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Institut für
mathematische
Statistik
Übungen zur Vorlesung Stochastik1 im Wintersemester 2014/15
Dereich/Biehler
Blatt 01
Bitte geben Sie keine Schmierzettel ab sondern möglichst vollständige Lösungen in ganzen Sätzen.
Heften Sie mehrere Blätter zusammen und vergessen Sie nicht, auf jedem Lösungsblatt Ihre(n) Namen und Ihre Übungsgruppe anzugeben.
Abgabe: 17. Oktober 2014
Besprechung: 23. und 24. Oktober 2014
THEMEN: σ-Algebren und erste Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 1.1
(5 Punkte)
Sei F eine σ-Algebra über Ω = ∅. Folgern Sie aus den in Definition 1.2 genannten Axiomen und
den für Mengen geltenden Rechenregeln, dass
(i) ∅ ∈ F,
(ii) A, B ∈ F =⇒ A ∩ B, A∆B, A \ B sind in F,
(iii) A1 , A2 , · · · ∈ F =⇒
n∈
◆ An ∈ F.
Aufgabe 1.2
(5 Punkte)
In einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) seien drei Ereignisse E1 , E2 und E3 gegeben.
(i) Beschreiben Sie die folgenden umgangssprachlich formulierten Ereignisse mengentheoretisch:
A
B
C
D
=
ˆ
=
ˆ
=
ˆ
=
ˆ
Mindestens eines der Ereignisse tritt ein.
Keines der Ereignisse tritt ein.
Nur E3 , aber keines der anderen Ereignisse tritt ein.
Genau eines der Ereignisse tritt ein.
(ii) Bestimmen Sie mittels der Rechenregeln aus Satz 1.6 die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
1
, P(E2 ) = P(E3 ) = 52 ,
A, B und C für den Fall, dass E1 ⊂ (E2 ∩ E3 ) und P(E1 ) = 10
1
P(E2 ∩ E3 ) = 5 gilt.
(Bitte wenden.)
1
Die Übungsaufgaben und weitere Informationen zur Vorlesung finden sie im Learnweb sowie auf der Internetseite:
http://wwwmath.uni-muenster.de/statistik/lehre/WS1415/Stochastik
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Institut für
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Übungen zur Vorlesung Stochastik im Wintersemester 2014/15
Dereich/Biehler
Blatt 01
Aufgabe 1.3
(5 Punkte)
Sei Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und F eine σ-Algebra über Ω. Zeigen Sie mit den Ergebnissen aus Aufgabe
1.1 und den in Definition 1.2 genannten Axiomen:
(i) Wenn F die Mengen {1, 2, 3}, {2, 4} und {3, 5} enthält, dann enthält F auch jede einelementige
Teilmenge von Ω.
(ii) Die kleinste σ-Algebra F, welche die Mengen {1, 2} und {3, 4} enthält, besteht aus acht
Elementen und enthält keine einelementige Teilmenge von Ω.
Aufgabe 1.4
(5 Punkte)
Sei (Ω, F) ein messbarer Raum, wobei Ω abzählbar ist. Eine Menge A = ∅ heißt Atom von F, falls
B ∈ F, B
A =⇒ B = ∅.
Zeigen Sie:
(i) Die Atome von F sind paarweise disjunkt.
(ii) Jedes Element von F lässt sich als abzählbare Vereinigung von Atomen darstellen.
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