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Booklet - Henri Menke Online

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1
Henri Menke, henrimenke@gmail.com
Für Hinweise auf Druckfehler und Kommentare jeder Art bin ich dankbar.1
Revision: 25. November 2014
Stuttgart, Wintersemester 2014 / 2015
Fortgeschrittene Molekül- und Festkörperphysik
Prof. Dr. Peter Michler, Universität Stuttgart
Übertragung in LATEX durch Henri Menke, Michael Schmid, Marcel Klett und Jan Schnabel.
Dieses Werk ist unter einer Creative Commons Lizenz vom Typ Namensnennung - Nichtkommerziell - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland zugänglich. Um
eine Kopie dieser Lizenz einzusehen, konsultieren Sie http://creativecommons.org/
licenses/by-nc-sa/3.0/de/ oder wenden Sie sich brieflich an Creative Commons, 444
Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.
[4]
[3]
[2]
[1]
H. Haken und H. C. Wolf. Atom- und Quantenphysik. 8. Aufl. Springer Verlag, 2004. isbn:
978-3-642-62142-0. doi: 10.1007/978-3-642-18519-9.
H. Haken und H. C. Wolf. Molekülphysik und Quantenchemie. 5. Aufl. Springer Verlag,
Okt. 2005. isbn: 3-540-30314-6. doi: 10.1007/3-540-30315-4.
R. Gross und A. Marx. Festkörperphysik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2012. isbn:
978-3-486-71294-0.
H. Ibach und H. Lüth. Festkörperphysik – Einfuhrung in die Grundlagen. SpringerLehrbuch. Springer, 2009. isbn: 978-3-540-85795-2.
S. Hunklinger. Festkörperphysik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2007. isbn: 978-3486-57562-0.
Literatur
[5]
C. Kittel und S. Hunklinger. Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013. isbn: 978-3-486-59755-4.
Literatur
[6]
W. Demtröder. Experimentalphysik 3: Atome, Moleküle Und Festkörper. Springer, 2010.
isbn: 978-3-642-03910-2. doi: 10.1007/978-3-642-03911-9.
59
[7]
ExPhys6
Halbleiter 17
9.1 Daten einiger wichtiger Halbleiter 18
9.2 Vergleich: Direkte und indirekte Halbleiter 19
9.3 Undotierte Halbleiter 20
9.4 Dotierte Halbleiter 22
9.5 Leitfähigkeit und Beweglichkeit 24
9.6 Inhomogene Halbleiter 25
9.6.1 p-n-Übergang 26
9.6.2 Metall-Halbleiter-Kontakt 32
9.6.3 Halbleiter-Heterostrukturen 33
9.6.4 Bauelemente basierend auf einem p-n-Übergang 34
Die effektive Massennäherung 1
Löcher 4
Boltzmann-Gleichung und Relaxationszeit-Näherung 6
Elektronen im Magnetfeld 7
8.7.1 Zyklotronresonanz 8
8.7.2 Landau-Niveaus 10
8.7.3 Zustandsdichte im Magnetfeld 12
8.7.4 Hall-Effekt 12
8.7.5 Quanten-Hall-Effekt 14
ExPhys6
A Zusammenfassungen 53
A.1 Effektive Masse 53
A.2 Halbleiter 54
A.3 Theoretisches Verständnis der Supraleitung 55
A.4 Supraleiter 56
A.5 Josephson-Effekte 56
10 Supraleiter 37
10.1 Grundphänomene 37
10.2 Grundkenntnisse über Supraleitung 39
10.3 Londonsche Gleichungen 41
10.4 Cooper-Paare und BCS-Theorie 42
10.5 Messung der Energielücke 46
10.6 Supraleiter zweiter Art 49
10.7 Hochtemperatur-Supraleiter 51
9
8.4
8.5
8.6
8.7
Inhaltsverzeichnis
iii
Inhaltsverzeichnis
Index
—B—
Blochfrequenz, 3
Boltzmanngleichung in
Relaxationszeitnäherung
linearisiert, 7
Boltzmanngleichung in
Relaxationszeitnäherung, 6
—D—
Diffusionsstrom, 30
—E—
effektive Masse, 1
—F—
Feldstrom, 30
Fermi-Dirac-Statistik, 6
—J—
ExPhys6
Josephson-Gleichstrom-Effekt, 48
Josephson-Wechselstrom-Effekt, 49
—K—
Kondensationsenergie, 50
—Q—
Quanten-Hall-Effekt, 15
—R—
Relaxationszeitnäherung, 6
—S—
Schottky-Barriere, 33
Schottky-Modell, 28
—V—
Verdrängungarbeit, 50
57
56
R
SL1
Isolator
U
Uext
SL2
˙2 − ϕ
˙ 1 ) = −(E2 − E1 ) = 2eU
(ϕ
Die Rechnung liefert die zweite Jospehson-Gleichung
κ: Kopplungsparameter
˙ 2 = E2 ψ2 + κψ1
i ψ
˙ 1 = E1 ψ1 + κψ2
i ψ
ExPhys6
Sind die Supraleiter gekoppelt, können wir mit Störungstheorie das folgende Ergebnis
erhalten
Die Makroskopische Wellenfunktion ist gegeben durch
√
ψ = ψ0 eiϕ(r) = nS eiϕ(r)
A.5 Josephson-Effekte
1
1
k ↑, −k + k ↓
2
2
ψCP (k ) = eik R ψCP (k = 0)
k+
∆(0) = 1.764 kB T
Cooper-Paar
Stromfluss im Supraleiter
Quasiteilchen
δEmin = 2∆
Im Energiespektrum des Supraleiters tritt eine Energielücke ∆ auf. Die minimale Energie
um ein Cooper-Paar aufzubauen ist
Cooper-Paar: (k↑, −k↓) ist Singulett-Paar (S = 0) und verhält sich nach außen wie ein
Boson. Es ist ein gemeinsamer quantenmechanischer Grundzustand möglich.
A.4 Supraleiter
A.5 | Jo sephson-E ffek te
c(k)uk (r )ei(k·r−En (k)t/ ) ,
(8.15)
dk
=F
dt
(8.17)
(8.16)
d2 E
dk2
2
·
dvg
dt
1 d2 E
2 dk2
F
(8.18)
2
d2 E
dk2
(8.19)
(8.20)
∇2i + E ψ = 0.
kein Potential
2014-10-14
2
En,i =
k2i
2mi∗
2
In mi∗ ist die Wirkung des periodischen Potentials bereits enthalten, da
2mi∗
2
1
(8.21)
Falls die Energieflächen Paraboloide sind folgt, dass m∗ konstant ist. Paraboloide erhält man
auch bei der Lösung der simplizierten2 Schrödingergleichung:
1
1 ∂2E
∗ =
2 ∂k ∂k
mij
i
j
Die effektive Masse ist proportional zur Krümmung des Energiebandes. Die Definition lässt
sich erweitern auf anisotrope Energieflächen:
m∗ =
Die Gleichung (8.18) hat die Form des zweiten Newtonschen Gesetzes. Damit definieren wir
die effektive Masse m∗ :
⇒ F =
d vg
=
dt
Nun lässt sich die Bewegungsgleichung für k-Vektoren im Impulsraum aus (8.15) ableiten:
mit (8.15) folgt
dE(k) = F · dr = F · v dt
Andererseits ist der Energieübertrag dE(k) in einem Feld gegeben durch
Diese spiegelt den Einfluss des Kristalls über die Dispersionsrelation E(k), d.h. die Bandstruktur wieder.
1 dE(k)
dω(k)
=
.
dk
dk
k−∆k/2
k+∆k/2
vg ( k ) =
mit der Gruppengeschwindigkeit
ψn (r , t) =
Wir nehmen im Folgenden die Elektronen im Festkörper als Materiewellenpakete mit Wellenvektoren aus der nächsten Umgebung von k an. Die Wellenfunktion lautet dann
8.4 Die effektive Massennäherung
Inhaltsverzeichnis
...
8.4 | Di e ef fek t ive M as sen näh eru ng
1
Einige Zahlenwerte für m∗ /m:
Cu, Au, Ag ≈ 1
Alkalimetalle ≈ 0.85–1.1
Pl, Ni, Fe, Co ≈ 10
Ge, Si ≈ 0.1–0.4
InSb ≈ 0.014
E
m∗
k
π /a k
Bemerkung: Für große Wellenvektoren k sind Abweichungen zu erwarten.
Ursache: Streuung der e− an Phononen und Gitterfehlern.
k-Zuwachs auf kleinen Wert kstationär beschränkt.
2014-10-14
Erfahrung: Es fließt ein Strom gegeben durch die mittlere Bewegung der e− in Feldrichtung.
In einem konstanten äußeren Feld E würde ein Festkörperelektron somit eine permanente Pendelbewegung ausführen.
Diskussion: Eine Kraft (z.B. ein elektrisches Feld) führt zu einer Zunahme von k (dk =
1
eE dt). Dies treibt die Elektronen näher in den Bereich von π /a wo Braggreflexion
1
stattfindet (k = 2 G100 ). Daraus resultiert eine Impulszunahme in Gegenrichtung und
m∗ wird negativ!
1. Bemerkung
1. m∗ ist groß, wenn die Krümmung klein ist. Merke: Ist die Krümmung
klein, dann ist das Band schmal und somit die Austauschwechselwirkung klein,
also die e− sind nahe am Atom. Dies führt zu großer Trägheit, also ist m∗ groß.
2
Eigenleitung
log σ
Streuung an
Phononen
55
Zusammen fassunge n | A
therm. Aktivierung von e− auf
den Donatoren
1/T
A.3 Theoretisches Verständnis der Supraleitung
1. Phänomenologische Gleichungen
a) Londonsche Gleichungen (Ergänzungen der Maxwellgleichungen)
mS
µ0 nS eS2
SL
∼ e−x/λL
x
2. Londonsche Gleichung
1. Londonsche Gleichung
b) Landau-Ginzburg-Gleichungen
nS eS2
B
mS
nS eS2
E
mS
2. Quantentheorie der Supraleitung
BCS-Theorie (1975)
Londonsche Gleichungen
∂t jS =
vgl. Ohmsches Gesetz j = σ E .
rot jS = −
Vakuum
z
λL =
Die Londonsche Eindringtiefe ist gegeben durch
folie04
2kB T :
p=
n=
V
p = Neff
e
n=
EV −EF
kB T
EL − EV
kB T
+
ln
2
2
54
Streuung an
ionisierten
Störstellen
log µ
log n
T
T
Eg
2kB
Phononenstreuung
log T
−3/2
ND
1/T
Steigung ∼
σ = |e|(nµn + pµp )
3/2
Ed
2kB
Np > ND
Steigung ∼
Dotierte Halbleiter: Neutralitätsbedingung n + NA− = p + ND+
EF =
V
Neff
L
Neff
V −Eg /kB T
L
n · p = Neff
Neff
e
Undotierte Halbleiter: Neutralitätsbedingung n = p
Massenwirkungsgesetz
EL −EF
L − kB T
e
Neff
DV (E)[1 − f (E, T )] dE
DL (E)f (E, T ) dE
−∞
EV
EL
∞
V
L
mit den effektiven Zustandsdichten Neff
und Neff
Für E − EF
Besetzung der Bänder
A.2 Halbleiter
A.2 | Halble iter
folie02
...
