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Algebraische Zahlentheorie II

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Freitag, 31. Oktober 2014
Algebraische Zahlentheorie II
— Blatt 3 —
Aufgabe 1
(a) Bestimmen Sie f¨
ur das Element
und R = {0, 1, 2} ist.
19
75
∈ Q3 eine Reihenentwicklung wie in Lemma 3.11, wobei π = 3
(b) Beweisen Sie durch vollst¨
andige Induktion u
¨ber n ∈ N, dass eine Folge (an )n∈N ganzer Zahlen
existiert mit der Eigenschaft, dass a2n ≡ 2 mod 7n und an+1 ≡ an mod 7n f¨
ur alle n ∈ N erf¨
ullt
ist.
(c) Schließen Sie aus Aufgabenteil (b), dass das Polynom x2 − 2 in Q7 eine Nullstelle besitzt.
(d) Entscheiden Sie, ob −1 in Q2 eine Quadratwurzel besitzt.
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass der K¨
orper Q3 nicht isomorph zum K¨orper R der reellen Zahlen ist.
Aufgabe 3
Sei p eine Primzahl und a ∈ Qp ein Element mit einer Reihenentwicklung der Form
∞
a
an pn
=
,
an ∈ {0, ..., p − 1}
f¨
ur alle
n ∈ N.
n=0
Wir bezeichnen die Entwicklung als im wesentlichen periodisch, wenn ein s ∈ N0 und ein k ∈ N existieren,
so dass an = an+k f¨
ur alle n ≥ s erf¨
ullt ist. Sei außerdem Z(p) ⊆ Q die Lokalisierung von Z bez¨
uglich der
Primzahl p. Beweisen Sie, dass a genau dann in Z(p) liegt, wenn die Entwicklung von a im wesentlichen
periodisch ist.
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Gesundheitswesen
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