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Einführung in die Numerik - Goethe-Universität

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Dr. Janosch Rieger
Sebastian Becker
Fachbereich Mathematik
Goethe-Universit¨at
Frankfurt am Main
Wintersemester 2014/15
Einf¨
uhrung in die Numerik
¨
Ubungsblatt
4
Abgabe 14.11.2014
Aufgabe 1. (6 Punkte)
Untersuchen Sie mit Hilfe des Computers das Verhalten der numerischen Differentiation am Beispiel
f (t) = sin(1/t),
t > 0.
Differenzieren Sie f an den Stellen
1 −j
10 , j = 0, . . . , 7
tj =
2π
durch Bildung vorw¨
arts genommener und zentraler Differenzenquotienten f¨
ur
verschiedene h und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit der analytisch berechneten Ableitung (Tabelle erstellen). Lesen Sie an den einzelnen Stellen tj f¨
ur
beide Verfahren die optimale Schrittweite hj ab und vergleichen Sie diese mit
den theoretischen Resultaten aus Kapitel 5.3 im Skript.
Aufgabe 2. (6 Punkte)
Sei
m
wj f (tj ),
ℓ(f ) =
f :R→R
j=0
die interpolatorische Differentiationsformel f¨
ur f ′ (0) zu den paarweise verschiedenen St¨
utzstellen tj , j = 0, . . . , m.
Man zeige:
(i) Liegen die St¨
utzstellen symmetrisch zur 0, d. h.
tm−j = −tj ,
j = 0, . . . , m,
so gilt wj = −wm−j f¨
ur j = 0, . . . , m.
(ii) Ist zus¨
atzlich m ungerade, so differenziert ℓ(f ) Polynome bis zum Grad
m + 1 exakt, d. h.
ℓ(f ) = f ′ (0) ∀f ∈ Pm+1 .
Aufgabe 3. (6 Punkte)
Bestimmen Sie die Koeffizienten der interpolatorischen Differentiationsformel
l4,2 (f ) f¨
ur f ′′ (t¯) zu den Knoten
t¯ − 2h, t¯ − h, t¯, t¯ + h, t¯ + 2h,
wobei h > 0 die Schrittweite bezeichne. Berechnen Sie ein m¨
oglichst großes p,
so dass sich der Fehler f¨
ur hinreichend oft stetig differenzierbares f wie O(hp )
verh¨
alt. Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass p sich nicht vergr¨
oßern l¨
aßt.
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