in Lp (Ω; R) f¨
ur (1 ≤ p < ∞) und schwach∗ in L∞ (Ω; R) gegen
den Mittelwert
1
f (x) dx .
meas (T ) T
Die schwach∗ Konvergenz in L∞ gilt auch f¨
ur unbeschr¨
anktes Ω.
Beweis. Der Beweis steht in [CD99, S.33 f.].
9
1.2 Schwache Konvergenz und Nichtlinearit¨at
Das folgende Korollar soll das Beispiel 2 konstruktiv erweitern und wird in den Beweisen
der S¨atze 3.2 und 3.3 verwendet.
Korollar 1.12:
Es sei Ω beschr¨
ankt. Dann gibt es f¨
ur alle θ ∈ (0, 1) eine Folge von charakteristischen
Funktionen (χnθ )n , die schwach, aber nicht stark, in Lp (Ω; R) (1 ≤ p < ∞) gegen θ konvergiert beziehungsweise schwach∗ in L∞ (Ω; R), letzteres auch f¨
ur unbeschr¨
anktes Ω.
Beweis. Gegeben sei ein achsenparalleler Quader B := ×N
i=1 (ai , bi ) mit (ai , bi ) ⊆ (0, 1)
N
mit meas (B) = θ, der im Einheitsw¨
urfel ×i=1 (0, 1) =: W1 enthalten ist. Mit χθ , der
W1 −periodischen Fortsetzung von χB ∈ Lp (W1 ; R) auf RN , definiert man f¨
ur alle x ∈ Ω
und f¨
ur alle n ∈ N die Funktionen χnθ (x) := χθ (nx). Nun folgt die Behauptung mit Satz
1.11 und T = W1 .
Nach dieser Einf¨
uhrung in die grundlegenden Begriffe und die Problemstellung k¨onnen
nun in den n¨
achsten beiden Kapiteln Aussagen der kompensierten Kompaktheit pr¨asentiert
werden. Es werden notwendige und hinreichende Kriterien f¨
ur die Vertr¨aglichkeit von
schwacher Konvergenz und Nichtlinearit¨at aufgestellt.
10
2 Das div-curl-Lemma
Das Ziel dieses Kapitels ist es, das historisch erste Resultat der kompensierten Kompaktheit, das div-curl-Lemma, zu formulieren und zu beweisen. Dieses ist ein hinreichendes
Kriterium f¨
ur die M(Ω)−schwach∗ Konvergenz des euklidischen Skalarproduktes zweier
in L2 (Ω; RN ) schwach konvergenter Folgen.
div-curl-Lemma (1974)
F¨
ur un
u und v n
v in L2 (Ω; RN ) sei (div un )n beschr¨ankt in L2 (Ω; R) und
n
(curl v )n beschr¨
ankt in L2 (Ω; RN ×N ). Dann folgt f¨
ur alle ϕ ∈ Cc (Ω; R)
n→∞
ϕ (un · v n ) dx −−−→
Ω
ϕ (u · v) dx .
Ω
F¨
ur den Beweis des div-curl-Lemmas (Satz 2.10) und den Beweis des Hauptsatzes der
kompensierten Kompaktheit (Satz 3.6) werden in Abschnitt 2.1 die Fourier-Transformation
eingef¨
uhrt und einige ihrer Eigenschaften bewiesen. Da die Fourier-Transformation ein
wichtiges Hilfsmittel dieser Arbeit ist, werden einige Aspekte detaillierter behandelt.
2.1 Fourier-Transformation
Dieser Abschnitt beginnt mit der Definition der Fourier-Transformation auf L1 (RN ; C) und
ihrer Erweiterung auf L2 (RN ; C). Danach soll das Potential der Fourier-Transformation
in dem Beweis des Einbettungssatzes von Rellich (Satz 2.9) demonstriert werden. Die
Definitionen, Aussagen und Vorgehensweise sind dabei haupts¨achlich an [Wer07, Kap. 13]
¨
angelehnt. Ahnliche
Einf¨
uhrungen in die Fourier-Transformation werden in [Kab13] und
[H¨or83] gegeben. In [For11] findet man eine leicht abweichende Herangehensweise, die den
sogenannten Schwartz-Raum (Definition 2.3) vermeidet.
Definition 2.1: Fourier-Transformation
F¨
ur f ∈ L1 (RN ; C) bezeichnet man die Funktion
Ff : RN → C
N
Ff (ξ) := (2π)− 2
,
f (x) e−ix·ξ dx
RN
als die Fourier-Transformierte von f .
Bemerkung:
• Die Objekte Ff sind wohldefiniert, da stets gilt:
N
N
|Ff (ξ)| ≤ (2π)− 2
|f (x)| |e−ix·ξ | dx = (2π)− 2 f
Rn
L1
.
(2.1)
• In der Literatur findet man auch leicht abweichende Formulierungen, welche zum
Beispiel nicht den von der Dimension N abh¨angigen Skalierungsfaktor enthalten.
Der n¨
achte Satz wird bei der punktweisen Auswertung einer Fourier-Transformierten
meist implizit benutzt.
11
2.1 Fourier-Transformation
Satz 2.2: Eigenschaften der Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation F bildet von L1 (RN ; C) linear und stetig in den Raum der
stetigen und im Unendlichen verschwindenden Funktionen ab.
Beweis. Diese Aussage wird bewiesen in [Wer07, S.210].
Die folgende Definition und der darauffolgende Satz sind ein erster Schritt, um eine Art
Fourier-Transformation zu einem isometrischen Isomorphismus auf L2 (RN ; C) zu erweitern. F¨
ur einen Multiindex α wird die Funktion x → xα ebenfalls mit xα bezeichnet.
Definition 2.3: Schwartz-Raum
Der Raum
S(RN ; C) := f ∈ C ∞ (RN ; C) ∂ α f ist schnell fallend f¨
ur alle α
heißt Schwartz-Raum. Eine Funktion f : RN → C heißt schnell fallend, falls f¨
ur alle
Multiindizes α gilt:
lim xα f (x) = 0 .
|x|→∞
Satz 2.4:
Die Fourier-Transformation F ist ein Isomorphismus von S(RN ; C) auf S(RN ; C) und es
gilt
ur alle f, g ∈ S(RN ; C) .
(2.2)
Ff, Fg L2 = f, g L2 f¨
Beweis. Der Beweis steht in [Wer07, S.215].
Zun¨achst gibt es eine eindeutige Fortsetzung F2 von F auf L2 (RN ; C), da S(RN ; C) dicht
in L2 (RN ; C) liegt, welche ebenfalls ein isometrischer Isomorphismus ist ([Cia13, S.124]).
Diese Fortsetzung wird auch Fourier-Plancherel-Transformation genannt. Diese ist nicht
im eigentlichen Sinne durch die Definition 2.1 gegeben, da das Integral f¨
ur f ∈ L2 (RN ; C)
erst einmal nicht existieren muss. Das Symbol F2 f bezeichnet nach Konstruktion (Ver¨
vollst¨andigung) eine Aquivalenzklasse
von Funktionen und mit (2.2) folgt
f, g
L2
= F2 f, F2 g
L2
f¨
ur alle f, g ∈ L2 (RN ; C) .
(2.3)
Der n¨achste Satz soll den genauen Zusammenhang zwischen F und F2 klarstellen und
eine Rechtfertigung liefern, um die Fourier-Plancherel-Transformation ebenfalls mit F zu
bezeichnen. F¨
ur detailiertere Erl¨auterungen siehe z.B. [Wer07, S.216 ff.] oder [Dob10,
S.228].
Satz 2.5:
(a) F¨
ur alle f ∈ L1 (RN ; C) ∩ L2 (RN ; C) gilt F2 f (ξ) = Ff (ξ) fast u
¨berall auf RN .
(b) F¨
ur f ∈ L2 (RN ; C) und Br := x ∈ RN |x| < r gilt
F2 (f ) − F(χBr f )
r→∞
L2
−−−→ 0 .
Beweis.
(a) F¨
ur f ∈ L1 (RN ; C) ∩ L2 (RN ; C) gibt es eine Folge (f n )n ⊂ Cc∞ (RN ; C) ([Wer07,
S.207]), sodass gilt:
fn − f
n→∞
L1
−−−→ 0
und
12
fn − f
n→∞
L2
−−−→ 0 .
2.1 Fourier-Transformation
Zun¨
achst erh¨
alt man mit der Linearit¨at von F die Absch¨atzung
N
|Ff n (ξ) − Ff (ξ)| ≤ (2π)− 2
|f n (x) − f (x)| dx .
RN
Dies impliziert die gleichm¨
aßige Konvergenz von (Ff n )n gegen Ff :
Ff n − Ff
N
∞
≤ (2π)− 2 f n − f
L1
.
Somit folgt die starke Konvergenz von Ff n gegen Ff in L2loc (RN ; C):
|Ff n − Ff |2 dξ ≤ meas (K) Ff n − Ff
2
∞
f¨
ur alle kompakten K ⊂ RN .
K
Mit (2.3) und f n ∈ Cc∞ (RN ; C) gilt außerdem
Ff n − F2 f
L2
= F2 (f n − f )
L2
= fn − f
n→∞
L2
−−−→ 0 .
Mit der Eindeutigkeit des Grenzwertes im L2 Sinne folgt die Behauptung (a).
(b) Die Folge (χBr f )r konvergiert nach dem Satz von Lebesgue (Satz 1.3) in L2 (RN ; C)
gegen f f¨
ur r → ∞. Da F2 stetig ist, konvergiert (F2 (χBr f ))r in L2 (RN ; C) gegen
F2 (f ). Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt χBr f ∈ L1 (RN ; C). Nach (a)
gilt somit F2 (χBr f ) = F(χBr f ) fast u
¨berall. Die Behauptung (b) folgt aus
F2 (f ) − F(χBr f )
L2
= F2 (f ) − F2 (χBr f )
r→∞
L2
−−−→ 0 .
Im Folgenden werden F2 und F als ein und derselbe Operator betrachtet und als FourierTransformation bezeichnet, wobei diese Gleichheit im Sinne des Satzes 2.5 zu verstehen
ist. Somit gilt f¨
ur alle f, g ∈ L2 (RN ; CM ) die Plancherel-Formel
f, g
L2
f · g dx =
=
RN
Ff · Fg dξ = Ff, Fg
RN
L2
.
(2.4)
Bemerkung:
• Die Fourier-Transformation f¨
ur vektorwertige Funktionen f : RN → CM ist koordinatenweise zu verstehen:
Ff (ξ) = (Ff1 (ξ), . . . , FfM (ξ))T
mit fi : RN → C f¨
ur i = 1, . . . , M .
• Es sei an dieser Stelle nochmals darauf hingewiesen, dass die komplexe Konjugation
in dem euklidischen Skalarprodukt · steckt.
Der nachfolgende Satz ist ein wichtiges Resultat der Theorie der Fourier-Transformation.
Dieser Satz erm¨
oglicht es bestimmte analytische Probleme in algebraische zu transformieren.
Satz 2.6: Multiplikationssatz
Sei f ∈ H m (RN ; C). Dann gilt f¨
ur alle Multiindizes α mit |α| ≤ m
F(∂ α f ) = i|α| ξ α F(f ) .
Beweis. Der Beweis steht in [Wer07, S.218].
13
2.1 Fourier-Transformation
Die folgenden Aussagen aus [FN09, S.333] werden es in dem Beweis des div-curl-Lemmas
(Satz 2.10) erm¨
oglichen, aus den Informationen, die man u
¨ber die Divergenz und Rotation
der Funktionenfolgen besitzt, letztendlich die Konvergenz zu folgern.
Korollar 2.7:
F¨
ur u ∈ H 1 (RN ; RN ) gilt
N
ξk F(uk ) = F(div u)
i
i (ξk F(uj ) − ξj F(uk )) = F([curl u]j,k ) .
und
(2.5)
k=1
Beweis. Beide Aussagen sind unmittelbare Folgerungen aus dem Multiplikationssatz (Satz
2.6) und der Linearit¨
at von F, denn es gilt
N
ξk F(uk ) = iξ1 F(u1 ) + . . . + iξN F(uN )
i
k=1
∂
u1
∂x1
= F(div u) .
=F
+ ... + F
∂
uN
∂xN
Mit den gleichen Argumenten folgt die zweite Aussage f¨
ur alle j, k = 1, . . . , N
i (ξk F(uj ) − ξj F(uk )) = F
=F
∂
uj − F
∂xk
∂uj
∂uk
−
∂xk
∂xj
∂
uk
∂xj
= F([curl u]j,k ) .
Bemerkung:
• F¨
ur g ∈ L2 (Ω; CM ×M ) gilt mit der von der euklidischen Norm induzierten Operatornorm | · | die L2 −Norm
g
2
L2
|g|2 dx .
:=
Ω
Eine weitere wichtige Folgerung aus dem Multiplikationssatz (Satz 2.6) ist eine alternative Charakterisierung der Sobolew-R¨aume H m (RN ; C).
Satz 2.8:
F¨
ur m ∈ (N ∪ {0}) gilt H m (RN ; C) = f ∈ L2 (RN ; C) (1 + | · |)m Ff ∈ L2 (RN ; C) .
Beweis. Dieser Beweis steht in [Wer07, S.222].
Nun soll skizzenhaft nach [H¨
or83, Kap. 7] die alternative Charakterisierung auf die
−m
N
R¨aume H (R ; C) erweitert werden. Diese wird in dem Beweis des Hauptsatzes der
kompensierten Kompaktheit verwendet. Man definiert dazu den Raum der temperierten
Distributionen als den Dualraum des Schwartz-Raumes S (RN ; C) := S(RN ; C) . F¨
ur
ϕ ∈ S(RN ; C) kann man durch
Ff (ϕ) := f (Fϕ)
14
2.1 Fourier-Transformation
die Fourier-Transformation einer temperierten Distribution f definieren. Weiterhin definiert man
H −m (RN ; C) := f ∈ S (RN ; C) (1 + | · |)−m Ff ∈ L2 (RN ; C)
und
f
H −m
:= (1 + | · |)−m Ff
L2
. (2.6)
Bemerkung:
• Die Definition von S (RN ; C) ist keineswegs trivial. Eine detailierte Einf¨
uhrung steht
in [H¨
or83] und [Dob10, S.228].
• Insbesondere geh¨
ort f¨
ur u ∈ L2 (RN ; C) und |α| ≤ m auch ∂ α u zu H −m (RN ; C).
Denn es gilt mit einer Verallgemeinerung des Multiplikationssatzes (Satz 2.6) f¨
ur
temperierte Distributionen ([H¨or83, S.166]):
F(∂ α u) = i|α| ξ α F(u) .
• Es gen¨
ugt in Korollar 2.7 u ∈ L2 (RN ; RN ) und div u ∈ L2 (RN ; R) beziehungsweise
curl u ∈ L2 (RN ; RN ×N ) zu fordern.
Eine weitere interessante Anwendung der Fourier-Transformation ist ein alternativer
c
Beweis des Einbettungssatzes von Rellich (H01 → L2 ). Dieser Beweis inspirierte Luc Tartar ([Tar09, S.91]) zu dem Beweis des div-curl-Lemmas und soll hier zur Vertiefung und
Vorbereitung pr¨
asentiert werden.
Satz 2.9: Einbettungssatz von Rellich
F¨
ur Ω beschr¨
ankt ist H01 (Ω; C) kompakt in L2 (Ω; C) eingebettet.
Bemerkung:
• An gegebener Stelle wird es von Nutzen sein, den Raum H01 (Ω; C) als einen Teilraum
von H 1 (RN ; C) zu betrachten, indem man die Funktion außerhalb von Ω mit 0 fortsetzt. Dies ist m¨
oglich, da ein entsprechender linearer stetiger Fortsetzungsoperator
existiert (siehe [AF03, S.71]).
ur
Beweis. Es sei (f n )n eine in H01 (Ω; C) beschr¨ankte Folge mit f n H01 < M < ∞ f¨
alle n ∈ N. Wegen der Dichtheit von Cc∞ (Ω; C) in H01 (Ω; C) gen¨
ugt es, sich auf den Fall
f n ∈ Cc∞ (Ω; C) f¨
ur alle n ∈ N zu beschr¨anken. Es ist zu zeigen, dass (f n )n eine in L2 (Ω; C)
konvergente Teilfolge besitzt.
(1) Nach der Definition der Normen ist (f n )n auch beschr¨ankt in L2 (Ω; C) und besitzt nach
ˇ
dem Satz von Eberlein-Smulian
(Satz A.6) eine in L2 schwach gegen ein f ∈ L2 (Ω; C)