Volle Bänder kein Strom
e− bei kleinen k (teilgefüllte Bänder)
E
π /a
k
dk
= eE.
dt
TB =
2π /a
=
eE/
aeE
2π
eEa
=
TB
(8.22)
E = 1 kV m−1 , a = 2 Å
⇒ TB = 20 ns, νB = 50 MHz, δx = 5 mm
(8.23)
2014-10-16
3
Die e− können die Zonenränder ohne Streuprozesse erreichen. Dies ist ein oszillierender Dipol, der Terahertz-Strahlung aussendet.
Halbleiter-Übergitter: (Abbildung 3)
Beispiel
mit der Streuzeit mit Phononen und Gitterelektronen T2 (ps bis einige ns).
ω B T2 ≤ 1
Vorraussetzung: Es finden keine Streuprozesse innerhalb von TB statt, also
Dies entspricht einer periodischen Geschwindigkeit im k-Raum als auch im reellen
Raum.
ωB =
und der daraus abgeleiteten Blochfrequenz
mit der Periode
Für die Bewegung des Elektrons durch die Brillioun-Zone mit konstanter Geschwindigkeit gilt
˙ | = eE = const
|k
Die Bewegungsgleichung lautet
2. Bemerkung Pendelbewegung bzw. Blochoszillation (Abbildung 2)
2
−π /a
G
Inhaltsverzeichnis
...
...
8.5 | L öc he r
3
4
8.5 Löcher
ke
E
k
Übergitter
kh
In der Halbleiterphysik und der Festkörperphysik (elektrisch) spielen Eigenschaften von
unbesetzten Zuständen in einem sonst gefüllten Bang eine wichtige Rolle.
Eigenschaften
kh = −ke
εh (kh ) = −εe (ke )
εe (ke ) = εe (−ke ) = −εh (ke ) = −εh (kh )
Dies folgt aus der Symmetrie des Bandes.
(8.24)
(8.25)
2014-10-16
Je tiefer im Band das fehlende Elektron sitzt, desto größer ist die Energie des Systems. Die Energie des Lochs hat das entgegengesetzt Vorzeichen wie die Energie des
fehlenden Elektrons
2. Energie:
Das Loch ist eine andere Beschreibung für ein Band mit fehlenden Elektronen.
Der Gesamtwellenvektor in einem gefüllten Band ist k = 0. Fehlt ein e− mit ke ist
der Gesamtwellenvektor des System −ke. Unser Arbeitsbegriff ist
1. Wellenvektor:
Im Folgenden werden Löcher den Index h erhalten (engl.: hole) und Elektronen den Index
e.
4
A
Zusammenfassungen
A.1 Effektive Masse
Die Bewegungsgleichung für die k-Vektoren lautet
dk
=F
dt
Die effektive Elektronenmasse ist gegeben durch
1 ∂ 2 E(k)
1
∗ =
2 ∂k ∂k
mij
i
j
.
53
(A.3)
(A.2)
(A.1)
Zusammen fassunge n | A
2 k2
2m∗
k
π /a k
Falls die Energieflächen Paraboloide sind gilt m∗ = const und E =
E
m∗
Für Blochoszillationen in Übergittern gilt
ω B T2 ≤ 1
mit der Blochfrequenz ωB und der Streuzeit T2 .
folie02
...
k
Inversion des Bandes
Lochband
mh∗ = me∗
vh = ve
∇k εh (kh ) = ∇k εe (ke )
vh ( k h ) = ve ( k e )
kh
dkh
= e(E + vh × B )
dt
(8.28)
(8.27)
(8.26)
2014-10-16
E
k
Valenzband
Lochband
−
vhDrift
+
veDrift
5
Ausblick: Beim Stromtransport bewegen sich Elektronen und Löcher in entgegengesetzte
Richtungen, da sich e− an der Unterkante des Leitungsbandes und die Löcher sich an der
Oberkante des Valenzbandes aufhalten. Ihr Strombeitrag addiert sich.
mit ke = −kh und ve = vh folgt unmittelbar (8.28). Die Bewegungsgleichung eines
Lochs ist die eines Teilchens mit positiver Ladung e.
dke
= −e(E + ve × B )
dt
Diese Beziehung folgt aus der Bewegungsgleichung (8.17):
5. Kraft:
Die effektive Masse ist umgekehrt proportional zur Krümmung des Bandes.
4. Masse
Die Ableitung ist offensichtlich
3. Geschwindigkeit:
5
ke
E
Inhaltsverzeichnis
10.7 Hochtemperatur-Supraleiter
8.6 | Bol tz ma nn-Gl eichu ng u n d R elaxatio ns z ei t-N äh erung
8.6 Boltzmann-Gleichung und Relaxationszeit-Näherung
Wichtigste Fortschritte:
=−
δf
.
τ
δf
τ
(8.29)
ExPhys6
S uprale iter | 10
51
CuO2-Ebenen senkrecht zur C-Achse sind für die Ausbildung der Supraleitung verantwortlich.
Die Materialien sind spröde. ξGL ist klein (≈ 1 nm). Die Ursache für Supraleitung ist nicht
geklärt, es werden magnetische Wechselwirkungen vermutet.
La1.85Ba0.15CuO4
Liste abschreiben
In unserer bisherigen makroskopischen Beschreibung galt σ = eµn.
vD
e
¯=
τ
µ=
m
E
¯ und der Driftgeschwindigkeit vD .
mit der gemittelten Relaxationszeit τ
Für eine mikroskopische Beschreibung betrachten wir die Verteilungsfunktion f (r , k, t).
Diese beschreibt die Ladungsträger am Ort r zur Zeit t in den Zuständen k.
1
.
e(E(k)−µ)/kB T + 1
Beispiel Die Verteilungsfunktion der Elektronen im Gleichgewicht ist die Fermi-DiracStatistik
f0 (E(k)) =
Nichtgleichgewichtsverhalten (Einschalten einer Störung)
Sei δf eine Auslenkung aus der Gleichgewichtsverteilung f0 :
f (r , k, t) = f0 + δf .
Stöße
Nach Abschalten der Störung relaxiert die Verteilung exponentiell zurück in Gleichgewicht
mit einer Proportionalität δf ∼ exp(−t/τ).
dδf
dτ
=−
r˙ +
Feldterm
∂f ˙
k
∂k
Diese Näherung heißt Relaxationszeitnäherung mit der Relaxationszeit τ.
Annahme: Für das stationäre Gleichgewicht gilt
=0
∂f
=0
∂t
df
df0 dδf
+
=
dt
dt
dt
Stöße
∂f
∂r
(8.30)
Diffusionsterm
δf
˙ gradk f
= v gradr f + k
τ
(8.31)
=0
d
d
=
f (r , k, t)
f
dt
dt
Feld
∂f
df
=
+
dt
∂t
−
δf
e
= v gradr f − (E + v × B ) gradk f
τ
2014-10-16
−
Dies ist die Boltzmanngleichung in Relaxationszeitnäherung.
6
2µB
2
BC,+k
(10.38)
50
2014-11-25
In perfekten Kristallen ordnen sich die Flussschläuche regelmäßig an: Abrikosov-Struktur.
Eindringen von B durch dünne Flussschläuche. Jeder Flussschlauch trägt ein Flussquant
φ = h/2e.
λL
ξGL
1
κ < √ → Supraleiter 1. Art
2
1
κ > √ → Supraleiter 2. Art
2
κ=
⇒ Ausbildung von Grenzflächen günstiger: Supraleiter 2. Art.
Genauere Rechnung:
ξGL < λ
ξGL > λ ⇒ ∆EG immer positiv, Ausbildung von Grenzflächen werden unterdrückt:
Supraleiter 1. Art.
figure
Missing
Die Kohärenzlänge ξGL , spiegelt die charakteristische Länge wieder, über die sich die Wellenfunktion ändern kann.
∆EGrenz = ∆EKon − ∆EVerdräng = (ξGL − λL )A
Aus der Ginzburg-Landau-Theorie:
2. Bei Anlegen eines Magnetfeldes leistet der Supraleiter Verdrängungarbeit, Grenzflächen reduzieren die Verdrängungarbeit, da dort diese Energie nicht aufgebracht werden
muss.
1. Grenzflächen verkleinern die Kondensationsenergie, da dort die Cooper-Paar-Dichte
reduziert ist.
Zwei „Gegenspieler“
10.6 | Su pralei te r zw ei te r A rt
e
(E + v × B ) gradk f
(8.32)
e
E gradk f0
(8.33)
e
τE
(8.34)
e2 τ(EF )
n
m∗
eτ(EF )
µ=
m∗
σ =
parabolisches Band
(8.35)
eB
m∗
2014-10-21
De Haas-van Alphén Effekt (Magnetisierung µ =
Zyklotronresonanz ωC =
∂U
∂B
)
7
Die experimentelle Bestimmung der Fermiflächen (also des Elektronengases) wird vor allem
mit Messungen in Magnetfeldern durchgeführt. Hier werden verschiedene Effekte ausgenutzt:
8.7 Elektronen im Magnetfeld
e τ
n
m
eτ
µ=
n
m
σ =
2
Drude
Vergleich mit dem Drude-Modell:
Merke: Nur Elektronen in der Nähe der Fermi-Energie sind in Metallen für den Stromtransport
relevant.
Die Änderung der Fermi-Verteilung f (E(k)) gegenüber der Gleichgewichtsverteilung f0 ist
nun merklich in der Umgebung der Fermi-Energie bzw. der Fermi-Radius kF (Abbildung 6).
Die sich unter dem Einfluss eines äußeren Feldes E und der Wirkung von Stößen einstellende
stationäre Verteilung lässt sich somit als eine um eτ E / verschobene Gleichgewichts-FermiVerteilung darstellen.
f (k) ≈ f0 k +
Gleichung (8.33) lässt sich als Entwicklung von f0 (k + ∆k) um den Punkt k (in einem
linearisierten Problem) wie folgt auffassen.
e
E gradk f0
f (k) = f0 (k) + τ
δf = τ
Beispiel Gesucht ist die Nichtgleichgewichtsverteilung unter Einfluss eines homogenen
elektrischen Feldes E . Für einen stationären Zustand gilt ∂t f = 0. Außerdem hängt f nicht
vom Ort ab, d.h. gradr f = 0.
Dies ist die linearisierte Boltzmanngleichung in Relaxationszeitnäherung.
δf = −τ v gradr f −
f = f0 + δf ≈ f0
Sei die Störung δf nun klein:
Inhaltsverzeichnis
...
kF
8.7 | E lektr o nen im M agnetfeld
6
ky
ky
f − f0
δkx
δkF
f
kx
kx
kx
Shabmikov-de Haas Effekt (Längswiderstand im Quanten-Hall-Effekt)
Magnetowiderstand
8.7.1 Zyklotronresonanz
2
e
[∇k E(k) × B ] dt.
2014-10-21
(8.37)
(8.17)
(8.15)
Die Probe wird im statischen Magnetfeld bestrahlt. Die Frequenz der Mikrowelle wird durchgestimmt. Das Absorptionsmaximum liegt bei der Zyklotronfrequenz.
dk = −
˙ = F = −e[E (r , t) + vm (k) × B (r , t)].
k
1
1 ∂Em (k)
r˙ = vm (k) = ∇k E(k) =
,
∂k
Es gelten die Gleichungen (8.15) und (8.17).
Daraus folgt
8
12
Missing
figure
S uprale iter | 10
Vergleich von Supraleitern erster und zweiter Art.
Vergleich von Supraleitern erster und zweiter Art.
