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1. ¨Ubungsblatt zur ” Mathematik 3 für Maschinenbauer“

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Prof. Dr. Michael Winkler
Jannik Sallen
Wintersemester 2014/2015
17.10.2014
¨
1. Ubungsblatt
zur
Mathematik 3 fu
¨ r Maschinenbauer“
”
Bitte fertigen Sie Ihre Abgabe handschriftlich und nicht mit Bleistift an. Keine Gruppen¨
abgaben. Jeder Ubungszettel
soll getackert und mit Deckblatt versehen sein, auf dem
¨
Name, Matrikelnummer, Ubungsgruppe
und Punktetabelle vermerkt sind. Auf unge¨
tackerte Ubungszettel wird mit Punktabzug reagiert. Alle L¨osungswege sind ausreichend
zu erl¨autern.
Versp¨atete Abgaben k¨
onnen nicht bewertet werden.
Abgabe bis Montag, 27.10.2014, 11:00 Uhr
in den orangefarbenen K¨asten im ersten Stock des D-Geb¨audes.
¨
• Kasten Nr. 13: Ubungsgruppen
1, 2, und 3,
¨
• Kasten Nr. 14: Ubungsgruppen
4, 5 und 6,
¨
• Kasten Nr. 15: Ubungsgruppen
7, 8 und 9
¨
• Kasten Nr. 16: Ubungsgruppen
10, 11 und 12
Webseite zur Vorlesung: http://tinyurl.com/M3fM-WiSe1415
Gruppenu
¨ bungen
Aufgabe G1 (Lineare Differentialgleichungen)
L¨osen Sie das folgende AWP:


u (t) = u(t) + 2v(t)



v (t) = −4u(t) + 7v(t)

u(0) = 7



v(0) = 3
2
,t ≥ 0
,t ≥ 0
A :=
1 2
. Eigenwerte von A:
−4 7
det(A − λI2 ) = det
1−λ
2
−4 7 − λ
= (1 − λ)(7 − λ)
= 7 − 8λ + λ2 + 8 = λ2 − 8λ + 15
= (λ − 3)(λ − 5)
Also sind die Eigenwerte λ1 = 3 und λ2 = 5. Eigenvektoren:
A − 3I2 =
−2 2
−4 4
1 −1
.
0 0
Der Eigenvektor zum Eigenwert λ1 (also der Vektor, der den Kern
1
dieser Matrix aufspannt) ist v1 =
.
1
−4 2
−4 2
A − 5I2 =
2 −1
0 0
1
.
2
Der Eigenvektor zum Eigenwert λ2 ist also v2 =
Setze nun T
T −1 AT =
:=
1 1
, dann ist T −1
1 2
2 −1
−1 1
=
3 0
. Also gilt wie in der Vorlesung:
0 5
etA = T
e3t 0
0 e5t
T −1
e3t 0
0 e5t
2 −1
−1 1
=
1 1
1 2
=
2e3t − e5t e5t − e3t
2e3t − 2e5t 2e5t − e3t
.
Damit ist die L¨
osung des AWP:
y(t) = etA
7
3
=
11e3t − 4e5t
11e3t − 8e5t
3
.
und es gilt
Aufgabe G2 (Matrixexponentialfunktion und lineare Differentialgleichungen)
Gegeben sei die Matrix


0 1 1


B = 0 0 6  .
0 0 0
Berechnen Sie B n f¨
ur alle n ∈ N, sowie etB . L¨osen Sie dann das folgende AWP:


,t ≥ 0
y (t) = By(t)

