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2. Serie

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Wintersemester 2014/2015
JProf. Dr. H. Kempka
¨
UBUNGEN
ZUR VORLESUNG VEKTORANALYSIS
2. Serie
Die Aufgaben werden in der Woche vom 03.11.2014 bis zum 07.11.2014 bearbeitet.
Aufgabe 1:
Verwenden Sie Polarkoordinaten zur Berechnung:
1 − x2 − y 2 d(x, y), wobei B dem Einheitskreis entspricht;
(a)
B
2
x
(b)
f(
0
x2 + y 2 )dydx.
0
Aufgabe 2: Zwei kreuzende Zylinder
Berechnen Sie mit Hilfe eines Raumintegrales das Volumen des K¨orpers, der durch die Fl¨achen x2 +y 2 = a2
und x2 + z 2 = a2 begrenzt wird.
orper
Aufgabe 3: Vivianischer K¨
Berechnen Sie das Volumen des K¨
orpers, der von der Kugel x2 + y 2 + z 2 ≤ 4a2 aus dem Zylinder
2
2
x + y ≤ 2ax herausgeschnitten wird.
Aufgabe 4:
Man berechne
f (x, y, z)d(x, y, z) f¨
ur:
B
(a) f (x, y, z) = xyz und B ⊂ {(x, y, z) : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} begrenzt durch z 2 = x2 + y 2 und
x2 + y 2 + z 2 = 8.
2
2
2
(b) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 und den Bereich B, der von xa2 + yb2 = zc2 und z = c mit a, b, c > 0
berandet wird.
Aufgabe 5:
Berechnen Sie die Masse des K¨
orpers B = {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ a2 , 0 ≤ z ≤ h}, wenn die Dichte
2
2
(x, y, z) = ex +y entspricht.
Aufgabe 6:
Berechnen Sie die Ladung des Ellipsoids mit Halbachsen a, b, c > 0, wenn die Ladungsdichte gleich
(x, y, z) = 1 −
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2
a2
b
c
ist.
2
Aufgabe 7:
Leiten Sie die Formel f¨
ur die Masse M und den Schwerpunkt S eines K¨orpers B ab:
1
x (x)dx.
M=
(x)dx,
S=
M
B
B
Rechnen Sie den Schwerpunkt eines Kegels mit H¨ohe h und Radius R aus.
Aufgabe 8:
Berechnen Sie das Massentr¨
agheitsmoment f¨
ur einen Hohlzylinder und einen Kegelstumpf, wenn beide
um ihre Symmetrieachse rotieren und jeweils homogene Massenverteilung haben (Dichte konstant).
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Gesundheitswesen
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