2eU
t + ϕ0 = ωj t + ϕ0
E2 − E1 = −2eU
ϕ2 − ϕ1 =
(10.37)
(10.36)
(10.35)
Erhöht man Uext so springt bei Ij die Spannung am Kontakt auf einen endlichen Wert
Integration von (10.33)
2eU
≈
ICP
= Ij sin(ωj t + ϕ0 )
Einsetzen von (10.35) in (10.34) liefert
mit Kreisfrequenz
ωj =
Dies ist der Josephson-Wechselstrom-Effekt.
Beispiel U = 100 µV → ν = 48 GHz. Wenn e/h bekannt ist, Erzeugung von Spannungsnormal mit hoher Präzision.
Josephson-Kontakte im Magnetfeld: Makroskopische Quanteninterferenz.
Ein durch einen supraleitenden Kreis mit zwei Kontakten hindurchtretendes Magnetfeld
bewirkt, dass der Suprastrom Interferenzeffekte als Funktion der Magnetfeldintensität zeigt.
Dieser Effekt wird genutzt für empfindliche Magnetometer, sog. SQUID bis 10−14 T.
10.6 Supraleiter zweiter Art
Bemerkung: BC2 kann bis zu 100 · BC1 sein. Rekord BC2 = 60 T. Eingang zur technischen
Nutzung.
49
Frage: Warum gibt es Supraleiter zweiter Art? Antwort: Erklärung hierfür gibt die Betrachtung
der Grenzfläche zwischen Normalleiter und Supraleiter im Rahmen der Ginzburg-LandauTheorie (thermodynamische Betrachtung).
2014-11-25
κ
nS1
E1
cos(ϕ2 − ϕ1 ) −
nS2
2κ √
nS1 nS2 sin(ϕ2 − ϕ1 )
˙2 =
ϕ
κ
˙ S2 = −
n
⇒
˙ S1 = −n
˙ S2
⇒ n
⇒ ϕ1 − ϕ2 = const
˙1 − ϕ
˙ 2) = 0
(ϕ
Zwischen den Tunnelkontakten herrscht keine Spannung
˙2 − ϕ
˙ 1 ) = −(E2 − E1 ) = 2eU
(ϕ
(10.33)
nS1
E2
cos(ϕ2 − ϕ1 ) +
nS2
(10.32)
(10.31)
2κ √
nS1 nS2 sin(ϕ2 − ϕ1 )
Die Differenz der beiden letzten Gleichungen ist
˙1 =
ϕ
˙ S1 =
n
Man setzt (10.27) in (10.30) ein und man lässt eine zeitliche Entwicklung der
Dichte nS und der Phase ϕ zu. Trennen von Real- und Imaginärteil liefert
E2 − E1 = −2eU
(10.34)
48
2014-11-25
Es fließt ein Gleichstrom durch den Tunnelkontakt, an der Isolatorschicht fällt keine Spannung ab. Dies ist der Josephson-Gleichstrom-Effekt. Ij hängt von der Dichte nS der CooperPaare, der Kontaktfläche A (typisch 0.1 cm2 ) und von κ ab: Ij ≈ 1 mA.
IS = Ij sin(ϕ2 − ϕ1 )
Der Strom sollte zwischen den beiden Supraleitern fließen wobei nS1 und nS2 konstant sind
(ansonsten Aufladung).
1. Fall
(10.30)
mit dem Kopplungsparameter κ. Falls die Supraleiter aus dem gleichen
Material sind gilt nS1 = nS2 = nS und E1 = E2 . Falls die Spannung an der
Isolationsschicht abfällt gilt
˙ 2 = E2 ψ2 + κψ1
i ψ
˙ 1 = E1 ψ1 + κψ2
i ψ
ii. Für gekoppelte Supraleiter betreiben wir Störungstheorie:
mit den Eigenwerten E1 und E2 .
˙ 2 = H2 ψ2
i ψ
˙ 1 = H1 ψ1
i ψ
i. Supraleiter voneinander getrennt:
ϕ(r ) beschreibt die Phase und besitzt über makroskopische Entfernungen einen
wohldefinierten Wert.
10.5 | Me ssung d er Energie lü cke
dS
.
eB dE
2
(8.38)
2
2π m
dS
=
.
2
dE
k2 /2m):
m → m∗ .
eB
.
m∗
(8.40)
(8.39)
2014-10-21
9
Daraus ergibt sich, dass das umlaufende Elektron nur an der Probenoberfläche (Metall)
mit dem E -Feld in Berührung kommt. Der Energieeintrag oder -austrag bestimmt
In Metallen treten Komplikationen durch den Skin-Effekt auf. Die Eindringtiefe ist
gegeben durch
2
δ=
.
µ0 ωσ
Stimmen Zyklotron- und Mikrowellenfrequenz überein, so werden die Elektronen
beschleunigt und nehmen aus dem elektrischen Feld Energie auf. Man erhält ein
Absorptionsmaximum.
Ergänzungen:
Bahnen im realen Raum sind Spiralen, da auch die z-Komponente des
Wellenvektors berücksichtigt werden muss.
Achtung Die Zyklotronmasse ist nicht mit der dynamischen Masse (8.20) identisch. mC∗ wird
durch die Lage der Bahn auf der Fermi-Fläche bestimmt und nicht durch eine elektrischen
Zustand.
eB
ωC =
.
(8.41)
m∗
Für Elektronen im Festkörper gilt
ωC =
Alle Elektronen besitzen die gleiche Umlaufzeit mit der Umlauffrequenz
Für das freie Elektronengas gilt (E =
Die Umlaufzeit wird durch die Energieabhängigkeit der im k-Raum von der Bahn eingeschlossenen Schnittfläche bestimmt.
T˜ =
mit Querschnittsfläche im k-Raum gilt dS = dk⊥ | dk|
Durch Integration in (8.37) erhält man die Umlaufzeit T˜, die ein Elektron für einen Bahnumlauf
benötigt.
2
2
| dk|
dk⊥
T˜ = dt =
=
| dk|
eB | dE/ dk⊥ |
eB
dE
Die Trajektorien der Elektronen mit der Fermi-Energie (EF ) liegen auf der Fermifläche. In
vielen Fällen ist dies auf Grund der Symmetrie der Fermi-Flächen längs einer geschlossenen
Bahn.
dE
.
|∇k E(k) × B | = B|∇k E(k)|⊥ = B
dk⊥
Die Bedeutung dieser Gleichungen ist, dass sich Elektronen im Magnetfeld auf Flächen
konstanter Energie bewegen, also dk steht senkrecht auf ∇k E.
Inhaltsverzeichnis
8.7 | E lektr o nen im M agnetfeld
sich je nach Phasenlage. Nicht nur bei ωC erscheint ein Maximum, sondern zwischen
zwei Durchläufen eine ganzzahlige Anzahl von Perioden der elektromagnetischen
Schwingung verstreicht.
??? Was zur Hölle ???
1 (T : mittlere Stoßzeit).
Scharfe Resonanzen treten nur auf, wenn ein Elektron mehrere Umläufe ungestört
vollenden kann, d.h. es muss die Bedingung erfüllt sein
ωC T
Hohe Frequenzen, hohe B -Felder, tiefe Temperaturen und reine Proben (keine Defekte)
sind notwendig.
Die effektiven Massen von Elektronen sind nicht gleich. Der Unterschied in den Umlauffrequenzen ωC äußert sich in der Absorption von verschiedenen Frequenzen. Man
erwartet folglich keine scharfe Absorption. Diese wird dennoch beobachtet, wofür es
zwei Gründe gibt.
1. Nur Elektronen an der Fermi-Fläche können Energie aufnehmen (und tragen zur
Absorption bei in Form ihrer unbesetzten Zustände).
2. Das Signal kommt von Elektronen, die mit annähernd der gleichen Frequenz
umlaufen. Die Querschnittsfläche S hat ein Extremum, wodurch Extremalbahnen
auftreten.
8.7.2 Landau-Niveaus
Quasifreie Elektronen mit effektiven Massen m∗ .
Es folgt die Quantisierung der Elektronenbahnen im konstanten Magnetfeld.
Annahme:
Spin wird vernachlässigt (Zusatzterm in der Energie)
Die stationäre Schrödingergleichung lautet
Hψ = Eψ.
(8.42)
In der quantenmechanischen Beschreibung wird des Magnetfeld B = (0, 0, B) über das
Vektorpotential A im Hamiltonian berücksichtigt.
1
(−i ∇ + eA)2 ψ = Eψ
2m∗
1
2
ω0 +
2 2
kz
2m∗
2014-10-21
(8.43)
mit Magnetfeld B in z-Richtung und A = (0, xB, 0) ergibt sich mit dem von Landau gewählten Ansatz (in y- und z-Richtung ebene Welle):
+
−i(ky y+kz z)
˜
.
ψ = ψ(x)e
E = E + E(kz ) =
Die Energieniveaus sind gegeben durch
10
1
EF
a) Metall 1 und 2 sind Normalleiter
D(E)
eU
◦◦ ◦◦ ◦◦
E
EF
EF
eU
I
he
sc
m
Oh
I
U
S uprale iter | 10
z
et
es
sG
∆
e
T = 0K
U0 =
U
Die Tunnelwahrscheinlichkeit (im mV-Bereich) ist unabhängig von der Spannung.
∆
b) Metall 1 ist Supraleiter und Metall 2 ist Normalleiter:
D(E)
T > 0K
Für U < UG gibt es im Supraleiter keine freien Zustände I = 0 (T = 0 K).
Für 0 < T < TC können Quasi-Teilchen tunneln.
U
Isolator
Uext
SL2
c) Metall 1 und 2 sind Supraleiter (Josephson-Effekte1 ):
SL1
R
ψψ∗ = |ψ0 |2 = nS
47
(10.28)
Falls die Isolatorschicht sehr dünn (∼ 1 nm) reicht die Wellenfunktion des einen
Supraleiters merklich in den Bereich des anderen Supraleiters. Dies führt zu einer
Kopplung der Supraleiter. Die makroskopische Wellenfunktion des BCS-Zustands
lautet:
√
ψ = ψ0 eiϕ(r ) = nS eiϕ(r )
(10.27)
wobei
Josephson-Effekte vorhergesagt 1962, Nobelpreis 1973
2014-11-20
BC = µ0 λC jC
enS ∆
kF
kF k
2 kF
=
jS ≥ 2∆
m
enS
2
(10.26)
(10.25)
46
Metall 1
I
2. Tunnel-Kontakt-Spektroskopie (T = 0 K):
U
Isolator
ω > 2∆ Strahlung wird absorbiert.
ω < 2∆ Strahlung wird nicht absorbiert.
1. Mikrowellen und Infrarotexperimente:
10.5 Messung der Energielücke
Metall 2
Verlustfreie Leitung nur bei Gleichstrom
2014-11-20
Bemerkung: Diese Argumentation gilt nicht beim Anlegen von Wechselspannung, da in
diesem Fall entsprechend den 1. Londonschen Gleichungen ein elektrisches Feld existiert.
Die Quasiteilchen werden beschleunigt, wechselwirken mit dem Gitter und rufen Verluste
hervor.
Frage: Warum verursachen thermisch angeregte Quasi-Teilchen keine Verluste? Im statische
Zustand sind die elektrischen Felder kurzgeschlossen. Die Quasiteilchen werden daher nicht
beschleunigt und tragen nicht zum Stromtransport bei.
Bei endlicher Temperatur T < TC werden Cooper-Paare aufgebrochen und Cooper-Paare
durch aussenden eines Phonons gebildet. Im Gleichgewicht heben sich die beiden Prozesse
auf.
