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Hausaufgaben I

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HAUSAUFGABEN
MATHEMATIK
IM
WS 2014/2015
Abgabe der Aufgaben 1&2: spätestens 21.11.2014
1. Aufgabe (Logelei, ZEIT Magazin Nr. 46/2009)
Professor Schmolz, Experte für metakulturelles Volkswissen, ist es gelungen, hinreichend viele
Regeln aufzudecken, um die Ableitung eines vollständigen Verhaltensmodells zu ermöglichen.
Oder: Wer alle Regeln einhält, hat keine Auswahl mehr.
Die vier Redewendungen „Wer A sagt, muss auch B sagen“, „Nach dem Essen sollst du ruhn
oder tausend Schritte tun“, „Wer andern eine Grube gräbt, fällt selbst hinein“ und „Hunde,
die bellen, beißen nicht“ (Anmerkung: Dies gilt nicht nur für Hunde!) konnte Schmolz um die
folgenden neuen ergänzen:
„Wer nicht bellt, tut nach dem Essen auch keine tausend Schritte.“ - „Nach dem Essen niemals
ruhn, es sei denn, man tut beißen tun.“ - „Wer nicht beißt, gräbt stattdessen eine Grube.“ - „Will
man B nicht gerne sagen, muss man eine Grube graben.“ - „Beim Zahnarzt kann man A sagen
oder beißen oder beides.“ (Anmerkung: Das gilt nicht nur beim Zahnarzt.) „Wer in eine Grube
fällt, der muss wohl vorher tausend Schritte getan haben.“ - „Wer B sagt, fällt in die Grube,
egal, ob er sie selbst gegraben hat.“
Wie muss man sich verhalten, wenn man alle Regeln beachtet?
Hinweis: Bezeichnen Sie die Elementaraussagen des Textes mit möglichst einfachen Symbolen,
um damit den Text zunächst formallogisch darzustellen. Führen Sie dann die Annahme, dass
die Aussage „Man sagt B“ falsch ist, zum Widerspruch.
2. Aufgabe (Vollständige Induktion)
a) Beweisen Sie folgende Aussagen mittels vollständiger Induktion, sofern diese richtig sind.
Widerlegen Sie gegebenenfalls die Aussagen!
◆:
n
i) ∀n∈
◆:
k=1
n
ii) ∀n∈
◆:
k=1
n
k=1
=
1
k
=−
1
k
iii) ∀n∈
5 3
n
144
−
k·(k+1) =
145
1
n+
144
5
n(n + 1)
2
n(n + 1)(n + 2)
3
◆ : xk+1 = 3xk − 2xk−1. Dann gilt:
eine Folge mit x0 =2, x1 =3 und ∀k∈
◆
∀n∈
+
ist n2 + n + 41 eine Primzahl.
k=1
n
k=1
∞
(xn )n=1
23 2
n
96
· log2 (n) , wobei x den ganzzahligen Anteil von x bezeichne.
(−1)k+1 k 2 = (−1)n+1 ·
vi) ∀n∈
vii) Sei
0
1
2
+
n
v) ∀n∈
◆:
1 4
n
480
1+
◆
iv) Für alle n∈
◆:
n+1
2
1
k
0
: xn = 2n + 1
n
k · k! eine Summenformel und beweisen Sie diese.
b) Finden Sie für
k=1
c) Beweisen Sie folgende Aussage mittels vollständiger Induktion!
