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4 - Fakultät für Mathematik

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Technische Universit¨
at Dortmund
Fakult¨at f¨
ur Mathematik
Prof. Dr. Detlev Hoffmann
Sven Wagner
Wintersemester 2014/15
¨
Ubungsblatt
4
29.10.2014
Algebra I
Aufgabe 4.1:
(a) Sei G eine Gruppe, und sei H eine Untergruppe von G. Sei (xi )i∈I ein Repr¨asentantensystem
der Linksnebenklassen von H in G.
Zeigen Sie, dass dann (x−1
asentantensystem der Rechtsnebenklassen von H in
i )i∈I ein Repr¨
G ist.
Geben Sie außerdem eine Gruppe G und eine Untergruppe H von G an, f¨
ur die es ein
Repr¨asentantensystem aller Linksnebenklassen gibt, das kein Repr¨asentantensystem aller
Rechtsnebenklassen ist.
(b) Sei G eine Gruppe, und seien H und K Untergruppen von G mit K ≤ H. Sei (xi )i∈I ein
Repr¨asentantensystem der Linksnebenklassen von H in G, und sei (yj )j∈J ein Repr¨asentantensystem der Linksnebenklassen von K in H.
Zeigen Sie, dass dann (xi yj | i ∈ I, j ∈ J) ein Repr¨asentantensystem der Linksnebenklassen
von K in G ist, und folgern Sie daraus, dass [G : K] = [G : H] · [H : K] gilt.
Aufgabe 4.2:
(a) Sei n ∈ N. Zeigen Sie, dass f¨
ur jeden Normalteiler H von Sn gilt: Ist σ ∈ H, so enth¨alt H
auch jede andere Permutation, die denselben Zyklentyp wie σ besitzt.
(b) Bestimmen Sie alle Normalteiler von S4 .
Aufgabe 4.3:
Sei G eine Gruppe.
(a) Sei H eine Untergruppe von G. Zeigen Sie: Gilt [G : H] = 2, dann ist H ein Normalteiler
von G.
(b) Finden Sie ein Beispiel f¨
ur eine Gruppe G und eine Untergruppe H von G, sodass [G : H] = 3
gilt und H kein Normalteiler von G ist.
(c) Seien H und K Untergruppen von G. Zeigen Sie oder widerlegen Sie anhand eines Gegenbeispiels:
(i) Gilt H, K G, so auch H ∩ K G.
(ii) Gilt K ≤ H und K G, so auch K
(iii) Gilt K H und H G, so auch K
H.
G.
(Hinweis: Verwenden Sie u.a. Aufgabe 4.2.)
Aufgabe 4.4: (vgl. 1.4.15 (a) aus Lineare Algebra I )
Seien G und H Gruppen, und sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie die
folgenden Aussagen.
(a) Es gilt f (xn ) = f (x)n f¨
ur alle x ∈ G und alle n ∈ Z.
(b) Es gilt o(f (x)) | o(x) f¨
ur alle x ∈ G mit o(x) < ∞.
(c) Gilt o(x) ≤ 2 f¨
ur alle x ∈ G, so ist G abelsch.
Gilt die Aussage aus (c) auch, wenn man nur o(x) ≤ 3 f¨
ur alle x ∈ G fordert? Begr¨
unden Sie Ihre
Antwort.
Aufgabe 4.5: (vgl. 1.4.15 (a) aus Lineare Algebra I )
Seien G und H Gruppen, und seien U ≤ G, V ≤ H und f : G → H ein Gruppenhomomorphismus.
Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(a) f (U ) = {f (x) | x ∈ U } ≤ H.
(b) f −1 (V ) = {x ∈ G | f (x) ∈ V } ≤ G.
(c) Gilt V
H, so gilt auch f −1 (V )
Ist auch die Aussage U
G.
G ⇒ f (U ) H wahr? Begr¨
unden Sie Ihre Antwort.
Abgabe bis Mittwoch, den 5. November, 13 Uhr in die Briefk¨
asten im Eingangsbereich
des Mathematikgeb¨
audes.
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Bildung
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