Kritischer Strom, kritische Magnetfeldstärke und Energielücke sind direkt miteinander verknüpft, unabhängig ob die Stromdichte durch Abschirm- oder Transportströme hervorgerufen wird.
ohne Herleitung
⇒ jC
2δE =
Damit der supraleitende Zustand zusammenbricht muss gelten 2δE > 2∆
10.5 | Me ssung d er Energie lü cke
−1
0
1
2 kz
1
≥ 0 ergeben sich die Landau-Niveaus. (Spin-Beitrag ± 2 gS µB B)
...
−2
1
ω
2
3
=1:
ω
2
=0:
1
2
1
+
2
+
+
1
2
2
m ∗ ωC
ωC
e
(8.46)
(8.45)
(8.44)
S =
1
2
1
2
+
+
2π eB
2m∗ ωC
eB
2
S
2014-10-23
Mit steigendem Magnetfeld verengen sich im Ortsraum die Spiralen.
A =
Für die Fläche im Ortsraum gilt A = π v 2 = (2 + 1)π /eB
Im k-Raum Si = π k2
k2 =
11
(8.49)
(8.48)
(8.47)
Im k-Raum durchlaufen die Elektronen Kreisbahnen mit quantisiertenm k und schließen
definierte Flächen S ein. Klassische Umlaufgeschwindigkeit v = ωC v und v = k .
Φ = π r 2B =
Quantisierung des magnetischen Flusses
r2 =
1 ∗ 2 2
m ωC r =
2
Im Grenzfall großer Quantenzahlen (bei EF ) gehen klassische und quantenmechanische Beschreibung ineinander über. Die Elektronen bewegen sich in der x, y-Ebene auf Kreisbahnen
mit Bahnradius r , der durch die Amplitude des linearen Oszillators gegeben ist
Bohrsches Korrespondenzprinzip
Die parabelförmige Bahn freier Elektronen spalten im B-Feld in Sublevel auf, die als LandauNiveaus bezeichnet werden. Die Energieeigenwerte ergeben sich zu δE = ωC .
mit
7
E
Inhaltsverzeichnis
8.7 | E lektr o nen im M agnetfeld
k2−1/2 < k2 < k2+1/2
L2
.
4π 2
.
(8.50)
Auf einem Kreis mit der Quantenzahl kondensieren die Zustände, die sich ohne Magnetfeld
in der kx , ky -Ebene in den Kreisring befinden, der durch die Bedingung
festgelegt ist.
2π m∗ ωC
Die eingeschlossene Kreisfläche ist unabhängig von der Quantenzahl
∆S =
=
Die Zustandsdichte einer quatr. Probe mit Kantenlänge L ist gegeben
k
c
L2 m∗ ωC
= L2 B
2π
Der Entartungsgrad der Landau-Niveaus ist
g =
8.7.3 Zustandsdichte im Magnetfeld
In zweidimensionalen Systemen erhalten wir eine vollständige Quantisierung der Zustände.
Die Zustandsdichte ist dann eine Summe von δ-Funktionen mit Gewicht ge .
In dreidimensionalen Systemen treten Van-Hove-Singularitäten im Abstand von ωC auf.
(8.51)
2D-Fall: Mit zunehmendem Feld vergrößert sich der Abstand zwischen den Landau-Niveaus.
Wird das B -Feld erhöht, steigt die Fermi-Energie EF mit dem obersten besetzten Zustand
an. Gleichzeitig wächst der Entartungsgrad, sodass in den unteren Niveaus immer mehr
Elektronen Platz finden. Die Besetzung des obersten Niveaus nimmt daher stetig ab. Ist es
vollständig entleert, so springt die Fermi-Energie abrupt auf das darunterliegende Niveau.
Immer wenn
N = ge
erfüllt ist (bei T = 0 K) gibt es nur volle oder leere Bänder, wobei N die Anzahl der Elektronen
und die Anzahl der besetzten Niveaus ist.
8.7.4 Hall-Effekt
2014-10-23
Der klassische Hall-Effekt erlaubt die Bestimmung der Ladungsträgerkonzentration in einer
Probe.
12
S uprale iter | 10
2. Cooper-Paare sind im quantenmechanischen Grundzustand. Sie beteiligen sich nicht
an der spezifischen Wärme und am Wärmetransport. Die Quasiteilchen sind dafür
zuständig.
Stromfluss im Supraleiter
Die Suprastromdichte lautet
jS = −nS ev und mv = k
(10.23)
Jedes einzelne Elektron in einem Cooper-Paar erfährt damit bei Stromfluss eine Änderung
seines k-Vektors um
k+
1
m
k =−
j
S
2
nS e
1
1
k ↑, −k + k ↓
2
2
Cooper-Paar
Der Strom wird im Supraleiter durch die Schwerpunktsbewegung des Cooper-Paars hervorgerufen. Für die Wellenfunktion gilt
ψCP (k ) = eik R ψCP (k = 0)
mit der Schwerpunktskoordinate R. Bei Stromfluss ändert sich die Wellenfunktion des
Cooper-Paars nur um einen Phasenfaktor. Alle Cooper-Paare erhalten denselben Impulszuwachs. Wir haben also ein kohärentes quantenmechanisches System, denn alle Cooper-Paare
besitzen die gleiche Phase und wir haben eine Wellenfunktion für die Beschreibung.
k+
2
k
2m
=
+
1
k
2
k2
E0
1
2
2
kF k
m
2m
2
k→k+
2
δE =
2
k k2
m
+
k2
klein
2
8m
45
(10.24)
Eine Änderung des Zustands durch inelastische Elektronenstreuung (z.B. mit Phononen) kann
nur durch Aufbrechen mindestens eines Cooper-Paares zustande komme. Was inelastische
Elektronen-Stöße angeht, so sind diese als Ursache für Ladungsträgerrelaxation, wie der
Gesamtimpuls P nicht mit einer Energieaufnahme verknüpft ist, die Anregungen über 2∆
hinaus ermöglicht.
E=
Betrachte ein Elektron des Cooper-Paares bei Stromfluss:
kF .
Für die Energie:
da |k |
Für die Energiezunahme:
2014-11-20
2 ωD
˜
≈ −2 ωD e−4/(V0 D(EF ))
1 − e4/(V˜0 D(EF ))
(10.20)
(Singulett-Paar (S = 0)
(10.21)
44
∆(0) = 1.764 kB TC
2014-11-18
(10.22)
Bemerkung:
1. Bei endlicher Temperatur sind nicht alle Elektronen an der Fermi-Fläche
gepaart, denn durch thermische Anregung werden Cooper-Paare aufgebrochen und
damit Quasiteilchen erzeugt. Für T → TC geht ∆ → 0. Aus der Theorie
Angeregte Elektronen werden im Allgemeinen als Quasi-Teilchen (teils e− , teils h-Charakter)
bezeichnet. Der gemeinsame Grundzustand der Cooper-Paare ist von den Zuständen der
Quasiteilchen durch die Energielücke getrennt.
δEmin = 2∆
Die minimale Energie, die nötig ist um ein Cooper-Paar aufzubrechen beträgt
2
∆ = 2 ωD exp −
˜0 D(EF )
V
BCS-Grundzustand: Die theoretische Beschreibung des Gesamtzustandes ist mathematisch
sehr aufwändig [1, 3, 2]. Im Energiespektrum des Supraleiters tritt eine Energielücke ∆ auf.
Diese ist eng mit der Bindungsenergie der Cooper-Paare verbunden.
4. Die Ausdehnung eines Cooper-Paares beträgt 100 nm to 1000 nm. Das bedeutet, dass
sich zwischen den beiden Elektronen eines Cooper-Paares Millionen andere aufhalten.
Hochtemperatur-Supraleiter: Ortswellenfunktion d-artig.
Suprafluides 3 He: Triplett S = 1 Ortswellenfunktion p-artig und antisymmetrisch.
3. Falls die Wechselwirkungen zwischen den Elektronen nicht isotrop ist, können auch
andere Fälle auftreten, z.B.
Dieses verhält sich nach außen hin wie ein Boson. Es ist also ein gemeinsamer quantenmechanischer Grundzustand möglich.
(k↑, −k↓)
2. Elektronen sind Fermionen, die Gesamtwellenfunktion muss also antisymmetrisch sein.
Die Wellenfunktion (10.18) ist symmetrisch bezüglich Elektronenaustausch. Wir wählen
also den Spinanteil antisymmetrisch.
Bemerkung:
1. Die Gleichung (10.20) erlaubt eine Erklärung der scheinbar paradoxen
Beobachtung, dass gute Metalle wie Silber oder Kupfer nicht supraleitend sind. Die
Elektronen koppeln nur schwach an die Phononen.
˜0 das konstantes Matrixelement der Wechselwirkung ist. Die Energieändewobei V
rung ist negativ, d.h. die Energie der Cooper-Paare wird reduziert. An der Oberfläche
des Fermi-Sees bilden sich Zwei-Elektronenzustände, deren Energie um den Wert δE
gegenüber der Energie der freien Elektronen bei T = 0 K abgesenkt ist.
δE = E − 2EF =
Für eine ausführliche Lösung siehe [1, 3, 2].
10.4 | Coo pe r-Paare und BCS-T heo rie
v
.
τ
(8.52)
(8.55)
(8.54)
=
σxx
−σxy
σxy
σxx
Ex
Ey
Ex
Ey
=
ne ωC τ
B 1 + ω2C τ 2
−
=
1
m∗
B
=
ne ωC τ
ne2 τ
xy
xx
und
und
xx
xy
xy
=−
.
B
ne
ne ω2C τ 2
.
B 1 + ω2C τ 2
jx
jy
σxy = −
(8.58)
(8.57)
(8.56)
eτ
BEx .
m
(8.59)
2014-10-23
13
Im Magnetfeld baut sich also ein elektrisches Feld in y-Richtung auf, das man als HallFeld bezeichnet. Die Ursache dieses Feldes ist die Ablenkung der Elektronen durch die
Ey = −
Da nur Strom in x-Richtung fließt gilt jy = 0.
Bemerkung: In anisotropen Medien treten auch bei größeren yy und yx auf. In isotropen
Materialien und gewählten Richtung des Magnetfeldes ist jedoch xx = yy und yx =
− xy .
gegeben. Die Komponente xx entspricht dem üblichen Ausdruck für den spezifischen
Widerstand, xy ist die Verknüpfung mit dem Hallwiderstand.
xx
Die auftretenden Widerstände sind durch
Auflösen nach dem E -Feld
σxx =
Die Leitwerte werden mit der Zyklotronfrequenz ωC = eB/m∗ ausgedrückt
jx
jy
Wir betrachten im folgenden einen flachen Stab (Skizze), kein Stromfluss in z-Richtung.
Auflösung nach vd unter Berücksichtigung von j = −envd:

 
 
eτ
1
− m∗ B
0
Ex
jx
σ0
 
 
 eτ B
1
0
 m∗
  Ey 
jy  =
e2 τ 2 2
e2 τ 2
1 + m∗2 B
Ez
jz
0
0
1 + m∗2 B 2
vd,z
vd,y
vd,x = −
eτ
(Ex + vd,y B),
m∗
eτ
= − ∗ (Ey + vd,x B),
m
eτ
= − ∗ Ez .
m
Wir legen ein B -Feld in z-Richtung an und betrachten den stationären Fall v
˙ = 0. Die
Driftgeschwindigkeit der Elektronen (Ausmittlung der Lorentz-Kraft durch Stöße) lautet
m∗ v
˙ = −e[E + v × B ] − m∗
Herleitung: Lorentzkraft in die Bewegungsgleichungen da bei Hall-Messungen zusätzlich
zum E -Feld ein B -Feld anliegt.
