close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

3

EinbettenHerunterladen
3
S ka l ar e
Dif fe r en z ia lglei chu nge n
Differenzialgleichungen stellen eine Beziehung her zwischen einer oder
mehreren Funktionen und ihren Ableitungen. Da Ableitungen Veränderungen
beschreiben, modellieren Differenzialgleichungen ganz allgemein das Veränderungsverhalten von Systemen.
Wir beschränken uns hier auf den einfachsten Fall einer skalaren Größe y ,
die nur von einer unabhängigen Variablen abhängt:
x , y(x).
Eine Differenzialgleichung betrifft in diesem Fall die Größe y und endlich viele
ihrer Ableitungen y 0 , y 00 , . . . Beschränken wir uns auch hier auf den einfachsten
Fall, so haben wir es mit Differenzialgleichungen erster Ordnung zu tun, die nur
x, y, y 0 involvieren und daher von der allgemeinen Form
G(x, y, y 0 ) = 0
sind. Am einfachsten sind solche Gleichungen in expliziter Form,
y 0 = g(x, y),
und nur solche wollen wir jetzt betrachten.
Die hier verwendete Notation ist die mathematische Notation. In der wird
x als Zeit betrachtet und mit t bezeichnet. Die abhängige Variable ist dann x ,
˙ x,
¨ . . bezeichnet. Die letzte
und ihre Ableitungen nach der Zeit t werden mit x,
Gleichung lautet dann
y 0 = g(t, x).
26
3 — S k a la re D iffer e nz i alg le ic h u ng e n
3. 1
Gru n db eg ri f fe
Definition
heißt
Sei I ein Intervall, D ⇢ R offen, und g : I ⇥ D ! R stetig. Dann
y 0 = g(x, y),
(x, y) 2 I ⇥ D,
(1)
eine Differenzialgleichung erster Ordnung auf I ⇥ D . Eine Lösung dieser
Differenzialgleichung ist eine differenzierbare Abbildung f : J ! D mit
einem nichtleeren Intervall J ⇢ I , so dass
f 0 (x) = g(x, f (x)),
x 2 J.
œ
(2)
Bemerkungen a. Genauer handelt es sich um eine explizite skalare Differenzialgleichung erster Ordnung. Explizit, weil die Gleichung nach y 0 aufgelöst,
skalar, weil y eindimensional und reell ist, und erster Ordnung, da nur die
erste Ableitung y 0 auftritt.
b. Es wäre zu einschränkend zu verlangen, dass eine Lösung f auf dem
ganzen Intervall I erklärt ist. Sie kann zum Beispiel vorzeitig den Definitionsbereich D verlassen.
c. Die Notation in Gleichung (1) ist üblich und bequem, aber streng genommen inkonsistent, denn y ist ja ebenfalls eine Funktion von x . Konsequent
wären daher die punktweise Schreibweise y(x) = g(x, f (x, y)) – was lästig ist
– oder die funktionale Schreibweise y 0 = g( · , y) – was aber zum Beispiel bei
linearen Gleichungen verwirrend ist. «
Definition Die Differenzialgleichung (1) heißt autonom, wenn die Funktion g
nicht explizit von x abhängt, also von der Form
y 0 = g(y),
y 2 D,
ist. Andernfalls heißt die Gleichung nichtautonom. œ
Geometrisch betrachtet handelt es sich bei der rechten Seite der Differenzialgleichung (1) um ein Richtungsfeld. In jedem Punkt (x, y) 2 I ⇥ D schreibt
die Funktion g vor, welche Richtung oder Steigung die Tangente einer Lösung
einnimmt, falls sie durch diesen Punkt verläuft. Gleichung (2) verlangt genau
dies von einer Lösung f . In Abbildung 1 ist das Richtungsfeld durch kleine
Striche angedeutet.
Gr u n d b e g r i f f e — 3.1
Abb 1
27
Ein Richtungsfeld mit fünf Lösungskurven
y
x
Eine Betrachtung des Richtungsfeldes kann oft schon Aufschluss über die
Gestalt seiner Lösungskurven geben.
