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Einführung in die Numerik - Goethe-Universität

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Dr. Janosch Rieger
Sebastian Becker
Fachbereich Mathematik
Goethe-Universit¨at
Frankfurt am Main
Wintersemester 2014/15
Einf¨
uhrung in die Numerik
¨
Ubungsblatt
2
Abgabe 31.10.2014
Aufgabe 1. (6 Punkte)
Experimentieren Sie mit dem folgenden aus der Vorlesung bekannten Beispiel:
Man berechne die L¨
osung F (p, q) = −p + p2 + q der quadratischen Glei2
chung t + 2pt − q = 0 am Computer unter Verwendung der beiden im Skript
angegebenen Algorithmen. Testen Sie diese auf dem Streifen {(p, q) : q = 1}
f¨
ur geschickt gew¨
ahlte p ∈ R. Bestimmen Sie durch eine Probe, welcher der
Algorithmen an einem Punkt der bessere ist. (Vernachl¨
assigen Sie dabei die
Rundungsfehler, die beim Durchf¨
uhren der Probe auftreten.)
Aufgabe 2. (6 Punkte)
Berechnen Sie die komponentenweise Konditionszahl κ(F, x) f¨
ur die folgenden
Auswertungsprobleme:
√
(i) x (x > 0),
(ii)
x1
x2
(x2 = 0),
n
(iii) F (x) =
i=1
xi xn+i , x ∈ R2n (inneres Produkt).
Geben Sie einen Algorithmus zur Auswertung von F an, der gutartig ist.
Das Problem liegt dabei darin, dass in den Einzelschritten Ausl¨
oschung
auftreten kann (z. B. x1 xn+1 + x2 xn+2 ≈ 0), obwohl κ(F, x) nicht groß
ist. Nehmen Sie f¨
ur Ihren Algorithmus an, dass Sie f¨
ur positive Zahlen
yj > 0, j = 1, . . . , k eine Gleitkommaoperation
haben mit
yj =
j
j
yj (1 + ǫ), |ǫ| ≤ ∆
(Maschinengenauigkeit) .
Aufgabe 3. (6 Punkte)
Seien · a , · b , · c Normen auf Rk , Rn , Rm . Zeigen Sie f¨
ur die zugeordneten
Matrixnormen:
(i)
AB
a,c
≤
A
b,c
· B
a,b
f¨
ur A ∈ Rm,n , B ∈ Rn,k .
(ii) Die komponentenweise Konditionszahl κ(F, x) und die Normkondition
κ(F, x) sind submultiplikativ, d. h. f¨
u r G : Rk → Rn , F : Rn → Rm
gilt
κ(F ◦ G, x)
κ(F ◦ G, x)
≤
≤
κ(F, G(x)) κ(G, x),
κ(F, G(x)) κ(G, x).
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