Inhaltsverzeichnis
Hall-Koeffizienten ausgewählter Metalle.
Metall
Wertigkeit
RH (e− /Atom)
8.7 | E lektr o nen im M agnetfeld
1
Li
1
0.8
Cu
1
1.5
Al
3
−0.9
1
Bjx = RH Bjx
ne
(8.61)
(8.60)
Lorentzkraft beim Anlegen eines Magnetfeldes in z-Richtung. Im stationären Gleichgewicht
kompensieren sich die resultierende elektrische Kraft des Hall-Feldes gerade die LorentzKraft (FL = FHall ).
Der Stromfluss in x-Richtung ist bei der vorgegeben Geometrie durch
j x = σ 0 Ex
Ey = −
(8.62)
gegeben. Einsetzen in (8.58) ergibt das Hall-Feld
mit der Hall-Konstante
Ey
1
=−
.
jx B
ne
RH =
Bemerkung:
1. Da Ex , jx und B Messgrößen sind, lässt sich RH und somit die Elektronendichte direkt bestimmen.
2. Die Interpretation der experimentell ermittelten Daten ist häufig schwierig, da RH von
B, T und Probenpräparation abhängt. Abweichende Werte sowie Vorzeichenänderungen
da meist mehrere Bänder zum Ladungstransport beitragen (vgl. Alkali-, Erdalkalimetalle) bzw. Löcher zum Ladungstransport beitragen. Einige Hall-Konstanten sind in
Tabelle 1 angegeben.
pµp2 − nµn2
+
nµn )
2
.
(8.63)
Wenn Elektronen und Löcher oder verschiedene Bänder zum Stromtransport beitragen miss
dies berücksichtigt werden, es ergibt sich:
RH =
e(pµp
Hierbei stehen n und m für die Dichte, µn und µp für die Beweglichkeit der Elektronen bzw.
Löchern.
Je nach Dichte und Beweglichkeit der Ladungsträger kann also RH < 0 oder RH > 0 sein.
8.7.5 Quanten-Hall-Effekt
2014-10-23
Hall-Messungen in zweidimensionalen Systemen bei tiefen Temperaturen und hohen Magnetfeldern. Realisierung eines zweidimensionalen Elektronengases mit Hilfe von Halbleiterheterosystemen oder Feldeffekttransistoren in dünnen Schichten/Filmen mit Kantenlänge L und
Dicke d.
14
11
2014-11-18
k1
k
k2
−k
−k
k
k
Die beiden Elektronen im k-Raum (zweidimensionale Projektion).
S uprale iter | 10
(10.16)
Impulserhaltung muss weiterhin gelten. Aus der Gesamtimpulserhaltung folgt:
k1 + k2 = k1 + k2 = k
mωD
kF
(kF + δk)2
= EF + ωD
2m
Die folgenden Betrachtungen gelten für T = 0 K. Für die beiden Elektronen sind nur
Zustände oberhalb von EF zugänglich, also der Energiebereich EF bis EF + ωD wobei
ωD die Debye-Frequenz ist. Im k-Raum bedeutet das
2
⇒ δk =
Bei vorgegebenem k können nur Elektronenpaare in den in Abbildung 11 schraffierten
Bereichen die Impulserhaltung erfüllen. Am wahrscheinlichsten ist die für k = 0. Für
ein Cooper-Paar gilt
k1 = −k2
(10.17)
Betrachten wir die Zwei-Teilchen-Wellenfunktion ψ(r1 , r2 ) des Cooper-Paars. Wir wählen den Ansatz
ψ = Aeik1 r1 eik2 r2 = Aeik1 (r1 −r2 ) = Aeikr
ψ(r ) =
k=kF
kF +δk
Ak eikr
(10.18)
mit der Relativkoordinate r = r1 − r2 . Die Lösung der Schrödingergleichung ist eine
Superposition solcher Paarzustände.
2m
2
˜ (r1 , r2 ) ψ(r1 , r2 ) = Eψ(r1 , r2 )
(∇12 + ∇22 ) + V
(10.19)
dabei ist |Ak |2 ein Maß für die Wahrscheinlichkeit ein spezielles Paar im Zustand
(k, −k) zu finden. Die Schrödingergleichung lautet
−
˜ (r1 , r2 ) zwei Anteile:
Hier hat V
1. attraktive Wechselwirkung (Phononenaustausch),
2. Coulomb-Abstoßung.
43
xy
d
.
(8.64)
N = nL2 d = pge = p
e 2
L B.
h
(8.65)
42
k2 = k2 − q
Nach dem Phononenaustausch k1 = k1 + q
Vor dem Phononenaustausch k1 , k2
2014-11-18
Theoretische Beschreibung: Die Elektronen tauschen virtuelle Phononen aus. Man kann
eine Impulsbetrachtung vornehmen.
e− -Gitter-e− -Wechselwirkung: Ein Elektron polarisiert das Gitter und es entsteht eine
positive Ladungswolke, die ein anderes Elektron anziehen kann. Erst nach einem
Viertel der Ionen-Schwingungszeit bildet sich die höchste positive Ladungsdichte
aus. Das erste Elektron ist nach dieser Zeit schon ca. 100 nm weiter entfernt. Die
Elektron-Elektron-Coulomb-Wechselwirkung mit einem zweiten Elektron ist klein und
die attraktive Wechselwirkung überwiegt.
Cooper (1956): Bei einer attraktiven Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen ist der
Grundzustand des Fermi-Gases nicht mehr stabil und die Energie dieser zwei Elektronen
wird abgesenkt. Wie kann es zur einer attraktiven Wechselwirkung kommen?
aus 4. Supraleitung ist mit einer Energielücke verbunden.
aus 3. Die Wechselwirkung der e− untereinander ist phononischer Natur
aus 2. e− -Paare sind für die Supraleitung verantwortlich
4. CV zeigt einen Sprung bei TC und exponentielles Verhalten für T < TC .
2. Der eingefrorene Fluss ist mit h/2e quantisiert.
√
3. TC ∼ 1/ m
1. Es gibt eine kritische Temperatur TC , einen kritischen Strom IC und ein kritisches Feld
BC bei dem die Supraleitung verschwindet.
Es folgt eine kurze Zusammenfassung der bisherigen Erkenntnisse, die in die Theorie einfließen müssen.
xy
d
=
25 812.807 572 Ω
h
=
pe2
p
1. Nur Elektronen an der Fermi-Kante tragen zum Stromtransport bei.
2014-10-28
4. Seit 1.1.1990 Widerstandsnormal 25 812.807 Ω.
15
3. Stromtransport findet über Randkanäle statt, Leitwertquantum GQ = 2e2 /h (Spinentartung der Landau-Niveaus berücksichtigt).
2. Solange EF im Bereich lokalisierter Zustände σxx = 0: Hall-Plateaus.
Bemerkung:
Im Experiment werden Palteaus in Ry beobachtet und Bereiche in denen der Längswiderstand
verschwindet: Quanten-Hall-Effekt.
Ry =
Der Strom wird nicht durch das elektrische Längsfeld Ex = 0 durch die Probe getrieben,
sondern durch das Hall-Feld Ey . Der Hall-Widerstand sollte linear mit der Magnetfeldstärke
ansteigen. Werte können den durch die Gleichung (8.65) vorgegebenen Werte annehmen:
(10.15)
Ry =
In der Probe sind keine teilbesetzten Niveaus vorhanden, wenn N Elektrone auf p voll
besetzte Niveaus verteilt sind.
Berechnung des Hall-Effekts
10.4 Cooper-Paare und BCS-Theorie
mS
µ0 nS eS2
(10.14)
(10.13)
In vollbesetzten Landau-Niveaus tritt keine Elektronenstreuung auf, die Stoßzeit τ ist also
unendlich. Somit ergibt sich für die Leitwerte und den Widerstand in x-Richtung σxx = 0
und xx = 0.
λL =
jS,y = jS,0 e
−x/λL
Bz (x) = B0 e−x/λL
Inhaltsverzeichnis
Falls die Probendicke sehr viel kleiner als die Eindringtiefe ist d
λL so durchdringt das
Feld den Supraleiter. Der Meißnereffekt ist nicht vollständig (Supraleiter zweiter Art).
Abschätzung für λ ≈ 15 nm.
mit der Londonschen Eindringtiefe
10.4 | Coo pe r-Paare und BCS-T heo rie
10.3 Londonsche Gleichungen
mvD
=0
2
⇒ m˙
v = −eE
S uprale iter | 10
(10.9)
(10.8)
(10.7)
Für idealen Leiter = 0 wird der Stoßterm/Reibungsterm in den klassischen Bewegungsgleichungen vernachlässigt.
Für die Stromdichte gilt
nS eS2
E
mS
jS = −env
und es folgt die 1. Londonsche Gleichung
jS =
mS
rot jS + B
nS eS2
=0
(10.10)
der Index S steht für Suprastrom. Nicht die Stromdichte wie beim Ohmschen Gesetz (j = σ E),
sondern ihre zeitliche Ableitung ist proportional zur Feldstärke. Für E = 0 ist ∂t j = 0, also
j = const, d.h. ein einmal angeworfener Strom fließt auch ohne angelegtes Feld. Einsetzen
˙:
von (10.9) in die Maxwellsche-Gleichung rot E = −B
∂
∂t
nS eS2
B
mS
(10.11)
Die Gleichung besagt, dass der Magnetfluss durch eine beliebige Fläche innerhalb der Probe
zeitlich unveränderlich ist. Da nach dem Meißner-Effekt in einem Supraleiter aber das
Magnetfeld und nicht nur seine zeitliche Ableitung verschwindet, muss der Klammerausdruck
selbst verschwinden.
rot jS = −
Dies ist die 2. Londonsche Gleichung.
SL
µ0 nS eS2
B=0
mS
rot rot B = −∇2 B = µ0 rot jS
∇2 B −
Vakuum
z
∼ e−x/λL
x
41
(10.12)
Da Abschrimströme auch die Präsenz von Magnetfelder erfordern muss das Magnetfeld
etwas eindringen. Betrachte dazu rot B = µ0 jS :
mit (10.11)
2014-11-13
Φe = nΦ0 = n
h
2e
(10.5)
cV
TC
3
T
(10.6)
⇒ geordneter Zustand.
40
2. Quantentheorie des Supraleiters: Bardeen, Cooper, Schriefer
b) Landau-Ginzburg-Gleichungen (1950)
2014-11-13
a) Londonsche Gleichungen (Ergänzungen zu den Maxwellgleichungen) (1930)
1. Phänomenologische Gleichungen
Ein theoretisches Verständnis der Phänomene, die mit der Supraleitung verbunden sind, wird
auf verschiedene Arten gewonnen.
Theoretischer Überblick
Der Effekt der Elektronen ist S(SL) < S(NL)
aber Sprung in cV
Es tritt keine latente Wärme auf
Dies lässt vermuten, dass die Anregung der Elektronen über eine Energielücke erreicht
wird. Wir erhalten einen Phasenübergang zweiter Ordnung
Ce (SL) ∼ e−∆/kB T
Für Normalleiter gilt Ce (NL) ∼ T mit C = γT + αT . Beim Supraleiter beobachtet man
eine exponentielle Abhängigkeit
5. Spezifische Wärme
Abschrimströme werden nicht von Einzelelektronen, sondern von Elektronen-Paaren
mit der Ladung 2e, den sogenannten Cooper-Paaren, getragen.
(Elementares Flussquant h/e).
