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Harmonische Analysis — Blatt 2 - Universität Stuttgart

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Priv.-Doz. Dr. Jens Wirth
FB Mathematik, Universit¨
at Stuttgart
¨
Ubung
am 28. Oktober 2014
Harmonische Analysis — Blatt 2
Tu as voulu de l’alg`ebre, et tu en auras jusqu’au menton!
(Jules Verne; 1828-1905)
Hausaufgaben:
2.1. Es sei A
A=
a
0
b
a
: a, b ∈ C
⊂ C2×2 .
Diese bildet, wie man leicht nachrechnen kann, eine kommutative Banachalgebra mit Eins.
Zeige, daß die Gelfandtransformation der Algebra A surjektiv, aber nicht injektiv ist.
2.2. Sei A ⊂ L(H) eine C ∗ -Algebra von Operatoren mit I ∈ A.
(a) Angenommen, A ∈ A ist invertierbar und ρ(A) = {λ ∈ C : (λ − A)−1 ∈ L(H)} zusammenh¨angend.
Zeige, daß dann f¨
ur λ ∈ ρ(A) stets (λ − A)−1 ∈ A gilt.
(b) Sei nun A ∈ A beliebig. Zeige, daß A genau dann in A invertierbar ist, wenn A in L(H) invertierbar
ist.
(Hinweis: Betrachte A∗ A.)
2.3. Sei A eine kommutative Banach-*-Algebra mit Eins, H Hilbertraum und ϕ ∈ Hom∗ (A, L(H)). Wir
nehmen weiter an, daß ϕ(1) = I gilt.
(a) Zeige, daß der Normabschluß des Bildes B = clos ϕ(A) ⊂ L(H) eine kommutative C ∗ -Algebra ist.
(b) ϕ induziert durch ϕ∗ (Φ) = Φ ◦ ϕ, Φ ∈ σ(B), eine injektive stetige Abbildung ϕ∗ : σ(B) → σ(A).
(c) Sei µ das Spektralmaß von B und bezeichne ν = ϕ∗ µ das Bildmaß unter ϕ∗ . Zeige, daß dann
ϕ(x) =
x(ζ)dν(ζ)
σ(A)
f¨
ur alle x ∈ A gilt.
Themen zur Vorbereitung:
2.4. In der Vorlesung wurde die Gelfand-Theorie f¨
ur kommutative C ∗ -Algebren mit Eins aufgebaut. Wie in
Aufgabe 1.3 (b) gezeigt, kann jede kommutative C ∗ -Algebra ohne Eins (auf eindeutige Art und Weise)
in eine C ∗ -Algebra mit Eins eingebettet werden. Man nutze dies, um eine entsprechende Gelfand-Theorie
f¨
ur Banach-∗-Algebren und C ∗ -Algebren ohne Eins zu konstruieren.
Literatur: Abschnitt 1.3 aus G.B. Folland: A Course on Abstract Harmonic Analysis
c
jens.wirth@mathematik.uni-stuttgart.de
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