konvergente Teilfolge, die ebenfalls mit (f n )n bezeichnet werden soll. Die Funktion
f ∈ L2 (Ω; C) sei außerhalb von Ω mit 0 fortgesetzt.
(2) F¨
ur beliebiges, aber festes ξ ∈ RN ist die Funktion x → e−ix·ξ in L2loc (RN ; C). Somit
erh¨alt man mit dem Rieszschen Darstellungsatz (Satz 1.4) und der schwachen Konvergenz von (f n )n die punktweise Konvergenz von Ff n , denn mit f n = 0 auf RN \Ω
gilt
N
N
n→∞
Ff n (ξ) = (2π)− 2
f n (x) e−ix·ξ dx −−−→ (2π)− 2
Ω
f (x)e−ix·ξ dx = Ff (ξ) .
Ω
Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (Satz A.4) erh¨alt man die L2loc −Majorante
N
sup |Ff n (ξ)| ≤ (2π)− 2 f n
ξ∈RN
15
L2
1
˜ .
meas (Ω) 2 < M
2.1 Fourier-Transformation
Mit dem Satz von Lebesgue (Satz 1.3) erh¨alt man nun starke Konvergenz von (Ff n )n
in L2loc (RN ; C).
(3) Nach dem Multiplikationssatz (Satz 2.6) und der Plancherel-Formel (2.4) gilt:
N
|ξ|Ff n
2
L2
RN
N
=
i=1
N
ξi2
=
|Ff n |2 dξ =
RN i=1
i=1
∂ n
f
∂xi
F
2
L2
≤ fn
2
H01
∂ n
f
∂xi
2
dξ
< M2 .
F¨
ur jedes ε gibt es also einen Radius r, sodass f¨
ur alle m, n ∈ N gilt:
1
|ξ|2 |Ff m (ξ) − Ff n (ξ)|2 dξ
r2 RN \Br
2
≤ 2 M2 < ε .
r
|Ff m (ξ) − Ff n (ξ)|2 dξ ≤
RN \Br
(4) Insgesamt folgt nun mit (2), (3) und der Plancherel-Formel (2.4), dass (f n )n eine
Cauchy-Folge in L2 (Ω; C) ist. F¨
ur ε > 0 gibt es nach (3) ein r > 0 und nach (2) ein
n0 ∈ N, sodass f¨
ur alle m, n ≥ n0 gilt:
fm − fn
2
L2
= Ff m − Ff n
2
L2
|Ff m (ξ) − Ff n (ξ)|2 dξ
=
RN
|Ff m (ξ) − Ff n (ξ)|2 dξ +
=
|Ff m (ξ) − Ff n (ξ)|2 dξ
RN \Br
Br
<ε+ε.
Bemerkung:
• Mit st¨
arkeren Anforderungen an den Rand von Ω k¨onnen viele weitere stetige und
auch kompakte Einbettungen der R¨aume W m,p (Ω; C) in diverse R¨aume bewiesen
werden (Satz A.14 und [AF03, Kap. 4]).
c
• Weiterhin gilt die obige Einbettung H01 → L2 auch f¨
ur Ω = RN mit einem anderen
Beweis ([AF03, Kap. 4]).
c
Insbesondere folgt aus der kompakten Einbettung H01 (Ω; C) → L2 (Ω; C) auch die komc
pakte Einbettung L2 (Ω; C) → H −1 (Ω; C) (Satz A.7), da Cc∞ dicht in H01 und L2 liegt und
L2 ein Hilbert-Raum ist. Somit enth¨alt jede in L2 beschr¨ankte Folge eine in H −1 stark
konvergente Teilfolge.
Bemerkung:
• Die Fourier-Transformation ist ein m¨achtiges Werkzeug, das viele interessante Anwendungen hat. Man kann mit Satz 2.6 zum Beispiel gebrochene Ableitungen und die
Sobolew-Slobodeckij-R¨
aume definieren, welche die Begriffe der schwachen Ableitung
und der Sobolew-R¨
aume auf beliebige reelle Ableitungsgrade erweitern.
• Mit dem Multiplikationssatz 2.6 kann man verschiedenen Differential-Operatoren eine algebraische Repr¨
asentation geben. Damit besch¨aftigt sich die Theorie der FourierMultiplikatoren.
Nun kann endlich die historisch erste Version des div-curl-Lemma bewiesen werden.
16
2.2 Das klassische div-curl-Lemma
2.2 Das klassische div-curl-Lemma
Die folgende Version des div-curl-Lemma wurde 1974 von Luc Tartar und Fran¸cois Murat
aufgestellt und bewiesen. Das Theorem und eine Beweisskizze finden sich in [Tar09, S.90].
Satz 2.10: div-curl-Lemma
Es konvergiere un
u und v n
v in L2 (Ω; RN ) f¨
ur n → ∞. Weiterhin sei (div un )n
beschr¨
ankt in L2 (Ω; R) und (curl v n )n beschr¨
ankt in L2 (Ω; RN ×N ). Dann folgt f¨
ur alle
ϕ ∈ Cc (Ω; R)
n→∞
ϕ(un · v n ) dx −−−→
ϕ(u · v) dx
un · v n
also
∗
u · v in M(Ω) .
Ω
Ω
Beweis. Der Beweis unterteilt sich in sechs Schritte. In den ersten drei Schritten wird
das Problem reduziert und in den Bereich der Fourier-Transformierten verlagert. In den
Schritten (4) und (5) werden Konvergenzen a¨hnlich zu dem Beweis des Einbettungssatzes
von Rellich (Satz 2.9) bewiesen. Schritt (6) ist ein Approximationsargument, um eine
zus¨atzliche Annahme aus Schritt (2) wieder fallen lassen zu k¨onnen.
(1) Ohne Beschr¨
ankung der Allgemeinheit darf man un
0 und v n
0 annehmen.
n
Andernfalls betrachtet man die Differenzfolgen (u − u)
0 und (v n − v)
0, welche
ebenfalls die Voraussetzungen erf¨
ullen, denn aufgrund der Beschr¨anktheit besitzt die
ˇ
Folge (div un )n nach dem Satz von Eberlein-Smulian
(Satz A.6) eine in L2 schwach
∗
2
n
gegen u ∈ L (Ω; R) konvergente Teilfolge (div u )n , sodass f¨
ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω; R)
gilt:
∞←n
−
Ω
n →∞
un · ∇ϕ dx =
u · ∇ϕ dx ←−−−− −
Ω
u∗ ϕ dx .
div un ϕ dx −−−−→
Ω
Ω
Mit der Eindeutigkeit schwacher Grenzwerte und schwacher Ableitungen ergibt sich
u∗ = div u ∈ L2 (Ω; R). Nun folgt mit dem schwachen Teilfolgenprinzip (Satz A.8),
dass die gesamte Folge schwach gegen div u konvergiert. Somit ist (div (un − u))n
beschr¨
ankt in L2 (Ω; R). Die Beschr¨anktheit von (curl (v n − v))n kann man analog
zeigen. Betrachtet man
un · v n = (un − u) · (v n − v) + u · (v n − v) + un · v ,
so folgt die Behauptung, falls man zeigen kann, dass f¨
ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω; R) gilt:
n→∞
ϕ(un − u) · (v n − v) dx −−−→ 0 .
Ω
Die anderen Terme konvergieren nach dem Rieszschen Darstellungsatz (Satz 1.4) und
da gilt ϕu , ϕv ∈ L2 (Ω; RN ). Es gelte nun also ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit
un
0 und v n
0 in L2 (Ω; R).
(2) Zun¨
achst seien ψ1 , ψ2 ∈ Cc1 (Ω; R) mit ϕ = ψ1 · ψ2 gegeben. Dann kann man die Folgen
ψ1 un
0 und ψ2 v n
0 betrachten, welche ebenfalls die Voraussetzungen erf¨
ullen:
div (ψ1 un )
L2
≤ ∇ψ1 · un
N
≤
i=1
∂ψ1
∂xi
17
L2
∞
+ ψ1
uni
L2
∞
div un
+ ψ1
∞
L2
div un
L2
2.2 Das klassische div-curl-Lemma
∂(ψ2 vjn ) ∂(ψ2 vkn )
−
∂xk
∂xj
L2
≤
∂ψ2
∂xk
∞
vjn
L2
+
∂ψ2
∂xj
vkn
∞
L2
+ ψ2
∞
∂vjn ∂vkn
−
∂xk ∂xj
L2
.
Betrachtet man im Folgenden un = ψ1 un und v n = ψ2 v n , darf man annehmen, dass
supp (un ) ⊂ K und supp (v n ) ⊂ K mit einem festen kompakten K ⊂ Ω f¨
ur alle n ∈ N
gilt. Mit Hilfe der speziellen Testfunktionen (mit kompaktem Tr¨ager) ist das Problem
stets ein lokales Problem und man kann ohne Beschr¨ankung auch Ω = RN betrachten.
Aus der schwachen Konvergenz folgt insbesondere auch die Beschr¨anktheit (Satz A.1).
Es gibt also ein 0 < M < ∞, sodass un L2 < M , v n L2 < M , div un L2 < M und
curl v n L2 < M f¨
ur alle n ∈ N gilt. Das Problem ist nun darauf reduziert, zu zeigen,
dass gilt:
n→∞
un · v n dx −−−→ 0 .
K
(3) Mit Hilfe der Plancherel-Formel (2.4) verlagert man das Problem nun in den Bereich
der Fourier-Transformierten. Es ist zu zeigen:
n→∞
un · v n dx =
Fun · Fv n dξ −−−→ 0 .
RN
K
¨
(4) Ahnlich
zu dem Beweis des Einbettungssatzes von Rellich (Satz 2.9) bekommt man
nun folgende Eigenschaften der Fourier-Transformierten.
(a) Die Folgen (Fun )n und (Fv n )n konvergieren schwach gegen 0 in L2 (RN ; CN ).
F¨
ur ϕ ∈ L2 (RN ; CN ) gibt es ϕ1 , ϕ2 ∈ L2 (RN ; RN ) mit ϕ = ϕ1 + iϕ2 . Die FourierTransformation F ist ein Isomorphismus auf L2 (RN ; CN ). Es gibt also f¨
ur alle
2
N
N
2
N
N
Fϕ ∈ L (R ; C ) genau ein ϕ ∈ L (R ; C ). Mit der schwachen Konvergenz
von un in L2 und der Plancherel-Formel (2.4) folgt
n→∞
Fun · Fϕ dξ =
RN
un · ϕ dx −−−→
RN
u · ϕ dx =
Fu · Fϕ dξ .
RN
RN
Insbesondere folgt aus der schwachen Konvergenz auch die Beschr¨anktheit von
(Fun )n in L2 (RN ; CN ). Die Folge (Fv n )n wird analog behandelt.
(b) Die Folgen (Fun )n und (Fv n )n konvergieren punktweise gegen 0.
F¨
ur beliebiges, aber festes ξ ist die Funktion x → e−ix·ξ in L2loc (RN ; C) und es
folgt:
un
N
Fun (ξ) = (2π)− 2
0
un (x) e−ix·ξ dx −−−−→ 0 .
K
F¨
ur
(Fv n )
gilt eine analoge Argumentation.
˜ < ∞.
(c) F¨
ur alle n ∈ N gilt Fun ∞ ≤ M
n
n
1
Mit supp (u ) ⊂ K gilt u ∈ L (RN ; R). Es folgt nach Satz 2.2, dass Fun stetig
ist. Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (Satz A.4) folgt f¨
ur alle ξ ∈ RN
n
N
N
|Fun (ξ)| ≤ (2π)− 2
|un (x)| |e−ix·ξ | dx = (2π)− 2
RN
N
1 · |un (x)| dx
K
1
≤ (2π)− 2 ( meas (K)) 2 un
N
L2
1
˜ .
< (2π)− 2 ( meas (K)) 2 M =: M
˜ . Mit der Folge
Somit besitzt |Fun | f¨
ur alle n ∈ N die L2loc (RN ; R)−Majorante M
n
(Fv )n wird analog verfahren.
Wegen der punktweisen Konvergenz und der Majorante folgt mit dem Satz von Lebesgue (Satz 1.3) in L2loc die starke Konvergenz Fun → 0 und Fv n → 0 in L2loc (RN ; CN ).
18
2.2 Das klassische div-curl-Lemma
(5) Bis jetzt wurde gezeigt, dass f¨
ur alle r > 0 gilt:
n→∞
Fun · Fv n dξ −−−→ 0 .
Br
Nun soll der verbleibende Teil unter Kontrolle gebracht werden. Man m¨ochte dazu
|(Fun · Fv n ) ξ| in L1 (RN \Br ; C) beschr¨anken. Mit der Identit¨at
(a · b)c = (a · c)¯b + (c¯bT − ¯bcT )a f¨
ur alle a, b ∈ CN und c ∈ RN
und dem Korollar 2.7 aus dem Multiplikationssatz nutzt man die Voraussetzungen an
die Divergenz von un und die Rotation von v n aus und sch¨atzt ab
|(Fun · Fv n )ξ| ≤ |Fun · ξ| |Fv n | + |Fun | |ξ(Fv n )T − Fv n ξ T |
≤ |F(div un )| |Fv n | + |Fun | |F(curl v n )| .
Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (Satz A.4) und der Plancherel-Formel (2.4)
erh¨alt man
(Fun · Fv n )ξ
L1
≤ div un
vn
L2
L2
+ un
L2
curl v n
L2
< M∗ < ∞ .
¨
Ahnlich
zu dem Beweis des Einbettungssatzes von Rellich (Satz 2.9) folgt nun
1
|(Fun · Fv n )ξ| dξ
r RN \Br
Br
M∗
≤|
Fun · Fv n dξ| +
.
r
Br
Fun · Fv n dξ| ≤ |
|
RN
Fun · Fv n dξ| +
Mit (4) und r → ∞ wurde unter der zus¨atzlichen Annahme aus (2) bewiesen:
n→∞
un · v n dx =
Fun · Fv n dξ −−−→ 0 .
RN
Ω
(6) Mit Approximation von ϕ ∈ Cc (Ω; R) durch ψ1 · ψ2 ∈ Cc1 (Ω; R) folgt die Behauptung.
F¨
ur ein beliebiges ϕ ∈ Cc (Ω; R) gibt es aufgrund der Dichtheit von Cc1 in Cc eine Folge
(ψ1m )m ⊂ Cc1 (Ω; R) mit ψ1m → ϕ in Cc (Ω; R) f¨
ur m → ∞.
m
1
m
F¨
ur ψ2 ∈ Cc (Ω; R) mit ψ2 = 1 auf dem Tr¨ager von ψ1m folgt f¨
ur die Produktfolge
ϕm := ψ1m · ψ2m , dass ϕ − ϕm ∞ → 0 f¨
ur m → ∞ gilt. Mit der Cauchy-Schwarzschen
Ungleichung (Satz A.4) erh¨
alt man die Beschr¨ankung
ϕ(un · v n ) dx| ≤ ϕ − ϕm
|
∞
un
L2
vn
Ω
L2
ψ1m ψ2m (un · v n ) dx|
+|
Ω
≤ ϕ − ϕm
∞M
2
(ψ1m un ) · (ψ2m v n ) dx| .
+|
Ω
F¨
ur n → ∞ und m → ∞ folgt mit (1) die Behauptung des div-curl-Lemmas:
n→∞
ϕ(un · v n ) dx −−−→
Ω
ϕ(u · v) dx f¨
ur alle ϕ ∈ Cc (Ω; R) .
Ω
19
2.2 Das klassische div-curl-Lemma
Bemerkung:
• Dieser Beweis verf¨
ahrt in einigen Schritten, insbesondere in Schritt (4), analog zu
dem Beweis des Einbettungssatzes von Rellich. Dabei wurde in Schritt (4) im Wesentlichen nur die schwache Konvergenz der Folgen (un )n und (v n )n verwendet.
• In Schritt (5) werden die Informationen beziehungsweise die Kontrolle u
¨ber gewisse
partielle Ableitungen benutzt, um letztendlich die Konvergenz der Produktfolge zu
sichern.
• Der Schritt (2) wird auch in anderen Beweisen auftauchen und soll in dieser Arbeit
Lokalisierung genannt werden.
Mit Hilfe des div-curl-Lemmas kann man nun eine positive Antwort auf die Frage aus
dem Elektrostatik Beispiel geben.
Beispiel 3: Elektrostatik
Es wurde bereits festgestellt, dass gilt:
g n → g in L2 (V ; R)
und v n
v in L2 (V ; R3 ) ,
un
und hn
h in L2 (V ; R) .
u in L2 (V ; R3 )
Nun sind un und v n nicht nur Folgenglieder schwach konvergenter Folgen in entsprechenden
Funktionenr¨
aumen, sondern auch L¨osungen des partiellen Differentialgleichungssystems
v n = −∇g n
n
u = αv
n
(2.8)
n
n
(2.9)
n
n
(2.10)
div u = h
n
(2.7)
u ·v =f .
Die Gleichungen (2.7) und (2.9) geben den Folgen (un )n und (v n )n mehr Struktur, die man
mit Hilfe des div-curl-Lemmas nutzen kann. Da Gradientenfelder stets rotationsfrei sind,
gilt curl v n = 0. Insbesondere ist (curl v n )n beschr¨ankt in L2 (V ; R3×3 ). Mit der schwachen
Konvergenz von (hn )n folgt die Beschr¨anktheit von (div un )n in L2 (V ; R). Mit dem divcurl-Lemma folgt die Konvergenz der elektrostatischen Energiedichte f n nicht nur im Sinne
von Distributionen, sondern sogar ein bisschen mehr:
f n = un · v n
∗
u · v = f in M(V ) .
Nun kann man sich fragen, ob man auch diese Konvergenz noch verbessern kann.
♦
Nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ist die Produktfolge beschr¨ankt in L1 (Ω; R).
Dennoch kann man ohne zus¨
atzliche Annahmen keine schwache L1 −Konvergenz erwarten.
Dies soll anhand eines von Luc Tartar in [Tar09, S.92] konstruiertem Gegenbeispiels gezeigt
werden. Dazu soll noch ein spezieller Sobolew-Raum definiert werden. Dabei bezeichnet
∂Ω den Rand von Ω.
Definition 2.11:
Es sei Ω ein beschr¨
anktes Lipschitz-Gebiet. Der Raum aller Spuren tr(v) von Funktionen
1
1
v aus H (Ω; R) wird mit H 2 (∂Ω; R) := tr(v) ∈ L2 (∂Ω; R) v ∈ H 1 (Ω; R) bezeichnet.
1
Der Raum H 2 (∂Ω; R) ist mit einem entsprechenden Skalarprodukt ein Hilbert-Raum.
Genauere Ausf¨
uhrungen finden sich in [Tar07, Kap.16].
20
2.2 Das klassische div-curl-Lemma
Satz 2.12:
F¨
ur N ≥ 2 sei ω ⊂ Ω eine Kugel, deren Abschluss in Ω enthalten ist. Dann gibt es zwei
Folgen (un )n ⊂ L2 (Ω; RN ) und (v n )n ⊂ L2 (Ω; RN ) mit un
0 und v n
0 in L2 (Ω; RN ).
Weiterhin gilt v n = ∇g n , wobei g n
0 in H01 (Ω; R) und div un = 0. Aber dennoch
n
n
konvergiert die Produktfolge (u · v )n nicht schwach in L1 (Ω; R).
Bemerkung:
• F¨
ur N = 1 folgt aus der schwachen Konvergenz von (un )n und der Beschr¨anktheit
von (div un )n in L2 die Existenz einer in L2 stark konvergenten Teilfolge. Insbesondere folgt auch die schwache Konvergenz der Produktfolge in L1 .
• Der Beweis soll hier nur skizziert werden. Deshalb werden einige technische Details
ausgelassen. Die Theorie, die eingef¨
uhrt werden m¨
usste, ist f¨
ur den Rest dieser Arbeit
irrelevant. Es ist anzumerken, dass die ausgelassenen Details keineswegs trivial sind.
Die L¨
osbarkeit des Problems (2.11), die M¨oglichkeit, eine schwach, aber nicht stark,
1
konvergente Folge (ψ n )n in H 2 w¨ahlen zu k¨onnen, und die schwache Konvergenz
von (g n )n in H01 , sowie die Implikation der starken Konvergenz f¨
ur (ψ n )n benutzen
komplexe Aussagen wie den Spursatz von Lions (Satz A.13).
1
Beweis. Es sei (ψ n )n eine Folge, die schwach, aber nicht stark in H 2 (∂ω; R) gegen 0
konvergiert. Das inhomogene Dirichlet-Problem
−∆g n = 0 in ω
mit
1
g n = ψ n ∈ H 2 (∂ω; R) auf ∂ω
1
besitzt nach der Definition des Raumes H 2 (∂ω; R), mit dem Laplace-Operator ∆ und
nach dem Lemma von Lax-Milgram ([Tar07, Kap.19]) eine eindeutige schwache L¨osung
g n ∈ H 1 (ω; R). Weiterhin sei g n in Ω\¯
ω fortgesetzt durch die ebenfalls nach dem Lemma
von Lax-Milgram eindeutige schwache L¨osung des Problems
−∆g n = 0 in Ω\ω , g n = ψ n auf ∂ω und g n = 0 auf ∂Ω .
Ohne genauer auf die nicht trivialen Details einzugehen, impliziert die schwache Konvergenz der Folge (ψ n )n die schwache Konvergenz von (g n )n gegen 0 in H01 (Ω; R). Es sei
hn ∈ H 1 (Ω\ω; R) gegeben als die L¨osung des Problems
−∆hn = 0 in Ω\ω , hn = 0 auf ∂Ω und
∂hn
∂g n
=
auf ∂ω .
∂ν
∂ν
(2.11)
∂
Hierbei bezeichnet ∂ν
die Ableitung in Richtung des ¨außeren Normalenvektors. Mit den
folgenden Definitionen erh¨
alt man un
0 und v n
0 in L2 (Ω; Rn ):
v n := ∇g n in Ω
un := ∇g n in ω und un := ∇hn in Ω\¯
ω.
Mit der formalen Rechnung
div ∇g = ∆g
folgt div un = 0. Da v n ein Gradientenfeld ist, gilt curl v n = 0. Es folgt mit dem div-curlLemma
n→∞
ϕ(un · v n ) dx −−−→ 0 f¨
ur alle ϕ ∈ Cc (Ω; R) .
Ω
21
2.2 Das klassische div-curl-Lemma
Es liegt aber keine schwache L1 Konvergenz vor, denn es m¨
usste mit der f¨
ur die duale
∞
Paarung zul¨
assigen Funktion χω ∈ L (Ω; R) gelten:
n→∞
|∇g n |2 dx −−−→ 0 .
un · v n dx =
ω
ω
Dies impliziert allerdings, wieder nicht trivialerweise, die starke Konvergenz von (ψ n )n in
1
H 2 (∂ω; R). Das steht im Widerspruch zur Konstruktion.
Auch wenn das klassische div-curl-Lemma zun¨achst keine schwache L1 −Konvergenz
impliziert, so kann diese unter zus¨atzlichen Voraussetzungen gezeigt werden ([CDM11]).
Weiterhin kann man eine Version des div-curl-Lemmas f¨
ur beliebige Lp −R¨aume beweisen.
Satz 2.13: Verallgemeinertes div-curl-Lemma
F¨
ur 1 < p < ∞ gelte
un
u in Lp (Ω; RN )
und
(div un )n ist relativ kompakt in W −1,p (Ω; R) ,
vn
v in Lp (Ω; RN )
und
(curl v n )n ist relativ kompakt in W −1,p (Ω; RN ×N ) .
Dann folgt
un · v n
∗
u · v in M(Ω) .
Beweis. Eine Beweisskizze steht in [FN09, S.342].
Bemerkung:
• Eine Folge (xn )n heißt relativ kompakt in einem normierten Raum X, wenn sie eine
in X stark konvergente Teilfolge enth¨alt.
• Die Beweisskizze in [FN09, S.342] benutzt die sogenannte Helmholtz-Zerlegung und
einige Regularit¨
atsaussagen elliptischer Probleme f¨
ur Lp −Funktionen.
• Einen ausf¨
uhrlicheren Beweis findet man in [Mur78].
• Das klassiche div-curl-Lemma folgt f¨
ur p = 2 aus Satz 2.13, da L2 (Ω; C) kompakt in
−1
H (Ω; C) eingebettet ist. (Satz A.14 und Satz A.7).
Der Hauptsatz der kompensierten Kompaktheit (Satz 3.6) wird zeigen, dass die Voraussetzungen des klassischen div-curl-Lemmas abgeschw¨acht werden k¨onnen. Es gen¨
ugt,
−1
n
n
n
n
2
u
u und v
v in Lloc sowie (div u )n und (curl v )n relativ kompakt in Hloc zu
fordern.
Falls man (un · v n ) in Lr (Ω; R) f¨
ur 1 < r ≤ ∞ beschr¨anken kann, ergibt sich eine bessere
Konvergenzaussage. Dann erh¨
alt man mit der Dichtheit von Cc (Ω; R) in Lr (Ω; R) sogar
schwache Konvergenz (schwach∗ f¨
ur r = ∞) von (un · v n ) in Lr (Ω; R), wobei r der zu r
konjugierte Exponent sei.
In [GM08] wird eine noch st¨
arkere Verallgemeinerung des div-curl-Lemmas bewiesen, welche zul¨
asst, dass die einzelnen Komponenten uni und vin aus verschiedenen Lp −R¨aumen
stammen. Eine Erweiterung des klassischen div-curl-Lemmas auf die Theorie der ZweiSkalen Konvergenz wird in [Vis07] vorgenommen. Neben vielen technischen Resultaten aus
der Zwei-Skalen Theorie enth¨
alt der Beweis auch viele Parallelen zu dem hier pr¨asentierten
Beweis.
Nach dem div-curl-Lemma sollen nun weitere Resultate der kompensierten Kompaktheit
vorgestellt werden.
22
3 Kompensierte Kompaktheit
Der Begriff kompensierte Kompaktheit kann irref¨
uhrend sein, ebenso wie die englische Variante compensated compactness. Der urspr¨
ungliche franz¨osische Ausdruck compacit´e par
compensation (Kompaktheit durch Ausgleich) k¨onnte Abhilfe schaffen. Aber auch dieser
suggeriert, dass Kompaktheit erzeugt wird, was keineswegs der Fall ist. Die Theorie der
kompensierten Kompaktheit versucht Strukturen von L¨osungen partieller Differentialgleichungen auszunutzen, um zu Kompaktheitsargumenten ¨ahnliche Schl¨
usse zu erzielen.
Bei der Behandlung partieller Differentialgleichungen hat man oft eine Folge (un )n von
N¨aherungsl¨
osungen von Ersatzproblemen. Dann ben¨otigt man a-priori Absch¨atzungen,
um die schwache Konvergenz einer Teilfolge zu bekommen. Diese konvergiert dann, so
hofft man, gegen eine L¨
osung u des Grenzproblems. Enthalten diese Differentialgleichunn
gen einen Term f (u ) mit einer stetigen, aber m¨oglicherweise nichtlinearen, Abbildung f ,
dann muss insbesondere eine Teilfolge von (f (un ))n gegen f (u) konvergieren. Eine klassische Kompaktheitsargumentation daf¨
ur k¨onnte wie folgt aussehen.
Sei Ω ein beschr¨
anktes Lipschitz-Gebiet. Die Folge von L¨
osungen (un )n sei be2
M
ˇ
schr¨
ankt in L (Ω; R ). Dann besitzt sie nach dem Satz von Eberlein-Smulian
m
(Satz A.6) eine schwach konvergente Teilfolge (u )m . S¨
amtliche partielle Ableitungen der Folge (um )m seien beschr¨
ankt in L2 . Dann besitzt die Folge der
Gradienten eine schwach konvergente Teilfolge (∇uk )k . Somit konvergiert (uk )k
schwach in H 1 (Ω; RM ). Nach dem Einbettungssatz von Rellich-Kondrachov (Satz
A.14) existiert eine in L2 (Ω; RM ) stark konvergente Teilfolge (ul )l , da H 1 (Ω; RM )
kompakt in L2 (Ω; RM ) eingebettet ist. Dann konvergiert (f (ul ))l stark gegen f (u),
da f stetig ist.
Besitzt man keine Kontrolle u
¨ber alle partielle Ableitungen, kann man auch kein passendes
Kompaktheitsargument erwarten. Falls f linear ist, konvergiert f (un ) zumindest schwach
gegen f (u), denn lineare Abbildungen sind schwach-schwach stetig (Definition 3.1), falls
sie stetig sind (Satz A.10). Diese schwache Konvergenz ist in der schwachen L¨osungstheorie
partieller Differentialgleichungen oft ausreichend.
Der Abschnitt 3.1 besch¨
aftigt sich mit notwendigen und der Abschnitt 3.2 mit hinreichenden Kriterien, um die Konvergenz einer Teilfolge von (f (un ))n gegen f (u) zu sichern.
In dem Abschnitt 3.3 werden dann die hier pr¨asentierten Aussagen der kompensierten
Kompaktheit mit klassischen Konvexit¨ats- und Kompaktheitsargumenten verglichen. Die
Resultate und Beispiele orientieren sich an [Tar79] und [Tar09, Kap.17].
3.1 Notwendige Kriterien
In dem gesamten Kapitel 3 sei f : RM → R eine stetige m¨oglicherweise nichtlineare
Funktion. Die folgenden Kriterien sind unter anderem durch variationelle Minimierungsprobleme der nichtlinearen Elastizit¨atstheorie motiviert. In dieser m¨ochte man zum Beispiel folgendes Funktional minimieren:
φf (u) =
f (u) dx .
Ω
Dabei w¨
aren die folgenden zwei Eigenschaften f¨
ur φf oder f w¨
unschenswert.
23
(3.1)
3.1 Notwendige Kriterien
Definition 3.1:
Es seien X und Y Banach-R¨
aume.
(a) Ein Funktional φ : X → R heißt schwach folgenunterhalbstetig, falls f¨
ur alle in
n
X schwach konvergenten Folgen x
x gilt:
lim inf φ(xn ) ≥ φ(x) .
n→∞
(b) Die Abbildung f : X → Y heißt schwach-schwach stetig, falls f¨
ur alle schwach
konvergenten Folgen xn
x in X gilt:
f (xn )
f (x) in Y f¨
ur n → ∞ .
Bemerkung:
• Man kann diese Begriffe analog f¨
ur schwach∗ konvergente Folgen definieren.
Zun¨achst soll noch ein klassisches Resultat pr¨asentiert werden. Hierbei sind noch keine
Informationen u
¨ber partielle Ableitungen der Folgen gegeben. Dementsprechend restriktiv
ist die Forderung an f .
Satz 3.2:
F¨
ur Ω beschr¨
ankt betrachtet man eine Funktion f : RM → R, das nach (3.1) mit f
assoziierte Funktional φf und schwach∗ konvergente Folgen aus L∞ (Ω; RM ).
(1) Falls f konvex ist, dann ist φf L∞ −schwach∗ folgenunterhalbstetig.
(2) Das Funktional φf sei L∞ −schwach∗ folgenunterhalbstetig, dann muss f konvex sein.
Beweis. (1) Diese klassische Aussage findet man in [Cia13, S.669] und [Dac82, S.7].
(2) F¨
ur θ ∈ (0, 1) gibt es eine Folge charakteristischer Funktionen (χnθ )n , die schwach∗,
aber nicht stark, gegen θ in L∞ (Ω; R) konvergiert (Korollar 1.12). Mit a, b ∈ RM
definiert man die Folge
∗
un := χnθ a + (1 − χnθ )b mit un
θa + (1 − θ)b in L∞ (Ω; RM ) ,
sodass gilt:
f (un ) = χnθ f (a) + (1 − χnθ )f (b)
∗
θf (a) + (1 − θ)f (b) in L∞ (Ω; R) .
Mit der schwach∗ Folgenunterhalbstetigkeit des Funktionals erh¨alt man die Behauptung
f (un ) dx
meas (Ω) (θf (a) + (1 − θ)f (b)) = lim inf
n→∞
≥
Ω
f (u) dx = meas (Ω)f (θa + (1 − θ)b) .
Ω
Nun soll die notwendige Bedingung f¨
ur f abgeschw¨acht werden, indem man Informationen u
¨ber die Ableitungen der betrachteten Folgen (un )n ausnutzt. Die Ableitungen sind
im Folgenden je nach gegebener Regularit¨at im distributionellen, schwachen oder gar klassischen Sinne zu verstehen.
24
3.1 Notwendige Kriterien
Die Informationen, die man u
¨ber die Ableitungen einer Funktionenfolge (un )n ⊂ Lp (Ω; RM )
hat, werden beschrieben durch q ∈ N lineare Differentialoperatoren
M
N
aijk
j=1 k=1
∂unj
f¨
ur i = 1, . . . , q .
∂xk
(3.2)
Die Kontrolle, die man nicht hat, wird durch eine f¨
ur diese Operatoren charakteristische
Menge beschrieben:


M N


Λ := λ ∈ RM ∃ξ ∈ RN \{0} :
(3.3)
aijk λj ξk = 0 f¨
ur i = 1, . . . , q .


j=1 k=1
Die Koeffizienten aijk seien reell f¨
ur alle i = 1, . . . , q , j = 1, . . . , M und k = 1, . . . , N .
Man kann sich (3.2) formal auch mit Hilfe von Matrizen und Vektoren veranschaulichen:
 ∂ 
∂x1
T
n
∇ Ai u
Ai ∈ R
N ×M
f¨
ur i = 1, . . . , q , mit Ai =
[aijk ]M,N
j,k=1


und ∇ =  ...  .
∂
∂xN
Beispiel 4: Charakteristische Mengen
Betrachtet man den Fall M = N , so kann man die Divergenz mit der Identit¨atsmatrix IN
darstellen:
∂uN
∂u1
+ ... +
= div u .
∇T IN u = ∇ · u =
∂x1
∂xN
Als charakteristische Menge des Divergenz-Operators ergibt sich nun
Λdiv = λ ∈ RN ∃ξ ∈ RN \{0} : λ · ξ = 0 = {λ | ∃ξ = 0 : λ⊥ξ} = RN .
Die geometrische Bedeutung ist, dass man zu einem λ ein ξ = 0 finden muss, welches
orthogonal zu λ ist. M¨
ochte man die Rotation eines Vektorfeldes beschreiben, ben¨otigt
man allerdings schon N 2 Matrizen


amn = −1 m = j = k = n
∂uj ∂uk
Ai(jk) = amn = 1
−
f¨
ur j, k = 1, . . . , N .
m = k = j = n ⇒ ∇T Ai(jk) u =