Quantisierung des Flusses
Resonanzamplitude bestimmt Φe
Erzwungene Torsionsschwingung
Wechselfeld BM = BM,z sin ωt
Dynamische Methode (sehr viel empfindlicher)
d) Bleizylinder mit Röhrchen wirkt als magnetischer Dipol µ im Feld BM und erfährt
ein Drehmoment D = µ × B . Im Prinzip ist eine statische Magnetisierung möglich,
die es erlaubt Φe zu bestimmen.
10.2 | Grundke nntnis se übe r Supralei tung
Halbleiter
2014-10-28
Bandlücke: Valenzband (VB) voll, Leitungsband (LB) leer bei T = 0 K.
17
σ kann durch geringfügige Materialzusätze um viele Größenordnungen variiert werden.
Die elektrische Leitfähigkeit ist stark temperaturabhängig (exponetionell)
Besondere Eigenschaften
Nobelpreis Physik 2014: Entwicklung der blauen und weißen LED
Zukunft: Raumbeleuchtung
Ampeln, Scheinwerfer
Anzeigeinstrumente
LEDs
Quantencomputer
Quantenkryptographie
Einzel-Photonen-Lichtquellen
Sensortechnik, Medizintechnik
Laser-Display Technolgie
Compact Disk CD, DVD
Optische Nachrichtentechnik (1.3 µm und 1.5 µm)
Halbleiter-Laser
Optoelektronik und Photonik, Quantentechnologien:
Elektronik: Si-Technologie: Prozessoren, Speicherchips, Detektoren
Halbleiter sind von überragender Bedeutung für die Elektronik, Optoelektronik und Photonik.
Sie besitzen ein hohes Potential für Quantentechnologien. Einige Beispiele:
9
H alb le i t e r | 9
−
−
−
−
−
−
x
E
EF
−
9.1 | D ate n einiger wichtig er Hal bl ei ter
E
EF
Metall
−
+
−
−
−
Halbleiter x
E
EF
−
−
−
−
Isolator
−
x
8 Das Bändermodell. Das Leitungsband ist orange, das Valenzband blau dargestellt. Kreise mit
einem „−“ sind Elektronen, Kreise mit einem „+“ sind Defektstellen.
Si, Ge:
Anisotrope Energiebänder
E(k) =
2
2mz∗
k2 + k2
kz2
x
y
+
2m∗
Energieflächen der Leitungselektronen
Indirekte Halbleiter:
Valenzbandstruktur:
Eg (Si)
Eg (Ge)
E
T = 0K
1.17 eV
0.75 eV
T = 300 K
1.12 eV
0.67 eV
k
mit der transversalen Masse mt∗ und der longitudinalen Masse m∗ .
= const
2014-10-28
(9.1)
1. Typische Element-Halbleiter sind: Si, Ge (Diamant). Eine Mischung der s- und pWellenfunktion führt auf ein tetraedrisches Bindungsorbital (sp 3 ). Im Gleichgewichtsabstand spalten sie auf in ein bindendes und antibindendes Orbital. In bindenden
Oribtalen ist das Valenzband voll, in antibindenden ist das Leitungsband leer. Aus
Abbildung 8 erkennt man, dass die Energielücke temperaturabhängig ist, da sich mit
wachsender Temperatur der Gitterabstand auf Grund der thermischen Ausdehnung
vergrößert.
9.1 Daten einiger wichtiger Halbleiter
18
10
Be
Torsionsfaden
BM
Pb
Lichtzeiger
10 µm
S uprale iter | 10
SiO2 Quarzröhrchen
Versuchsaufbau von Doll und Nähbauer zur Feldquantisierung
(10.4)
i) Elementsupraleiter sind vor allem Nichtübergangsmetalle sowie einige Übergangsmetalle mit nicht gefüllten inneren Schalen.
10.2 Grundkenntnisse über Supraleitung
1.
ii) Ferromagneten sind keine Supraleiter.
2. Verbindungs-Supraleiter haben eine höhere Sprungtemperatur
Element-Supraleiter ≤ 10 K
Verbindungs-Supraleiter ≥ 20 K
Hochtemperatur-Supraleiter bis 135 K
const
TC ∼ √
m
3. TC ist mit der Masse der Gitterbausteine verknüpft.
Isotopieeffekt.
Die Wechselwirkung, die bei der Supraleitung auftritt muss etwas mit der Masse der
Atomrümpfe zu tun haben. Phononen spielen also eine Rolle.
39
c) Be ausschalten: Die Feldlinien können aus dem Quartzröhrchen nicht austreten. Be
wird im Quartzröhrchen eingefroren. Der magnetische Fluss ist Φe = Be A mit der
Querschnittsfläche A des Röhrchens (≈ 7.5 Å).
b) T < TC : Feldverdrängung aus dem supraleitenden Pb-Zylinder nicht jedoch aus dem
Quartzröhrchen.
a) T > TC : Be einschalten, Be geht auch durch die Röhrchenmitte.
4. Bei der Messung sehr kleiner Abschirmströme stellte sich heraus, dass sie gequantelt
sind. Siehe dazu das Experiment von Doll und Nähbauer in Abbildung 10.
2014-11-13
Ba
Durchflutung eines Leiters nach dem Meißner-Ochsenfeld-Effekt
Bi = Ba
Bi = 0
Oberflächenströme
BC
SL
NL
T
TC
BC (T )
BC (T ) = BC (0) 1 −
BC
T
2
Ba
(10.3)
µ0 I0
2π R0
38
2014-11-13
Supraleitung kann durch zu hohen Strom unterbrochen werden. Es gibt einen Grenzstrom
I > IC bei dem die Supraleitung verschwindet. (IC = 5 . . . 200 A für T = 0 K).
Es muss gelten Bi + Ba ≤ BC (T ).
Bi =
Bi wird aufgebaut wenn der Supraleiter von einem Strom durchflossen wird. Bei einem Draht
mit Radius R0 ist Bi an der Oberfläche
2. interne Felder Bi
1. externe Felder Ba
BC umfasst hierbei
Empirisch:
Bi
Ein Supraleiter ist ein idealer Diamagnet. Wird das äußere Feld erhöht, so bricht die Abschirmung bei einem kritischen Feld BC zusammen und es folgt ein Übergang in den
Normalzustand.
9
Ba
10.1 | Grundphäno me ne
k
E
k
ω
π /a
k
−π /a
E
Ω
ω
π /a
k
2014-10-28
LB
kVB
e + kPhoton = ke
Optische Übergänge: Energie- und Impulserhaltung müssen erfüllt sein
−π /a
E
9.2 Vergleich: Direkte und indirekte Halbleiter
19
Annahme: GeP und AlSb besitzen indirekte Bandlücken. Die Elektronen haben eine
sphärische Energiefläche, die Löcher sind ähnlich wie bei Ge, Si.
3. Direkte Halbleiter
b) Verbindungen von III und IV Hauptgruppe: ZnSe, ZnS, CdTe, Znx S1−x Se haben
einen stärkeren ionischen Anteil als bei III-IV-Halbleitern.
a) Verbindungen von III und IV Hauptgruppe: GaAs, InP, Alx G1−x As, InSb, InAs haben
gemischt ionisch-kovalente Bindungen.
2. Verbindungs-Halbleiter
Dies rührt von der Spin-Bahn-Wechselwirkung her. Die Energieflächen bei k = 0
sind sphärisch.
E
H alb le i t e r | 9
9.3 | Und otierte Hal b leite r
Abschätzung:
2π
2π
kPhoton =
=
λ
500 nm
π
π
kRand d. BZ =
=
a
0.5 nm
kPhoton
= 10−3
kRand d. BZ
Im E(k)-Diagramm zeigt sich dies als senkrechter Übergang.
In indirekten Halbleitern sind Übergänge nur mit Phononenbeteiligung möglich (Impulserhaltung). Wegen sehr vieler kleiner Übergangswahrscheinlichkeiten sind indirekte Halbleiter
nicht geeignet für effiziente Lichtemitter (z.B. Halbleiter-Laser oder EPQ).
9.3 Undotierte Halbleiter
(9.2)
Beim Halbleiter tragen Elektronen und Löcher zum Stromtransport bei. Nach (7.24) und (7.25)
σ = |e|(nµn + pµp )
mit den Beweglichkeiten der Elektronen und Löcher µn und µp und den Volumenkonzentrationen der Elektronen und Löcher n und p.
∞
EL
EV
DL (E) f (E, T ) dE
(9.4)
(9.3)
−∞
DV (E) (1 − f (E, T )) dE
Intrinsische Halbleiter besitzen freie Elektronen und Löcher durch thermische Anregung
über die Energielücke. Um die Besetzung zu erhalten müssen wir berechnen:
n=
p=
(E < EV )
(E > EL )
(9.6)
(9.5)
Mit den Zustandsdichten DV des Valenzbandes und DL des Leitungsbandes und der FermiDirac-Statistik f (E, T ). Die Zustandsdichten sind bekannt als
3
∗ 3/2
(2mn
)
DL (E) =
E − EL
2π 2 3
(2mp∗ )3/2
EV − E
DL (E) =
2π 2
Anmerkung: In der Halbleiterphysik nennt man das chemische Potential µ oft Fermi-Niveau
EF .
e
1
E−EF
kB T
+1
≈e
E−E
− k TF
B
1 für E − EF
2kB T
2014-10-30
Da die „Aufweichungszone“ der Fermi-Funktion (≈ 2kB T ) bei üblichen Temperaturen klein
ist gegen den Bandabstand (≈ 1 eV) lässt sich innerhalb der Bänder die Fermi-Funktion durch
die Boltzmann-Besetzungswahrscheinlichkeit annähern.
20
10
10.1 Grundphänomene
1911 H. K. Onnes (Hg)
N
S
T
B
Herausziehen
Supraleiter
TC
Messung: Erzeugung eines Dauerstroms
B
1. Abkühlen T < TC
2. Herausziehen des Magneten
I(t) = I0 e−Rt/L
+ χH) =
µ0 H(1
+ χ) = 0
IS
S uprale iter | 10
37
(10.2)
(10.1)
˙ ). Bei
3. Durch das Herausziehen des Magneten wird ein Strom induziert (rot E = −B
endlichem Widerstand klingt der induzierte Strom als
H + M) =
µ0 (H
ab mit dem Widerstand R des Rings und der Induktivität L.
Abklingzeit > 105 a
Meißner-Ochsenfeld-Effekt
B =
i
χ = −1
µ0 (
Ba = µ0 H
Feldverdrängung im Supraleiter:
2014-11-13
0.67
1.1
1.43
(2m∗ )3/2 EF /kB T
e
2π 2 3
EL
∞
und
V
und Neff
=2
L −(EL −EF )/kB T
e
n = Neff
V (EV −EF )/kB T
p = Neff
e
L
=2
Neff
(2m∗ )3/2
(kB T )3/2 e−(EL −EF )/kB T
2π 2 3
∗
2π mn
kB T
h2
1/2
h2
3/2
3/2
XL e−XL dXL
2π mp∗ kB T
0
∞
(9.8)
(9.7)
kB T
2π 2
3
∗
(mn
mp∗ )3/2 e−Eg /kB T
V −Eg /2kB T
L
und ni = pi = Neff
Neff
e
2014-10-30
Aus n = p folgt
EF =
EL + EV
kB T
+
ln
2
2
L
Neff
V
Neff
=
EL + EV
3
+ kB T ln
2
4
∗
mn
mp∗
Für T = 300 K sind einige intrinsische Ladungsträgerdichten in Tabelle 2 aufgetragen.
n=p
Bei einem intrinsischen Halbleiter gilt die Neutralitätsbedingung
V −Eg /kB T
L
np = Neff
Neff
e
=4
Aus (9.7) und (9.8) folgt das Massenwirkungsgesetz
21
(9.11)
(9.10)
(9.9)
Anmerkung: Bei hohen Ladungsträgerdichten (Dotierung) kann diese Näherung nicht mehr
verwendet werden. Man spricht dann von entarteten Halbleitern.
wobei Neff die effektive Zustandsdichte ist.
mit
n=
E − EL e−E/kB T dE
2.4 · 1013
1.5 · 1010
5 · 107
ni [cm−3 ]
Mit der Substitution XL = (E − EL )/kB T ergibt sich
n=
Intrinsische Ladungsträgerdichten bei 300 K.
