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a p x axa p x - Fachbereich 4: HTW Berlin

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Funktionseigenschaften f(x)
HTW Berlin Dipl. Math. P. Schumann
Def. 1: Eine Funktion ist eine eindeutige Abbildung , die jedem Element x aus dem
Definitionsbereich D ein y aus dem Wertebereich zuordnet.
Bsp.:
Preis der Produkte im Supermarkt Preis= f (Artikel)
Jahresbruttoeinkommen = 12* Monatsbrutto
Def. 2: Eine in x0 und in U(x0) definierte Funktion y=f(x) heißt an der Stelle x0
stetig, wenn der Grenzwert der Funktion lim f ( x )  f ( x 0 )  R existiert.
x x
Def. 3: Eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion heißt in x0  [a,b] differenzierbar ,
Grenzwert mt  lim
x  0
wenn der
f ( x 0  x )  f ( x 0 )
y
 lim
existiert.
x
x x 0
Man bezeichnet ihn als Ableitung von f(x) an der Stelle x0 oder als Differentialquotient von f(x)
an der Stelle x0 und schreibt ihn durch die Symbole:
y' ( x 0 ) ;
DARSTELLUNGSARTEN
Analytisch - explizite- / implizite Form ; Wertetabelle ;Graph,
Parameterdarstellung
Polynome
f ( x) 
p
( x )  a n x  a n 1 x
n
n
n=0: Konstante Funktion f ( x ) 
n=1:
n 1
p ( x)  a
Lineares Polynom f ( x )  p ( x ) a x a
0
1
1
1
dy
dx x  x
0
verbale Beschreibung
... a 2 x  a1 x  a 0
2
f ' ( x 0 ) oder
n
 ai x
i
i 0
0
0
Nachfragefunktion: xN(pN)= - 20 pN +400
Angebotsfunktion: xA(pA)= 5 pA +100
Bsp1:
Bsp2: Kostenfunktion K(x)=KT + KV(x)
KT= Fixkosten KV(x)=variable Kosten
Funktionseigenschaften f(x)
HTW Berlin Dipl. Math. P. Schumann
n=2: Quadratisches Polynom
 K(x)=KT + KV(x) = 50.000+x2
f ( x) 
p
( x ) a 2 x a1 x a0
2
2
1
progressiver Kostenverlauf ( Bergbau ,)
Umsatz- oder Erlösfunktion E(p)= -20p² +400p ; p=Preis
n=3: Kubisches Polynom
f ( x) 
p ( x ) a x  a x  a x  a
3
3
3
2
2
1
1
0
ertragsgesetzliche Produktions- oder Kostenfunktion (mit charakteristischem Schwankungsverhalten)
Die Produktionsfunktion x(r) = -0,2 r³ +12 r² + 63,75 r besitzt ertraglichen Verlauf:
d.h.
0 ≤ r ≤ 20  progressives Wachstum
20 ≤ r ≤ 42,5  degressives Wachstum
(noch monoton wachsend, aber Steigung flacht ab)  Maximum
r>42,5  monoton fallend
Bsp. Landwirtschaft in sehr trockenem Gebiet : Input r = Bewässerung
Mit Beginn r erhöht sich der Ertrag zunächst zögerlich dann stark. Bei weiterem r ist der Ertrag nicht
mehr so stark steigend bis Maximum ertrag erreicht. Auch bei weiterem r wird der Ertrag niedriger
Funktionseigenschaften f(x)
HTW Berlin Dipl. Math. P. Schumann
Gebrochen- rationale Funktionen
Definition:
Funktionen, die als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen g(x) und h(x) darstellbar sind, heißen
gebrochenrationale Funktionen.
Eine gebrochenrationale Funktion ist für alle x ∈ R definiert mit Ausnahme der Nullstelle des Nenners
m > n echt gebrochenrationale Funktion
 Asymptote lim f (x) = x-Achse
x→±∞
m ≤ n unecht gebrochenrationale Funktion
Exponentialfunktionen
Definitionsbereich: x  R
Modellierung von Wachstum-und
Schrumpfungsprozessen
Bsp:
0,5 x
Vertriebserfolg V eines
Außendienstmitarbeiters berechnet sich
Nach der gewährten Provision x≥0
(gemessen in % des Verkaufspreises)
V(x)= 50 ( 1- e -0,7 x )
x 0 V(0)= 0
x ∞ V(∞)= 50
ex
Funktionseigenschaften f(x)
HTW Berlin Dipl. Math. P. Schumann
Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktion
Definitionsbereich: x  R+ für n gerade ; x  R für n ungerade
y  x n 
x  yn
yx
n
1
n
x  f (x)
Spiegelung an der Winkelhalbierenden
Anwendung: Modellierung von Wachstumsprozessen mit abflachendem Anstieg
Bsp: Der Absatz einer Marke Rechner sei def: x( p )  2.000
a.) Berechne den Absatz bei p=20
36  p
mit p  36 vom Preis ab.
 x( p )  2.000 36  28  8.000
b.) Für welchen Preis p betragt der Absatz 10.000 Einheiten?