∂x
∂xj
k

amn = 0
sonst
Die F¨alle j = k sind hierbei offensichtlich u
ussig, geh¨oren aber formal zur Definition.
¨berfl¨
Aufgrund der Symmetrie sind eigentlich auch die H¨alfte der verbleibenden F¨alle redundant.
F¨
ur die Rotation ergibt sich
Λcurl = λ ∈ RN ∃ξ ∈ RN \{0} : λj ξk = ξj λk f¨
ur alle j, k = 1, . . . , N
= {λ | ∃ξ = 0 : λ
N
ξ} = R
(3.4)
.
¨
Die Aquivalenz
zur geometrischen Forderungen der Parallelit¨at kann man sich wie folgt
erschließen. Ohne Beschr¨
ankung der Allgemeinheit sei ξ1 = 0, dann gilt
γ :=
λ1
λk
=
ξ1
ξk
f¨
ur k = 1, . . . , N und ξk = 0 .
Der Fall ξk = 0 impliziert nach der Bedingung (3.4) sofort λk = 0, da ξ = 0 gefordert
wird. F¨
ur alle k = 1, . . . , N folgt somit
λk = γξk
und somit λ
25
ξ.
3.1 Notwendige Kriterien
Die R¨
uckrichtung ist offensichtlich erf¨
ullt.
Falls man sowohl die Divergenz als auch die Rotation beschr¨anken kann, ergibt sich
Λdiv +curl = {λ | ∃ξ = 0 : λ⊥ξ und λ
ξ} = {0} .
Allgemein impliziert Λ = {0}, dass jede partielle Ableitung
∂uj
∂xk
∂uj
∂xk
kontrolliert werden kann.
Angenommen
kann nicht kontrolliert werden, das heißt, mit den Einheitsvektoren
M
ej ∈ R und ek ∈ RN gilt
eTj Ai ek = 0 f¨
ur alle i = 1, . . . , q .
Dies impliziert insbesondere
λ ∈ RM λ = γej f¨
ur γ ∈ R ⊂ Λ .
{0}
In Abschnitt 3.3 wird gezeigt, dass in dem Fall Λ = {0} der Hauptsatz der kompensierten
Kompaktheit einem Kompaktheitsargument entspricht.
♦
Der nachfolgende Satz wird nun die Forderung an f aus Satz 3.2 abschw¨achen, sodass
f nur noch in nicht kontrollierbare Richtungen konvex sein muss.
Satz 3.3:
Wenn f¨
ur f : RM → R und f¨
ur alle Folgen un
f (un )
∗
M
v in L∞ (Ω; R)
∗
u in L∞ (Ω; RM ) mit
N
und
aijk
j=1 k=1
∂unj
= 0 f¨
ur i = 1, . . . , q
∂xk
(3.5)
folgt, dass
v(x) ≥ f (u(x)) fast u
¨berall auf Ω gilt.
(3.6)
Dann muss f konvex in jede Richtung aus der charakteristischen Menge Λ sein, das heißt
die Funktion t → f (a + tλ) muss f¨
ur alle a ∈ RM und f¨
ur alle λ ∈ Λ konvex sein.
Beweis. F¨
ur y ∈ RM , λ ∈ Λ und ξ nach (3.3) mit λ assoziiert, definiert man mit einer
Funktion ϕn ∈ C ∞ (R; R)
un (x) := y + ϕn (ξ · x)λ .
Diese Folge erf¨
ullt die zweite Bedingung von (3.5), denn es gilt
M
N
aijk
j=1 k=1
∂unj
=
∂xk
M
N
aijk λj ξk
j=1 k=1
∂ϕnj
= 0 f¨
ur i = 1, . . . , q .
∂xk
F¨
ur θ ∈ (0, 1) existiert eine Folge von charakteristischen Funktionen (χnθ )n , die schwach∗,
aber nicht stark, in L∞ (R; R) gegen θ konvergiert (Korollar 1.12). Mit ϕn := χnθ folgt
un
∗
θ(y + λ) + (1 − θ)y in L∞ (Ω; RM ) ,
f (un )
∗
θf (y + λ) + (1 − θ)f (y) in L∞ (Ω; R) .
Allerdings ist die Bedingung (3.5) nur noch im Sinne von Distributionen erf¨
ullt, das heißt,
∞
es gilt f¨
ur alle ϕ ∈ Cc (Ω; R)
M
N
(yj + χnθ (ξ · x)λj )
aijk
j=1 k=1
Ω
26
∂ϕ(x)
dx = 0 .
∂xk
3.1 Notwendige Kriterien
Mit der Voraussetzung (3.6) und ω ⊂ Ω beschr¨ankt folgt
χω f (θ(y + λ) + (1 − θ)y) dx ≤
Ω
χω (θf (y + λ) + (1 − θ)f (y)) dx .
Ω
Insbesondere folgt damit
f (θ(y + λ) + (1 − θ)y) ≤ θf (y + λ) + (1 − θ)f (y) .
(3.7)
˜ ∈ Λ sowie t1 , t2 ∈ R und a ∈ RM folgt die Behauptung aus (3.7), denn
F¨
ur µ ∈ (0, 1), λ
˜ und λ = (t1 − t2 )λ
˜ ergibt sich
mit µ = θ, y = a + t2 λ
˜ = f µ(a + t2 λ
˜ + (t1 − t2 )λ)
˜ + (1 − µ)(a + t2 λ)
˜
f a + (µt1 + (1 − µ)t2 )λ
˜ + (1 − µ)f (a + t2 λ)
˜ .
≤ µf (a + t1 λ)
Der Satz 3.3 besagt, dass, falls das Funktional φf f¨
ur Folgen, die (3.5) erf¨
ullen, schwach∗
folgenunterhalbstetig ist, f in alle Richtungen aus Λ konvex sein muss. Diese Eigenschaft
nennt man auch Λ−konvex. Vergleicht man diese Aussage nun mit dem klassischen Resultat (Satz 3.2), ergibt sich Folgendes. Wenn man mehr Informationen u
¨ber die Folge (un )n
besitzt, kann man eventuell mehr Freiheiten f¨
ur f zulassen. Mit Λ ⊂ RM ist offensichtlich
jede konvexe Funktion auch Λ−konvex.
Korollar 3.4:
Unter den Voraussetzungen von Satz 3.3 sei f eine Funktion, sodass die obigen Bedingun∗
gen un
u in L∞ (Ω; RM ) und (3.5) implizieren, dass gilt:
v(x) = f (u(x)) fast u
¨berall auf Ω .
(3.8)
Dann muss f affin in jede Richtung aus Λ sein. Die Funktion t → f (a + tλ) muss also f¨
ur
alle a ∈ RM und f¨
ur alle λ ∈ Λ affin sein.
Beweis. Die Funktion f erf¨
ullt die Voraussetzungen von Satz 3.3. Also muss f konvex in
Richtung von Λ sein. Dank der Gleichheit in (3.8) erf¨
ullt auch −f mit dem Grenzwert −v
die Voraussetzungen von Satz 3.3, sodass −f konvex und f konkav in Richtung von Λ sein
muss. Eine Funktion, die konkav und konvex ist, ist affin.
Damit die Funktion f also L∞ −schwach∗-schwach∗ stetig sein kann, muss f nach dem
Korollar 3.4 Λ−affin sein.
Das folgende Beispiel soll die Aussagen von Satz 3.3 und Korollar 3.4 an separat konvexen
Funktionen veranschaulichen.
Beispiel 5: Separat Konvex
∗
F¨
ur N = 2 = M seien Folgen (un1 )n und (un2 )n mit un1
u1 und un2
n
∂un
∂u
gegeben. Angenommen es gilt ∂x11 = ∂x22 = 0. Dann erh¨alt man:
∗
u2 in L∞ (Ω; R)
Λ = (λ1 , λ2 ) ∈ R2 ∃ξ ∈ R2 \{0} : λ1 ξ1 = λ2 ξ2 = 0
= {(λ1 , λ2 ) | λ1 = 0 oder λ2 = 0}
R2 .
Nach Satz 3.3 muss f : R2 → R in jeder Variable einzeln konvex, aber nicht insgesamt
konvex sein, damit φf schwach∗ folgenunterhalbstetig sein kann. Solche Funktionen f
nennt man auch separat konvex.
27
3.1 Notwendige Kriterien
Damit f aufgefasst als eine Funktion von L∞ (Ω; RM ) nach L∞ (Ω; R) schwach∗-schwach∗
stetig sein kann, muss f nach Korollar 3.4 separat affin sein. Mit einer affinen Funktion
g : R2 → R muss f die Gestalt haben:
f (λ1 , λ2 ) = g(λ1 , λ2 ) + cλ1 λ2 .
Betrachtet man allerdings N = 3 = M und zus¨atzlich un3
Dann ergibt sich
∗
u3 in L∞ (Ω; R) mit
∂un
3
∂x3
= 0.
Λ = (λ1 , λ2 , λ3 ) ∈ R3 ∃ξ ∈ R3 \{0} : λ1 ξ1 = λ2 ξ2 = λ3 ξ3 = 0
= {(λ1 , λ2 , λ3 ) | mindestens ein λi = 0}
R3 .
Damit f schwach∗-schwach∗ stetig sein kann, muss f : R3 → R die Form haben:
f = affin + quadratisch .
Da der quadratische Term f¨
ur λi = 0 , i = 1, 2, 3, jeweils verschwinden muss, muss er
identisch 0 sein.
♦
Das n¨
achste Beispiel aus [Dac82, S.26 f.] zeigt, dass diese notwendigen Kriterien nicht
unbedingt hinreichend sein m¨
ussen.
Beispiel 6: Nicht Hinreichend
∗
F¨
ur N = 2 und Ω beschr¨
ankt seien un1
M = 3, gegeben mit:
∂un1
∂un2
=
=
∂x1
∂x2
In diesem Fall gilt f¨
ur die charakteristische
u1 , un2
∗
u2 und un3
∗
u3 in L∞ (Ω; R), also
∂un3
∂un
+ 3 =0.
∂x1
∂x2
Menge
Λ = (λ1 , λ2 , λ2 ) ∈ R3 ∃ξ ∈ R2 \{0} : λ1 ξ1 = λ2 ξ2 = λ3 (ξ1 + ξ2 ) = 0
= {(λ1 , λ2 , λ3 ) | mindestens zwei λi = 0} .
Die Funktion f (u) = f (u1 , u2 , u3 ) := u1 · u2 · u3 erf¨
ullt die notwendigen Bedingungen aus
Korollar 3.4. Die Funktion f ist aber nicht schwach∗-schwach∗ stetig. Man betrachtet die
Folgen

∗
n

0 = u1
u1 = sin(nx2 )
∂un1
∂un2
∂un3
∂un
∗
n
mit
=
=
+ 3 =0.
u2 = cos(nx1 )
0 = u2

