close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Aufgabenblatt 3 - Mathematisches Institut

EinbettenHerunterladen
✓
Mathematisches Institut
der Universität München
✏
Stochastische Prozesse
Übungsblatt 3
✒
Prof. Dr. Franz Merkl
WS 2014/15
✑
Aufgabe 9
Es seien Xn , n ∈ N, unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen. Wir definieren
rekursiv:
Y0 := 0,
Yn := Yn−1 + Xn 1{Yn−1 ≥0} + sign(Xn ) 1{Yn−1 <0} ,
n ∈ N,
wobei sign(Xn ) := 1{Xn >0} − 1{Xn <0} das Vorzeichen von Xn bezeichne. Zeigen Sie:
L
Y
√n
n
w
−−−→ N (0, 1).
n→∞
Aufgabe 10
Sei (Xn )n∈N0 ein Martingal bezüglich einer Filtration (Fn )n∈N0 . Die Zuwächse von (Xn )n∈N0
seien beschränkt, d.h. es existiere eine Konstante C > 0, so dass |Xn − Xn−1 | ≤ C für alle
n ∈ N gilt. Für n ∈ N definieren wir
σn2 := Var(Xn |Fn−1 ),
n
Σ2n
σk2 .
:=
k=1
Es gelte Σ2n −−−→ ∞ P -fast sicher. Für k ∈ N definieren wir weiter
n→∞
Tk := max n ∈ N : Σ2n ≤ k .
Zeigen Sie:
L
XTk
√
k
w
−−−→ N (0, 1).
k→∞
Aufgabe 11
Definition: Sei d ∈ N. Für ein endliches Maß µ auf (Rd , B(Rd )) heißt die Funktion
µ
ˆ : Rd → C,
eit·x µ(dx),
µ
ˆ(t) :=
Rd
die (mehrdimensionale) Fouriertransformierte von µ.
Beweisen Sie die Umkehrformel für die mehrdimensionale Fouriertransformierte: Ist µ ein
endliches Maß auf (Rd , B(Rd )) mit integrierbarer Fouriertransformierter µ
ˆ, d.h. Rd |ˆ
µ(t)| dt <
∞, so besitzt µ die Dichte
Rd
x→
1
(2π)d
bezüglich des d-dimensionalen Lebesguemaßes.
e−it·x µ
ˆ(t) dt
Rd
Aufgabe 12
Es sei B := (Bt )t∈R+ ein stochastischer Prozess mit stetigen Pfaden und B0 = 0. Ferner seien
0
B und (Bt2 − t)t∈R+ Martingale bezüglich einer Filtration (Ft )t∈R+ . Zeigen Sie: B ist eine
0
0
standard Brownsche Bewegung.
Hinweis: Wenden Sie den Zentralen Grenzwertsatz für Martingale auf den geeignet gestoppten
Prozess B an.
Lösungen zu diesem Blatt können nicht korrigiert werden und müssen deshalb nicht im
Übungskasten abgegeben werden.
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
5
Dateigröße
185 KB
Tags
1/--Seiten
melden