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Analysis I Carsten Schütt WS 2014/15 1. Falls Christa Purzelbäume

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Analysis I
Carsten Sch¨
utt
WS 2014/15
1. Falls Christa Purzelb¨
aume schl¨agt, dann ißt Bruno Torte.
Christa ist genau dann u
¨bel, wenn Anton Lik¨or trinkt und Christa Purzelb¨
aume
schl¨agt.
Falls Christa u
¨bel ist, dann ist Bruno besorgt und ißt Torte.
Entweder ist Anton traurig oder Christa ist u
¨bel.
Falls Anton traurig oder Bruno besorgt ist, dann schl¨agt Christa Purzelb¨
aume.
Was geschieht?
2. (De Morgan) Es sei K eine Menge und M eine nichtleere Menge von Teilmengen
von K. Beweisen Sie
(i)
!c
\
[
M
=
Mc
M 2M
M 2M
(ii)
[
M 2M
M
!c
=
\
M c.
M 2M
3. Beweisen Sie:
N0 = {2m|m 2 N0 } [ {2m + 1|m 2 N0 }.
4. Welche der folgenden Abbildungen sind injektiv, surjektiv, oder bijektiv?
(i) f : N ! N mit f (n) = n2
(ii) f : Z ! N0 mit f (n) = n2
(iii) f : Z ! Z mit f (n) = 2n
Beweisen Sie Ihre Behauptungen.
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
Leopold Kronecker, 1886
Abgabe: Mittwoch, 12.11.2014 um 8:15.
1
Analysis I
Carsten Sch¨
utt
WS 2014/15
5. Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
(i) Es gibt eine bijektive Abbildung zwischen N und N0 ?
(ii) Es gibt eine bijektive Abbildung zwischen Z und N0 ?
Falls es bijektive Abbildungen gibt, geben Sie sie an.
6. (i) Es sei (K, +, ·) ein K¨orper und x 2 K. Beweisen Sie, dass die additiven
und multiplikativen, inversen Elemente zu x eindeutig sind. Zeigen Sie weiter, dass
x = ( x) und x = (x 1 ) 1 .
(ii) Es sei (K, +, ·, ) ein geordneter K¨orper. Beweisen Sie:
1. Es gilt genau dann x > 0, wenn x < 0.
2. F¨
ur alle x 2 K gilt |x| = | x|.
7. Entscheiden Sie, ob die folgenden Teilmengen von (Q, +, ·, ) Minimum, Maximum, Supremum und Infimum besitzen. Bestimmen Sie die Minima, Maxima,
Suprema und Infima, falls sie existieren.
⇢
1
(i)
n2N
(ii)
N
(iii)
Z
n
8. Beweisen Sie durch vollst¨andige Induktion: F¨
ur alle n 2 N gilt
2n
n X1

.
2
k
k=1
1892 begann Giuseppe Peano ein Projekt, die bekannten S¨
atze der Mathematik in
logischer Strenge zu formulieren, das Formulario Matematico (beendet 1908), das er
sp¨
ater auch f¨
ur seine Vorlesungen benutzte, was ein p¨
adagogischer Misserfolg wurde.
1901 wurde deshalb seine Lehrt¨
atigkeit an der Milit¨
arakademie beendet. An der Universit¨
at konnte man ihm dagegen nicht hineinreden. 1900 fand Peano Anerkennung
auf dem Internationalen Kongress f¨
ur Philosophie in Paris.
Wikipedia
Abgabe: Mittwoch, 19.11.2014 um 8:15.
2
Analysis I
Carsten Sch¨
utt
WS 2014/15
9. Beweisen Sie, dass (Q, +, ·) ein K¨orper ist.
10. Beweisen Sie durch vollst¨andige Induktion: F¨
ur alle x, y 2 Q und alle n 2 N
gilt
n ✓ ◆
X
n n k k
n
(x + y) =
x y ,
k
k=0
wobei die Binomialkoeffizienten durch
✓ ◆
n
n!
=
k
k!(n k)!
gegeben sind.