„n in einer Ebene liegende Geraden zerlegen diese Ebene in Bereiche, die man so weiß
und schwarz färben kann, dass alle benachbarten Bereiche (d.h. Bereiche, die längs einer
Strecke aneinander grenzen) verschieden gefärbt sind.“
Abgabe der Aufgaben 1&2: spätestens 21.11.2014
Abgabe der Aufgaben 1&2: spätestens 21.11.2014
Lösung zu Aufgabe 1:
Wir führen folgende Aussagensymbole ein:
A
B
ER
ET
:=
:=
:=
:=
BEL
BEI
GG
GF
A sagen
B sagen
Nach dem Essen ruhen
Nach dem Essen 1000 Schritte tun
Es sind folgende elf Aussagen erfüllt, d.h. wahr (
1)
A
2)
ER
3)
GG
4)
BEL
5) ¬BEL
6)
ER
7) ¬BEI
8)
¬B
9)
A
10)
GF
11)
B
=⇒ B
ET
=⇒ GF
=⇒ ¬BEI
=⇒ ¬ET
=⇒ BEI
:=
:=
:=
:=
bellen
beißen
Grube graben
Grube fallen
bezeichnet das „entweder . . . oder“):
=⇒
=⇒
∨
=⇒
=⇒
GG
GG
BEI
ET
GF
Bemerkung: Aussage 6) erscheint natürlicher in der äquivalenten Form ¬ER ∨ BEI. Sie wird
jedoch in meiner Argumentation überhaupt nicht benötigt (??).
Wir nehmen an, dass B falsch ist. Dies liefert folgende Wahrheitswerte
1)
9)
4)
5)
10)
B falsch =⇒ A falsch =⇒ BEI wahr =⇒ BEL falsch =⇒ ET falsch =⇒ GF falsch
Andererseits folgt aber auch
8)
B falsch =⇒ GG wahr
GF falsch und GG wahr steht jedoch im Widerspruch zu Aussage 3). Also war die Annahme
falsch, d.h. es muss B wahr sein. Damit ergeben sich die restlichen Wahrheitswerte.
11)
10)
2)
B wahr =⇒ GF wahr =⇒ ET wahr =⇒ ER falsch
Aus ET wahr folgt außerdem
5)
4)
9)
ET wahr =⇒ BEL wahr =⇒ BEI falsch =⇒ A wahr
Aus BEI falsch folgt mit Aussage 7) schließlich, dass GG wahr ist.
Zusammen: Man beißt nicht und ruht nicht nach dem Essen, man sagt A und B, gräbt eine
Grube, in die man fällt, bellt und tut nach dem Essen tausend Schritte.
Lösung zu Aufgabe 2:
a)
◆:
n
i) ∀n∈
k=1
1
k
=
n+1
2
Richtig für n=1,2, dann falsch!
◆:
n
ii) ∀n∈
k=1
1
k
=−
1 4
n
480
+
5 3
n
144
−
23 2
n
96
+
145
1
n+
144
5
Richtig für n=1,...,4 dann falsch!
Abgabe der Aufgaben 1&2: spätestens 21.11.2014
Abgabe der Aufgaben 1&2: spätestens 21.11.2014
◆:
n
iii) ∀n∈
k=1
1
k
1+
1
2
· log2 (n) , wobei x den ganzzahligen Anteil von x bezeichne.
Lösung: Für n = 1, 2 ist die Behauptung offensichtlich richtig.
iv) n2 + n + 41 ist eine Primzahl: Richtig für n = 0, . . . , 39. Für n = 40 ergibt sich 412 !!!
◆:
v) ∀n∈
◆:
n
(−1)k+1 k 2 = (−1)n+1 ·
k=1
n
vi) ∀n∈
k·(k+1) =
k=1
n(n + 1)
2
n(n + 1)(n + 2)
3
vii) Induktionsschritt:
xm+1 = 3xm − 2xm−1
= 3(2m + 1) − 2(2m−1 + 1)
= 2m+1 + 1
n
k · k! = (n + 1)! − 1
b)
k=1
c) „n in einer Ebene liegende Geraden zerlegen diese Ebene in Bereiche, die man so weiß
und schwarz färben kann, dass alle benachbarten Bereiche (d.h. Bereiche, die längs einer
Strecke aneinander grenzen) verschieden gefärbt sind.“
◆
Für n = 1 offensichtlich richtig. Induktionsschritt: Gelte die Behauptung für ein m ∈ .
Betrachte eine beliebige von m + 1 Geraden. Diese zerlegt die Ebene mit den restlichen
m Geraden in zwei Teile. Kehre in einem Teil alle Farben um, d.h. schwarz in weiß und
umgekehrt.
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