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02 - Universität Potsdam

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¨
Ubung
02
Universit¨at Potsdam
WS 2014
Institut f¨
ur Physik und Astronomie
Dr. P. Fr¨
ubing
http://canopus.physik.uni-potsdam.de/teaching/Festk¨
orperphysik MA.shtml
¨
Ubungen
zu Festk¨
orperphysik II
(Dr. K. Habicht)
Thema: N¨aherungen schwach und stark gebundener Elektronen, Brillouin-Zonen, FermiFl¨achen
Aufgaben
1. Die N¨aherung fast freier Elektronen in einem schwachen periodischen Potential (Blochsche
N¨aherung) ist recht gut f¨
ur die Beschreibung der elektronischen Struktur der Metalle geeignet.
F¨
ur Isolatoren, in denen die Elektronen an die Atome gebunden sind, ist dieser Ansatz jedoch
nicht sinnvoll, hier erweist sich der Ansatz stark gebundener Elektronen (“tight binding”)
als angemessen. Stellen Sie beide Ans¨atze gegen¨
uber (Ansatz f¨
ur die Schr¨odinger-Gleichung,
Eigenfunktionen, Entstehung der B¨ander).
2. Energiedispersion, Brillouin-Zonen, Fermi-Fl¨achen
(a) Skizzieren Sie die Energiedispersion E(k) eines eindimensionalen Elektronengases im
konstanten Potential (freies Elektronengas) in der 1. bis 3. Brillouin-Zone in ausgedehnter und reduzierter Darstellung.
(b) Konstruieren Sie das ausgedehnte (Brillouin-)Zonenschema des quadratischen Gitters
mit der Gitterkonstante a. Markieren Sie die “F¨
ullung” der Brillouin-Zonen f¨
ur die
Fermi-Wellenvektoren kF = 0.75π/a, kF = 1.25π/a und kF = 1.75π/a. Konstruieren
Sie auch das zugeh¨
orige reduzierte Zonenschema mit den entsprechenden Fermi-Fl¨achen
(hier Fermi-Kurven).
(c) Was ¨
andert sich an diesen Darstellungen, wenn an Stelle des freien Elektronengases ein
Elektronengas in einem schwachen periodischen Potential betrachtet wird? Skizzieren
Sie die Situation f¨
ur kF = 1.75π/a und begr¨
unden Sie Ihre Darstellung.
3. Berechnen Sie die Abst¨
ande der Fermi-Kugel zum Rand der 1. Brillouin-Zone f¨
ur Kupfer (fccGitter, Gitterkonstante a) in [111]- und [100]-Richtung. Nehmen Sie dazu an, daß der Radius
der Fermi-Kugel dem Radius der Fermi-Kugel freier Elektronen entspricht. Was erwarten Sie
hinsichtlich der Gestalt der Fermi-Fl¨ache insbesondere bei Metallen, bei denen diese Abst¨
ande
relativ gering sind?
Kupfer ist ein einwertiges Metall, die Zahl der Elektronen im Leitungsband ist gleich der
Zahl der Gitteratome.
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Gesundheitswesen
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