x( p)  2.000 36  p
 10.000  5  36  p  p  11
Lgarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Expotentialfunktion
Definitionsbereich: x  R+
y  a x 
x  yx
y  log a ( x)
speziell: ln e  x
x
bzw. e ln( x )  x
Bsp: Produktionsfunktion:
50ln(3r²+1) = f(r)
Nach Logarithmengsetzen gilt:
1
ln(3  x 5  x  1)  ln(3)  5 ln( x)  ln( x  1)
2
Funktionseigenschaften f(x)
HTW Berlin Dipl. Math. P. Schumann
ALLGEMEINE FUNKTIONSEIGENSCHAFTEN:( Kurvendiskussion)
Grenzwerte
Stetigkeit
Asymptotisches
Verhalten
Extremastellen
Symmetrien
Definitionsbereich: D(f(x)) ={ x | f(x)  R }
► Nullstelle:
f(x) besitzt in x0 eine Nullstelle
f(x0) =0
► Schnittpunkt mit der Ordinate
f(x=0)
► Polstelle:
f(x) hat eine Polstelle in xp
f(xp)=Unendlichkeitsstelle
- Lücke:
f(x) hat in xN eine Lücke
f(xN) existiert nicht
Symmetrie
- f(x) heißt gerade ==> Achsensymmetrie
f(x) = f(-x)
(z.B. x2n ; cosx )
- f(x) heißt ungerade ==> Punktsymmetrie
f(-x) = -f(x)
(z.B. x2n+1 ; sinx )
Monotonie: x1, x2 seien aus dem Definitionsbereich einer Funktion f(x) mit x1< x2
f(x) streng monoton wachsend :
f(x1) <
f(x)
f(x1) <= f(x2)
monoton wachsend :
f(x2)
f(x) streng monoton fallend:
f(x1) >
f(x)
f(x1) >= f(x2)
monoton fallend:
f(x2)
Umkehrfunktion
wenn aus x1  x2
- f(x) ist umkehrbar
f(x1)  f(x2) folgt.
lim f (x) ; lim f (x)
►Asymptoten :
x
x xp
►Extrema:
►notwendige Bedg.:
f ' (xE )  0
 f ''( x E )  0  lokales Minimum

 f ''( x E )  0  lokales Maximum
►hinreichende Bedg.:
f ( x ) konvex
f ( x ) konkav
oder jede weitere Ableitung gerader Ordnung
►Wendepunkte ( Änderung der Krümmung )
notw. Bedg.:
f ' ' ( xW )  0
f ' ' ' ( xW )  0 Sattelpunkte
f '''( xW )  0
hinr. Bedg.:
f ' ' ( xW )  0
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Gesundheitswesen
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