Damit folgt für (9.3)
2
Ge
Si
GaAs
Eg [eV]
H alb le i t e r | 9
9.4 | D oti er t e Halb leiter
9.4 Dotierte Halbleiter
Dotierte Halbleiter sind technologisch wichtig. Praktisch alle Bauelemente sind dotiert.
RyD =
me∗ /m0 H
Ry
ε2
me∗ ≈ 0.01 . . . 0.5m0
ε ≈ 7 . . . 12
E
B
ED
≈ 7 . . . 50 meV
Donatorniveau
p-Halbleiter
A
ED
NA = NA0 + NA+ .
Akzeptorniveau
x
(9.12)
Beispiel Man setzt einen subtituionellen Donator, z.B. Phosphor P (5-wertig) auf einen
Gitterplatz im Si-Gitter (4-wertig). Das fünfte nicht für die Bindung zum Silizium benötigte
Elektron bewegt sich praktisch wasserstoffartig um das positive P-Zentrum. Wir lösen das
Wasserstoffproblem unter Berücksichtigung des anwesenden Festkörpers. Damit ergibt sich
die Donator-Rydberg-Energie:
n-Halbleiter
Abschätzung:
E
B
ED
x
und
n + NA− = p + ND+
Die Neutralitätsbedingung (9.10) muss modifiziert werden
wobei
ND = ND0 + ND+
Die Fermi-Energie EF muss aus dieser Neutralitätsbedingung berechnet werden.
Die Gesamtkonzentration der Donatoren und Akzeptoren ist gegeben durch ND und NA . Die
Konzentrationen der ionisierten Donatoren und Akzeptoren sind ND+ und NA− .
DD (E) fD0 (E) dE
fD0 (E) = gi
1
e(ED −EF )/kB T + 1
DD (E) = ND δ(E − ED )
ND0 =
2014-10-30
(9.15)
(9.14)
(9.13)
Für die Besetzung der Donatoren mit Elektronen bzw. der Akzeptoren mit Löchern gilt
22
4
I = IS eeU/kB T − 1 − IL
Ein zusätzlicher Strom IL in Richtung des Feldstroms.
U =0
I
⇒ UL ≈
U
Arbeitspunkt
kB T
IL
ln
e
IS
⇒ I ≈ IL ∼ Bleuchtungsstärke
I=0
P = UI
(9.53)
Halble it er | 9
Typische Werte bei einer Fläche von 4 cm2 sind IL ∼ 100 mA und IS ∼ 1 mA.
Leerlaufspannung:
typisch sind hier 0.5 V.
Kurschlussstrom:
Amorphes Si ∼ 10 %
Polykrist. Si ∼ 15 %
Kristallines Si ∼ 20 %
GaAs (3 Schichten) ∼ 25 %
Die Betriebsbedingungen müssen so gewählt werden, dass die Fläche des Rechtecks
(siehe Abbildung) minimal wird. Fausregel: U ≈ 80 %UL . Der Verbrauchswiderstand RL
muss an die Solarzelle angepasst werden.
Typische Wirkungsgrade
2. Photodiode: Betrieb in Sperrrichtung.
3. Leuchtdioden: Betrieb in Durchlassrichtung.
n
p
EFn − EF > EL − EV = Eg
f (EV ) = 1 + e(EV −EF )/kB T
p
f (EL ) = 1 + e(EL −EF )/kB T
f (E = EL ) > f (E = EV )
−1
−1
35
(9.55)
(9.54)
4. Halbleiterlaser (p-n-Übergang in Durchlassrichtung): Rekombination von e− und h im
Bereich der Raumladungszone. Voraussetzung für Lasertätigkeit: Besetzungsinversion.
Elektronen und Löcher halten sich an den Bandkanten auf:
2014-11-11
HL1
π 2 j2
2mz∗ dz2
2
HL2
Ej
HL1
34
EV
EL
EV
EL
Minibänder
n
Das Elektron-Loch-Paar wird durch das elektrische Feld getrennt.
↓I
p
ω
1. Solarzelle: Die Absorption eines Photons in der Raumladungszone.
RL
(9.52)
2014-11-11
und der transversalen Energie Ej . Im Falle
+ Ej
mit j = 1, 2, 3
∗
mxy
∗
2mxy
(k2x + k2y )
9.6.4 Bauelemente basierend auf einem p-n-Übergang
HL1
dz
Ej
Ej =
mit der effektiven Masse in der x, y-Ebene
eines unendlichen Potentialtopfs gilt
Ej (kx , ky ) =
2
Für die Energiezustände betrachten wir einen Quantentrog:
An der Grenzfläche entsteht ein 2D Elektronengas. Den Vorteil liefern Störstellen (Dotieratome im Halbleiter mit größerer Bandfläche), da sie zu höherer Elektronen-Beweglichkeit
führen (Quantenhalleffekt, FQHE).
9.6 | Inhomogene Halblei te r
−1
−1
ND0 = ND 1 + e(ED −EF )/kB T
ND = ND0 + ND+
L −(EL −EF )/kB T
n = Neff
e
−1
1
1 + exp[(ED − EF )/kB T ]
n=
2014-10-30
Drei Grenzfälle von (9.20):
das heißt
n
L
Neff
ND E /k T
d B
L e
Neff
−1
Ed = EL − ED
ND Ed /kB T
L e
Neff
1
L −Ed /2kB T
n = ND Neff
e
4
1. Für kleine Temperaturen: Störstellenreserve
1+4
mit
eEl /kB T = eEF /kB T
n = 2ND 1 +
1 + eEd /kB T
ND
n
L
Neff
Die Fermi-Energie EF lässt sich über Gleichung (9.7) ausdrücken als
n ≈ ND 1 −
Zur Vereinfachung sagen wir, dass der Hauptteil von den Donatoren kommt, d.h. ND+
also n ≈ ND+ = ND − ND0 . Damit folgt mit (9.16)
n = ND+ p
Freie Elektronen können nur von Donatoren oder aus dem Valenzband stammen d.h.
Es gilt
2. n-dotierte Halbleiter (keine Akzeptoren)
1. im Falle von Donatoren und Akzeptoren nur numerisch möglich.
Berechne Zahl der freien Elektronen als Funktion der Temperatur
NA0 = NA 1 + e(EF −EA )/kB T
ND0 = ND 1 + e(ED −EF )/kB T
23
(9.21)
(9.20)
(9.19)
ni
(9.18)
(9.16)
(9.7)
(9.17)
(9.16)
mit gi dem Entartungsgrad der i-ten Störstelle. Der Entartungsfaktor berücksichtigt die
Entartung der Störstellenniveaus. Bei einfachen Donatoren kann ein Elektron mit Spin nach
oben oder nach unten eingebaut werden. Das heißt wir haben doppeltes statistisches Gewicht
gi = 2. Dieser Faktor wird im Folgenden vernachlässigt.
H alb le i t e r | 9
9.5 | L e i tfähigk eit un d Bew eg lichkeit
eEd /kB T
1
2. Für mittlere Temperaturen: Störstellenerschöpfung
ND
4 L
Neff
n = ND = const
3. Für hohe Temperaturen: Intrinsischer Bereich
n ∼ e−Eg /2kB T
γ = σE
3kB T
m∗
(9.27)
(9.29)
µ=
e
τ(EF )
m∗
1
∼ Σv(EF )
τ
⇒ Σ∼
1
1
1
=
+
τ
τPhonon
τStör
v(EF ) = const(T )
1. Phononen
µ∼
1
T
1
T
1
τPhonon ∼ (T
T
ΣPhonon ∼ T
σ ∼
1
τ
Θ)
(9.22)
(9.23)
(9.24)
(9.25)
2014-10-30
(9.28)
Nur die e− an der Fermikante tragen bei. Die
Zahl der Stöße pro Zeiteinheit ist proportional zum Streuquerschnitt Σ und der Geschwindigkeit der e−
Metall
σ = |e|(nµn + pµp )
9.5 Leitfähigkeit und Beweglichkeit
Die Leitfähigkeit ist gegeben durch
Vergleich Metall und Halbleiter
Halbleiter
(9.26)
µn und µp müssen beim Halbleiter als Mittelwerte über die von e− und h besetzten Zustände im unteren Leitungsband und oberen
Valenzband berücksichtigt werden. Dies erfordert eine Behandlung mit der BoltzmannGleichung. Hier: Qualitative Diskussion der
Streuprozesse.
1
∼Σ v
τ
v ∼
1
T 3/2
ΣR ∼ T
µPhonon ∼
1
∼ T 3/2
τPhonon
√
T
v ist im Gegensatz zu Metallen als thermischer Mittelwert über alle e− - und h-Geschwindigkeiten zu betrachten.
1. Phononen
Bemerkung: Kinetische Gastheorie: v =
24
3
Si
GaAs
φBa = 0.27 φm − (0.55 ± 0.22 eV)
φBa = 0.075 φm − (4.49 ± 0.24 eV)
Experimentelle Daten zur Schottky-Barriere.
Halble it er | 9
2. Mit Kontakt ist das Fermi-Niveau in beiden Materialien durchgehend konstant.
3. Die Majoritäten bestimmen die Ausgleichsprozesse an der Grenzfläche. Daher wird die
Barrierenhöhe φB zwischen dem metallischen Fermi-Niveau und der Bandkante der
Majoritätsträger gerechnet.
Realer Fall
33
Am Metall-Halbleiter-Kontakt bilden sich Grenzflächenzustände mit hoher Dichte aus. Diese
bestimmen die Lage des Fermi-Niveaus. Dies führt zur Ausbildung einer Barriere, der sogenannten Schottky-Barriere. Diese ist für den Metall-Halbleiter-Übergang charakteristische
Größe.
EF
n-HL
schwach dotiert
∆EL
∆EV
∆EV = 0.45 eV
∆EL = 0.28 eV
entartetes e− Gas (2D)
n-HL
stark dotiert
9.6.3 Halbleiter-Heterostrukturen
Es bilden sich
Banddiskontinuitäten ∆EL , ∆EV
Bandverbiegungen
Beispiel GaAs/Ge:
2014-11-11
f
f
Zenerdurchbruch
EL
φM
−1
χ
32
EV
EF
EVak
(9.51)
(9.50)
2014-11-06
1. Ohne Kontakt wird die gegenseitige Energieanordnung durch das gemeinsame Vakuumniveau vermittelt.
Grundregeln
Es existieren keine Grenzflächenzustände am Metall-Halbleiter-Kontakt.