Benutzen Sie diese Gleichung, um zu zeigen, dass f¨
ur alle n 2 N
✓
◆n
1
2 1+
n
gilt.
11. Beweisen Sie durch vollst¨andige Induktion: F¨
ur alle n 2 N mit n
2n 
nn
.
n!
Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 10.
12. (i) Es sei n 2 N. Die Abbildung hn : N ! N sei durch
hn (k) = k n
gegeben. Ist diese Abbildung injektiv? Ist die Abbildung surjektiv?
(ii) Sind die Abbildungen , : N ⇥ N ! N, die durch
(n, k) = n + k
und
definiert sind, injektiv oder surjektiv?
3
(n, k) = n · k
6 gilt
Alexander Grothendieck, einer der wichtigsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, starb am 13. November 2014, in Saint-Girons s¨
udlich von Bordeaux. Er
revolutionierte die Algebraische Geometrie.
Nur die 1-Fach Bachelor Studenten sind verpflichtet, die letzte Aufgabe zu bearbeiten.
Abgabe: Mittwoch, 26.11.2014 um 8:15.
4
Analysis I
Carsten Sch¨
utt
WS 2014/15
13. Es sei q eine rationale Zahl. Dann setzen wir
Sq = {p 2 Q|p < q}.
(i) Zeigen Sie, dass Sq ein Dedekind Schnitt von Q ist.
(ii) Zeigen Sie, dass f¨
ur alle p, q 2 Q
Sp + Sq = Sp+q .
gilt.
(iii) Zeigen Sie, dass f¨
ur alle p 2 Q das additive Inverse
Sp von Sp
Sp = S p .
erf¨
ullt.
14. Welche der Folgen konvergieren in R und welche divergieren? Bestimmen Sie
die Grenzwerte, sofern diese existieren.
⇢
⇢
2 + 11n
2
(i)
(ii)
(iii) {2 ( 1)n }n2N
2
3n + 7 n2N
5n + 6 n2N
15. Welche der Folgen konvergieren in R, welche divergieren? Bestimmen Sie die
Grenzwerte, sofern diese existieren.
⇢
⇢ n
⇢
2n2 + n + 5
2 n!
n!
(i)
(ii)
(iii)
2
n+1
10n + 3n + 1000 n2N
n
10n n2N
n2N
16. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(i) Es sei {an }n2N eine Folge positiver, reeller Zahlen. Die Folge
8s
9
r
q
<
p =
a1 + a2 + · · · + an 1 + an
:
;
n2N
konvergiert genau dann in R, wenn es eine Zahl c > 0 gibt, so dass f¨
ur alle n 2 N
n
die Ungleichung an  c(2 ) gilt.
(ii) Wenn es ein x 2 R gibt, so dass f¨
ur alle i 2 N die Gleichung
ai = x, dann
q
konvergiert diese Folge f¨
ur x > 0 und der Grenzwert ist 12 + x + 14 .
5
(Dieses Beispiel steht im Skript und muss nicht schriftlich bearbeitet werden.
Das Beispiel soll durchgearbeitet werden und Sie sollen in der Lage sein, es an der
Tafel vorzurechnen. Beachten Sie, dass einige Beweisschritte im Skript weggelassen
wurden.)
Felix Bernstein wurde am 14. Februar 1878 in Halle an der Saale geboren, er
starb am 3. Dezember 1956 in Z¨
urich. Er lehrte in G¨ottingen. Er gr¨
undete 1918
in G¨ottingen das Institut f¨
ur mathematische Statistik. 1919 wurde er zum Reichskommissar f¨
ur Anleihen ernannt.1924 kl¨arte er mittels statistischer Analyse den
AB0-Blutgruppen Erbgang. 1934 wurde ihm von den Nazis der Lehrstuhl entzogen
und er emigrierte in die USA.
Nur die 1-Fach Bachelor Studenten sind verpflichtet, die letzte Aufgabe zu bearbeiten.
Abgabe: Mittwoch, 3.12.2014 um 8:15.
6
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