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2. Rahmen und Bogen - Prof. Dr. Johannes Wandinger

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2. Rahmen und Bogen
●
●
●
●
14.10.14
Gekrümmte Balken werden als Bogen bezeichnet.
Rahmen sind Tragwerke, die aus starr verbundenen geraden Balken oder Bogen zusammengesetzt sind.
Die Schnittlasten können wie bei geraden Balken aus
Gleichgewichtsbetrachtungen am geschnittenen System
ermittelt werden.
Die Differenzialbeziehungen zwischen Streckenlast,
Querkraft und Biegemoment gelten nur für gerade Balkenabschnitte.
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
TM 1 4.2-1
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
●
Beispiel: Rahmen
–
Gegeben:
●
–
F
a, F, q0 = F/a
Gesucht:
●
Lagerkräfte
●
Schnittlasten
a
q0
C
D
E
A
a
B
a
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
2a
TM 1 4.2-2
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
–
Lagerkräfte:

F
∑M
B
=0 :
3 a F−2 a Az + 2 q 0 a 2 =0
3
5
→ Az = F +q 0 a= F
2
2
∑ F x =0
: B x −2 q 0 a=0
→ B x =2 q 0 a=2 F
a
C
D
E
2q0 a
A
x
Az
a
B
z
a
2a
Bx
Bz
3
∑ F z =0 : F− Az + B z =0 → B z = Az − F= 2 F
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
TM 1 4.2-3
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
–
Koordinatensysteme:
●
●
Jeder Balken hat sein
eigenes Koordinatensystem.
Die xk-Achse zeigt in
Balkenrichtung und die
zk-Achse nach rechts.
●
Balken CE: System 1
●
Balken EB: System 2
●
Balken DA: System 3
Prof. Dr. Wandinger
C
x1
z1
4. Schnittlasten bei Balken
z3
D
x3
E
z2
x2
A
B
TM 1 4.2-4
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
–
Schnittlasten:
●
Balken CE, Bereich CD:
∑ F x 1=0
0< x1 <a
: N ( x 1 )=0
∑ F z 1 =0 : F +Q z ( x 1)=0
→ Qz ( x 1 )=−F

F
X
My
C
z1
N
x1
Qz
∑ M =0 : M y ( x 1)+ x 1 F =0 → M y ( x1)=−x1 F
X
M y (0)=0 , M y (a)=−a F
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
TM 1 4.2-5
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
●
Balken CE, Bereich DE: a< x1 <3 a
∑ F x 1 =0
: N ( x 1 )=0
∑ F z 1 =0
: F − A z +Q z ( x 1 )=0
3
→ Qz ( x 1 )= A z −F = F
2
C
a

F
x1
z1
∑ M X =0
:
x 1 F −( x 1 −a ) A z +M y ( x 1 )=0
My
N
D X
Qz
A
a
Az
3
5
→ M y ( x 1 )=−a A z + ( A z −F ) x 1= x 1 F − a F
2
2
3 5
9 5
M y (a)= − a F =−a F , M y (3 a)= − a F =2 a F
2 2
2 2
( )
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
( )
TM 1 4.2-6
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
●
Balken EB: 0< x 2 <2 a
∑ F x 2 =0
: −N ( x 2 )+ B z =0
3
→ N ( x 2 )=B z = F
2
∑ F z 2=0
z2
: −Q z ( x 2 )+q 0 ( 2 a−x 2 )−B x =0
x2
→ Qz ( x 2 )=−B x +q 0 ( 2 a−x 2 ) =−F
a
Q z (0)=0 , Q z (2 a)=−2 F
E
x2
My
2a
N
Qz
X
q0
B
Bz
Bx
1
2
X
M
=0
:
−M
(
x
)+
2
a−x
B
−
q
2
a−
x
∑
(
y
2
2) x
0(
2 ) =0
2
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
TM 1 4.2-7
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
→ M y ( x 2 )=( 2 a−x 2 )
[
1
1 x2
B x − q 0 ( 2 a−x 2 ) =( 2 a−x 2 ) F 1+
2
2 a
]
(
)
M y (0)=2 a F , M y (2 a)=0
●
Balken DA: 0< x 3 <a
∑ F x 3 =0
: −N ( x 3 )− A z =0
5
→ N ( x 3 )=−A z =− F
2
∑ F z 3=0
→ Q z ( x 3 )=0
∑ M =0 → M y ( x 3)=0
X
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken

z3
D
x3
N
a
My
A
X
Qz
Az
TM 1 4.2-8
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
Qz
-F
My
3F/2
+
+
2aF
-
-
-aF
+
N
2F
+
-5F/2
3F/2
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
TM 1 4.2-9
2. Rahmen und Bogen
–
14.10.14
Beobachtungen:
●
●
An den Verbindungsstellen der Balken sind Normalkraft und
Querkraft unstetig.
Das Biegemoment ist stetig.
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
TM 1 4.2-10
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
●
Beispiel: Bogen
F
r
A
–
Gegeben:
B
α
–
Gesucht:
●
r, F
●
Lagerkräfte
●
α = 30°
●
Schnittlasten
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
TM 1 4.2-11
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
–
Lagerkräfte:
∑ F x =0

