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Blatt 1 - Institut für Mathematik - Johannes Gutenberg-Universität

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Funktionentheorie - WiSe 2014/15
¨
1. Ubungsblatt:
30. Oktober 2014
Pr¨
asenzaufgabe 1:
Es sei a, b ∈ C. Was beschreibt die Gleichung Im
z−a
b−a
= 0 in der Gaußschen Zahlenebene?
Pr¨
asenzaufgabe 2:
Skizzieren Sie folgende Teilmengen der komplexen Zahlenebene.
(a)
{z ∈ C | |z + 1 + i| = |z − 3 − 3i|}
(b)
{z ∈ C | |z + i| + |z − i| = 6}
(c)
{z ∈ C | Im(z 2 ) ≤ 2}
(d)
π
{z ∈ C \ {i} | 0 < arg z+i
z−i < 4 }
Pr¨
asenzaufgabe 3:
Finden Sie jeweils alle z ∈ C, die die gegebene Gleichung l¨osen.
(a) z 2 − 2z + 3 = 0,
(b) z 2 − 2z + 1 = 0,
(c) z 3 + z = 0,
(d) z 5 = z.
Pr¨
asenzaufgabe 4:
Sei z, a ∈ C.
(a) Zeigen Sie: |1 − za|2 − |z − a|2 = (1 − |z|2 )(1 − |a|2 ).
(b) Folgern Sie: Ist |a| < 1, dann gilt
|z| < 1 ⇔
Aufgabe 1:
z−a
z−a
< 1 und |z| = 1 ⇔
= 1.
az − 1
az − 1
(4 Punkte)
Seien a, b ∈ C, a = b, und s ∈ R. Zeigen Sie, die Gleichung
|z − a| = s|z − b|,
s = 1,
beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt
m=
1
s2
a
−
b
1 − s2
1 − s2
und Radius
r=
s
|b − a|
|1 − s2 |
in der Gaußschen Zahlenebene.
Bitte wenden!
Aufgabe 2:
(4 Punkte)
Mit Hilfe der stereographischen Projektion σ aus der Vorlesung und deren Fortsetzung betrachten wir die Riemannsche Zahlenkugel. Auf ihr definieren wir die chordale Metrik
χ(z, w) = σ −1 (z) − σ −1 (w) , welche explizit gegeben ist durch
χ(z, ∞) = χ(∞, z) =
2
1 + |z|2
f¨
ur z = ∞ und χ(z, w) =
2|z − w|
1 + |z|2
1 + |w|2
f¨
ur z, w = ∞.
(a) Zeigen Sie: zwei Punkte auf x, y ∈ S 2 , x, y = N sind genau dann antipodal, wenn ihre
ullen.
Projektionen a und b die Bedingung ab = −1 erf¨
(b) Es sei (zn ) eine Folge in C und z ∈ C. Zeigen Sie: zn → z genau dann, wenn χ(zn , z) → 0
f¨
ur n → ∞.
Aufgabe 3:
(4 Punkte)
Sei f (z) eine in einem Gebiet G holomorphe Funktion. Zeigen oder widerlegen Sie
(a) f (z) ist holomorph in G := {z = a − ib | z = a + ib ∈ G},
(b) f (z) ist holomorph in G,
(c) f (z) ist holomorph in G.
Aufgabe 4:
(4 Punkte)
Pr¨
ufen Sie, wo die Funktion f komplex differenzierbar ist
(a) f : C → C, f (z) = Re(z)
z+i
(b) f : C \ {i} → C, f (z) =
z−i
(c) f : C → C, f (z) =
z/z, falls z = 0
1,
sonst
(d) f : C → C, f (x + iy) = xy + ixy
(e) f : C → C, f (x + iy) = x3 y 2 + ix2 y 3
(f) f : C \ {x + iy ∈ C | x = 0} → C, f (x + iy) =
1
2
log(x2 + y 2 ) + i arctan(y/x)
¨
Die Pr¨
asenzaufgaben sind f¨
ur die erste Ubung
soweit vorzubereiten, dass Sie an deren
Besprechungen aktiv teilnehmen k¨
onnen.
Abgabe (der nicht-Pr¨
asenzaufgaben): Freitag 7. November 2014 in die Abgabek¨
asten
im 4. Stock.
Prof. Dr. M. Hanke-Bourgeois · M. Sc. B. M¨uller
Institut
f¨ur
Mathematik,
Johannes
Gutenberg-Universit¨at
Mainz,
http://www.mathematik.uni-mainz.de/FTWS1415
D-55099
Mainz
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