.Ò a. Die einfachste Differenzialgleichung ist sicherlich
y0 = 0
auf R ⇥ R . Jede Lösung ist konstant, jede Funktion f : x , c somit eine Lösung.
b. Die Gleichung
y 0 = g(x)
mit stetigem g : I ! R ist keine ›echte‹ Differenzialgleichung, da die rechte
Seite nicht von y abhängt. Das zugehörige Richtungsfeld ist somit invariant
unter Translationen in der y-Richtung. Ihre Lösungen kennen wir bereits, es
sind sämtliche Stammfunktionen von g . Diese unterscheiden sich nur durch
eine additive Konstante, gehen also durch vertikale Translation ineinander über
– siehe Abbildung 2.
c. Das einfachste und wichtigste Beispiel einer autonomen Differenzialgleichung ist das Wachstumsgesetz
y 0 = ay
28
3 — S ka l ar e Di ffere n z ia lgle i ch u n ge n
Abb 2
y
Ortsunabhängiges
Richtungsfeld
x
mit einem konstanten Koeffizienten a î 0 . Jede Lösung ist von der Form
f (x) = eax c,
c 2 R.
d. Abbildung 3 zeigt das Richtungsfeld der autonomen Differenzialgleichung
y 0 = (y
a)(y
b)
mit 0 < a < b . /
Die Beispiele zeigen, dass eine Lösung durch eine Differenzialgleichung
allein nicht eindeutig bestimmt wird. Das ist auch nicht überraschend, denn eine
solche Gleichung bestimmt ja nur deren Veränderungsverhalten, nicht aber ihre
absolute Position. Dazu bedarf es weiterer Daten, zum Beispiel eines Anfangswertes. Die Kombination beider Daten bezeichnet man als Anfangswertproblem.
Definition Unter einem zur Differenzialgleichung (1) gehörenden Anfangswertproblem versteht man das System
y 0 = g(x, y),
y(x0 ) = y0 ,
wobei (x0 , y0 ) 2 I ⇥ D . Eine lokale Lösung ist eine Lösung f : I0 ! D dieser
Differenzialgleichung mit
f (x0 ) = y0 ,
x0 2 I0 ⇢ I.
œ
Gr u n d b e g r i f f e — 3.1
Abb 3
29
y
Zeitunabhängiges
Richtungsfeld
x
Eine lokale Lösung ist also eine Lösung der Differenzialgleichung, die auf
einem kleinen Intervall I0 um die Anfangszeit x0 definiert ist und zu diesem
Zeitpunkt den Anfangswert y0 annimmt.
.Ò Wir greifen die vorangehenden Beispiele auf. Das Anfangswertproblem
y 0 = g(x),
y(x0 ) = c
hat die eindeutige Lösung
Zx
f (x) = c +
g(s) ds.
x0
Für das Anfangswertproblem
y 0 = ay,
y(x0 ) = y0
finden wir diese, indem wir die Gleichung eax0 c = y0 nach c auflösen. Wir
erhalten
f (x) = eax c = ea(x
x0 )
y0 .
/
Die allgemeine Theorie zeigt, dass ein Anfangswertproblem unter sehr
allgemeinen Bedingungen an die rechte Seite immer eine eindeutige lokale
Lösung besitzt. Dies gilt sogar für Systeme von Differenzialgleichungen, also
für Differenzialgleichungen im Rn .
30
3 — S k a la re D iffer e nz i alg le ic h u ng e n
3. 2
L i n ea re Di f fe re nzial gle ich unge n
Definition
Eine lineare Differenzialgleichung erster Ordnung ist von der Form
y 0 = a(x)y + b(x)
mit auf einem Intervall I stetigen Funktionen a und b . Sie heißt homogen,
falls b = 0 , andernfalls inhomogen. œ
Der homogene Fall
Wir lösen zuerst die homogene Gleichung y 0 = a(x)y . Dies ist nichts
anderes als ein zeitabhängiges Wachstumsgesetz, dessen Lösungen ebenfalls
durch Exponenzialfunktionen beschrieben werden.
1
Satz
Sei a stetig auf dem Intervall I . Dann ist die allgemeine Lösung von
y 0 = a(x)y
(3)
gegeben durch
f (x) = eA(x) c,
c 2 R,
(4)
mit einer beliebigen Stammfunktion A von a . Sie existiert auf ganz I . œ
Man nennt (4) auch die allgemeine Lösung der Gleichung (3), weil man jede
Lösung durch Wahl des Parameters c erhält.
hhhhh
Offensichtlich ist dies für jedes c eine Lösung, denn
f 0 = eA A0 c = eA ac = af .
Bleibt zu zeigen, dass jede Lösung von dieser Form ist. Nun, ist f eine beliebige
Lösung, dann gilt
(e
Also ist e
A
A
f )0 = e
A
f0
e
A
A0 f = e
A
af
e
A
af = 0.
f = c eine reelle Konstante, und die Behauptung folgt.
iiiii
.Ò a. Für konstantes a ist die allgemeine Lösung von y 0 = ay gegeben
durch
f (x) = eax c,
c 2 R.