y(0)
=
1
1
1
.
Die Potenzen von B sind:
B0 =
100
010
001
B1 =
,
Daraus folgt B n =
011
006
000
000
000
000
,
006
000
000
B2 =
000
000
000
und B 3 =
.
f¨
ur n ≥ 3, da B n = B 3 B n−3 gilt. Somit
erhalten wir f¨
ur t ∈ R
∞
tB
e
=
n=0
(tB)n
=
n!
2
n=0
(tB)n
=
n!
100
010
001
+t
011
006
000
1
+ t2
2
Laut Vorlesung ist die L¨
osung des AWPs f¨
ur y0 =
y(t) := etB y0 = etB
1
1
1
=
1 t t+3t2
0 1 6t
00 1
1
1
1
=
006
000
000
1
1
1
1 t t+3t2
0 1 6t
00 1
=
.
gegeben durch
1+2t+3t2
1+6t
1
.
Aufgabe G3 (*)
Finden Sie Matrizen A, B ∈ R2×2 , so dass die drei folgenden Matrizen paarweise verschieden sind:
eA eB , eB eA , eA+B .
4
Um ein einfaches Beispiel zu finden w¨
ahlen wir eine
Diagonalmatrix A und eine nilpotente Matrix B. Es darf nicht
AB = BA gelten, weil sonst eA eB = eA+B folgt. Deshalb d¨
urfen
die Diagonaleintr¨
age in A nicht gleich sein. Dementsprechend
setzen wir z.B.
A := 10 00
und B := 00 10 .
Analog zu G1 erhalten wird
eA =
Es gilt (A + B)n =
11 n
00
∞
eA+B =
n=0
1
n!
e 0
01
=
11
00
11 n
00
=
und
eB =
11
0
.
f¨
ur n > 0 und damit
∞
10
01
+
n=1
1
n!
11
00
=
e e−1
0 1
.
Eine kurze Rechnung ergibt dann
eA eB =
e e
01
= eB eA =
e 1
01
= eA+B =
e e−1
0 1
.
Hausu
¨ bungen
Abgabe bis 27.10.2014
Aufgabe H1 (Lineares Differentialgleichungssystem I, 10 Punkte)
L¨osen Sie das folgende AWP:


u (t) = −3u(t) − 4v(t)



v (t) = 2u(t) + 3v(t)

w (t) = 20w(t)



u(0) = v(0) = w(0) = 1
5
,t ≥ 0
,t ≥ 0
,t ≥ 0
w kann unabh¨
angig von den anderen Variablen bestimmt werden durch
w(t) = e20t w(0) = e20t .
F¨
ur das restliche System verwenden wir das Verfahren aus der
Vorlesung:
−3 −4
u(t)
Setze A :=
und y(t) :=
.
2
3
v(t)
A hat die Eigenwerte λ1
=
−1, λ2
=
1 (sieht man durch
Einsetzen oder durch Bestimmen des charakteristischen Polynoms).
Eigenvektor zu λ1 :
A + I2 =
2
−1
Eigenvektor zu λ2 :
−2 −4
2
4
1 2
.
0 0
Eigenvektor zum Eigenwert −1.
Somit ist v1 =
A − I2 =
−4 −4
2
2
1 1
.
0 0
Somit ist v2 =
1
−1
Setze nun T :=
2
1
, dann ist T −1 =
−1 −1
Eigenvektor zum Eigenwert 1.
etA =
=
e−t 0
0 et
2
1
−1 −1
1
1
−1 −2
und
1
1
−1 −2
2e−t − et 2e−t − 2et
−e−t + et −e−t + 2et
Die L¨
osung ist also nach Vorlesung:
y(t) = etA
1
1
=
4e−t − 3et
3et − 2e−t
und so erh¨
alt man zusammen mit w(t) die L¨
osung ϕ(t) des gegebenen
AWPs:


4e−t − 3et


ϕ(t) = 3et − 2e−t 
e20t
6
Aufgabe H2 (Lineares Differentialgleichungssystem II, 10 Punkte)
L¨osen Sie das folgende AWP:



u (t) = 2u(t) + 2v(t)




v (t) = 2v(t) + 2w(t)
w (t) = 2w(t)



u(0) = v(0) = 0




w(0) = 1

1 1 0


Setze A := 2 0 1 1 := 2J, y(t) =
0 0 1
,t ≥ 0
,t ≥ 0
,t ≥ 0

u(t)
.
v(t)
1
2 A = J ist bereits in JNF
(et J ist aus der Vorlesung
etA = e2tJ = et J
gegeben. Substituiere t =
bekannt):



1 2t
1 t 21 (t )2



t  = e2t 0 1
= et 0 1
0 0
0 0
1
Somit ist die L¨
osung:
 
0
1 2t 2t2
 
tA
2t 
y(t) = e y(0) = e 0 1 2t  0
0 0 1
1
 
2t2

2t 
= e  2t  .
1

7
2t. Dann gilt

2t2

2t 
1
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