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Mathematik für E2D WS 14/15 ¨Ubungsblatt B.3 03.11.2014 1

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Hochschule f¨
ur angewandte Wissenschaften Augsburg
Fakult¨
at Allgemeinwissenschaften
Mathematik fu
¨ r E2D
WS 14/15
¨
Ubungsblatt
B.3
03.11.2014
Prof. Dr. Holger Schmidt
holger.schmidt@hs-augsburg.de
1. Aufgabe
Betrachten Sie die beiden Funktionen
f : R → (0, 1],
f (x) =
x2
1
+1
1
x
(a) Begr¨
unden Sie, dass sowohl die Komposition h1 = f ◦ g als auch h2 = g ◦ f dieser
beiden Funktionen gebildet werden kann.
(b) Bestimmen und skizzieren Sie die beiden Funktionen h1 (x) und h2 (x). Geben Sie
jeweils den Definitionsbereich und den Wertebereich an.
g : R \ {0} → R \ {0},
g(x) =
2. Aufgabe
Betrachten Sie die Funktion f : R → (0, 1] mit
1
f (x) = 2
x +1
(a) Ist f auf dem gesamten Definitionsbereich R injektiv und damit umkehrbar?
(b) Auf welchen Bereichen ist die Funktion injektiv? Bestimmen Sie auf diesen Bereichen die Umkehrfunktion f −1 (x) und geben Sie Definitions- und Wertemenge
an.
(c) Skizzieren Sie auf dem Bereich {x ∈ R|x ≥ 0} die Funktion f und Ihre Umkehrfunktion f −1 .
3. Aufgabe
Betrachten Sie die folgenden Funktionen
(a) f : R → R,
f (x) = x + 10
(b) f : R → R,
f (x) =
1
x
(a) Bestimmen Sie jeweils die Umkehrfunktion.
(b) Zeigen Sie graphisch, dass die Umkehrfunktion durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden hervorgeht.
4. Aufgabe
Betrachten Sie die Funktion f und Ihre zugeh¨orige Umkehrfunktion f −1 mit
√
1
1−x
−1
−1
f : [0, ∞) → (0, 1], f (x) = 2
f : (0, 1] → [0, ∞), f (x) =
x +1
x
−1
−1
Zeigen Sie, dass f (f (x)) = x und f (f (x)) = x gilt.
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Bildung
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