L in e ar e D iffe r e nz i alg l e i c h u n g e n — 3.2
31
b. Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung
y0 =
y
,
x
ist
f (x) = c exp
x > 0,
✓ Zx
1
ds
s
◆
= c exp ( log x) =
c
.
x
/
Der inhomogene Fall
Wir betrachten nun die inhomogene lineare Differenzialgleichung
y 0 = a(x)y + b(x).
(5)
Wie bei inhomogenen linearen Gleichungssystemen auch, kann man diesen Fall
auf die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung plus einer einzelnen, oder
wie man sagt, partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung zurückführen.
2
Proposition Sei f0 eine partikuläre Lösung 1 der inhomogenen Gleichung (5).
Dann ist jede andere Lösung von (5) von der Form f0 + f mit einer Lösung
f der homogenen Gleichung (3). œ
hhhhh
Ist f0 eine partikuläre und f eine homogene Lösung, so ist
(f0 + f )0 = f00 + f 0 = af0 + b + af = a(f0 + f ) + b,
also f0 + f eine Lösung der inhomogenen Gleichung (5). Ist umgekehrt
irgendeine Lösung der inhomogenen Gleichung (5), so ist mit derselben Rechnung
f0 = f eine Lösung der homogenen Gleichung (3). iiiii
Es bleibt die Frage, wie man eine partikuläre Lösung findet. Hier hilft
die Idee der Variation der Konstanten 2 , die auf Lagrange zurückgeht: wenn
eA(x) c die homogene Gleichung löst, so löst sie vielleicht auch die inhomogene
Gleichung, wenn c sich in geeigneter Weise mit x ändert, also eine Funktion
von x wird. Dann ist auf der einen Seite
(eA c)0 = eA A0 c + eA c 0 = eA ac + eA c 0 .
Auf der anderen Seite soll diese Funktion die Differenzialgleichung erfüllen,
also
(eA c)0 = aeA c + b
1
2
Das heißt, irgendeine einzelne Lösung.
Dieser Begriff ist ein Widerspruch in sich, trifft die Sache aber genau.
32
3 — S k a la re D iffer e nz i alg le ic h u ng e n
gelten. Vergleich dieser beiden Gleichungen ergibt
c0 = e
A
b.
Diese Gleichung ist durch elementare Integration lösbar, denn die rechte Seite ist
bekannt. Ist also c0 eine Stammfunktion von e A b , so ist eA c0 eine partikuläre
Lösung der inhomogenen Gleichung.
Insgesamt erhalten wir damit folgendes Ergebnis.
3
Satz Die Funktionen a und b seien stetig auf dem Intervall I . Dann ist die
allgemeine Lösung von y 0 = a(x)y + b(x) auf ganz I erklärt und gegeben
durch
f (x) = eA(x) (c + c0 (x)),
c 2 R,
mit einer Stammfunktion A von a und einer Stammfunktion c0 von
e Ab . œ
Schreiben wir dies im Detail aus, so ergibt sich für die Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems folgendes Ergebnis.
4
Satz
Seien a und b stetig auf I . Dann besitzt das Anfangswertproblem
y 0 = a(x)y + b(x),
y(x0 ) = y0 ,
auf I die eindeutige Lösung
Zx
✓
f (x) = eA(x) y0 +
e
x0
A(s)
◆
b(s) ds ,
A(x) =
Zx
x0
a(s) ds.
œ
Bemerkung Diese Formel verwendet man allerdings eher für theoretische Untersuchungen. Praktisch löst man zuerst die homogene Gleichung und
konstruiert anschließend per Variation der Konstanten direkt eine partikuläre
Lösung. Das ist einfacher und weniger fehleranfällig. «
.Ò Betrachte die Differenzialgleichung
y 0 = 2xy + 2x 3 .
Eine Stammfunktion von 2x ist x 2 , die allgemeine Lösung lautet deshalb
Zx
✓
◆
2
2
f (x) = ex c + 2
e s s 3 ds ,
0
wobei wir von der Freiheit Gebrauch machen, eine uns bequeme Stammfunktion
zu wählen. Wertet man das Integral mittels Substitution s 2 = u und partieller
L in e ar e D iffe r e nz i alg l e i c h u n g e n — 3.2
Integration aus, so erhält man
Zx
Z x2
2
2
e s s 3 ds =
ue
0
0
u
du = 1
(x 2 + 1)e
x2
33
.
Also ist
2
f (x) = ex c
x2
1,
c 2 R,
wobei wir noch von der Freiheit Gebrauch machen, c +1 durch c zu ersetzen. /
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
6
Dateigröße
167 KB
Tags
1/--Seiten
melden