: F − A x =0
x
F
→ A x =F
z
Ax
∑M
A
B
α
A
=0 :
2 r B z −F r sin(α)=0
r
Az
Bz
1
1
1
→ B z = F sin(α)= sin(30 ° )= F
2
2
4
1
∑ F z=0 : Az−B z=0 → Az=B z = 4 F
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
TM 1 4.2-12
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
–
Koordinatensystem:
●
●
●
●
t
Es wird ein mitlaufendes
Koordinatensystem verwendet.
Die s-Koordinate wird
entlang des Bogens
gemessen.
Die t-Achse ist tangential zur Bogenachse.
Die n-Achse steht senkrecht auf der t-Achse
und zeigt nach rechts.
Prof. Dr. Wandinger
n
s
r
φ
A
n
B
s=r ϕ
●
4. Schnittlasten bei Balken
Die y-Achse zeigt aus
der Zeichenebene heraus
TM 1 4.2-13
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
–
Schnittlasten:
●
●
●
●
Die Normalkraft N zeigt in Richtung
der t-Achse.
Die Querkraft Qn zeigt in Richtung der
n-Achse.
Das Moment My dreht um die y-Achse.

N
F
Qn
s
A
t
My
n
φ
n
Am positiven Schnittufer zeigen positive Schnittlasten in positive Koordinatenrichtungen.
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
TM 1 4.2-14
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
●
0<ϕ<30 °
Bereich 1:
∑ F t =0
My
:
N (ϕ)− A z cos (ϕ)− A x sin(ϕ)=0
)
(
∑ M X =0

N
X
1
→ N (ϕ)= cos(ϕ)+sin(ϕ) F
4
∑ F n=0 :
Qn (ϕ)+ A z sin(ϕ)− A x cos(ϕ)=0
1
→ Qn (ϕ)= cos(ϕ)− sin (ϕ) F
4
(
t
Qn
Ax
n
φ
φ
r
Az
)
: M y (ϕ)+ ( 1−cos(ϕ) ) r A z −r sin(ϕ) A x =0
1
→ M y (ϕ)= sin(ϕ)+ ( cos (ϕ)−1 ) r F
4
(
Prof. Dr. Wandinger
)
4. Schnittlasten bei Balken
TM 1 4.2-15
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
●
Bereich 2: 30 ° <ϕ<180 °
∑ F t =0
:
−N (ϕ)−B z cos (ψ)=0
F
F
→ N (ϕ)=− cos (ψ)= cos (ϕ)
4
4
∑ F n=0 :
−Qn (ϕ)−B z sin( ψ)=0
F
F
→ Qn (ϕ)=− sin(ψ)=− sin(ϕ)
4
4
∑ M X =0

Qn
N
My
X
t
n
φ
ψ
B
r
ψ
Bz
ψ=180 °−ϕ
: −M y (ϕ)+ ( 1−cos( ψ) ) r B z =0
1
1
→ M y (ϕ)= ( 1−cos ( ψ) ) r F= ( 1+cos(ϕ) ) r F
4
4
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
TM 1 4.2-16
2. Rahmen und Bogen
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
14.10.14
TM 1 4.2-17
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
●
Beispiel: Rahmen
q0
A
B
a
C
a
2a
–
Gegeben:
●
a, q0
Prof. Dr. Wandinger
–
Gesucht:
●
4. Schnittlasten bei Balken
Schnittlasten
TM 1 4.2-18
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
–
Lagerkräfte:
Ax
A
Az
a

2q0 a
s
B
x
n
z
C
a
a
a
Cz
2
∑ M =0 : −a⋅2 q 0 a +3 a C z =0 → C z= 3 q 0 a
A
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
TM 1 4.2-19
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
∑ F x =0
: A x =0
4
F
=0
:
−
A
+2
q
a−C
=0
→
A
=2
q
a−C
=
q0 a
∑ z
z
0
z
z
0
z
3
–
Schnittlasten:
●
Bereich AB:
∑ F s=0
0<s1 <2 a
: N ( s1 )=0
q
My
0
A
s1
Az
∑ M =0 :
1
2
−s1 A z + q 0 s 1 + M y ( s1 )=0
2
∑ F n=0
2
s
s
4 1 1 1
2
→ M y ( s)=
−
q
a
3 a 2 a2 0
(
Prof. Dr. Wandinger
Qn
n1
X
)
4. Schnittlasten bei Balken
N
X
s1
:
− A z +q 0 s1 +Q n ( s1 )=0
4 s1
→ Qn (s1 )= − q 0 a
3 a
(
)
TM 1 4.2-20
14.10.14
2. Rahmen und Bogen
●
Bereich BC:
∑ F t =0
0<ϕ<π /2
: −N (ϕ)−C z sin(ϕ)=0

2
→ N (ϕ)=− q 0 a sin(ϕ)
3
∑ F n=0
: −Q n (ϕ)−C z cos (ϕ)=0
2
→ Qn (ϕ)=− q 0 a cos (ϕ)
3
∑ M =0 : −M y (ϕ)+a ( 1−sin(ϕ)) C z =0
X
2
2
→ M y (ϕ)= ( 1−sin(ϕ) ) q 0 a
3
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
N
s2
φ
Qn
My
X
t2
n2
ϕ
C
Cz
a
s2
ϕ=
a
TM 1 4.2-21
2. Rahmen und Bogen
Prof. Dr. Wandinger
4. Schnittlasten bei Balken
14.10.14
TM 1 4.2-22
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