∂x1
∂x2
∂x1
∂x2
 n
∗
u3 = sin(n(x1 − x2 ))
0 = u3
Da die Funktion


sin(x2 )
v(x) = v(x1 , x2 ) =  cos(x1 ) 
sin(x1 − x2 )
in jeder Variablen 2π−periodisch ist, folgt mit Satz 1.11 die schwach∗ Konvergenz in L∞
gegen 0. Mit diesen Folgen ergibt sich
1
sin(2nx1 ) sin(2nx2 ) − (sin(nx2 ))2 (cos(nx1 ))2
4
da aufgrund der 2π−Periodizit¨
at wieder mit Satz 1.11 folgt:
f (un1 , un2 , un3 ) =
1
sin(2nx1 ) sin(2nx2 )
4
∗
0
und
∗
1
− = 0 = f (0, 0, 0) ,
4
(sin(nx2 ))2 (cos(nx1 ))2
∗
1
.
4
♦
Unter welchen Umst¨
anden die Bedingungen aus Satz 3.3 und Korollar 3.4 auch hinreichend sind, wird der n¨
achste Abschnitt teilweise beantworten.
28
3.2 Hinreichende Kriterien
3.2 Hinreichende Kriterien
In diesem Abschnitt wird bewiesen, dass die notwendigen Bedingungen aus Satz 3.3 und
Korollar 3.4 im Falle einer quadratischen Form sogar in gr¨oßeren Funktionenr¨aumen,
n¨amlich L2loc statt nur L∞ , hinreichend sind.
Man betrachtet eine quadratische Form Q : RM → R und die zu Q assoziierte Form
˜ : CM → C, welche stets stetig sind. Nach der Polarisationsformel ([Fis10, S.291 f.])
Q
˜ eine hermitegibt es zu Q eine symmetrische Bilinearform B : RM × RM → R und zu Q
M
M
˜
sche Sesquilinearform B : C × C → C, sodass gilt:
1
(Q(a + b) − Q(a) − Q(b))
2
und B(a, a) = Q(a) f¨
ur alle a, b ∈ RM ,
˜ y) = 1 Q(x
˜ + y) − Q(x
˜ − y) + iQ(x
˜ + iy) − iQ(x
˜ − iy)
B(x,
4
˜ x) = Q(x)
˜
und B(x,
f¨
ur alle x, y ∈ CM .
B(a, b) =
(3.9)
(3.10)
˜ beziehungsweise B und B
˜ mit einer
Weiterhin ist es von Nutzen, dass man Q und Q
M
×M
symmetrischen Matrix MQ ∈ R
identifizieren kann, sodass mit dem euklidischen
Skalarprodukt · f¨
ur alle a, b ∈ RM und x, y ∈ CM gilt:
˜ y) = (MQ x) · y
B(a, b) = (MQ a) · b und B(x,
sowie
˜
Q(x)
= (MQ x) · x .
Auch hier steckt die komplexe Konjugation wieder in dem Skalarprodukt.
Eine erste wichtige Folgerung aus dieser Darstellung und der Linearit¨at der FourierTransformation ist eine Variante der Plancherel-Formel, welche in dem Beweis des Hauptsatzes benutzt wird:
F(MQ u) · Fu dξ =
Q(u) dx =
RN
RN
˜
Q(Fu)
dξ .
(MQ Fu) · Fu dξ =
RN
(3.11)
RN
Mit Hilfe der Matrix-Darstellung erschließt sich außerdem f¨
ur u ∈ L2loc (Ω; CM ) mit der
Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (Satz A.4)
˜
|Q(u)|
dx ≤ |MQ |
K
|u|2 dx f¨
ur alle kompakten K ⊂ Ω .
K
Die Abbildung x → MQ x ist stetig und linear, also folglich auch schwach-schwach stetig
(Satz A.10). Somit gilt insbesondere f¨
ur un
u in L2loc (Ω; RM ) und v ∈ L2loc (Ω; RM )
n→∞
B(un , v)ϕ dx −−−→
Ω
B(u, v)ϕ dx
f¨
ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω; R) .
(3.12)
Ω
Bevor nun der Hauptsatz der kompensierten Kompaktheit formuliert und bewiesen wird,
soll ein daf¨
ur ben¨
otigtes Lemma bewiesen werden. Dieses liefert eine Absch¨atzung f¨
ur den
Realteil einer hermiteschen Form.
Lemma 3.5:
˜ mit Re (Q(λ))
˜
Gegeben sei eine hermitesche Form Q
≥ 0 f¨
ur alle λ ∈ Λ + iΛ. Dann gibt
es f¨
ur alle ε > 0 eine Konstante Cε , sodass f¨
ur alle x ∈ CM und η ∈ RN \{0} gilt:
q
M
N
˜
Re (Q(x))
≥ −ε|x| − Cε
2
i=1 j=1 k=1
29
2
ηk
aijk xj
|η|
.
(3.13)
3.2 Hinreichende Kriterien
Beweis. Angenommen (3.13) gilt nicht, dann gibt es ein ε0 , sodass f¨
ur alle n ∈ N Paare
n
n
M
N
(x , η ) ∈ C × R existieren mit
q
M
N
˜ n )) < −ε0 |xn |2 − n
Re (Q(x
i=1 j=1 k=1
2
ηn
aijk xnj kn
|η |
.
Ohne Beschr¨
ankung darf man xn = 0 und |xn | = 1 f¨
ur alle n ab einem n0 annehmen (man
dividiere beide Seiten durch |xn |2 ) und erh¨alt eine gegen ein x konvergente Teilfolge (xm )m
f¨
ur m → ∞. Andernfalls gibt es eine gegen 0 konvergente Teilfolge. Da die Folge (ηm/|ηm |)m
η
ebenfalls beschr¨
ankt ist, erh¨
alt man wiederum eine gegen |η|
konvergente Teilfolge, welche
wieder mit n indiziert wird, sodass aus
q
M
N
i=1 j=1 k=1
2
ηn
aijk xnj kn
|η |
<
˜ n )) + ε0
Re (Q(x
−n
f¨
ur n → ∞ folgt
q
M
N
i=1 j=1 k=1
2
ηk
aijk xj
|η|
≤0.
˜
Dies impliziert sowohl Re (Q(x))
≤ −ε0 als auch x ∈ Λ + iΛ . Aber dies widerspricht der
Annahme
˜
Re Q(λ)
≥ 0 f¨
ur alle λ ∈ Λ + iΛ .
Mit diesem Lemma und der Fourier-Transformation (Abschnitt 2.1) kann nun der Hauptsatz der kompensierten Kompaktheit bewiesen werden.
Satz 3.6: Hauptsatz der kompensierten Kompaktheit
Es sei Q : RM → R eine quadratische Form mit Q(λ) ≥ 0 f¨
ur alle λ ∈ Λ. Weiterhin sei
eine Folge un
u in L2loc (Ω; RM ) gegeben mit


