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1. Aufgabenblatt

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¨
Ubungen
zur Vorlesung ”Fortgeschrittene Moleku
orperphysik”
¨ l- und Festk¨
(WS 2014/15)
Prof. Dr. Peter Michler
¨
Ubungblatt
01
Ausgabe am 21.10.2014
Besprechung am 28./29.10.2014
1.1 Kristallelektronen in elektromagnetischen Feldern (6 Punkte)
Wie in der Vorlesung diskutiert wurde, wird die Wirkung eines statischen magnetischen
Feldes auf die Dynamik von Kristallelektronen durch die (Quasi-) Impuls¨anderung
[
]
e
⃗ dt = e · B · ∇k E(⃗k) dt = eB · dE dt
|d⃗k| = 2 ∇k E(⃗k) × B
2
2
dk⊥
⊥
beschrieben. Hierbei repr¨asentiert ∇k E(⃗k) den Gradienten der Energie im Impulsraum.
¨
Man beachte, daß die Anderung
des Wellenvektors d⃗k selbst u
¨ber das Kreuzprodukt zwischen Gradient und Magnetfeld bestimmt ist und somit senkrecht auf beiden Vektoren
⃗ Somit bleibt die Energie eines Elektrons im Magnetfeld
steht, d.h. d⃗k⊥∇k E(⃗k) und d⃗k⊥B.
unver¨andert und wird aufgrund der Symmetrie von Fermi-Fl¨achen h¨aufig durch geschlossene Bahnen im ⃗k-Raum beschrieben.
Durch Variablentrennung des obigen Ausdrucks nach dt und zeitliche Integration u
¨ber
eine volle Periode [0, T ] (entspricht einem vollen Umlauf im ⃗k-Raum) kann schließlich die
Umlaufzeit eines Elektrons im Magnetfeld T˜ bestimmt werden zu
2
T˜ =
dt =
period
2
dk⊥
dS (E)
· |d⃗k| =
·
dE
eB
dE
eB
.
cycle
Man findet also, daß die Umlaufzeit eines Elektrons senkrecht zur Achse eines station¨aren
Magnetfeldes von der Energieabh¨angigkeit der im ⃗k-Raum von der Bahn eingeschlossenen
Schnittfl¨ache dS = dk⊥ |d⃗k| bestimmt ist!
X Bestimmen Sie, ausgehend von der Betrachtung der Elektronen als ein freies Gas
von Teilchen (Drude-Modell), die Umlaufzeit T˜ im ⃗k-Raum sowie die entsprechende Kreisfrequenz ωC (Frequenz νC ). Welche k-Abh¨angigkeit besitzt die Umlauffrequenz? Berechnen Sie die Gr¨oßen T˜ und ωC bzw. νC f¨
ur den Fall eines Magnetfeldes
der St¨arke B = 2 Tesla.
1.2 Freies Elektronengas in einem Magnetfeld (20 Punkte)
Gegeben sei ein freies Elektronengas, das bei einer Teilchenzahldichte von n = 2.54 ·
1022 cm−3 ein Volumen V = Lx Ly Lz = (1 cm)3 einnimmt.
(a) Berechnen Sie die Zustandsdichte D(k) im k-Raum. Bestimmen Sie weiterhin aus
der Gesamtzahl N der Elektronen die Anzahl ZF der im k–Raum besetzten Zust¨ande
(Spinentartung beachten!), den zugeh¨origen Radius der Fermi–Kugel sowie die Anzahl Z0 der in der Ebene kz = 0 von Elektronen besetzten Zust¨ande! (7 Punkte)
(b) Es werde nun ein Magnetfeld B = 1 Tesla in z–Richtung angelegt. Berechnen Sie
hierf¨
ur die Anzahl der Zylinder konstanter Energie E(ℓ, kz = 0), die sich innerhalb
der urspr¨
unglichen Grenzen der Fermi–Kugel befinden! Zeigen Sie, daß der Entartungsgrad g eines solchen Zylinders durch
g=
Lx Ly eB
2π
gegeben ist, und berechnen Sie den entsprechenden Wert von g. (7 Punkte)
(c) Bestimmen Sie die magnetische Feldst¨arke B0 , bei der der innerste Landau–Zylinder
ℓ = 0 die urspr¨
ungliche Fermi–Kugel verl¨aßt. Bis zu welchem Wert |kz | sind die
Zust¨ande dieses Landau–Zylinders besetzt? Vergleichen Sie den Wert von B0 mit
technisch realisierbaren Magnetfeldern. (6 Punkte)
1.3 Elektronen im Festko
¨rper unter dem Einfluß externer Felder (10 Punkte)
Wie in der Vorlesung (Teil 1) behandelt wurde, gilt f¨
ur die Beschreibung der Bewegung
von Elektronen in einem Festk¨orper folgende Bewegungsgleichung:
(
)
⃗ − m · ⃗v
m · ⃗v˙ = −e · E + ⃗v × B
τ
.
Diese Gleichung folgt aus dem Drift quasi-freier Elektronen (Drude-Modell ) unter dem
Einfluß einer externen Kraft. Die Wechselwirkung mit der Umgebung findet dabei nur
u
ur diese Bewegung ist dabei durch τ gege¨ber St¨oße statt. Die mittlere stoßfreie Zeit f¨
ben. Leiten Sie diesen Ausdruck aus den Newtonschen Bewegungsgleichungen unter der
Voraussetzung her, daß der Bruchteil gestreuter Elektronen im Zeitintervall dt gegeben
ist durch dt/τ , der Bruchteil ungestreuter Elektronen durch (1 − dt/τ ). Ber¨
ucksichtigen
Sie dabei nur Terme bis linearer Ordnung O (dt).
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Gesundheitswesen
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