Idealer Fall
Elektronenaffinität: χ = EVak − EL
Austrittsarbeit: φM = EVak − EF
EF
e
U
eU/kB T
Ln = Dn τn
φM Austrittsarbeit
EVak
Lp = Dp τp
9.6.2 Metall-Halbleiter-Kontakt
mit der Lebensdauer τ.
mit
j(U) =
eDp
eDn
pn +
np
Lp
Ln
Zur Berechnung von (jn + jp ) siehe Ibach, Lüth S. 435.
f
f
−(jn + jp )
I
j(U ) = (jnf + jpf ) eeU /kB T − 1 = jS eeU /kB T − 1
9.6 | Inhomogene Halblei te r
log µ
ionisierte
Störstellen
µ ∼ T 3/2
1
NStör
∼ 3/2
τStör
T
−4
T 3/2
(9.30)
Phononen
log T
T −3/2
1
∼ NStör · const(T )
τStör
2. Störstellen
bis ca. 2 · 103 V m−1 (GaAs,Si,Ge)
2014-11-04
25
Das Verständnis von inhomogenen Halbleitern ist Vorraussetzung zum Verständnis der
technischen Anwendung von Halbleitern.
9.6 Inhomogene Halbleiter
Die beschleunigten Elektronen gewinnen so viel Energie, dass sie weitere Elektronen aus dem
Valenzband ins Leitungsband anregen können.
Eine weitere Besonderheit bei direkten Halbleitern (GaAs, InP, GaN) ist, dass ab einer kritischen Feldstärke Elektronen in Seitentäler (L,X) gestreut werden. Es resultiert ein negativer
differentieller Widerstand (in den Seitentälern ist die effektive Masse größer).
Ladungsträger werden im äußeren Feld entlang der Energiebänder E(k) beschleunigt, bis
die Energie (bezogen auf EF ) optische Phononen mit hoher Zustandsdichte (etwa 60 meV
bei Si, 36 meV bis GaAs) erreichen. Dies führt zur Anregung optischer Phonenen und die
Driftgeschwindigkeit VD sättigt.
vD ∼ E
In modernen Halbleiter-Bauelementen werden Felder > 105 V m−1 erreicht. Das Ohmsche
Gesetz gilt nicht mehr, vD ist nicht mehr proportional zur Feldstärke
Streuung an optischen Phononen
piezoelektrische Streuung
Zusätzlich können in piezoelektrischen Halbleitern (z.B. III–V- und II–VI-Halbleitern) noch
Beiträge von Streuung an Phononen herrühren, die mit einer Polarisation behaftet sind.
⇒
ΣPhonon ∼ v
√
v ∼ T
Streuung an ionisierten Donatoren und
Akzeptoren. Rutherfordstreuung
2. Störstellen
H alb le i t e r | 9
9.6 | I nhomog en e Halb l eit er
9.6.1 p-n-Übergang
p
EF
p
EV
EA
−
◦
−
◦
−
ED
−
◦
˜−
−e
(x)− −
−V
ELn
EFn
Im Folgenden betrachten wir abrupte Übergänge, also sprunghafte Änderungen in der
Dotierung.
E
x
− − − −
−eVD
◦ ◦ ◦ ◦
◦
◦ ◦ ◦ ◦
Dabei ist VD die Diffusionsspannung. Im Kontakt ist die Diffusion von Ladungsträgern aus
den jeweiligen Gebieten hoher in jene niedriger Konzentration.
Ausgleich der Ferminiveaus
Aufbau von Diffusionsspannung VD
Bandverbiegung
Störung entgegen der Diffusion
p
2014-11-04
(9.22)
Die Diffusionsspannung ist durch die Differenz EFn − EF der beiden Fermi-Niveaus der
dotierten Kristalle gegeben.
p
eVD = EFn − EF
n ≈ ND
im Beispiel der Störstellenerschöpfung gilt
26
Halble it er | 9
(9.49)
Der p-n-Übergang unter äußerer Spannung Eine äußere Spannung stört das Gleichgewicht
von Feld- und Diffusionsstrom. Die Gleichgewichtsthermodynamik ist nicht mehr anwendbar.
Eine angelegte Spannung U fällt hauptsächlich in der Raumladungszone ab, da dort wenig
Ladungsträger und damit R groß ist.
˜n (∞) − V
˜p (−∞) = VD − U
V
Konvention Eine positive Spannung ist der Diffusionsspannung entgegengerichtet. Eine positive Polung bei p und eine negative Polung bei n entspricht der Durchlassrichtung. Der
umgekehrte Fall ist die Sperrrichtung.
−e(VD − |U|)
−e(VD + |U|)
EV
EL
EFn
EV
EL
EFn
In der Raumladungszone sind die Ladungsträger nicht im Gleichgewicht, d.h. sie haben kein
gemeinsames Fermi-Niveau. Falls aber Elektronen und Löcher untereinander im Gleichgewicht
gibt es ein Quasi-Fermi-Niveau der Elektronen EFn und der Löcher EFp .
EFp
EFp
Einfluss der angelegten Spannung:
1. Der Feldstrom wird in erster Näherung nicht beeinflusst. Jeder Ladungsträger innerhalb
der Raumladungszone wird abgesaugt.
jnf (U) = jnf (0)
31
2. Der Diffusionsstrom ändert sich, da die Potentialbarriere geändert wird auf VD − U.
jnd (U) = a(T )e−e(VD −U)/kB T = jnd (0)eeU /kB T
3. Der Feld- und Diffusionsstrom fließen entgegengesetzt
jn (U) = jnd (U) − jnf = jnf eeU/kB T − jnf = jnf eeU /kB T − 1
f
wobei |jnd (0)| = |jn (0)|.
2014-11-06
∂n
∂p
− Dp
∂x
∂x
(9.42)
˜ (x)
∂n
e ∂V
=n
∂x
kB T ∂x
L
n(x) = Neff
exp −
˜ (x) − EF
EL − e V
kB T
˜ (x)
∂V
Ex = −
∂x
(9.47)
(9.45)
(9.44)
(9.43)
f
B
eV
−k D
T
B
eV
−k D
T
30
Der Vorfaktor a(T ) hängt schwach von der Temperatur ab.
|j | = |j | = a(T )e
d
jd ∼ e
2014-11-06
(9.48)
Die Stärke des Stroms hängt nicht vom Potentialverlauf ab. Die Elektronen müssen gegen die
Potentialdifferenz anlaufen.
Annahme: Ist die Raumladungszone dünn, so kann der Rekombinationsstrom von Elektronen und Löchern in der Raumladungszone vernachlässigt werden und für die Diffusionslänge
gilt
LD
dn + dp
Dn =
kB T
µn
e
kB T
µp
Dp =
e
Die Transportgrößen sind über die Einstein-Beziehung verknüpft:
Siehe (??)
für e−
˜ (x)
∂V
∂n
= nµn
Dn
∂x
∂x
dies gilt auch für die Elektronen- und Löcher-Ströme einzeln.
jd + jf = 0
Im thermodynamischen Gleichgewicht kompensieren sich die Ströme
j f = fnf + jpf = e(nµn + pµp )Ex
Der Feldstrom (Generationsstrom) wird durch das elektrische Feld verursacht und wirkt dem
Diffusionsstrom entgegen. Im thermodynamischen Gleichgewicht werden ständig ElektronLoch-Paare gebildet, wobei die Elektronen und Löcher sofort über die p-n-Schicht fließen.
j d = jnd + jpd = e Dn
Der Diffusionsstrom (Rekombinationsstrom) ensteht aufgrund der Ladungsträgerkonzentration auf den beiden Seiten des p-n-Übergangs. Die e− (h) die im Leitungsband (Valenzband)
eine sehr hohe Energie haben (Boltzmann-Ausläufer) und die nach dem Durchlaufen der
Raumladungszone mit den entgegengesetzt geladenen Ladungsträgern rekombinieren.
9.6 | Inhomogene Halblei te r
⇒ eVD = Eg
= Eg − kB T ln
eVD = EL − kB T ln
np · pp = nn · pn = ni · pi
bzw. pp ≈ NA− ≈ NA
V
Neff
NA
p-HL
2014-11-04
Störstellen völlig ionisiert
ND > NA
np
pq
log n, p
Verarmungszone
ND+
n-HL
˜ (x)
EF − EV + e V
kB T
˜ (x) − EF
EL − e V
kB T
x=0
NA−
V
p(x) = Neff
exp −
L
n(x) = Neff
exp −
p
˜ (x)
EV (x) = EV − eV
˜ (x)
ELn (x) = EL − eV
x
27
(9.31b)
(9.31a)
Bei üblichen Dotierungen ist die Majoritätsladungsträgerdichte sehr viel größer, die Minoritätsladungsträger sehr viel kleiner als die ni -Ladungsträgerdichte im Übergangsbereich.
Massenwirkungsgesetz
nn ≈ ND+ ≈ ND
In großer Entfernung vom Übergang gilt
h im n-Gebiet
e− im p-Gebiet
− EV − kB T ln
V
L
Neff
Neff
ND NA
L
Neff
ND
n
L −(EL −EF )/kB T
n = ND = Neff
e
Die Minoritätsladungsträger sind
und damit
H alb le i t e r | 9
9.6 | I nhomog en e Halb l eit er
Massenwirkungsgesetz:
n(x)p(x) = const
x<0
x>0
(9.34)
(9.33)
(9.32)
In der Verarmungszone wird die Ladung der ionisierten Donatoren und Akzeptoren nicht
mehr durch die freien Ladungsträger kompensiert. Es resultiert ein Aufbau von einer Raumladung.
Raumladungsdichte:
(x) = e[ND+ − nn (x) + pn (x)] ,
(x) = −e[NA− + np (x) − pp (x)] ,
Der Potentialverlauf und die Raumladung sind über die Poissongleichung verknüpft.
∂2
˜ (x) = −
V
∂x 2
ε0 εr


0



−eNA
für 0 < −dp
für −dp < x < 0
für 0 < x < dn
für x > dn
(9.35)
Die Lösung muss über ein selbstkonsistentes Verfahren erfolgen. In der Raumladungszone
ist die Konzentration freier Ladungsträger gering und wird daher vernachlässigt. Wir machen
hier die Näherung: Der Verlauf von (x) wird durch einen rechteckigen Verlauf ersetzt. Dies
führt auf das Schottky-Modell.
(x) =

eN

 A


0
eND
∂2
˜
U(x)
=−
∂x 2
ε0 εr
∂U (x)
eND
Ex = −
=−
(dn − x)
∂x
ε0 εr
eND
(dn − x)2
2ε0 εr
˜
˜n (∞) −
U(x)
=U
2014-11-04
(9.38)
(9.37)
(9.36)
Dabei sind dn und dp die Dicken der Raumladungszone. Für den n-leitenden Teil lösen wir
die Poisson-Gleichung.
28
(x)
−
+
eND
eNA
x
x
E(x)
ND dn = NA dp
x = 0 dn
x
dp
V (x)
˜ (−∞)
V
Neutralitätsbedingung:
˜
Aus (9.39) und der Stetigkeit von U(x
= 0)
e
2
˜n (∞) − V
˜p (∞) = VD
(ND dn
+ NA dp2 ) = V
2ε0 εr
NA /ND
NA + ND
2ε0 εr VD ND /NA
e
NA + ND
e
2ε0 εr VD
Lassen sich die Dicken dp und dn berechnen
dn =
dp =
− − − −
◦ ◦ ◦ ◦
−
◦
−
◦
◦
−
◦
−
◦ ◦ ◦ ◦
− − − −
E = 106 V m−1 . . . 108 V m−1
⇒ dn = dp = 1 µm . . . 10 nm
Beispiel eVD = Eg = 1 eV und NA = ND = 1020 . . . 1024 m−3 .
Ströme im p-n-Übergang
2014-11-06
˜ (+∞)
V
Halble it er | 9
(9.39)
(9.40)
(9.41)
29
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