M N
∂unj

 ist relativ kompakt in H −1 (Ω; R) f¨
aijk
ur i = 1, . . . , q .
(3.14)
loc
∂xk
j=1 k=1
n
Falls eine M(Ω)−schwach∗ gegen ein µ ∈ M(Ω) konvergente Teilfolge (um )m existiert
mit
lim inf
Q(un )φ dx = lim
Q(um )φ dx = µ, φ M,Cc ,
n→∞
m→∞ Ω
Ω
f¨
ur alle φ ∈ Cc (Ω; R), dann folgt f¨
ur alle φ ∈ Cc (Ω; R) mit φ ≥ 0
µ, φ
M,Cc
≥
Q(u)φ dx .
(3.15)
Ω
Bemerkung:
• Die Forderung Q(λ) ≥ 0 f¨
ur alle λ ∈ Λ ist f¨
ur quadratische Formen ¨aquivalent zur
Λ−Konvexit¨
at. Denn betrachtet man die zweite Ableitung von p(t) := Q(a + tλ), so
gilt
p (t) ≥ 0 genau dann, wenn Q(λ) ≥ 0 .
30
3.2 Hinreichende Kriterien
−1
• Die Bedingung (3.14) bedeutet, dass eine in Hloc
stark konvergente Teilfolge existiert.
¨
Beweis. Ahnlich
zu dem Beweis des div-curl-Lemmas reduziert man zun¨achst das Problem
und verlagert es in den Bereich der Fourier-Transformierten. Dann ist man in der Lage,
¨ahnliche Konvergenz Resultate zu erzielen. Mit dem obigen Lemma kann man schließlich
den nichtlokalen Teil beschr¨
anken.
(1) F¨
ur ϕ ∈ Cc1 (Ω; R) betrachtet man zun¨achst die Folge
v n := ϕun − ϕu .
Mit der Polarisationsformel (3.9) folgt aus
ϕ2 Q(un ) − 2ϕ2 B(un , u) + ϕ2 Q(u) dx
Q(v n ) dx =
Ω
Ω
mit der Eigenschaft (3.12) und f¨
ur n → ∞, dass gilt:
n→∞
ϕ2 Q(u) dx .
Q(v n ) dx = µ, ϕ2 −
lim inf
Ω
Ω
Somit ist die zu beweisende Aussage (3.15) mit einer noch auszuf¨
uhrenden Dichtheitsargumentation bez¨
uglich der Testfunktionen ¨aquivalent zu
Q(v n ) dx ≥ 0 .
lim inf
n→∞
(3.16)
Ω
F¨
ur die so definierte Folge (v n )n gilt mit einem kompakten K nach den Voraussetzungen an (un )n
vn
0 in L2loc (Ω; R) und supp (v n ) ⊂ K = supp (ϕ) ⊂ Ω
f¨
ur alle n ∈ N .
−1
(Ω; R) stark konvergente Teilfolge, wieder mit n
Nach (3.14) existiert eine in Hloc
n
indiziert, sodass mit v
0 folgt:
M
N
aijk
j=1 k=1
∂vjn n→∞
−1
−−−→ 0 in Hloc
(Ω; R) .
∂xk
(3.17)
Nach dieser Lokalisierung mit Hilfe des kompakten Tr¨agers der Testfunktion ϕ ist das
Problem wieder stets ein lokales. Somit kann man im Folgenden Ω = RN betrachten
und die Einschr¨
ankung loc an die R¨aume L2 und H −1 f¨
ur v n fallen lassen.
(2) Mit der Plancherel-Formel (nach (3.11)) gilt:
n→∞
n
˜
Q(Fv
) dx .
Q(v n ) dx = lim inf
lim inf
n→∞
K
RN
F¨
ur (Fv n )n ergeben sich analog zu dem Beweis des div-curl-Lemma die folgenden
Eigenschaften.
(a) Die Folge (Fv n )n konvergiert schwach gegen 0 in L2 (RN ; CM ).
(b) Die Folge (Fv n )n konvergiert punktweise gegen 0.
(c) F¨
ur alle n ∈ N gilt Fv n
∞
˜ < ∞.
<M
31
3.2 Hinreichende Kriterien
˜ folgt mit dem Satz von LeMit der punktweisen Konvergenz und der Majorante M
2
N
M
besgue (Satz 1.3) in Lloc (R ; C ) die starke Konvergenz
n→∞
Fv n −−−→ 0 in L2loc (RN ; CM ) .
Das Problem ist nun zumindest auf der Einheitskugel B1 unter Kontrolle.
˜
(3) Um das Lemma 3.5 nutzen zu k¨onnen, zeigt man einige Eigenschaften f¨
ur Q und Q.
F¨
ur z = x + iy ∈ CM mit x, y ∈ RM gilt
˜
˜
Q(z)
= Q(x) + Q(y) + iB(x, y) − iB(x, y) = Q(x) + Q(y) = Re (Q(z))
.
Insbesondere folgt daraus
˜ ≥ 0 f¨
˜ ∈ Λ + iΛ
˜ λ))
Re (Q(
ur alle λ
genau dann, wenn gilt
Q(λ) ≥ 0 f¨
ur alle λ ∈ Λ .
Somit reduziert sich das Problem darauf, zu zeigen, dass gilt:
n
˜
Re Q(Fv
) dξ ≥ 0 .
lim inf
n→∞
RN
(4) Mit der alternativen Charakterisierung des Sobolew-Raums H −1 (RN ; C) folgt aus
(3.17), dass f¨
ur alle i = 1, . . . , q gilt:
1
1 + |ξ|
M
N
n→∞
aijk Fvjn (ξ)ξk −−−→ 0 in L2 (RN ; C) .
j=1 k=1
Betrachtet man nun also |ξ| ≥ 1, so folgt mit dem Lemma 3.5 f¨
ur x = Fv n (ξ), η = ξ
und ein ε > 0
lim inf
n→∞
n
˜
Re (Q(Fv
)) dξ
RN \B1
q
≥ lim inf
n→∞
M
−ε|Fv n |2 − Cε
RN \B1
≥ −ε lim inf
n→∞
i=1 j=1 k=1
dξ
|Fv n |2 dξ
− lim inf Cε
n→∞
ξk
aijk Fv n (ξ)
|ξ|
RN \B1
q
i=1
RN \B1
1 + |ξ|
|ξ|
q
˜ 2 − 4 Cε
≥ −ε lim inf M
n→∞
2
N
2
M
2
N
j=1 k=1
M
ξk
aijk Fv n (ξ)
1 + |ξ|
N
lim inf
i=1
n→∞
˜2 .
≥ −εM
32
RN \B1 j=1 k=1
dξ
2
ξk
aijk Fv n (ξ)
1 + |ξ|
dξ
3.2 Hinreichende Kriterien
Insgesamt folgt nun mit den bisherigen Ergebnissen und f¨
ur ε > 0 beliebig klein die
Behauptung (3.16):
n→∞
n
˜
Q(Fv
) dξ
Q(v n ) dx = lim inf
lim inf
n→∞
RN
RN
n
˜
Re Q(Fv
) dξ
= lim inf
n→∞
RN
n
˜
Re Q(Fv
) dξ + lim inf
= lim inf
n→∞
n→∞
B1
˜2
n
˜
Re Q(Fv
) dξ
RN \B1
≥ 0 − εM .
(5) Aufgrund der Dichtheit gibt es f¨
ur alle φ ∈ Cc (Ω; R) eine Folge (ϕm )m ⊂ Cc1 (Ω; R) mit
ϕm − φ
∞
→0
f¨
ur m → ∞ .
Die Abbildung φ → φ2 ist eine Bijektion auf {φ ∈ Cc (Ω; R) | φ ≥ 0}. Somit gen¨
ugt es
mit ϕ2 ∈ Cc1 (Ω; R) zu testen, da gilt:
(ϕm )2 − φ2
∞
≤ ϕm − φ
∞(
ϕm
∞
+ φ
∞)
m→∞
−−−−→ 0 .
Mit (5) kann somit die Voraussetzung aus (1) fallen gelassen werden. Nach (4) ist der
Hauptsatz nun bewiesen und es gilt f¨
ur alle φ ∈ Cc (Ω; R) mit φ ≥ 0
Q(un )φ dx ≥
lim inf
n→∞
Ω
Q(u)φ dx .
Ω
Das folgende Beispiel soll die Aussage des Hauptsatzes und das klassische Resultat (Satz
3.2) vergleichen.
Beispiel 7: Nicht-Konvexe Quadratische Form
Falls Λ = RM gilt, gibt es nicht-konvexe quadratische Formen Q, die die Voraussetzung
Q(λ) ≥ 0 f¨
ur alle λ ∈ Λ erf¨
ullen. Eine solche Λ−konvexe, aber nicht insgesamt konvexe,
quadratische Form ist gegeben durch
Qε (u) := |u|2 − (1 + ε)(u · a)2 f¨
ur a ∈ RM mit |a| = 1 .
Die quadratische Form Qε ist positiv bis auf eine kleine kegelf¨ormige Umgebung um a.
W¨ahlt man a ∈
/ Λ, so erf¨
ullt Qε die Voraussetzung. Nach dem Haupsatz ist nun das
Funktional
φϕ (u) =
ϕQε (u) dx f¨
ur ϕ ∈ Cc (Ω; R) mit ϕ ≥ 0
Ω
schwach∗ folgenunterhalbstetig f¨
ur Folgen (un )n ⊂ L∞ (Ω; R), die die Voraussetzungen des
Hauptsatzes erf¨
ullen.
♦
Korollar 3.7:
Unter den Voraussetzungen des Hauptsatzes gelte zus¨
atzlich Q(λ) = 0 f¨
ur alle λ ∈ Λ.
Dann folgt f¨
ur alle φ ∈ Cc (Ω; R)
lim
n→∞ Ω
Q(un )φ dx =
Q(u)φ dx .
Ω
33
3.2 Hinreichende Kriterien
Beweis. Sowohl Q als auch −Q erf¨
ullen die Voraussetzungen des Hauptsatzes. Deshalb
gilt f¨
ur alle φ ∈ Cc (Ω) mit φ ≥ 0
Q(un )φ dx ≥
lim inf
n→∞
Q(u)φ dx und
−Q(un )φ dx ≥
lim inf
Ω
Ω
n→∞
−Q(u)φ dx .
Ω
Ω
Somit gibt es eine Teilfolge (um )m , sodass f¨
ur alle φ ∈ Cc (Ω; R) mit φ ≥ 0 oder φ ≤ 0 gilt:
m→∞
Q(um )φ dx −−−−→
Q(u)φ dx .
Ω
Ω
Jedes φ ∈ Cc (Ω; R) l¨
asst sich zerlegen in φ = φ1 + φ2 mit φ1 , φ2 ∈ Cc (Ω; R) mit φ1 ≥ 0
und φ2 ≤ 0, denn mit φ1 := max{0, φ} ∈ Cc (Ω; R) gilt
φ = φ1 + (φ − φ1 ) und (φ − φ1 ) ≤ 0 .
Mit dem schwachen Teilfolgenprinzip (Satz A.8) folgt f¨
ur die gesamte Folge und f¨
ur alle
φ ∈ Cc (Ω; R)
n→∞
Q(un )φ dx −−−→
Ω
Q(u)φ dx .
Ω
Mit Hilfe der Aussagen des Abschnitts 3.1 und dem Hauptsatz soll nun das div-curlLemma hergeleitet und dessen Pr¨azision hervorgehoben werden.
Beispiel 8: Das div-curl-Lemma
∗
Man betrachtet f¨
ur M = 2N eine stetige Funktion f : R2N → R. Weiterhin seien un
u
∗
und v n
v in L∞ (Ω; RN ) gegeben mit div un = 0 und curl v n = 0 f¨
ur alle n ∈ N. Dann
gilt nach Beispiel 4 zu charakteristischen Mengen
Λ = (λ, µ) ∈ R2N ∃ξ ∈ RN \{0} : λ⊥ξ und µ
ξ
= {(λ, µ) | λ⊥µ} .
Damit f : (u, v) → f (u, v) schwach∗-schwach∗ stetig sein kann, muss f nach Korollar 3.4
affin in jede Richtung (λ, µ) mit λ · µ = 0 sein. F¨
ur λ = 0 und danach µ = 0 folgt, dass
f affin in µ f¨
ur festes λ und affin in λ f¨
ur festes µ sein muss. Demnach muss f folgende
Struktur haben:
N
N
mij λi µj mit mij ∈ R f¨
ur alle i, j = 1, . . . , N .
f (λ, µ) = affin +
i=1 j=1
Der quadratische Teil muss allerdings f¨
ur alle Richtungen mit λ · µ = 0 verschwinden. Es
gilt also
f = affin + α(λ · µ) .
Jede in L∞ schwach∗ konvergente Folge konvergiert nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (Satz A.4) auch schwach in L2loc . Die quadratische Form Q((λ, µ)) = λ · µ erf¨
ullt
n
n
2
2N
die Voraussetzungen von Korollar 3.7 f¨
ur Folgen ((u , v ))n ⊂ Lloc (Ω; R ) mit (div un )n
−1
−1
relativ kompakt in Hloc (Ω; R) und (curl v n )n relativ kompakt in Hloc
(Ω; RN ×N ). Es werden also mehr Folgen zugelassen, als bei dem notwendigen Kriterium betrachtet wurden.
Mit dem Korollar 3.7 folgt f¨
ur alle ϕ ∈ Cc (Ω; R)
n→∞
ϕ(un · v n ) dx =
Ω
ϕQ((un , v n )) dx −−−→
Ω
ϕ(u · v) dx .
ϕQ((u, v)) dx =
Ω
Ω
Dies ist die Aussage des div-curl-Lemmas. Außerdem ist diese quadratische Form die
einzige nicht-affine Abbildung, f¨
ur welche diese Folgerung gilt. Somit war das historisch
erste auch schon ein erstaunlich pr¨azises Resultat.
♦
34
3.3 Zusammenfassung
3.3 Zusammenfassung
In diesem Abschnitt sollen nun die Resultate der kompensierten Kompaktheit aus den
Abschnitten 3.1 und 3.2 mit klassischen Argumenten verglichen werden.
F¨
ur den Fall Λ = RM liefern diese Aussagen der kompensierten Kompaktheit ein klassisches Konvexit¨
atsresultat. Mit dem Hauptsatz folgt dann, dass f¨
ur konvexe quadratische
Formen Q das Funktional
φϕ (u) =
f¨
ur ϕ ∈ Cc (Ω; R) mit ϕ ≥ 0
ϕQ(u) dx
Ω
schwach folgenunterhalbstetig ist. Wenn man nicht genug Kontrolle u
¨ber die Ableitungen
hat, kann man also auch keine besseren Aussagen treffen.
Der Fall Λ = {0} entspricht einem klassischen Kompaktheitsargument, denn jede
quadratische Form erf¨
ullt Q(0) = 0. F¨
ur eine Folge (un )n , die die Voraussetzungen des
Hauptsatzes erf¨
ullt, betrachtet man die negativ definite quadratische Form
Q(u) := −|u|2 = −(u · u) .
Analog zu Schritt (1) in dem Beweis des Hauptsatzes betrachtet man ohne Beschr¨ankung
der Allgemeinheit die Differenzfolge v n := (un − u)
0 in L2loc (Ω; RM ). Dann gilt nach
dem Hauptsatz f¨
ur ϕ ∈ Cc (Ω; R) mit ϕ ≥ 0
ϕ|0|2 dx = 0 ≤ lim inf
−
n→∞
Ω
−ϕ|v n |2 dx ≤ 0 .
Ω
F¨
ur K ⊂ Ω kompakt und f¨
ur jedes ε > 0 gibt es eine Funktion φε ∈ Cc (Ω; R) mit φε ≥ 0,
sodass gilt:
|χK − φε | dx < ε .
Ω
Mit diesem Approximationsargument folgt
|un − u|2 dx = 0 .
lim inf
n→∞
K
Es gibt also eine gegen u in L2loc stark konvergente Teilfolge von (un )n .
Die hier pr¨
asentierten Resultate der kompensierten Kompaktheit sind also neue Argumente
f¨
ur die F¨
alle {0} = Λ = RM . Man nutzt die Informationen, die man u
¨ber die Ableitungen
der betrachteten Folgen hat, um mehr Nichtlinearit¨at zulassen zu k¨onnen.
Beispiel 9: Elektrostatik
Betrachtet man mit diesen Erkenntnissen nochmals das Beispiel aus der Elektrostatik,
muss man feststellen, dass dieses Standardbeispiel ([Tar79]) nicht unbedingt ein gutes
Beispiel ist.
v n = −∇g n
n
u = αv
(3.18)
n
(3.19)
n
n
(3.20)
n
n
(3.21)
div u = h
n
u ·v =f
Die Gleichung 3.19 impliziert, dass nicht die charakteristische Menge
(λ, µ) ∈ R2N ∃ξ ∈ RN \{0} : λ⊥ξ und µ
35
ξ
3.3 Zusammenfassung
aus dem Beispiel 8 vorliegt. Es gilt mit M = N nach Beispiel 4
Λdiv +curl = {0} .
¨
Somit existiert nach der obigen Uberlegung
eine in L2loc stark konvergente Teilfolge von
n
(u )n .
♦
Im Falle eines Kompaktheitsargumentes erh¨alt man insbesondere auch die Konvergenz
der Produkte der einzelnen Komponenten, wohingegen mit dem div-curl-Lemma im All∗
gemeinen nicht uni vin
ui vi in M(Ω) folgt. Die Summe kompensiert also das Verhalten,
oder auch die mangelnde Kompaktheit, der einzelnen Terme.
Abschließend soll ein echtes Kompensationsbeispiel konstruiert werden, da die g¨angige
Literatur kein entsprechend einfaches und anschauliches Beispiel bietet.
Beispiel 10: Kompensationsbeispiel
F¨
ur N = 2 und Ω beschr¨
ankt betrachtet man die Folgen (un )n und (v n )n aus L2 (Ω; R2 )
definiert durch
un :=
un1
un2
=
sin(nx1 ) · sin(nx2 )
cos(nx1 ) · cos(nx2 )
v n :=
v1n
v2n
=
sin(nx1 ) · sin(nx2 )
− cos(nx1 ) · cos(nx2 )
mit un
mit v n
0 = u in L2 (Ω; R2 ) ,
0 = v in L2 (Ω; R2 ) .
Die schwache Konvergenz gegen 0 folgt jeweils aus Satz 1.11, da u1 und v 1 in jeder Variablen 2π−periodisch sind. F¨
ur die Divergenz von un gilt
div un = n cos(nx1 ) · sin(nx2 ) − n cos(nx1 ) sin(nx2 ) = 0 .
Weiterhin erh¨
alt man f¨
ur die Rotation von v n , curl v n = 0, denn es gilt:
∂v1n ∂v2n
−
= n sin(nx1 ) · cos(nx2 ) − n sin(nx1 ) · cos(nx2 ) = 0
∂x2
∂x1
Damit folgt f¨
ur die Produkte der einzelnen Koordinaten wieder mit der 2π−Periodizit¨
at
und Satz 1.11
un1 · v1n = sin2 (nx1 ) · sin2 (nx2 )
un2 · v2n = − cos2 (nx1 ) · cos2 (nx2 )
1
4
1
−
4
0 = u1 · v1 ,
0 = u2 · v2 .
Nun ist die Produktfolge insbesondere in Lp (Ω; R2 ) f¨
ur 1 < p < ∞ beschr¨ankt, somit folgt
im Einklang mit dem div-curl-Lemma (Satz 2.10)
un · v n = sin2 (nx1 ) · sin2 (nx2 ) − cos2 (nx1 ) · cos2 (nx2 )
1 1
− = 0 = u · v in Lp (Ω; R) .
4 4
♦
36
4 Ausblick
In diesem letzten Kapitel sollen weitere interessante Aspekte, Verallgemeinerungen und
Erweiterungen der Theorie der kompensierten Kompaktheit pr¨asentiert werden. Es wird
weiterhin das Funktional
φf (u) :=
ϕf (u) dx
Ω
mit einer stetigen Funktion f und ϕ ∈ Cc (Ω; R) mit ϕ ≥ 0 betrachtet.
Nach Beispiel 5 muss, bei entsprechender Kontrolle u
¨ber die Ableitungen, die Funktion f nur noch separat konvex sein, damit φf schwach folgenunterhalbstetig sein kann.
Das Beispiel 6 zeigt, dass diese Eigenschaft allein nicht hinreichend ist. Allerdings gibt
es auch f¨
ur allgemeine separat konvexe Funktionen hinreichende Kriterien. In [LMM12]
wird ein hinreichendes Kriterium f¨
ur separat konvexe Funktionen unter zus¨atzlichen Beschr¨anktheitsvoraussetzungen bewiesen.
Neben separat konvex und Λ−konvex gibt es in der Theorie der kompensierten Kompaktheit noch weitere Konvexit¨
atsbegriffe von besonderem Interesse. Dazu geh¨ort die sogenannte A−Quasi-Konvexit¨
at (siehe Definition A.15). F¨
ur diese Verallgemeinerung der
Λ−Konvexit¨
at wird unter anderem in [Dac82, S.15 f.] ein hinreichendes Kriterium f¨
ur die
schwache Folgenunterhalbstetigkeit von φf bewiesen.
Die Kontrolle u
¨ber die partiellen Ableitungen ist in Kapitel 3 stets durch q ∈ N lineare
Differentialoperatoren
M N
∂unj
aijk
f¨
ur i = 1, . . . , q
∂xk
j=1 k=1
mit aijk ∈ R f¨
ur i = 1, . . . , q und j = 1, . . . , M sowie k = 1, . . . , N gegeben. Mit
zus¨atzlichem Aufwand kann man auch komplexe Koeffizienten behandeln. M¨ochte man
allerdings variable Koeffizienten zulassen, reicht die hier eingef¨
uhrte Theorie bei Weitem
nicht mehr aus. Eine sehr interessante Erweiterung in diese Richtung ist die Theorie der
H−Maße. Diese wurde 1987 von Luc Tartar eingef¨
uhrt ([Tar09, S.329]). Eine Einf¨
uhrung
in die Theorie der H−Maße findet sich in [Tar09, Kap.28 ff.]. Mit Hilfe dieser Theorie kann
man nun f¨
ur die Informationen beziehungsweise die Kontrolle u
¨ber die partiellen Ableitungen auch variable Koeffizienten aijk ∈ C(Ω; R) zulassen. Man kann also Funktionenfolgen
un
u in L2loc (Ω; CM ) mit
M
N
j=1 k=1
∂(aijk unj )
−1
ist relativ kompakt in Hloc
(Ω; C)
∂xk
f¨
ur aijk ∈ C(Ω; R) betrachten. Eine entsprechende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der
kompensierten Kompaktheit wird in [Tar09, S.341] bewiesen.
37
A Anhang
In den folgenden beiden Abschnitten werden Definitionen und Theoreme aufgef¨
uhrt, die
zwar in dieser Arbeit verwendet, aber nicht im Verlauf eingef¨
uhrt wurden.
A.1 Schwache Konvergenz
Satz A.1:
In jedem normierten Vektorraum (X, · X ) gilt:
(a) Der Grenzwert einer schwach konvergenten Folge ist eindeutig.
(b) Eine schwach konvergente Folge ist beschr¨
ankt.
(c) F¨
ur xn
x gilt: x X ≤ lim inf xn X .
n→∞
Beweis. [Cia13, S.288].
Definition A.2:
Sei X ein normierter Vektorraum.
(a) X heißt reflexiv, falls die kanonische Abbildung J : X → (X ) mit J(x)(f ) := f (x)
f¨
ur f ∈ X surjektiv ist.
(b) X ist separabel, falls X eine abz¨
ahlbare dichte Teilmenge enth¨
alt.
Satz A.3: Rieszscher Darstellungssatz in Hilbert-R¨
aumen
Zu jedem Hilbert-Raum H existiert genau ein Isomorphismus R : H → H mit:
(Rf, x)H = f, x
H ,H
und
|Rf |H = |f |H
f¨
ur alle f ∈ H und f¨
ur alle x ∈ H.
Beweis. [Cia13, S.197].
Satz A.4: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
In jedem Hilbert-Raum H mit dem Skalarprodukt (·, ·)H gilt f¨
ur alle x, y ∈ H die CauchySchwarzsche Ungleichung:
|(x, y)H | ≤
(x, x)H
(y, y)H .
Beweis. [Cia13, S.175].
Definition A.5:
Ein normierter Vektorraum X heißt eingebettet in den normierten Vektorraum Y , falls
es eine injektive Abbildung j : X → Y mit j(x) = x gibt. Ist j stetig, so heißt X
stetig eingebettet in Y (symbolisch X → Y ). Ist j(X) dicht in Y , so heißt X dicht in Y
d
eingebettet (X → Y ). Besitzt f¨
ur jede in X beschr¨
ankte Folge (xn )n die Folge (j(xn ))n
c
eine in Y konvergente Teilfolge, dann heißt X kompakt eingebettet in Y (X → Y ).
ˇ
Satz A.6: Eberlein-Smulian
In einem reflexiven Banach-Raum besitzt jede beschr¨
ankte Folge eine schwach konvergente
Teilfolge.
38
A.2 Funktionenr¨aume
Beweis. [Wer07, S.107 f.] und [Sch13, S.77].
Satz A.7:
Seien X und Y Banach-R¨
aume und X dicht in Y eingebettet. Dann gilt
(a) X → Y impliziert Y → X ,
c
c
(b) X → Y impliziert Y → X .
(c) Falls X reflexiv und stetig in Y eingebettet ist, dann ist Y dicht in X eingebettet.
Beweis. [Zei90, S.265 f.].
Satz A.8: Schwaches Teilfolgenprinzip
Sei (xn )n eine in dem Banach-Raum X beschr¨
ankte Folge. Konvergieren alle schwach
konvergenten Teilfolge von (xn )n gegen das gleiche x ∈ X, so konvergiert auch (xn )n
schwach gegen x.
Beweis. [GGZ74, S.10].
Satz A.9:
Eine Folge (xn )n konvergiert genau dann schwach gegen x in einem normierten Vektorraum X, wenn f¨
ur eine dichte Teilmenge D ⊂ X gilt:
n→∞
f (xn ) −−−→ f (x) f¨
ur alle f ∈ D
und
sup xn < ∞ .
n∈N
Beweis. [Yos95, S.121].
Satz A.10:
Seien X und Y normierte Vektorr¨
aume.
(a) Sei A : X → Y linear und stetig, dann ist A auch schwach-schwach stetig.
(b) Sei B : X × Y → R bilinear, dann gilt f¨
ur xn
x in X und y n → y in Y
B(xn , y n ) → B(x, y) in R f¨
ur n → ∞.
Beweis. [Cia13, S.290 f.].
A.2 Funktionenr¨
aume
Satz A.11: Eigenschaften der Lp −R¨
aume
Der Raum Lp (Ω; C) ist f¨
ur 1 ≤ p ≤ ∞ ein Banach-Raum. Abh¨
angig von p gelten weitere
Eigenschaften.
(a) F¨
ur 1 ≤ p < ∞ liegt der Raum der Treppenfunktionen, der Raum Cc (Ω; C) und der
Raum Cc∞ (Ω; C) dicht in Lp (Ω; C) und Lp (Ω; C) ist separabel.
(b) F¨
ur 1 < p < ∞ ist Lp (Ω; C) reflexiv.
(c) Der Raum L2 (Ω; C) ist mit dem Skalarprodukt
u, v
L2
u · v dx
=
Ω
ein Hilbert-Raum.
Beweis. [AF03, Kap.2].
39
f¨
ur alle u, v ∈ L2 (Ω; C)
A.2 Funktionenr¨aume
Satz A.12: Eigenschaften von Sobolew-R¨
aumen
m,p
Die Sobolew-R¨
aume W (Ω; C) (Definition 1.8) sind, versehen mit den entsprechenden
Normen

1
p
f
W m,p
α
:= 
∂ f
p 
Lp
,
|α|≤m
separable Banach-R¨
aume. Diese sind f¨
ur 1 < p < ∞ reflexiv.
Die R¨
aume H m (Ω; C) := W m,2 (Ω; C) sind Hilbert-R¨
aume mit dem Skalarprodukt:
(u, v)H m :=
∂ α u · ∂ α v dx
f¨
ur alle u, v ∈ H m (Ω; C) .
|α|≤m Ω
Beweis. [AF03, Kap.3].
Satz A.13: Spursatz von Lions
Sei Ω ⊂ RN ein offenes, beschr¨
anktes Lipschitz-Gebiet, ν der ¨
außere Normalen-Vektor
und s > 12 .
(a) Es gibt eine eindeutige lineare und stetige Abbildung
1
¯ R) .
γ0 : H s (Ω; R) → H s− 2 (∂Ω; R), sodass γ0 (v) = v|∂Ω ∀v ∈ H s (Ω; R) ∩ C(Ω;
(b) Es gibt eine lineare und stetige Abbildung
1
1
R0 : H s− 2 (∂Ω; R) → H s (Ω; R), sodass γ0 R0 ϕ = ϕ ∀ϕ ∈ H s− 2 (∂Ω; R) .
(c) Weiterhin gibt es eine eindeutige lineare und stetige Abbildung
1
γ ∗ : H(div ; Ω; RN ) → H − 2 (∂Ω; RN ) ,
¯ RN ) .
sodass γ ∗ v = (v · ν)|∂Ω ∀v ∈ H(div ; Ω; RN ) ∩ C(Ω;
(d) Außerdem gibt es eine lineare und stetige Abbildung
1
1
R∗ : H − 2 (∂Ω; RN ) → H(div ; Ω; RN ), sodass γ ∗ R∗ ϕ = ϕ ∀ϕ ∈ H − 2 (∂Ω; RN ) .
Beweis. [LM72]. F¨
ur eine Defintion von H(div ; Ω; RN ) siehe [Tar07, Kap. 20].
Satz A.14: Rellich-Kondrachov
Sei Ω ein Lipschitz-Gebiet. Dann ist die Einbettung W 1,p (Ω; C) → Lq (Ω; C) kompakt f¨
ur
N ·p
q<
. F¨
ur W01,p (Ω; C) ist die gleiche Einbettung kompakt ohne Voraussetzungen an
N −p
den Rand von Ω.
Beweis. [Bre11, S.285] und [Dob10, S.116].
Definition A.15: A−Quasi-Konvexit¨
at
M
Eine Funktion f : R → R heißt A−quasi-konvex, falls gilt:
f (y + ζ(x)) dx ≥
D
f (y) dx
D
f¨
ur alle y ∈ RM , jeden achsenparallelen W¨
urfel D ⊂ RN und f¨
ur alle ζ aus :


M N


∂ζj
∞
M
ζ ∈ L (D, R )
aijk
= 0 f¨
ur i = 1, . . . , q .
ζ dx = 0 und


∂xk
D
j=1 k=1
40
Literaturverzeichnis
[AF03]
Adams, Robert A. ; Fournier, John J.: Sobolev Spaces. Second Edition.
Elsevier Ltd., 2003
[Bau92]
Bauer, Heinz: Maß- und Integrationstheorie. 2. Auflage. de Gruyter, 1992
[Bre11]
Brezis, Haim: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential
Equations. Springer-Verlag, 2011
[CD99]
Cioranescu, Doina ; Donato, Patrizia: An Introduction to Homogenization.
Oxford University Press, 1999
[CDM11] Conti, Sergio ; Dolzmann, Georg ; M¨
uller, Stefan: The div-curl lemma for
sequences whose divergence and curl are compact in W −1,1 . In: Comptes Rendus
Math. 349 (2011), S. 175–1778
[Cia13]
Ciarlet, Phlippe G.: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. siam, 2013
[Dac82]
Dacorogna, Bernard: Weak Continuity and Weak Lower Semicontinuity of
Non-Linear Functionals. Springer-Verlag, 1982
[Dob10]
Dobrowolski, Manfred: Angewandte Funktionalanalysis. 2. Auflage. SpringerVerlag, 2010
[Fis10]
Fischer, Gerd: Linear Algebra. 17. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, 2010
[FN09]
´ , Anton´
Feireisl, Eduard ; Novotny
yn: Singular Limits in Thermodynamics
of Viscous Fluids. Birkh¨auser Verlag, 2009
[For11]
Forster, Otto: Analysis 3. 6. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, 2011
[GGZ74] Gajewski, Herbert ; Gr¨
oger, Konrad ; Zacharias, Klaus: Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen. Akademie-Verlag, 1974
[GM08]
Gasser, Ingenuin ; Marcati, Pierangelo: On a generalization of the “Div-Curl
lemma”. In: Osaka Journal of Mathematics 45(1) (2008), S. 211–214
[H¨or83]
H¨
ormander, Lars: The Analysis of Linear Partial Differential Operators I.
Springer-Verlag, 1983
[Kab13]
Kaballo, Winfried:
Springer-Verlag, 2013
[LM72]
Lions, J.L. ; Magenes, E.: Non-Homogeneous Boundary Value Problems and
Applications. Springer-Verlag, 1972
Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie.
41
Literaturverzeichnis
[LMM12] Lee, Jihoon ; M¨
uller, Paul F. X. ; M¨
uller, Stefan: Compensated Compactness, Separately convex Funcitons and Interpolatory Estimates between Riesz
Transforms and Haar Projections. In: Communications in Partial Differential
Equations 36 (2012), S. 547–601
[Mur78]
Murat, Fran¸cois: Compacit´e par compensation. In: Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze (4) V (1978), S. 489–507
[Sch13]
Schweizer, Ben: Partielle Differentialgleichungen. Springer-Verlag, 2013
[Tar79]
Tartar, Luc: Compensated compactness and applications to partial differential
equations. In: Nonlinear analysis and mechanics: Heriot-Watt Symposium Bd.
Volume IV. Pitman Advanced Publishing Program, 1979
[Tar07]
Tartar, Luc: An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation Spaces.
Springer-Verlag, 2007
[Tar09]
Tartar, Luc: The General Theory of Homogenization. Springer-Verlag, 2009
[Vis07]
Visintin, Augusto: Two-scale div-curl lemma. In: Annli della Scuola Normale
Superiore di Pisa, Classe di Scienze (5) VI (2007), S. 1–31
[Wer07]
Werner, Dirk: Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2007
[Yos95]
Yosida, Kˆ
osaku: Functional Analysis. Springer-Verlag, 1995
[Zei90]
Zeidler, Eberhard: Nonlinear Functional Analysis and its Applications II/A.
Springer-Verlag, 1990
42
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